数学分析练习题
《数学分析选论》习题选
第十章. 多元函数微分学
1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限
（1） 2
222
2)(),(y x y x y x y x f -+=, )0,0(),(00=y x ；
（2） ,1
sin 1sin
)(),(y
x y x y x f += )0,0(),(00=y x . 解 (1) 注意到 0),(lim 0
=→y x f y )0(≠x , 0),(lim 0
=→y x f x )0(≠y ， 故两个累次极限均为0，但是,
,1)1,1(lim =∞→n n f n ,0)1
,1(lim =-∞→n
n f n 所以重极限不存在. (2) 注意到 0),1
(
=y n f π
, y y y n f 1sin ),)14(2(
→+π )(∞→n , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 |||||),(|0y x y x f +≤≤， 所以0),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
2 设??
???=≠+-=).0,0(),(,0)0,0(),(,),(222
2y x y x y x y x xy
y x f 证明:0),(lim
)
0,0(),(=→y x f y x . 证明 对,0>ε 由于 |,|2
1||21|||0),(|2
2222
222y x y x y x y x xy y x f +≤-≤+-≤- 可知当εδ2022=<+<
y x 时,便有 ε<-|0),(|y x f . 故
0),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
3 设 242),(y
x y
x y x f += 证明：),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. 证明 注意到
24242
0(,)(0,0),()
lim
(,)lim (1)1x x y y mx mx m
f x y m x m →→===++,
它随m 而异，因此
),(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在.
4 讨论下列函数的连续性
（1）?????=≠+=)
0,0(),(,
0),
0,0(),(,)
sin(),(2
2y x y x y
x xy y x f
（2）??
???=≠+=)
0,0(),(,0),0,0(),(,2),(2
2y x y x y
x xy
y x f
解 （1）注意到 2
2
||2y x xy +≤， 有|2||sin ||
|2|sin ||),(|xy
xy xy xy xy y x f ?≤≤
因此,
)0,0(0),(lim )
0,0(),(f y x f y x ==→，即),(y x f 在（0，0）处连续.
（2）注意到 ,1)1
,1(lim =∞
→n
n f n 5
4
)1,2(lim =
∞
→n
n f n , 故),(y x f 在（0，0）处不连续. 5 讨论函数???
??=+≠++-=+0
,
00,1),(22222
2)
(2
2y x y x y x e y x f y x x 在点)0,0(处的偏导数的存在性.
解 由定义知： 11lim 0)0,0()0,(lim
)0,0(3
003
-=-=--=→→x e x f x f f x
x x x , 30
0(0,)(0,0)0
(0,0)lim
lim 00
y y y f y f f y y →→-===-. 6 试讨论函数 ?????=+>+=+-0
,
0,0,
),(222212
2y x y x e
y x f y x 在)0,0(处的可微性.
解. 因为, ,0lim )
0,0()0,(lim
)0,0(2/1100
==-='--→→x x x x e x x f x f f ,0lim )
0,0(),0(lim
)0,0(2/1100
==-='--→→y y y y e y y
f y f f 所以, ),()0,0(),(22)
/(122
y x y x e f y x f y x α+==-+-,
其中 0),(2
22
/12
2)
/(1→=
+=
-+-ρ
αρ
e y x e y x y x
, 0→ρ， ,22y x +=ρ
由此知),(y x f 在)0,0(处可微.
7 设 )ln(2
v u z +=, 而 2
y x e
u +=, y x v +=2
. 求
x z ??, y
z ??. 和dz 解. 由于 2y x e x u +=??, 2
2y x ye y u +=??,
x x
v 2=??, 1=??y v , 于是 )(222x ue v
u x v v z x u u z x z y x ++=????+????=??+,
)14(1
22++=????+????=??+y x uye v
u y v v z y u u z y z . =??+??=
dy y z
dx x z dz ++++dx x ue v u y x )(222
dy uye v
u y x )14(122+++. 8 设
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++是某可微函数的全微分，求a 的值. 解 不妨设该可微函数为),(y x f z =，则按定义可得
2)(y x ay x x z ++=??，2
)(y x y
y z +=
??， 由此知)(||ln )()(2
x g y x x
y x x g dy y x y z ++++=++=
?. 从而又得
)()
(2)()(12
2x g y x y
x x g y x y y x x z '+++='++++=??. 联系到上面第一式，有
)()
(2)(2
2x g y x y x y x ay x '+++=++ 或 y y x a y x y x y x ay x x g 222)(2
)(2)()(+-=++-++=', 从而 2=a .
9 设 ),(y x
x f z =. 求 2
2x
z ??, y x z ???2. 解 这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式),(v u f z =, x u =, y
x
v =. 由复合函数求导法则知
v
f y u f x v v f x u u f x z ??+??=????+????=??1. 于是
][1)1(22222222x
v
v f x u u v f y x v v u f x u u f v f y u f x x z ????+?????+?????+????=??+????=?? 2
22
22212v
f
y v u f y u f ??+???+??=, )1(2v
f
y u f y y x z ??+????=???
][112222222y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f ????+?????+??-?????+????=
.12
22322v
f y v f y x v u f y x ??-??-???-= 10设在2R 上可微函数),(y x f 满足x f x '+0='y f y ，试证：在极坐标系里f 只是θ的函数. 证 对于复合函数 ),,(y x f u = θcos r x =，θsin r y =, 由于
θθsin cos y x f f r u '+'=??， θθsin cos r f r f r
u
r y x '+'=??=x f x '+0='y f y ， 因此当0≠r 时，
0=??r
u
，)sin ,cos (r r x r f u =与r 无关，即在极坐标系里f 只是θ的函数. 第十一章. 隐函数
1 设),(y x z z =是由方程
y
z
z x ln =，求dz . 解 方程两边对x 求偏导，有
x z y z y x z z x z ??=??-112, 因而 x
z z
x z +=??. 方程两边对y 求偏导，有
???
?
??-??=??-221y z y z y z y y z z x , 因而 ()y x z z y z +=??2. 故 ()dy y x z z dx x
z z dz +++=
2
. 2 设???=+-=-+0
02
222v u xy uv y x , 求x v
x u ????,. 解 方程组两边对x 求偏导得到 ?
??=+-=--0220
2x x x x vv uu y uv vu x , 因此有
()2224v u yu xv v x ++=
，()
2
224v u yv xu u x
+-=。 方程组两边对y 求偏导得到?
??=+-=--0220
2y y y y vv uu x uv vu y , 因此
()()
2
22224,24v u xv yu v v u xu yv u y
y +-=++=
.
3 设),(y x z z =由方程 3
3
3a xyz z =-所确定，试求)(2
2xy z y
x z ≠???.
解 对原方程两端对x 求导，可得
xy
z yz
x z -=??2
，从而知 3
222242
222)()2()/()12())((xy z y x xy z z z xy z y z x yz y z y z xy z y x z ---=
--??-??+-=???. 4 设),(y x z z =由方程 z
x
y z =所确定，试求22x
z ??.
解 对原方程取对数，得y z z x ln ln =，并该式两端对x 求导，有
x
z
y x z z x z ??=??+
ln ln ，即
x y z z z x z -=??ln ln ， 再对上式两端对x 求导，得
)1)(ln (ln ))(ln ln (()ln (1222-??-??-??--=??x
z
y z z x z x z z x y z x y z x z 2
)
1(ln )
2ln(ln --=
z x z z z . 5 证明： 方程0)/,/(=++x z y y z x F 所确定的隐函数),(y x z z = 满足
xy z y
z y x z x
-=??+??. 证明 对方程0)/,/(=++x z y y z x F 两边分别对x 和y 求偏导数，有
0)1()11(221=-??+??+
x z x z x F x z y F ，.0)11()1(221=??++-??y
z
x F y z y z y F 分别解得 21122)(yF xF F x zF y x z x +-=??，2
1122)(yF xF F y zF y y z y +-=
??， 于是，得到 .)
()(211212122xy z yF xF F y zF x F x zF y y z y x z x -=+-+-=??+??
6 试求椭球面122
2222=++c
z b y a x 内接最大长方体的体积.
解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为
),,(z y x ，由对称性可知该长方体的体积为xyz 8，从而问题转化为求函数xyz z y x f 8),,(=在条件
1222222=++c z b y a x 下的最值问题。设辅助函数为 )1(),,(22
2222-+++=c z b y a x xyz z y x F λ, 0,0,0>>>z y x , 则有
??
?
?
?
?
???
=+='=+='=+=',0202022
22z y x
c z xy F b y xz F a
x yz F λλλ 1222222=++c z b y a x .
从中可得出唯一解 30a x =
，30b y =， 3
0c
z =。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为)3
,3,3(
c b a 时达到最大体积
.3
383338abc c b a V =???
= 7 求表面积为2a , 而体积最大的长方体的体积.
解 设长，宽，高分别为z y x ,,，则问题变为求函数 )0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值，联系方程为
()022=-++a xz yz xy . 设辅助函数为
()()()
22,,,a xz yz xy xyz z y x -+++=Φλλ，则有
()()()()2220
220
2202220x y z yz y z xz x z xy y x xy yz xz a λλλλΦ=++=??
Φ=++=??
Φ=++=??Φ=++-=?
解方程组得到6
a z y x =
==，因而最大体积为6
63a V =
.
8 求空间曲线 t t x sin -=，1cos y t =-， 4sin 2t
z =，在点0p （对应于2
π=t ） 处的切线方程和法平面方程. 解 将2
π
=
t 代人参数方程，得点0p )22,1,12
(
-π
，该曲线的切向量为
T=（)2,1,1())2
(),2(),2(='''π
ππz y x ,
于是得切线方程为
2
2
2111
12-=-=
+-
z y x π
法平面方程为
1(1)1(1)2
x y z π
?-
++-+=0，即 .42
22+=
++π
y x
9 求椭圆面6322
2
2
=++z y x 在)1,1,1(处的切平面方程与法线方程.
解 设632),,(2
22-++=z y x z y x F . 由于2,4,6x y z F x F y F z ===在全空间上处处连续, 在)
1,1,1(处,2=x F ,4=y F ,6=z F 于是, 得切平面方程为
0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x ,
即 632=++z y x .法线方程为
3
1
2111-=-=-z y x .
第十三章. 重积分
1 设D 是由直线 ,0=x ,1=y 和
x y =围成, 试求 dxdy e x I y D
2
2-??=的值.
解 先对x 积分后对y 积分 ??
?--=
=1030
2102
2
3
1dy e y dx e x dy
I y y
y . 由分部积分法, 知 e
I 31
61-=
. 2 设D 是由矩形区域1||≤x ，20≤≤y 围成, 试求dxdy x y I D
??
-=
||2的值.
解 由于 ???<-≥-=-2
2
22
2
,
,||x
y y x x y x y x y 则
dy
x y dx dy y x dx dxdy x y I x
x D
???
???-+-=-=2
210
2
1
2
2
2
||
tdt dx x dx x ???
+=-+=4
/042/310231
0cos 3861)2(3232π 465)831(413861ππ+
=+?+= 3 设D =}02,1,0:),{(2
222≤-+≥+≥x y x y x y y x , 试求dxdy xy I D
??=
的值.
解 利用极坐标变换
?
?
??==θ
πθθθcos 21
23
/0
sin cos rdr
r d dxdy xy I D
169sin cos )1cos 16(413/04
=-=
?θθθθπd
4 试用变量代换计算下面的积分
（1） dxdy x y
I D
??+=2)1(, D 由1,,0=+==y x x y y 围成.
（2）dxdy y x y I D
??
++=
3
)
(1, }1,0,0:),{(<+>>=y x y x y x D .
解 （1）令x y v y x u /,=+=，则D 变成10,10:),{(1≤≤≤≤=v u v u D ，且积分成为（)
)1/(2
v u J +=
.21
)1(1
1
1
2
=
=
=
+=
??
????dv udu ududv Jdudv v I D D
（2） 令y x v y x u -=+=,，则D 变成u v u u v u D ≤≤-≤≤=,10:),{(1，且原积分成为
.12)(141103-=-+=
??-u u dv v u u du
I
5 设)(x f 是],[b a 上的正值连续函数，试证
2)()
()
(a b dxdy y f x f D
-≥??
，其中D 是 b x a ≤≤，b y a ≤≤. 证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此
])()
()()([21)()(dxdy x f y f dxdy y f x f dxdy y f x f D D D
??????
+= 2
)(])()()()([21a b dxdy dxdy x f y f y f x f D
D -=≥+????. 6 计算
???
+V
y x dxdydz
2
2, 其中V 为由平面1=x , 2=x , 0=z , x y =, 与y z =所围成.
解 V 在oxy 平面上的投影区域为{}21,0:),(≤≤≤≤=x x y y x D , 于是
2ln 21|)ln(210
21
220222102202122=+=+=+=+?????????
dx y x y x ydy dx y x dz dy dx y x dxdydz x x y x V
. 7 计算 dxdydz z
I V
???=
2
,
其中 积分区域为 2222a z y x ≤++，2
222)(a a z y x ≤-++的公共部分. 解法1 用球坐标计算积分，积分区域分解成；21V V V ?=，其中 ???
?
??≤≤≤
≤≤≤=πθπ
φθφ20,30,0:),,(1a r r V ； ?
??
?
??
≤≤≤
≤≤≤=πθπ
φπ
φθφ20,23
,cos 20:),,(2a r r V ， 于是
dr r r d d dr r r d d I a a
φφφθ
φφφθφ
π
ππππ
sin cos sin cos 2
2cos 20
220
2
/3
/2
2
2
3/0
20
?
?????+= =
5
3
/0
2
/3
/7562
5
480
59cos sin 5
2cos sin 5
2a d a d a πφφφπφφφππππ?
?
=
+
. 解法2 用平行于0xy 平面去截此V ，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有
?????????-≤+-≤++=
=2
22
2
2
2
2
2/2
2
/0
22
2z a y x a
a a Z
aZ y x V
dxdy z
dxdy dz
z
dxdydz z I
=
5
2
2
/222/0
2
2
480
59)()2(a dz z z a dz z z az a
a a πππ=-+-??. 8 变换为球面坐标计算积分
?
?
?--+-222
2
2
2210
1
y x y
x x dz z dy dx .
解 积分区域变换为球面坐标为 }2
0,4
0,20:),,{(π
θπ
φθφ≤
≤≤
≤≤≤='r r V .
于是,
?
?
?--+-222
2
2
22
10
1
y x y
x x dz z dy dx =dr r r d d 222
24
/0
2
/0
cos sin φφφθππ??
?
πφφφππ15
122cos sin 52224/0-==?d .
9 设函数)(t f 连续，dv y x f z t F )]([)(222++=
???Ω
, 其中h z ≤≤Ω0:，2
2
2
t y x ≤+，求
dt
dF 和 20)
(lim t t F t +→.
解 因为区域Ω为柱状区域，被积函数中第二项为
)(22y x f +，所以用柱坐标法比较方便．
dv y x f zdv t F )()(22++=??????Ω
Ω
dxdy y x f dz
dxdy dz
z t y x h
t y x h
)(2
222
22220
2??
????≤+≤+++=
rdr r f d h t h t
)(3
2
20
2
3
??+=πθπrdr r f h t h t
)(23
223
?+=
ππ.
于是,
)(23
223
t htf t h dt dF ππ+=. 利用洛必达法则, 有 )0(3
2)(2lim 3)(lim 220220hf h t t tf h h t t F t t ππππ+=+=→→. 10. 求曲面2
2
2
z y x +=被柱面2
y z =与平面2+=y z 所割下部分的面积. 解 曲面方程表示为 22z y x +=,
2
2
z
y y y
x
+=??,
2
2
z
y z z
x +=??,
于是所求面积 S=
?????
-+-=-+==??+??+2122212
229)2(2222)()(12dy y y dz dy dydz z
x y x y y D
.
第十四章. 曲线与曲面积分 1 计算
?
L
yds ， 其中L 是摆线 ),sin (t t a x -= ),cos 1(t a y -=
的一段 （,0>a π20≤≤t ）.
解 由t a a t x cos )(-=', t a t y sin )(=', 可得
2
sin
2)()(22t
a t y t x ='+', π20≤≤t , 则 ?
L
yds =22032
20
3
322sin 42sin 2)cos 1(a dt t a dt t a t a ==-??
ππ
.
2 计算?++ABCDA y x dy
dx ||||，其中ABCDA 为以)0,1(A ，)1,0(B ，)0,1(-C ，)1,0(-D 为顶点的正方形封闭
围线.
解 AB 段：直线方程 x y -=1，10≤≤x ，
0)1(||||01=-+-=++??x x dy dx y x dy dx AB .
BC 段：直线方程 x y +=1，01≤≤-x ，
2)1(||||10-=++-+=++??-x x dx dx y x dy dx BC .
CD 段：直线方程 x y --=1，01≤≤-x ，
.0)1(||||01=++--=++??-x x dx dx y x dy dx CD
DA 段：直线方程 x y +-=1，10≤≤x ，
.21||||10=-++=++??x x dx dx y x dy
dx DA
于是有，
?++ABCDA y x dy
dx ||||=0 .
3 计算
?
-L
ydx x dy xy 22，其中L 为四分之一)0,(222≥≤+y x a y x
的边界，依逆时针方向.
解 设???==θ
θsin cos a y a x ，20πθ≤≤，则
原式＝
()
θθθθθθθπ
d a a a a
?+2
2323
sin sin cos cos sin cos
＝()8
4cos 14
42sin 24
2
4
2024
a d a d a πθθθθπ
π
=
-=??.
4 解答下列问题
（1）设),,(y x P ),(y x Q 是光滑弧AB 上的连续函数，AB 长度记为l ，则
?
≤+AB
lM dy y x Q dx y x p |),(),(|
， }{max 2
2),(Q P M AB
y x +=∈， (2) 设2
22:R y x L =+， ?++-=
L R y xy x xdy
ydx I 222)(， 则0lim =+∞
→R R I ， （3）设L 是曲线 22x x y -=
上从)0,0(到)1,1(之线段，证明:
1)]1(2[2=-+-=?ds x x x x y I L
.
解 (1) 注意到柯西不等式
2/1222/1222/122)()sin (cos )(|sin cos |Q P Q P Q P +=++≤+αααα，
?
?+≤+≤AB
AB
ds Q P ds Q P I |sin cos ||)sin cos (|
αααα
Ml ds M ds Q P AB
AB
=?≤+≤
??
22。
（2）由于 222)(),(y xy x y y x P ++=
， 2
22)
(),(y xy x x
y x Q ++-=，
可知
2
22
2
22
2
)
(y xy x y x Q P +++=+. 采用极坐标，可得 2
3232222)2sin 2(4
1)cos sin 1(1)(???+=+=+=
+R R xy R R Q P .
由此知 322),(4
}{max R
Q P M L
y x ≤
+=∈, 利用题（1），有 0842||2
3→=?
≤R R R I R ππ， ).(+∞→R （2） 因为 2
2
2)(1x
x dx dx y ds -=
'+=，所以
22cos x x ds dx -==
α， x ds
dx y dx dy -='==1cos β。 ??
+=+=
L L
xdy ydx ds x y I )cos cos (βα.
将曲线1)1(:2
2
=-+x y L 用参数式表示，即令 t x cos 1+=， t y sin =，且取顺时针方向为正，可知
14
14
]cos )cos 1(sin {2
/0
2=+
+-
=++-=?
π
π
πdt t t t I .
5 判别下列表达式dy xy y x dx y y x )23()4(2
4
2
3
3
-+-.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数. 解 设xy y x y x Q y y x y x P 23),(,4),(2
4
2
3
3
-=-=，因为
x
Q
y y x y P ??=-=??21223, 则dy xy y x dx y y x )23()4(2
4
2
3
3
-+-是某函数()y x u ,的全微分.且
()()
()()
()
dy xy y x dx y y x
y x u y x 234,24,0
,0233
-+-=?
(
)()
()
()
()dx y y x
dy y x y
y ?
?-+=
,,0233
,00,040
2
3
4
xy y x -=. 6 求dy y e dx y y e
I x C
x
]1cos []sin [-+-=
?, 其中C 是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.
解 用ox 轴上直线段oA , 使上半圆周和直线段oA 构成封闭曲线. 设y y e y x p x
-=sin ),(,
1cos ),(-=y e y x Q x .有
1)1cos (cos =--=??-??y e y e y
P
x Q x x . 于是,由格林公式知
dy y e dx y y e I x aboa
x ]1cos []sin [-+-=?
=2
π
=
??D
dxdy .
其中在直线段oA 上, 有0=y , )20(≤≤x , 则
0]1cos []sin [=-+-?
dy y e dx y y e x oA
x .
因此 -=
2
πI 2
]1cos []sin [π
=
-+-?
dy y e dx y y e x oA
x .
7 计算下列积分 （1） ))((22
ydy xdx y x
f I L
++=
?， L 是2R 中的一条简单光滑闭曲线，)(x f 在R 上连续可微.
（2）dy y xy f y x dx y xy f y I L
2
22]1)([)(1-++=?，L 是从点)32
,3(A 到点)2,1(B 的直线段, f 是R 上的连续函数.
解 （1）由 ),(),(2
2
y x xf y x P += )(),(2
2
y x yf y x Q += 可知
y
y x P y x f xy x y x Q ??=+'=??)
,()(2),(22， D y x ∈),(, 其中D 是L 所围区域，由格林公式, 可得 0))
,(),((
=??-??=
??dxdy y
y x P x y x Q I D
. （2）由 y y x f y y x P ),(1),(2+=, 2
2]
1),([),(y y x f y x y x Q -= 可知，当0≠y
时，有
x y x Q y y x P ??=??),(),(。 从而取点)3
2
,1(C 。 并作AB ，CB 使ABCA 形闭曲线，记ABCA 所围区域为D ，于是
dy y xy f y x dx y xy f y dy y xy f y x dx y xy f y I CB
AC ABCA ???-+++-++=2
22222]
1)([)(1]1)([)(1 dy y
y f dx x f ]1
)([)]32(3223[023/221
3??-+++=
?
?
-=-++-=3
/22
2
3
/2.41)()(3dy y f dt t f
8 求曲面xy z 22
=被平面0,0,1===+y x y x 截下部分之曲面面积S.
解 由xy z 22
=得 z x z z y z y x /,/==，从而 xy
y x z y x z z y
x 2)()(12
2
22
2
+=++++。
注意到该曲面上的点关于平面xoy 对称，且其上半部分在平面xoy 上的投影为区域
x y x D -≤≤≤≤10,10:，从而有
dy x
y
y x
dx dxdy xy y x S x D
)(2221010+
=+=????
- dx x
x x x ])1(31)1([223
1
0-+-=?
2
2)2/1(2π=Γ=. 9 计算曲面积分??
++S
dS zx yz xy )(, 其中S 为圆锥面22y x z +=被曲面ax y x 222=+所割下的部
分.
解 对于圆锥面22y x z +=
，则
2
2
y
x x x
z
+=??，
2
2
y
x y y
z +=??
S 在xy 平面上投影区域为xy D ：222)(a y a x ≤+-，于是
??
++S
dS zx yz xy )(dxdy y x y x xy xy
D ])([222??+++=
dr r d a ?
?
-++=2
/2
/cos 20
3)cos sin cos (sin 2ππθ
θθθθθ
?
++=2
/0
44cos )cos sin cos (sin 24πθ
θθθθθd a
44
2
/0
54215
64
352428cos 28a a d a =??==?
πθθ. 10 计算 ??
+=S
y
dxdz z x e
I 2
2， 其中 S 是由曲面22z x y +=与平面2,1==y y 所围成立体表面的外
侧.
解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：122≤+z x ，于是应用极坐标可得
πθπe rdr r d e dxdz z x e
dxdz z x e
I D S y
21
1
201
221
2
21-=-=+-=+=????
??
，
曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2
2z x +≤2，于是应用极坐标可得
πθ
π
22
20
2
2
2
22221e rdr r d e
dxdz z x e
I S y
==+=????
， 于是
, 12)I I I e π=+=.
11.求dxdy xz y dzdx x dydz z x y I S
)()(22+++-=
??
, 其中S 是边长为a 的正方体的外侧.
解 利用高斯公式, 得
dxdy xz y dzdx x dydz z x y I S
)()(22+++-=?? ???+=V
dxdydz x y )(???+=a
a
a
dx z y dy dz 0
)(
420)2
1
(a dy a ay a a
=+=?.
12 计算
?
+++++L
dz x dy z dx y )3()2()1(, 其中L 是圆周2222R z y x =++, 0=++z y x ，若从x
轴正向看出，L 是沿逆时针方向运行.
解 平面0=++z y x 的法线方向单位向量为)31
,31,31(，L 围成S 方程为?
??+++≤++,0,2222z y x R z y x 依
斯托克斯公式得，
?+++++L
dz x dy z dx y )3()2()1(=??
+++??
????S
x z y z y x dxdy
dzdx dydz 3
21
22
33
1
33R R dxdy dxdy dzdx dydz S
S
ππ-=-=-=---=????.
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
18数学分析-1复习题试题及参考答案
18数学分析-1复习题参考答案 一、选择题 1.函数1 ()ln(2) f x x = -的连续区间是 （ B ） A. (2,)+∞ ; B. (2,3)(3,)?+∞; C. (,2)-∞ ; D. (3,)+∞. 2.若函数x x x f = )(，则=→)(lim 0 x f x （ D ）. A.0 ; B.1- ; C.1 ; D.不存在. 3.下列变量中，是无穷小量的为（ C ）. A.1ln (0)x x +→; B.cos (0)x x →;C.ln (1)x x → ;D.22(2)4 x x x -→-. 4. 1lim(1)1 n n n →∞ + =+（ B ）. 1 2.1 ...-A B e C e D e 5.1lim(1)1 →∞ + =-n n n （ B ）. 12.1...-A B e C e D e 6.下列两个函数是同一函数的是 （ C ） A. ()3,()f x x x ?=+=41 ()ln ,()ln 4 f x x x x ?== ; C. 2 2 ()sin cos ,()1f x x x x ?=+= ; D. 2 (1)(),()11 x f x x x x ?-= =-- . 7.22 39 lim 712 x x x x →-=-+ ( C ) A.0 ; B.25- ; C.6- ; D. 7 6 . 8．0sin 2lim →=x x x （ D ） A. 0 ; B. 1 ; C. 3 ; D . 2 . 9.=→x x x 1 sin lim 2 （ C ）. 1 1A B C D ∞-
数学分析试题
（六）一年级《数学分析》考试题 一 判断题：（满分10分，每小题2分） 1、设数列{}n a 递增且a a n n =∞ →lim （有限），则有{}n a a sup =； （ ） 2、设数列)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义，若对)(00x U x n ∈?，当0x x n →时， 数列{})(n x f 都收敛于同一极限，则函数)(x f 在带点0x 连续；（ ） 3、设数列)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，若存在实数A ，使0→?x 时，)()()(00x o x A x f x x f ?=?--?+，则)(0'x f 存在且A x f =)(0'；（ ） 4、若0)()(2'1'==x f x f ，)(0)(2''1''x f x f ，则有)()(21x f x f ；（ ） 5、设?+=c x F dx x f )()(，?+=c x G dx x g )()(,则当)()(x G x F ≠时，有)()(x g x f ≠； （ ） 二 填空题：（满分15分，每小题3分） 1、∑+=+=1 61291n k n k n a ， =∞ →n n a lim ； 2、函数3 ln 3)(--=x x x f 全部间断点是 ； 3、)1ln()(2x x f +=，已知56)2()(lim 000=--→h h x f x f h ，=0x ； 4、函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 ； 5、?+=c x dx x f 2sin )(，?=dx x xf )(' ； 三 计算题：（满分36分，每小题6分） 1、111 1lim 30-+-+→x x x ； 2、求函数54 )15(4)(+-=x x x f 的极值； 3、?+12x x dx ； 4、?++dx x x )1ln(2 ；
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析试题库--选择题
数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
数学分析(1)复习题
数学分析（1）复习题（一） 一、按要求写出下列定义的数学描述（4?/5=20/） 1、A x f x ≠+∞ →)(lim 的X -ε正面描述为 2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则 3、η为非空数集S 的下确界即 4、a 为无限集合S 的聚点即 5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8?/6=48/） 1、求2 1 0)sin (lim x x x x →. 2、求)sin 2 sin 1(sin lim 2 2 2 n n n n n +???++++∞ →π π π . 3、确定x x x f sin )(=的间断点并判断其类型. 4、设x x x x f x x sin )(sin +=，求)(x f '. 5、x y 3sin =，求)(n y . 6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式. 7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点. 8、确定,,b a 使函数???≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续. 三、证明题（4?/8=32/） 1、用δε-定义证明.10 3 1lim 2 3 =+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成 立： .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞ →存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.
4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞ →x f x 证明0) (lim =+∞ →x x f x . 数学分析（1）复习题（二） 一、单项选择题（5?/3=15/） 1、=∞→n n n 2lim （ ） A.0；B 、2 1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1. 3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x x f x sin ) (lim 0 ( ). A. 2 1 ； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ） A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导； C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微； D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微. 5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的 吗？（ ） A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的. 二、填空题（5?/3=15/） 1、如果要使函数x x x f 1 sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f 2、设1)(0='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(lim 000 3、函数???≤>+=,1,, 1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a 4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y 5、设???-=-=t y t t x cos 1sin ，则 == 2 π t dx dy
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 《数学分析》――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =， 因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 数学分析试题及答案解析,（1） 20xx ---20XX学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在连续，则在上的不定积分可表为（）. 2.若为连续函数，则（）. 3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）. 4. 若收敛，则必有级数收敛（） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若在上可积，则下限函数在上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（） A. 在上一定不可积； B. 在上一定可积,但是； C. 在上一定可积，并且； D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若，则级数一定收敛； B. 若，则级数一定收敛； C. 若，则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（） A. 在收敛区间上各点 是绝对收敛的； B. 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. 2. 四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共 10分） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为 R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆 柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七. 将一 等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表 面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角 形铁板所受的静压力。(本题满分10分) 八. 证明：函 数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 20xx ---20XX 学年度第二学期《数学分析2》B卷答案学院班级 学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八 总分核分人得分一、判断题（每小题3分，共21分， 正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ?二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2. C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共 10分） 1. 解：由于-------------------------3分而 ---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分) 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页数学分析考题2
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