圆的概念公式与推导

圆的概念公式与推导

圆是平面上距离给定中心点固定距离的所有点的集合。圆由中心点和半径构成。下面将详细介绍圆的概念、公式和推导。

圆的概念：

圆是一个闭合的曲线，由一系列无数个等距离于圆心的点组成。圆可以看作是所有到圆心距离都相等的点的集合。

圆的符号表示：

圆通常用一个大写字母来表示，如圆O。圆的中心点用字母O表示。半径（r）是指从圆心到圆上的任意一点的距离。圆上的一点可用字母P 表示。

圆的公式：

1.圆的周长公式：

圆的周长是指圆上所有点之间的距离之和，通常用字母C表示。圆的周长公式如下：

C=2πr

2.圆的面积公式：

圆的面积是指圆内部所覆盖的平面的大小，通常用字母A表示。圆的面积公式如下：

A=πr²

推导圆的周长公式：

为了推导圆的周长公式，我们可以将圆切成一个扇形和一段弧。然后，我们可以将扇形展开成一个矩形，其长度（L）等于圆的半径（r），宽度（W）等于扇形的周长。

1.扇形的周长公式：

弧长公式为L=2πr，而圆心角是360度，可以转化为2π弧度。那

么扇形的周长公式可以表示为：

C1=(2πr/2π)*360=r*360

2.弧的长度：

扇形的周长减去弧的长度等于圆的周长，即：

C=C1-L=r*360-2πr

3.圆的周长公式：

化简上述公式，得到圆的周长公式：

C=2πr

推导圆的面积公式：

为了推导圆的面积公式，可以通过切割圆并将其展开成一个近似的矩形，然后计算矩形的面积，并将其乘以总共的切割次数的倒数来得到圆的

面积。

1.将圆切割成n个扇形：

将圆以圆心为中心分成n个相等的扇形，每个扇形的圆心角为360度

除以n。

2.计算扇形的面积：

扇形的面积可以表示为：

A1=(θ/360)*πr²

其中，θ代表圆心角。

3.计算所有扇形的面积之和：

将所有的扇形的面积相加，得到圆的近似面积：

A'=A1+A2+...+An

由于n无限大时，这个近似面积趋向于圆的面积。

4.取极限：

取n无限大，即：

lim(n→∞) A' = A

5.化简公式：

通过极限的运算，化简上述公式，得到圆的面积公式：

A = lim(n→∞) ((θ/360) * πr²) = πr²

综上所述，我们得到了圆的周长公式C=2πr和圆的面积公式A=πr²。这些公式对于计算圆的周长和面积非常有用。

圆的概念及相关公式

圆的概念及相关公式 圆是数学中一种基本的几何图形，它是由一个平面上的一点（圆心）和到这个点距离相等的所有点构成的。在几何学中，圆是许多重要概 念和性质的基础，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。本文将介 绍圆的概念及相关公式，帮助读者更好地理解和应用圆。 一、圆的定义和性质 圆可以通过以下方式定义：给定一个平面上的一点O和一个实数r （半径），所有到点O的距离等于r的点构成的集合就是圆。 圆的基本性质有以下几点： 1. 圆心：圆的中心点被称为圆心，通常用字母O表示。 2. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。 3. 直径：通过圆心的两个点构成的线段称为直径，直径是圆的最长 线段，其长度等于半径的两倍。 4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。 5. 弧：圆上两点间的部分称为弧。 6. 圆周：圆的边界称为圆周。 二、相关公式 1. 圆的周长公式：

圆的周长是圆周上各点之间的距离总和，可以通过以下公式计算：周长=2πr 其中，π是圆周率，近似取值为3.14159。r代表圆的半径。 2. 圆的面积公式： 圆的面积是圆内部的平面区域，可以通过以下公式计算： 面积=πr^2 其中，π是圆周率，r代表圆的半径。 3. 圆的弧长公式： 如果我们知道圆的半径和圆心角（圆心对应的弧的角度），可以通过以下公式计算弧长： 弧长=（圆心角/360°）×2πr 其中，π是圆周率，r代表圆的半径。 4. 圆的扇形面积公式： 如果我们知道圆的半径和圆心角（圆心对应的扇形的角度），可以通过以下公式计算扇形的面积： 面积=（圆心角/360°）×πr^2 其中，π是圆周率，r代表圆的半径。 三、圆的应用

圆的知识点概念公式大全

圆的知识点概念公式大全 一．圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆． 三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作?AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论： ⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

圆的基本知识点总结和公式

圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。 一、基本定义 圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。用符号表示圆。 二、圆的性质 1.直径 直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。它是半径的两倍，即d=2r。 2.周长

周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。圆的周长公式是 C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。 3.面积 圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是 A=πr²。 4.弧 弧是圆上两个点之间的一段曲线。圆的周长可以看作是一个完 整的弧的长度。 5.扇形 扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。圆 的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。 6.切线

切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。切线与半径的长度相等。 7.圆弦 圆弦是连接圆上两个点的线段。如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。 三、现实应用 在现实生活中，圆形图案经常出现。圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。以下是一些示例。 1. 轮胎 轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。 2. 模拟器

游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。圆形的 形状使其易于操纵，可以随意改变方向。 3. 平盘秤 平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。当 需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上 添加重量，直到两个盘子保持平衡。 4. 平面旋转 圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。这个 概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。 四、结论 在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。 与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。掌握圆的基础知识对于数学和工程学科的学生非常重要。

圆的知识点概念公式大全

圆知识点概念公式大全 一．圆定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆； 2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆； 3．半径相等圆叫做等圆． 三．弦与弧 1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍． 2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点弧记作AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．

3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形． 四．与圆有关角及相关定理 1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等． 2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等． 推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径． 〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕 3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．

圆的概念-公式及推导(完整版)

〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.149323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

圆的基础知识

圆的基础知识 圆是几何学中的重要概念之一，它拥有许多独特的性质和特征。本文将围绕圆的基础知识展开，介绍圆的定义、性质、公式以及与圆相关的一些重要概念。 一、圆的定义 圆是由平面上到一个固定点的距离等于该固定距离的所有点组成的集合。这个固定点叫做圆心，固定距离称为半径。圆可以用圆心和半径来唯一确定。 二、圆的性质 1. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于半径的两倍。 2. 圆的周长是圆周上的任意一点到圆心的距离的累加，它等于2π乘以半径，其中π是一个无理数，约等于 3.14159。 3. 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离的累加，它等于π乘以半径的平方。 4. 圆的任意弧长与圆心的夹角成正比，即弧长等于圆周长乘以弧所对的圆心角的度数除以360度。 5. 圆上的任意两条弦所对的圆心角相等。 三、圆的公式 1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C代表周长，r代表半径。 2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。

这两个公式是圆的基本公式，可以用来计算圆的周长和面积。 四、与圆相关的重要概念 1. 弧：圆上两点之间的一段弧。弧可以通过弧长和圆心角来描述。 2. 圆心角：以圆心为顶点的角，在圆周上取两点，以圆心为中心所夹的角度。 3. 弦：圆上连接两点的线段。 4. 切线：与圆只有一个交点的直线。 5. 弦切角：一条弦所对的圆心角与该弦切线所对的圆心角的夹角。 圆作为几何学中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。在实际应用中，我们可以利用圆的性质和公式解决各种问题，比如计算圆的周长和面积、求解弦长、切线问题等。同时，圆也是许多其他几何形状的基础，比如圆柱、圆锥、圆环等。 圆是由平面上到一个固定点的距离等于该固定距离的所有点组成的集合。圆具有许多独特的性质和特征，包括直径、周长、面积等。圆的公式可以用来计算周长和面积。与圆相关的重要概念包括弧、圆心角、弦、切线等。圆在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。通过深入理解圆的基础知识，我们可以更好地应用它解决问题，并进一步拓展几何学的知识领域。

圆的概念及公式总结

1 ．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3 ．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4 ．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5 ．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d 表示。 6 ．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7 ．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8 ．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 1 用字母表示为： d ＝2 r r ＝2 d 用文字表示为：直径 =半径×2 半径 =直径÷2 9 ．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10 ．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11 ．圆的周长公式： 1.知道直径 d ：圆周长 = ×直径： C = d 2.知道半径 r ：圆周长=2××半径： C=2 r 12.知道圆的周长 C 求直径： d=C 知道圆的周长 C 求半径：r= C 2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 S = r2 2.已知 d 时：S = (d 2)2 14 ．求圆面积的公式： 1.已知 r 时： 3.已知 C 时：先求出半径( r= C 2)，然后S = r2 或者直接用公式： S = (C 2)2 15 ．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16 ．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17 ．一个环形，外圆的半径是 R ，内圆的半径是 r

圆的知识点归纳整理

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r = r=d/2 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。 3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母π(pai) 表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈ 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。 (3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π 或C=2π r r = C ÷ 2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1) 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr+2r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导： (1)、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直;化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。 (2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 (3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长 因为：长方形面积 = 长×宽所以：圆的面积 = 圆周长的一半×圆的半径 S圆 = πr ×πr 圆的面积公式： S圆 = πr2 S环=π（R-r） 四，圆的应用。（生活中的应用和应用题） 1.一个半圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？占地面积是多少平方米？ 2.一辆自行车的轮胎的外直径是1.12米，每分转50周,这辆自行车每小时行驶多少千米? 3.有一只羊栓在草地的木桩上,绳子的长度是4米,这只羊最多可以吃到多少平方米的草?

圆概念总结

圆概念总结 1．圆的定义：圆是由曲线围成的平面封闭图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。圆内最长的线段是直径 6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d＝２r r=1/2d 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2 车轮为什么是圆的？答：因为圆心到圆上各点的距离相等，所以圆在滚动时，圆心在一条直线上运动，这样的车轮运行才稳定。 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。或者，圆一周的长度就是圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：C圆=πd =2πr 12．圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13．圆所占平面的大小叫圆的面积。把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形。拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半，高相当于圆的半径；长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 14．如果用S表示圆的面积, r表示圆的半径，那么圆的面积公式：S圆＝πr2 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S= R2－ ｒ2或S= （R2－ｒ2）。 （其中R＝r＋环的宽度．） 18.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 19.半圆的周长公式：Ｃ＝ d 2＋d 或Ｃ＝ r＋2r 圆周长的一半= r

圆的概念 公式及推导完整版)

圆公式〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫 做圆。定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为 距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是 3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为 劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆心角和圆周角：顶 点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆 周角。内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形 的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。 这个扇形的半径成为圆锥的母线。〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆--⊙半径 --r 弧--⌒直径--d 扇形弧长／圆锥母线--l 周长--C 面积--S 〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点， 则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。直 线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为 相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP ⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB 与⊙O相交，PO＜r。两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公 共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心 距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。【圆的 平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆 的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形， 其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆 定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。〖有关圆周角和圆心 角的性质和定理〗在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中 有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。〖有 关外接圆和内切圆的性质和定理〗一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆 心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各 内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆 的切线。切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切 线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直 线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线的长定理：从圆外一点到圆 的两条切线的长相等。〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积 S=πr? 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr?/360=rl/2 5.圆锥侧面积S= πrl 弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦 切角。如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠

圆的概念公式及推导完整版

圆的概念公式及推导完整版 圆是在平面上由离一个固定点距离相等的所有点构成的几何图形。圆 由圆心和半径组成，其中圆心表示固定点，半径表示圆心到圆上任意一点 的距离。 一、圆的定义： 圆可以通过以下定义来描述：在平面上，固定一个点O作为圆心，取 一个长度为r的固定线段OP作为半径，那么满足OP=OP’的所有点P构 成的集合就是圆。 二、圆的基本性质： 1.所有圆上的点到圆心的距离都相等，即圆上任意两点之间的距离相等。 2.圆的直径是通过圆心的任意两点构成的线段，直径的长度等于半径 的两倍。 3.圆的半径和直径是圆上的重要元素，在圆的几何证明中经常被使用。 三、圆的周长和面积公式的推导： 1.周长公式的推导： 假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的周长公式C=2πr， 其中π约等于3.14或22/7 设圆的周长为C，将C分成n段，每段长度为s，那么每段所对应的 弧长也是相等的，即s=2πr/n。当n趋向于无穷大时，每段趋向于无穷小，弧长s趋向于0，此时所有的弧长连成一个圆，即C=2πr。

因此，圆的周长公式C=2πr可以得到。 2.面积公式的推导： 假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的面积公式S=πr^2将圆上的点P连接圆心O，并连接P与圆上的一点A，可以得到一个扇形OAP，其中OA为半径，OP为弧长。我们可以发现，当扇形的弧长OP 趋向于圆周C时，扇形会无限逼近一个三角形OAP。 当扇形无限接近三角形时，扇形的面积可近似于三角形的面积。由于三角形的面积公式为S=1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。 在三角形OAP中，底边为弧长OP，高为半径OA，所以三角形OAP的面积为S=1/2(OP*OA)。 当弧长OP趋向于圆周C时，三角形OAP无限接近一个圆的半圆，此时圆的半径OA等于三角形的高，所以S=1/2(OP*OA)进一步化简为 S=1/2(C*r)。 因此，圆的面积公式S=πr^2可以得到。 四、圆的其他公式和性质： 1.弧长公式：设圆的半径为r，圆心角为θ度，则弧长L=rθ。 2.扇形面积公式：设圆的半径为r，圆心角为θ度，则扇形的面积S=1/2r^2θ。 3. 弓形面积公式：设圆的半径为r，弓形对应的圆心角为θ度，则弓形的面积S=1/2r^2(θ-sinθ)。

圆的基本概念

圆的基本概念 圆的基本概念 圆是数学中的一个重要概念，是一种平面图形，由一条固定点到平面 上任意一点距离相等的所有点组成。本文将从定义、特征、性质、公 式等方面全面介绍圆的基本概念。 定义 圆是平面上一条固定点（圆心）到平面上任意一点距离相等的所有点 所组成的图形。 特征 1. 圆心：圆心是指固定点，通常用字母O表示。 2. 半径：半径是指圆心到圆周上任意一点之间的距离，通常用字母r 表示。 3. 直径：直径是指通过圆心并且两端在圆周上的线段，直径长度为半 径长度的两倍，通常用字母d表示。 4. 弧：弧是指连接圆周上两个点所对应的线段，通常用字母AB表示。

性质 1. 圆周率π：π是一个无理数，约等于3.1415926。它表示单位长度 下一个完整圆周所对应的长度。 2. 圆周长公式：一个完整圆周的长度等于2πr。 3. 圆面积公式：一个半径为r的完整圆形面积为πr²。 4. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，其所对应的弧长等于半径 长度的弧度数，通常用字母θ表示。 5. 弦：弦是指连接圆周上两个点的线段。 6. 切线：切线是指与圆周相切的直线，与半径垂直。 公式 1. 弧长公式：一段弧所对应的长度等于该弧所在圆周的半径长度乘以 该弧所对应的圆心角度数除以360°。即L=θr（其中L表示弧长，θ表示圆心角度数，r表示半径长度）。 2. 弦长公式：一条弦所对应的长度等于该弦两端到圆心距离之差的平 方根乘以2。即l=2×√(r²-d²/4)（其中l表示弦长，d表示直径长度）。 3. 切线定理：切线与半径垂直。当一条切线与一条半径相交时，它们 所在点处形成一个直角三角形。根据勾股定理可得到切线长公式 t=√(r²-d²/4)（其中t表示切线长度）。 总结

圆的概念及公式总结

圆的概念及公式总结 1．圆的定义:平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等,所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２rr ＝d 用文字表示为:直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长. 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式:1。知道直径d：圆周长=×直径:C=d 2.知道半径r ：圆周长=2××半径：C=2r 12。知道圆的周长C求直径：d=C知道圆的周长C求半径：r= C2 13、圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 14．求圆面积的公式：1。已知r时:2。已知d时： 3.已知C时：先求出半径（r= C2），然后 或者直接用公式： 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r 它的面积是或S=（R2—r2） 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d或Ｃ＝r＋2r＝5.14r 圆周长的一半:Ｃ＝d2 或Ｃ=r 19．半圆面积＝圆的面积2公式为：Ｓ＝ｒ22 20．外方内圆阴影部分的面积：0.86ｒ2外圆内方阴影部分的面积：1。14ｒ2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

数学圆的所有概念

数学圆的所有概念 数学圆的所有概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等等。下面将详细介绍这些概念。 一、圆的定义 圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。 二、圆的性质 1. 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径，而圆上的点距离等于半径。 2. 圆的内部所有点的距离到圆心的距离都大于半径，而圆外的点到圆心的距离大于半径。 3. 圆是一个凸集，即圆上任意两点的连线都在圆内部。 三、圆心和半径 1. 圆心是圆的中心点，用字母O表示。 2. 半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。 四、直径和周长

1. 直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段。 2. 直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2r。 3. 周长是圆的边界的长度，用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。 五、面积 圆的面积是指圆内部所有点组成的区域的大小，用字母A表示，计算公式为A=πr²。 六、弧长 弧是圆上的一段曲线，弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例。 1. 弧度制（radian）是计量弧长的单位，用符号rad表示。一个圆周的弧长等于半径r的弧长是2πr，故一个圆的周长等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。 2. 利用弧长S、圆心角θ和半径r之间的关系可以得到公式S=rθ，其中θ用弧度制表示。 七、扇形

扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。 1. 扇形的面积可以通过扇形的圆心角θ和半径r计算，公式为A=(θ/360)πr²。 2. 扇形的弧长与圆周长的比例等于圆心角与360的比例，即s=(θ/360)2πr。 总结： 数学圆的概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等。圆是由平面上距离一个固定点相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。圆的周长是通过圆心的一段曲线，而圆的面积是圆内部所有点组成的区域的大小。弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例，而扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。

圆的概念-公式-定理-推论

圆的概念公式定理推论 初三（4）班周雍 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 “知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。知道其中两个，就可以推出另外三个 平行弦所夹的弧相等 弦心距的概念 弦到圆心的距离叫弦心距 圆心角的概念 顶点在圆心，另外两点在圆上所形成的角 尺规作图找出圆心 任意画两条弦，做这两条弦的垂直平分线，交点就是 圆心。 圆周角 顶点在圆上，其它两点也在圆上所形成的角 同弧或等弧所对的圆周角相等 【直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。】 圆心角和圆周角的大小关系 同弧或等弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半 【∠1=∠P】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形对角互补 相交弦定理 如果圆内有两条弦分割出的两条线段大小的乘积相等 确定圆的条件 经过1点、2点都可以画无数个圆。

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 外接圆 外接圆的由来：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 三角形与外心的位置关系 锐角三角形的外心在锐角三角形的内部； 直角三角形的外心在斜边的中点； 钝角三角形在三角形的外部。 点与圆的位置关系 如果这个点到圆心的距离大于半径，则点 在圆外【d＞r】 如果这个点到圆心的距离等于半径，则点 在圆上【d=r】 如果这个点到圆心的距离小于半径，则点在圆内【d＜r】 【圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。】 直线和圆的位置关系 1、相交：直线和圆有两个交点【d＜r】 2、相切：直线和圆有一个交点【d=r】 3、相离：直线和圆没有交点【d＞r】 切线和切点 直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 圆的切线的性质 圆的切线会垂直于经过切点的半径 圆切线的判定 1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 2、圆心到直线的距离当等于半径的时候，这条直线就是圆的切线。 弦切角的定义 圆相交于同一点的弦和切线的夹角叫弦切角

圆的概念及公式总结

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圆的概念及公式总结 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 d 用字母表示为： d＝２r r ＝1 2 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。11．圆的周长公式：1.知道直径d：圆周长=π×直径：C=πd 2.知道半径r ：圆周长=2×π×半径：C=2πr 12.知道圆的周长C求直径：d=C÷π知道圆的周长C求半径：r= C÷π÷2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

14．求圆面积的公式：1.已知r 时：2S r π= 2.已知d 时： ()2 2S d π=÷ 3.已知C 时：先求出半径（r= C ÷ π÷2），然后2S r π= 或者直接用公式：()22S C ππ=÷÷ 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 它的面积是22S R r ππ=- 或S=π(R 2-r 2) 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直 径。 半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷2＋d 或 Ｃ＝πr ＋2r ＝ r 圆周长的一半：Ｃ＝πd ÷2 或 Ｃ=πr 19．半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ2÷2 20．外方内圆阴影部分的面积：ｒ2 外圆内方阴影部分的面积：ｒ2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积 扩大9倍。 22．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小 23．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重 合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。