数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析
一、设),,(x y x y x f w
-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w
解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；
)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w
二、设数列}{n a 非负单增且a a n
n =∞
→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞
→1
21
]
[lim
解：因为an 非负单增，故有n n n n
n
n n n n na a a a a 1
1
21)(][≤
+++≤
由
a a n n =∞
→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、设?
?
?≤>+=0
,00),1ln()(2
x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足：
（1） 极限)(lim 0x f x +
→存在
（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为
)(lim 0x f x +
→=)1ln(lim 20x x x ++
→α=)]()1(2[lim 221420n n
n x x o n
x x x x +-++--→+
α极限存在则2+α0≥知α2-≥
(2)因为)(lim 0
x f x -
→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α
（3）0)0(='-
f 所以要使f(x)在0可导则1->α
四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关
解；令U=22
y x
+则ydy xdx y x f l ++?)(22=2
1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ）
使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22
所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、
设
f(x)在[a,b]上可导，
0)2
(=+b
a f 且
M
x f ≤')(,证明
2)
(4)(a b M
dx x f b a -≤?
证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
)
2
)(()2()(),(b
a x f
b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即
有
dx b
a x f dx x f b
a
b a
)2
)(()(+-
'=??ξ2
2
2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b
b a b
a a b
a
-=+-+-+≤+-'≤???++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
∑n a n sin 发散
a) 证明
∑收敛n an sin
b) 证明
1lim
=∞→n n
n v u 其中
)
sin sin (k ak k a u k n +=∑；
)sin sin (k ak k ak v n -=∑
证：（1）因为
2
1sin 1sin ≤
∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
∑收敛n an sin
（2）因为正项级数
∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知
∑有界k ak sin 故有1lim
=∞→n
n
n v u
七、设dx x
x
e t F tx
sin )
(1?∞
+-= 证明 （1）dx x
x
e tx sin 1
?
∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续
证：（1）因
dx x
x ?
∞+1
sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又tx
e -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥?≤≤-t x e
tx
由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥?+∞∈?t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，
且由x
x
e
tx
sin -在（x,t ）],[),1[βα?+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证
八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （
2
）
对
任
意
>ε，存在一个
ε
δδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f k
n
在[a,b]上一致收敛
证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为
)}({x f k
n ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定
理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(1
1m
x m x x u x u δδ
于是对
N
能找到一,0>?ε>0，
)
,,2,1(,,2
1
m i x N ，n n i k k =?>?有
3
)()(2
2
ε
<
-i n i n x f x f k k 令
},,min{1
m
x x δδδ =则由条件（2）知对上述
0>?ε
3
)()(,],,[,0ε
δδ<
-<-?∈?>?l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈?∈?>>?>?>?ε
)
()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f k
k
k
l
t
t
k
t
n l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f t
t
-+)()(l n l n x f x f k
l
-+)()(x f x f k
k
n l n -ε<由柯西准则得
证。
2004年南开大学数学分析试题答案
1. 1lim )()(lim )
()(')()(ln
1
===???
?
??-→-→a f a f a
x a f x f a
x a
x a x e
e
a f x f
2.
y x f x
y
y f x z 2-=??, yy yx y xy xx x f x y f x y f x f x y yxf f y x z 3221---++=???=yy y xx x f x
y
f x yxf f 321--+ 3.即证明
x x x ++
<+111)1ln(2，即证x
x x +-+<+11
1)1ln(2 设=)(x f x
x x ++--+11
1)1ln(2，0)0(=f ，
2)1(1112)('x x x f +--+=0)
1(2
2
<+-=x x ，0)0()(= ??+D dxdy y x y x )ln(2 222= ?? 1 2520 22ln cos sin dr r r d π θθθ= ??1 520 22ln cos sin 8rdr r d π θθθ= 72 π - 5.设P=2 2y x -，Q=xy 2-， y P y x Q ??=-=??2，积分与路径无关，则 ?= =π π0 3 2 3 dx x J 6. α αn e n n n n n 1ln 1-=-1ln +≈αn n ,又当 0>α时，∑∞=+11ln n n n α收敛，当0≤α时，级数∑∞ =+11ln n n n α发散，原题得证 7. 由 拉 格 朗 日 定 理 ， n f n f n f n )(')()2(ξ=-，其中 n n n 2<<ξ0 ) ()2(lim )('lim =-=∞ →∞ →n n f n f f n n n ξ，原题得证 8.（1）应用数学归纳法，当1 =n 时命题成立， 若 当 k n =时命 题 也 成 立 ， 则 当 1 +=k n 时， 2 )(},min{1 111++++--+= =k k k k k k k f F f F f F F ，由归纳假设 1 +k F 连续。 （2） （3）由 )} ({1x F k +单调递减趋于 ) (x F ， )} ({1x F k +与 ) (x F 都连续，由地尼定理，该收敛为 一致收敛。 9.(1)证明：2 100),,(x x x b a x < 取02210 20 1,,x x x x x x x x ==--= λ，代入式中得， )]()([)()(02020101x f x f x x x x x f x f ---+ ≤即0 2020101) ()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--，所以函数 0) ()()(x x x f x f x g --= 单调递增有下界，从而存在右极限，则 =+)(0'x f 0 0) ()(lim 0x x x f x f x x --+ →； 4321x x x x << 32322121) ()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--4 343)()(x x x f x f --≤， 即 2121)()(x x x f x f --4343)()(x x x f x f --≤从而2121) ()(lim 12x x x f x f x x --→4 343)()(lim 34x x x f x f x x --≤→， 所以导函数递增。 (2)参考实变函数的有关教材。 2005年南开大学数学分析试题答案 0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ??+??+=，其中x z x y ????,由 =??+??+=??+??+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y x 求出 = ??--=??x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.? ∑+= -=-=∞→1 2 1 2 3 234)(411lim πx dx n k n n k n 4. t x dt t M +≤? 1 , 2sin 0 在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又t x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5. 由 泰 勒 公 式 )! 1(!1!21!111++ +++=n e n e ξ ，则 )! 1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。 6.由拉格朗日中值定理，,)('1)(122n M n Mx n x f n n x f n ≤≤ =ξ后者收敛，由尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑ ∞ ==1 2 ) (')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导 7.反证：设存在),(00y x 有0),)(( 00≠??-??y x y P x Q ，不妨设0),)((00>??-??y x y P x Q ，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域,δ当δ∈),(y x 时0),)(( >??-??y x y P x Q ，则存在一个圆周,0δ?C ??? =+D Qdy Pdx 0)( >??-??dxdy y P x Q 与已知矛盾。 8.当2 0a x ≤ ≤时，x x f x f ≤=)('')('ξ a x a ≤≤2 时，x a a x f x f -≤-=))(('')('η，综上，)()('x g x f ≤ )2(若对任意的),0(a x ∈有)()('x g x f =，则在2 a x =时，)(''x f 不存在，矛盾。 )3(设当U x ∈时，0)()('<-x g x f 当U a x \),0(∈时0)()('=-x g x f ，两边对x 积分 即可 6.))(()()(000x x x g x g x f -≥- ，))(()()(00x x x g x f x f -≥-，由)(x g 在),(b a 上有定义，则)(x g 在),(b a 上有界，则可以得到)(x f 在),(b a 上连续。 2 10)2(x x x <<，则 1 21210101) ()()()()(x x x f x f x g x x x f x f --≤ ≤--，则