由分形看世界的简单性和复杂性-精选资料

由分形看世界的简单性和复杂性

世界是丰富多彩、绚丽缤纷的，如千姿百态的云彩、弯弯曲曲的海岸线、绵延不绝的山脉、郁郁葱葱的森林、一泻千里的江河等。人们可以从多种角度去看复杂的世界，本文将用分形的新视角来看世界的简单性与复杂性，去发现复杂世界背后隐藏的奥秘，对世界进行一个新的理解。

对分形的理解

在运用分形的视角对世界的简单性与复杂性进行分析前，我们首先要对分析工具——分形，进行定义和理解。

分形是从意思为“不规则的或者断裂的”拉丁语派生出来的。分形的原意是不规则的、分数的、支离破碎的，它是一种具有自相似特性的图形、现象或者物理过程等，来自于几何学的研究。它与传统的欧氏几何有很大的差异和区别，欧氏几何研究的对象是规则的、连续的、光滑的形体，而分形几何研究的对象则是不规则的、不连续的、粗糙的形体。对于什么是分形，许多科学家都尝试去理解和定义。

1.分形理论创始人Mandelbrot 的定义

Mandelbrot 在1982 年曾试图给分形下过一个数学定义，即如果一个集合在欧式空间中的豪斯多夫维数严格大于其拓扑维数，则该集合为方形集，简称为分形。一般说来，豪斯多夫维数不是整数，而是分数。1986 年，他又提出了另一个比较实用的

定义，即组成部分以某种方式与整体相似的形，称为分形。

分形创始人Mandelbrot 的两个定义在一定程度上对分形进行了较好的描述和理解，也涉及了分形维数，但是也有一定的局限性，因为它把某些分形排除在外，难以概括分形的丰富性。

2.数学家Falconer 的定义

Falconer 参照生物学家的做法，通过列出分形的具体特性来给分形下定义。他从特性的角度将分形（分形集F）描述如下:

1）它具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它可以有更小

的细节；（2）它是如此的不规则，无论从局部还是从整体看，

它都无法用微积分或传统的几何语言来描述；（3）它本身的结

构通常在大小尺度上有着某种自相似的性质；（4）它的分形维

数大于它的拓扑维数；（5）在许多情况下，它可以由迭代方法

产生；（6）它通常具有“自然”的外貌。Falconer 指出，如果集合F 具有上述所有或大部分性质，它就是分形。

Falconer 对分形的定义非常详细和具体，让人们能很直观地了解分形所具有的性质和特点。但其对分形的定义缺乏抽象性和精炼性概括，没能很好地对分形的本质进行阐述。

由此，可以看出要对分形下一个明确而严格的定义不是容易

的事，但从中我们能获取一些对分形的理解，分形具有自相似性，分形图案是通过对其自身进行成比例缩小复制而构成的，整体相

局部与似。分形几何的理论为人类看世界提供了新的理论依据和新的

方法视角。

二由分形看世界的简单性与复杂性的奥秘

为什么几何学常常被说成是“冷酷无情”和“枯燥乏味” 的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。

云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪

电更不是沿着直线传播的。

面对复杂多样的世界，从分形的角度来分析，能更好地揭示世界简单性和复杂性的奥秘。下面将运用具体的例子进行分析。

1. 自然界复杂性中的简单性

自然界是奇妙无穷的，它蕴含着多样性和复杂性。如森林、河流、云朵等。但就在这复杂性的背后却隐藏着许多神秘的维度，许多分形现象。

首先，来看看自然界中普遍存在的树。当人们在一棵大

树下乘凉时，会觉得树的生长是毫无规律的，因为它的枝干看起来是向各个方向生长，大小和长短不一，这容易让人们觉得它的生长只取决于阳光、水分等条件。但如果用分形理论去分析其，人们会惊奇地发现，其实树的每一节枝干，看起来都与整棵树惊人地相似。沿着树根向上看，看到母支，接着再到更小的分支。如果注意这些分支或节点，然后再观察更高的分支或节点，会发现分支的模式是相似的，并且这种分支的模式是贯穿整棵树的。这是树的分形现象，看似复杂的树实际上是由简单的模式不断重复而形成的。

除了树之外，云朵也是一种分形现象。看似变幻莫测的云朵，

也存在着自相似性。云朵边界形状的形成，常常被认为是随机的，没有规律可循的。但从分形的角度去分析，会发现其自相似性。

如果在一个规模上去观察云朵，然后选择一小块放大，它看起来与之前选定的规模是相似的。对整片云彩不断进行缩放观察，可以发现，选择的小部分就像之前更大的部分，它们具有不断重复模式的相似性，复杂结构的背后是由许多简单的结构重复组合而成的。这让我们再次感受到了分形的魅力——复杂中蕴含着简单性。

其实自然界中存在着许多这样的分形结构，自相似性也普遍存在，并且多具有随机自相似的性质。如海岸线的轮廓、地球的形貌、河流水系的分布、星系与星团的分布、月球的表面、动物的花纹、植物的叶脉、岩石的裂缝、下雨天的闪电等。当我们放大和缩小，物体看起来都是非常相似的。

但要注意，自然界中存在的分形现象多是近似自相似或统计自相似，它们的自相似性存在于一定的尺度范围内，当对其进行缩小或放

大到一定倍数时，其自相似性就不复存在了。

2.人类社会复杂性中的简单性

简单性构成了自然界中的复杂性。从分形的角度去分析，复杂的人类社会中也蕴含着简单性，是由许多的简单性构成。

例如，股民们关心的股票价格曲线。在很多人看来，它是非常复杂、变化莫测的。但如果将许多天的股票价格交易曲线进行观察和分析，人们会发现，这些难以预测的股票价格曲线，从长期来

说是有一定规律的、具有自相似性的，符合分形的规律。再如， 人类自身的身体构造也是巨大的分形结构。 人每分钟的心跳频率 曲线、小肠血管的分布状况等都是具有自相似性的。 貌似复杂的、 杂乱无章的曲线或血管分布， 其实都是由许多简单的具有自相似 性的结构所构成。 另外， 可以把社会中的家庭看做是复杂社会中

简单的单位。 复杂的社会就是由一个个简单的单位构成， 社会中 的每个家庭虽然不完全相同， 但都具有一定的自相似性， 为社会

整体的再现和缩影。 社会分形表征了社会生活和社会现象 中一些不规则的非线性特征，有着广泛的应用价值。

在生活中， 因为简单性构成了复杂性， 使越简单的反而是越 接近最本质的、最真实的。例如，在理工科领域，我们常常可以 发现， 公式越简单的、 才是越正确的、 越接近真理的； 越复杂的，

往往不是最后的和最终的结果。

类社会的事物都具有分形结构。 复杂的人类社会也是由简单性构 成的，复杂性中蕴含着简单性。 3. 小结

从以上多个例子的分析， 我们可以得出结论： 世界上存在着 许多的分形现象， 无论是自然界还是人类社会， 许多看似复杂的 事物背后隐藏着简单性。因此，从分形的角度说，世界是简单性 与复杂性的统一，许多的简单性构成了复杂的世界。延伸开来， 简单的过程可以构成复杂的结果。 这拓宽了人类的视野， 改变了

它们成 从分形这一观点来重新审视人类社会， 我们可以发现许多人

人类理解世界的方式，对于人类重新审视世界有着非常重要的意义。

三由分形看世界的意义及应用

1.由分形看世界的意义

欧式几何的研究对象都是规则的形体，而人类赖以生存的世界却是不规则的。分形抓住了世界现象的本质，从而研究世界上

不规则现象存在的规律性。从分形的角度去看世界，我们发现了世界具有的另一种奥秘，世界的复杂性是由简单性构成的。

这对人类的认识发展有重要意义，同时分形几何理论对许多学科中的复杂问题研究也起到了重要的推动作用。也正因为如此，分形已经广泛地应用到了人类社会的各个领域。

2.由分形看世界的应用

运用分形理论，人类可以测量出一片森林二氧化碳的吸收量，帮助人类进行环境保护，没有分形，则无法测量。再如，利用分形理论可能有助于癌症的早期诊断。在医疗成像领域，血液首先通过正常的血管，然后通过有肿瘤的血管，因为两种血管网络有不同的分形维数，不是整齐分岔，所以可以判断出该部位是否处于癌变状态。还有，由于断层与裂缝系统具有分形分布结构，因此人类利用地下深部岩石裂缝发育带与地表的自相似性，能较好地对碳酸盐地区的油气资源进行勘探，克服地质资源勘探难的问题。

分形科学不仅广泛地应用在自然科学领域，其在社会科学中

也有广泛应用。

分形理论已成为经济学家解释复杂经济现象的重要工具。例如，价格变化的分维测算、国民收入的分形与分维、经济混沌及奇异吸引子的分维测度等新成果的研究为经济学的发展注入了新的活力。同时，可以用分形方法在计算机上实现模拟自然景物、

动画制作、建筑物配景等。如电影《星球大战3：武士复仇》就

是利用分形来生成星球表面的地势和死亡之星的轮廓等魔幻特效。另外分形天线、分形服装、分形首饰、分形建筑等都是在不同尺度层次上的自相似结构应用。

综上分析，我们可以看出分形的重要意义和应用，让我们对分形理论有美好的展望，同时也相信分形理论今后的发展能够更好地促进人类的进步！

分形学理论

分形学理论 分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。 一．分形学的产生 在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。 在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理

浅谈分形

浅谈分形 曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。因此“分形”应运而生。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义: （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。 定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。 （1）康托尔集（Cantor set）。假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。如此不断地循环操作，最终得到的点的集合就是康托尔三分集。这就是一个分形图案。(如图)由图,显而易见,当线段分到一定程度时,每一个线段的长度将无限接近于0, 但是在原线段的分

分形几何与分形艺术

分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020

分形几何与分形艺术 作者： 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

分形哲学

分形哲学 1 自然界中的分形现象 事实上，自然界有许多自然景物就非常象分形图形，我们可以用简单的分形程序画出一些分形，其逼真程度可以和自然界的真物照片相比，如桧树的树枝、羊凿树的叶子。 自然界由单纯的规则组成，而且这个规则涉及到自相似的所有层次，这是很自然就能想到的，这一点特性与分形非常想象，如支配羊凿树树叶的全体的规则同时也支配左右分开的树枝的一个一个小叶，而且对小叶中的小叶也是如此。 我们知道几何起源于自然界物质的抽象，我们说自然界有许多自然物体可以用分形来加以描述，如海岸线、云彩的边界。但是，应该说这些物体没有一个是真正的分形，因为用充分小的比例观测它们时，它们的分形特征就消失了。然而，在一定的比例范围内，它们表现了许多类似分形的性质，因而在这个范围内可以看成是分形。(实际上，

规则几何也是理想化的产物，自然界物体中是没有真正的直线和圆的。) 早在Mandelbrot 写书系统提出分形理论以前，他和同事Voss 等已经在计算机上绘制了大量的逼真的月球地形、类地行星、岛屿、山脉以及类似蜗牛、水母等分形图形，这就是说，从分形开始创立时，分形就是与自然界物体密切相关的，也为人类认识许多复杂的自然界物体提供了新的工具。可以说，数学上标准的分形一开始就和自然界的现象结合在一起的。为此，Mandelbrot 猜想，自然界的许多东西都是由简单步骤的重复而产生出来的，这就使我们能够解释一些让人们困惑的事件：为什么相对少量的遗传物质可以发育成复杂的结构，如肺、大脑甚至整个机体；为什么只占人体体积的5％的血管能布满人体的每一个部分。 单纯的东西容易反映其本性，而且也应以纯粹的形式来反映。如果我们认为分形性是自然原本生来就具有的，那么，作为同样从太古时代就有的羊凿树正好具备了充分反映自然性质的资格(据考证，羊凿树是3亿年前古生代石炭纪时期的主要树木)。正是因为许多基本的自然现象具有分形特征，如山脉、河流、云彩，现在有一种所谓“分形层次宇宙论”认为宇宙就是一个分形：宇宙本身才是最能反映分形性的。这个理论的基本思想是：首先将银河系比作最基本的结构(相当于生成元、发生器)，其构成元素就是一个个星星，这些星星集中起来形成涡旋状的银河，在上一层宇宙(高宇宙)，涡旋状的银河本身又变成构成元素，从而形成更大的涡旋状银河，再进入上一层，又由

由分形看世界的简单性和复杂性-精选资料

由分形看世界的简单性和复杂性 世界是丰富多彩、绚丽缤纷的，如千姿百态的云彩、弯弯曲曲的海岸线、绵延不绝的山脉、郁郁葱葱的森林、一泻千里的江河等。人们可以从多种角度去看复杂的世界，本文将用分形的新视角来看世界的简单性与复杂性，去发现复杂世界背后隐藏的奥秘，对世界进行一个新的理解。 对分形的理解 在运用分形的视角对世界的简单性与复杂性进行分析前，我们首先要对分析工具——分形，进行定义和理解。 分形是从意思为“不规则的或者断裂的”拉丁语派生出来的。分形的原意是不规则的、分数的、支离破碎的，它是一种具有自相似特性的图形、现象或者物理过程等，来自于几何学的研究。它与传统的欧氏几何有很大的差异和区别，欧氏几何研究的对象是规则的、连续的、光滑的形体，而分形几何研究的对象则是不规则的、不连续的、粗糙的形体。对于什么是分形，许多科学家都尝试去理解和定义。 1.分形理论创始人Mandelbrot 的定义 Mandelbrot 在1982 年曾试图给分形下过一个数学定义，即如果一个集合在欧式空间中的豪斯多夫维数严格大于其拓扑维数，则该集合为方形集，简称为分形。一般说来，豪斯多夫维数不是整数，而是分数。1986 年，他又提出了另一个比较实用的

定义，即组成部分以某种方式与整体相似的形，称为分形。 分形创始人Mandelbrot 的两个定义在一定程度上对分形进行了较好的描述和理解，也涉及了分形维数，但是也有一定的局限性，因为它把某些分形排除在外，难以概括分形的丰富性。 2.数学家Falconer 的定义 Falconer 参照生物学家的做法，通过列出分形的具体特性来给分形下定义。他从特性的角度将分形（分形集F）描述如下: 1）它具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它可以有更小 的细节；（2）它是如此的不规则，无论从局部还是从整体看， 它都无法用微积分或传统的几何语言来描述；（3）它本身的结 构通常在大小尺度上有着某种自相似的性质；（4）它的分形维 数大于它的拓扑维数；（5）在许多情况下，它可以由迭代方法 产生；（6）它通常具有“自然”的外貌。Falconer 指出，如果集合F 具有上述所有或大部分性质，它就是分形。 Falconer 对分形的定义非常详细和具体，让人们能很直观地了解分形所具有的性质和特点。但其对分形的定义缺乏抽象性和精炼性概括，没能很好地对分形的本质进行阐述。 由此，可以看出要对分形下一个明确而严格的定义不是容易 的事，但从中我们能获取一些对分形的理解，分形具有自相似性，分形图案是通过对其自身进行成比例缩小复制而构成的，整体相 局部与似。分形几何的理论为人类看世界提供了新的理论依据和新的 方法视角。 二由分形看世界的简单性与复杂性的奥秘 为什么几何学常常被说成是“冷酷无情”和“枯燥乏味” 的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。 云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪

分形理论及其发展历程.

分形理论及其发展历程 李后强汪富泉 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫 （F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干 （G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 二 1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。

分形理论概述

分形理论概述 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼 德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题 为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有 什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方 式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。 分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方 法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识 部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复 杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。 分形理论的原则 自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下 具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上 的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。 分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成

复杂性是什1

复杂性是什么？ (2008-01-05 11:02:03) 分类：工作篇 标签： 校园 3.“复杂”的分形解读 苗东升从分形（Fractal）角度对汉语中“复杂”一词进行了解读。在苗东升看来，汉语中的“复杂”是一词是由“复”和“杂”两个字组合而成。“复”的含义指多样、重复、反复、形成某种层次嵌套的自相似结构，即系统包含极其多的层次，不同层次（不同尺度）上都显现出（重复着）相同的精细结构，所看到的图像是一致的，部分与整体之间具有结构上的相似性；“杂”的含义是指多样、破碎、纷乱，形成某种不规则的、无序的结构。苗乐升强调了几种情况：无“复”者、“复而不杂”者；不“杂”者、“杂而不复”者；“既复且杂”者。无“复”者与“复而不杂”都不是复杂事物。无“复”者则意味着在不同尺度上没有重复性，也就不可能具有规律性；但仅有“复”的“复而不杂”也不是完全的复杂性，“复”仅仅满足了部分与整体的严格相似性，表现为相同的结构在不同尺度的层次上重复出现，这与传统欧氏几何研究的规整对象并无实质差别。如科赫曲线、谢尔宾斯海绵等数学分形，它们的生成规则和描述方法与整形几何并无本质的不同，虽然这些几何图形已经为传统几何所“不容”。另一方面，不“杂”者与“杂而不复”者也不是复杂事物。不“杂”者就是没有任何杂乱性的事物，一般就是规则对象；“杂而不复”者表现为巨量的组分毫无规则地聚集在一起、杂乱无序，无重复性，未形成不同层次的嵌套结构，部分与整体没有任何相似性即规律性。因此，只有“既复且杂”才具有完全的复杂性。它把层次嵌套的自相似与无规则性、破碎性、混乱性有机地结合了起来。按苗东升的说法：“这种事物的部分与整体之间既是相似的，又不严格相似，因为在反复叠代即生成演化过程中不时有随机因素侵入，但又是不可预料的，导致严格自相似性的破缺，因而不能用确定论方法描述。这种对象也不能用统计方法描述，因为它们的生成演化过程毕竟有某些规则在不断重复，具有明显的尺度（层次）变换下的不变性，即规律性。” [10] 曼德勃罗(B.B Mandelbrot)曾指出“fractal”一词的拉丁文原型“fractus”(形容词)和“frangere”(动词)强调的就是不规则的、断裂的、即非自相似或失似性。这就与上述“既复且杂”的描述联系起来，突现了自然分形的两个特征：一是层次嵌套的自相似性，部分与整体相似产生的规律性；二是粗糙性、不规则性与破碎性。难怪有学者甚至认为，分形几何是未来复杂性科学的几何学。该解读堪称对“复杂”这一用词成功的分形解释，引发我们的进一步思考。在苗东升看来，“复”意谓规律性（构造），“杂”意谓非规律性（构造），“既复且杂”所指称的复杂事物应是，既具有我们所能识别的规律性（重复性），又不能完全归与某种规律，也不能完全陷入无规律性，这岂不就是盖尔曼所提出的处于无序与有序“中间地带”的有效复杂性？[3]把“复”作为复杂性判断的条件的暗设是，“复杂性一定是一种规律性，但完全规律性和非规律性存在的一定不是复杂事物。”这里的问题在于，“规律性”、“完全规律性”、“非规律性”并不是一成不变的，是与一定尺度、情景相联系的。如果是这样，以上的区分就只具有

浅谈分形科学及其哲学意义

浅谈分形科学及其哲学意义 在当今的世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学的前沿。从上个世纪80年代以来，分形的新概念成为全球科学界热议的话题之一，并形成了分形理论的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者。 一、分形科学的产生及其基本特征[1] 分形理论的创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度的基础上提出了分数维度的概念——分维，进而对大自然林林总总的各类粗糙的、貌似支离破碎的的不规则形状进行描述并研究，1975年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然的新学科进行了命名——分形科学。自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形，例如从雪花晶体的曲线到散落在星系中的繁星点点。而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏的复杂图形中的有序结构。 于是，分形的理论和方法被广泛采用。在那些最实用的水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认的非线性动力学提供良方的那些结构都证明是分形的。由于开辟了一条不寻常的学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名的少数科学家的名单上，因为这些科学家的工作在科学史上具有革命的意义。 分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内在的规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性。 自相似性就是局部的形态和整体的形态相似，或者说从整体中割裂出来的部分仍能体现整体的基本精神与主要特征。在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构的研究，还是对无限次重复形状的探讨，都贯穿着自相似性。例如，一个立于两面镜子之间的无穷反射，这是制作动画的最好方法。自相似性作为制作曲线的一种方法，同样的变换在越来越小的尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比的科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形。自相似性是分形理论的核心，是所有特性中的基本特性。 层次性就是分形整体中存在的等级不同、规模不等的次级系统，可以说整体中的任何部分又是一个自身的整体，依次重复，直至无限。埃菲尔铁塔就是它的类似物，它的小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细的格式，层次性的网络结构浑然一体。 递归性就是结构之中存在着结构。由于自相似性是不同尺度的对称，这就意

分形理论与全息论之比较

分形理论与全息论之比较 孙博文 在分形理论的创始人，美籍学者曼德布罗特出版著名专著《自然界的分形几何》的同一年，即1982年，全息论的创始人，中国学者张颖清也出版了他的第一部专著《生物体结构三定律》。有趣的是两书不但都以大量图片作为自己论证的材料，而且都以自相似现象为自己的研究目标，并由此奠定了各自理论的基础。曼德布罗特将分形定义为“组成部分与整体以某种方式相似的形”，而张颖清将全息定义为“生物体每一相对独立的部分在化学组成的模式上与整体相同，是整体的成比例的缩小。”显然两论都是以研究系统中的局部与整体的关系为宗旨的，而且，是研究局部与整体的相同或相似的侧面。当然，对于全息论来说，现已不只限于生物领域，十余年来，人们在自然界和人类社会中发现了大量的全息现象。所以，全息论已从最初的生物全息推广到现在的广义全息，并将全息概念定义为“部分包含系统整体的信息”，从而扩大了全息概念的普遍性。 尽管分形理论与全息论之间有许多相同之处，但它们毕竟是诞生于不同的文化背景之下的两种自成体系的理论，所以它们之间的重大差别也是不容忽视的，这些差别不是程度和广度上的不同，而是本质和结构上的不同。当然阐明分形理论与全息论之本质不同并不排除两者之间相互结合的可能性。相反，只有清楚地理解了这些本质的不同之后，它们之间有成效和有成果的接触才能在一个坚实的基础上进行。 两论之本质特点 从本质上讲，全息论是与中国古代哲学相一致的，可视为东方古老文明在现代科学环境中的一种表现。东方思想把宇宙看成是一个不可分割的实在，一个统一的整体，甚至带有某种神秘性。一生万物、万物归一，天地间万事万物都相互关联，相互作用，所以整体与局部的性质不然是相互制约的，相互映照的。就拿张颖清发现的生物全息律来说，也是从他对中医理论中的经络学说的研究中得到启示而实现的。而中医理论无疑是中国古代哲学所产生的一个辉煌结果。因此，全息论对自相似现象的研究，其思辩多于逻辑实证；定性分析多于定量分析；注重自相似结构的内部关系及其相互作用多于其外部形态的描述和规律性的探索，而且把全息体看成一个具有严格规定和制约的整体，带有浓重的决定论色彩。例如全息生物学中，把个体的形成看成是全息胚按自身的规定不断转化的结果，它所探讨的是各个阶段各个层次的全息胚之间的内部对应关系和内部相关性，并把整个生长过程和整体本身看成一种连续变化的结果。并且不把自相似现象只局限于形式上的局整变换，而是从信息论的强调部分对整体的包含，这一方面为全息论与现代科学成果相结合提供了契机，而另一方面又体现出某种东方神秘主义的特性。如宇宙全息论的倡导者们就把宇宙看成是一个没有新东西的实体，它的任何微小的部分都包含整个宇宙的全部信息。所以从整体上讲，现在的全息论虽可以属于自然科学的范畴，但还没有进入到数理论证阶段。 我们知道，西方的哲学思想，无论是对自然、对社会都是从局部的、实证性的探索中发展起来的。他们愿意把事物分解成独立单元的集合，通过逻辑推理得出结论。在这种文化背景的影响下，分形理论一开始便是一种纯数学的表述，即分形几何学。具体的渊源可以追述到1918年以来英国剑桥学派对分数维集合的研究，在数学史上也早有人构造各种各样的自相似集合，如康托集（1895年）、皮亚诺曲线（1890年）、科切曲线（1904年）、谢尔宾斯基地毯（1915年）、朱利亚集和法图集（1918-1919年）等。曼德布罗特的开创性贡献主要不在于对分数维集合本身性质的研究上，而是他发现了自然界中的标度不变现象，并且

分形——自然界的几何学

分形——自然界的几何学 B.B.Mandelbrot 分形几何扮演了两种角色。它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。 自然科学与几何学总是携手并进的。17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。 两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。例如，受两个力作用的摆。用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。 第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。 实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，而且补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。 1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。 自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。 用明显的数学模型加工出的分形工艺品为Sierpinski垫圈。取一黑三角形并把它分割成四个较小的三角形，拿掉中心部分的第四个三角形，便留下一个白三角形。每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。 然而，最重要的一些分形和线性自相似还是有区别的。其中有些是描述普通随机性的分形，另一些是能描述混沌，或非线性系统的分形（在这种系统中对系统行为起作用的因素，其作用程度与其产生的效果不成比例）。让我们为上两种情况举出实例。 我们的分形由于能伪造海岸线、山峦和云团而知名。另一个例子是为《星际旅行II》那样的影片制作的一些场景。 我们的分形模拟著作从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的

自然界中的分形

自然界中的分形 自然界中存在着一种非常奇特的现象，一般来说，当把一个物体放大到我们所能观察到的最小尺度时，看到的往往都是平面。但是分形却可以使我们对一个实体进行三维分解，得到立体图像，而且这些立体图像还是精确的几何结构。 对于它的研究早在上世纪初就开始了。在宏观世界里物体是无数个点组成的，无数个点处于不同位置上，我们无法用肉眼去测量它们，因为它们太微小了，这样看似毫无头绪的现象，居然被数学家格尔丰兹发现了其中的奥妙，原来物体具有不同的形状，正如人类个子的高矮不一样。格尔丰兹将物体分成大小相同的圆环或是球体，并将每一个圆环或是球体分成若干个三角形和长方形，令人惊奇的事情发生了，这些分形组成的图案与正态曲线的相似程度居然非常高。 分形的出现大约要追溯到18世纪末期，人们发现动物界和植物界存在着各种各样的复杂结构，它们的出现远远早于我们对生命结构认识的历史，但由于缺乏有力的手段对其进行直接观测，我们只能靠猜想。而且，许多生物在胚胎发育的过程中会随机的改变自己的形状，从而导致胚胎发育过程中出现异常的现象，这种现象也叫做畸形。人们根据大量的观察发现，一个具有多种形状的分形体系，结构和功能也会很复杂，甚至会超出其真实结构的数倍。这种新的分形结构有许多新奇的特性，比如说分形体系的空间自相似等等，另外还有许多用语言难以表达的奇妙的物理性质。 分形虽然奇特但是却并不神秘，通过深入研究，我们发现它具有

普遍的规律，即“简单分形体系在整个世界中具有普适性”，简单的 说就是它存在于整个世界，其分形体系越简单，其结构就越精确，甚至不需要计算就能预测未来的结构，这正如高斯先生所指出的那样，无论数学多么美丽，也不能描述分形本身，因为数学对它没有什么帮助。 人们从理论上证明了分形的存在，而且还可以观察到分形的结构。于是科学家们想到了利用激光干涉原理记录下分形的波长，并且通过激光衍射的方式获取分形的信息，从而证明了分形的存在。现在的科学家正在加紧对分形的研究，希望更好地揭示自然界中的分形现象。 这个规律最重要的结论之一是，分形是无法用平面的形式描绘的。

简单与复杂

简单与复杂 简单与复杂 在日常生活中简单和复杂是两个相反的概念。人的天性决定了“好简厌杂”，但上帝总是与人过不去，即生脑袋何种头发。日常生活中复杂和简单又是相对，对某人是复杂问题对其他人可能是很简单的问题。那么如何科学的界定复杂与简单呢？ 一个中学生解数学题，如果是线性方程式，对他来讲是比较容易求解，但对于非线性的高阶方程求解就较困难了。进一步，如果线性方程中的变量少或是一元的，就相对容易些，但对于多个变量或是多元的就难一些。所以，判断问题简单与复杂的第一个判据是：我们面对的问题是线性的还是非线性的，是单元的还是多元的。换个通俗的话讲：过程和关系增加导致复杂，一种是过程复杂---解决问题的步骤较多，人们还能够接受；另一种是关系复杂---元素之间有相互作用，且是非线性的，最怕的是过程和关系都复杂。无论是自然界还是人类社会中，其系统大都是非线性的，线性只是一个特例。正是非线性作用才导致了复杂。 日落月升，春夏秋冬，周而复始，人们已习以为常，因为我们生活在一个空间和时间均匀的系统中。在一个空间和时间均匀的系统中，经典传统的科学是以稳定、有序、单一、对称为条件，人类似乎无所不能。但随着科技的发展和进步，尤其是爱因斯坦的相对论、现代量子力学，数学的混沌和分型等新理论的产生，人们发现时间和空间并不是均匀的和不变的，原来这个世界要比人们想象的复杂的多。因此，简单与复杂的第二个判据是：时间均匀和空间结构的有序对称则简单，如果时间是变化的，不均匀的,空间的各项尺寸是不相等的，多维的或空间的维度不是整数时（1维、2维和3维空间是整数的，0.2维、1.3维2.7维....等，0-3维数不是整数的空间），则问题要复杂得多。 一、简单与复杂是相对的。 对于一个不了解，也从未接触过计算机的人来说，电脑对他是很复杂的，但对于经常使用一个计算机的人或软件和硬件工程师来说，

浅析分形与混沌及其相关性

浅析分形与混沌及其相关性 一、 （一）分形的定义 分形的概念是美籍数学家Mandelbrot首先提出的.分形理论的数学基础是分形几何学，我们都知道线是一维的，面是二维的，立体图形是三维的，分形理论更加趋近复杂系统的描述（也就是分数维情况），更加符合客观事物的多样性与复杂性.1967年，Mandelbrot在论文中说道，海岸线是不规则的，并且具有极其复杂的变化，用一把直尺去测量海岸线的长度，只能用直线来得出近似值，当用更小的直尺去测量细小之处，并且这些地方也是曲线.1975年，他创立了分形几何学（Fractal Geometry）.在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论.但到目前为止还没有明确的定义. （二）分形的特征 称集F是分形，则F具有下列性质： 1.F具有精细的结构，也就是说有人以小比例的细节. 2.F是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述. 3.局部和整体的自相似性，可能是近似的或是统计的. 4.维数一般是分数，并且大于它的拓扑维数. 5.分形虽然具有复杂的结构，但是以简单的方法定义，可能由迭代产生. （三）分形的例子 Koch曲线：1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形.Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维. Koch曲线的生成过程：三次Koch曲线的构造过程主要分为三步：第一步，画出一个初始图形——一条线段;第二步，将这条线段的中间1 3 处向外折起;第三步，按照第二步的方法依次把各段线段中间的1 3 处向外折起.

其图构造过程如右图所示（迭代了5次的图形）.这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线. 其實分形的例子还有很多，如三分康托基、康托尘、Sierpinski垫等.自然界中也存在着分形的例子，例如，天空中的云朵、植物叶子的形状、岩石裂缝等.这些图形或者例子都存在着自相似性，复杂的图形是由一个非常简单的方程通过初值选择反复迭代得到的结果. 二、 （一）混沌的定义 简单来说，在非线性科学中，混沌是一种确定的但不可预测的运动状态，因为这些运动状态都是相似的，比表面上似乎可以确定它的运动状态及运动轨迹，又说它是不可预测的，是因为会受到外界条件的影响，造成了运动的不稳定性.混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别. 我们也可以用数学语言来定义混沌： 设V为一个集合，f：V→V称为在V上是混沌的.如果 （1）f对初始条件的敏感依赖性. （2）f是拓扑传递的. （3）周期点在V中是稠密的. （二）奇异吸引子 奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态.目前奇异吸引子仅仅是一个抽象数学概念，还没有完善的理论模型. （三）混沌的特征 1.对初值条件的敏感依赖性. 2.极为有限的可预测性. 3.混沌内部的有序性. （四）混沌的例子 天气问题：近半个世纪以来，研究者发现许多自然现象即使可以

分形结构在自然界中的分布规律探究

分形结构在自然界中的分布规律探究 自然界是一个庞大而神奇的世界，里面充满了各种各样的生物体、 植物和自然现象。我们可以看到大自然中存在着许多美丽而复杂的形态，而这些形态中常常呈现出一种特殊的分形结构。分形结构是一种 几何形态，具有自相似性，无论它是放大还是缩小，都能看到相似的 形态。本文将探究分形结构在自然界中的分布规律，以了解自然界中 这种奇妙而普遍的现象。 首先，让我们来了解一下分形的概念。分形（Fractal）一词由数学 家Mandelbrot提出，表示“不规则碎片”。分形具有以下几个特点：自 相似性、无穷细节和复杂性。自相似性指的是一个物体的一部分与整 体的形状相似，无论是在较大尺度还是较小尺度下都是如此。无穷细 节表示在每一个观察的尺度上都能发现越来越多的细节和结构。复杂 性则是指分形结构通常由简单的规则生成，但最终的形态却是复杂多 变的。 分形结构广泛存在于自然界中的各个角落。我们首先来看看分形在 植物界中的展示。植物中的分形结构体现在树叶、花朵、树枝等各个 层次上。树叶的形状通常呈现出自相似的分枝结构，即一片叶子的小 结构与整个叶子的形态相似。花朵的形态也往往具有分形特征，例如 蒲公英的花序和地杨梅的花序都可以看作是由一个个较小的花序组成，而这些花序又是由更小的花序构成的，依此类推。树枝的分叉结构也 是分形的一种表现，一个大的树枝分裂成若干个小的树枝，每个小树 枝又会继续分裂，形成一个分层的、自相似的分支系统。 除了植物界，分形结构在动物界也得到广泛的展示。例如，斑马的 条纹、豹子的斑点、鹦鹉的羽毛纹理等都具有分形特征。这些图案看 似随机，但实际上却是由一系列简单的规则生成而成。通过这些分形 结构，动物在大自然中能够更好地融入环境中，进行伪装和保护。 此外，分形结构还可以在自然界中的地形和气象现象中找到。山脉 的起伏、河流的曲线、云朵的边缘等都呈现出分形的特点。例如，山 脉中的山峰由一个个更小的山脉和山丘组成，而这些小的山脉和山丘 又由更小的山脉和山丘构成，形成了一个分层次的、自相似的结构。 气象现象中的闪电、云层和风暴也常常呈现出分形形态，如闪电的分支、云层的变化和风暴的旋涡等。

生活中的美妙分形

从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。 分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。 分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。 地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。 1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli） 这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。

旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。 世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。

3. 菊石缝合线 已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中 独一无二。

和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自 然界中颇为常见。

西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。

分形图形与分形的产生

分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是