常见分布函数的期望和方差

常见分布函数的期望和方差

六种常见分布的期望和方差：

1、0-1分布

已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。

2、二项分布

n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。

3、泊松分布

其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。

其中期望和方差均为λ。

4、均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。

其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。

5、正态分布

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。

其中期望是u，方差是σ的平方。

6、指数分布

若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。

其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ =? ? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? 其中Z ＝X ＋Y 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2222 1212 (,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++):。 9、期望的性质：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。

常见分布的期望和方差

罕见分布的期望和方差之吉白夕凡创作 (0,1)N 2()Y x n t = 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（拜见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：222 26 (,)(,)(4)(9) f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分布： 边沿概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞+∞ -∞ ==⎰⎰ 边沿分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=⎰⎰ ⎰⎰ 二维正态分布的边沿分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞ +∞ -∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y

概率论笔记(四)概率分布的下期望和方差的公式总结

概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结 一：期望 引入： 1.1离散型随机变量的期望 注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。 1.2连续型随机变量的期望 注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。 1.3期望的性质 注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。 二：随机变量函数（复合随机）的数学期望 1.理解

注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。 三：方差 引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和： 定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。 3.1离散型随机变量的方差 3.2连续性随机变量的方差 3.3方差的性质 注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下 四：协方差 4.1定义

注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。 4.2离散型二维随机变量的协方差 4.3连续型二维随机变量的协方差 4.4二维随机变量的协方差性质 注：了解即可… 4.5协方差矩阵 五：相关系数 所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。 参考链接：

概率与统计中的期望与方差

概率与统计中的期望与方差 在概率与统计中，期望与方差是两个重要的概念。它们用来描述和 度量随机变量的特征及其在概率分布中的分布情况。本文将详细介绍 期望与方差的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。 一、期望的定义与计算 期望是随机变量取值与其概率的加权平均。对于离散型随机变量， 其期望的计算公式为： E(X) = Σ x ⋅ P(X=x) 其中，X为随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X取值为x的概率。 例如，假设某班级有5个学生，分别考了90、80、70、60和50分，他们的概率分别为1/5，1/5，1/5，1/5，1/5。那么他们的数学成绩的期 望值为： E(X) = (90⋅1/5)+(80⋅1/5)+(70⋅1/5)+(60⋅1/5)+(50⋅1/5) = 70 对于连续型随机变量，期望的计算需要使用积分。设随机变量X的 概率密度函数为f(x)，则期望的计算公式为： E(X) = ∫xf(x)dx 二、方差的定义与计算 方差是随机变量与期望之差的平方与其概率的加权平均。对于离散 型随机变量，方差的计算公式为：

Var(X) = Σ (x-E(X))^2 ⋅ P(X=x) 以前述班级的数学成绩为例，计算方差的公式为： Var(X) = (90-70)^2⋅1/5+(80-70)^2⋅1/5+(70-70)^2⋅1/5+(60- 70)^2⋅1/5+(50-70)^2⋅1/5 = 200 对于连续型随机变量，方差的计算公式为： Var(X) = ∫(x-E(X))^2⋅f(x)dx 三、期望与方差的应用 1. 在概率分布的分析中，期望与方差是两个重要的指标，可以反映变量的集中程度和分散程度。在进行随机变量的比较和评价时，可以通过比较期望和方差来判断其优劣。 2. 在统计学中，期望和方差是重要的参数估计工具。通过对样本数据进行统计分析，可以估计总体的期望和方差，从而对总体进行推断和预测。 3. 在实际问题中，期望和方差有着广泛的应用。例如，在金融领域中，可以利用期望和方差来度量投资产品的风险和回报；在工程领域中，可以通过期望和方差来评估产品的质量和可靠性。 总结：期望和方差是概率与统计中重要的概念，用于度量和描述随机变量的特征。期望表示随机变量取值的平均水平，而方差表示随机变量取值偏离期望的程度。通过期望和方差的计算和分析，可以帮助我们更好地理解和应用概率与统计理论。

期望-方差公式-方差和期望公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞ =1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…， n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

常用分布函数

1、常用离散型分布 单点分布（退化分布）()I x c - ()1,0,x c P X x x c =⎧==⎨≠⎩，c 为常数，数学期望c ，方差0，特征函数ict e 伯努利分布（两点分布） (),0 ,1 p k P X k q k =⎧==⎨=⎩，01,1p p q <<+= 数学期望p ，方差pq ，特征函数it pe q + 二项分布(),B n p ()-k k n k n P X k C p q ==，0,1,,k n =⋅⋅⋅，01,1p p q <<+= 数学期望np ，方差npq ，特征函数() n it pe q + 泊松分布()P λ ()e ! k P X k k λλ-== ，0,1,2,k =⋅⋅⋅，0λ> 数学期望λ，方差λ，特征函数()1 it e e λ- 几何分布 ()1k P X k q p -==，1,2,k =⋅⋅⋅，01,1p p q <<+= 数学期望1p ，方差2q p ，特征函数1it it pe qe - 超几何分布 ()k n k M N M n N C C P X k C --==，()1,2,,min ,,k M N M N =⋅⋅⋅≤ 数学期望nM N ，方差11nM M N n N N N -⎛⎫- ⋅ ⎪-⎝ ⎭，特征函数0 k n k n itk M N M n k N C C e C --=∑ 帕斯卡分布 ()11r r k r k P X k C p q ---==，,1,k r r =+⋅⋅⋅，01,1p p q <<+= 数学期望r p ，方差2rq p ，特征函数1r it it pe qe ⎛⎫ ⎪-⎝⎭

5典型分布的期望方差

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1047 [中国高考数学母题](第267号) 典型分布的期望方差 离散型随机变量的数学期望和方差是概率分析的中心,其中,两点分布、二项分布和正态分布是三个典型分布,它们的数学期望和方差公式是课标高考的热点和重点. [母题结构]:(Ⅰ)(两点分布)如表的分布列称为两点分布列,如果随机变量X 的分布列为两点分布列, 就称X 服从两点分布,p=P(X=1)为成功概率.则EX=p,DX=p(1-p). (Ⅱ)(二项分布):①定义:若离散型随机变量ξ(ξ=0,1,2,…,n)的概率分布为P(ξ=k)=C n k p k (1-p)n-k ,则称ξ服从二项分布,记作ξ～B(n,p);②公式:数学期望E ξ=np,方差D ξ=np(1-p); (Ⅲ)(正态分布):①定义:如果随机变量的分布密度函数f(x)=22 2)(21 σμπσ--x e ,x ∈(-∞,+∞), 其中实数μ,σ(σ>0)是参数,则称随机变量ξ服从参数为μ、σ的正态分布,用ξ～N(μ, σ2 )表示;②性质:f(x)>0;分布密度曲线C 的渐近线为x 轴;分布密度曲线C 关于直线x=μ对称;分布密度曲线C 与x 轴围成的面积等于1;③统计意义:E ξ=μ,D ξ=σ2,σ越大总体分布越分散,σ越小总体分布越集中. [母题解析]:略. 1.两点分布 子题类型Ⅰ:(2011年全国高考试题)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望. [解析]:(Ⅰ)设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p=⇒=;(Ⅰ)该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率=1-=; (Ⅱ)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率==;引入随机变量X k :第k 位车主,甲、乙两种保险都不购买时,X k =1;否则X k =0(k=1,2,…,100),由X k 服从两点分布⇒EX k =;由ξ=X 1+X 2+…+X 100⇒E ξ=E(X 1+X 2+…+X 100)=EX 1+EX 2+ …+EX 100=100×=20. [点评]:两点分布列是随机变量的本质分布,它有极广泛的应用;推广两点分布列可得:若随机变量ξ满 足:P(ξ=a)=1-p,P(ξ=b)=p,则E ξ=a+(b-a)p,D ξ=(b-a)2p(1-p);利用两点分布的期望和方差,求由n 个两点分布合成的分布的期望和方差,是两点分布的典型应用. [同类试题]: 1.(2008年北京高考试题)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求ξ的分布列. 2.(2006年湖南高考试题)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改.若

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩ ，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 知识内容 典例分析

2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即 ⎩⎨⎧=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： 1 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 试写出随机变量ξ 的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二超几何分布 将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,) i n =列表表示： … … … … 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 知识内容

概率分布以及期望和方差讲解

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 10 P p q 其中01 p <<，1 q p =-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 10 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np． 知识内容 典例分析

1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨ ⎩，针尖向上； ，针尖向下. ，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ⎩⎨ ⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命