3.1.2 不等式的性质第一课时 优化训练
1.若a >b ,则下列各式正确的是( )
A .a 2>b 2
B .a 3>b 3
C.1a >1b
D .log 2a <log 2b 解析:选B.函数y =x 3在整个定义域上单调递增的
∵a >b ,∴a 3>b 3.
2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( )
A .b -a >0
B .a 3+b 3<0
C .a 2-b 2<0
D .b +a >0
解析:选D.由a -|b |>0,得-a
3.已知a 、b 、c ∈R ,则下列推理:
①a c 2>b c 2?a >b ;
②a 3>b 3,ab >0?1a <1b
; ③a 2>b 2,ab >0?1a <1b .
其中正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .0
解析:选B.对于①,∵a c 2>b c 2,则c ≠0,∴a >b 成立;对于②,∵a 3-b 3>0,ab >0,
∴(a -b )(a 2+ab +b 2)>0,a -b >0,即a >b ,∴1a <1b 成立;对于③,当a <b <0时,1a >1b
.故结论不成立.
4.已知三个不等式:①ab >0;②c a >d b ;③bc >ad .以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成________个正确命题.
解析:对命题②作等价变形:c a >d b ?bc -ad ab
>0. 于是,由ab >0,bc >ad ,可得②成立,即①③?②;
若ab >0,bc -ad ab
>0,则bc >ad ,故①②?③; 若bc >ad ,bc -ad ab
>0,则ab >0,故②③?①. ∴可组成3个正确命题.
答案:3
5.求方程2n +3n +1+4n +2=13360
的正整数根. 解:∵n ∈N +,∴1n >1n +1>1n +2
, ∴2+3+4n +2<2n +3n +1+4n +2<2+3+4n
, 即9n +2<13360<9n
, ∴28133 ,∴n =3或n =4. 当n =3时,2n +3n +1+4n +2=23+34+45=13360 ; 当n =4时,2n +3n +1+4n +2=24+35+46=5330 . ∴方程2n +3n +1+4n +2=13360 的正整数根为n =3. 1.下列说法中正确的是( ) A .若ac >bc ,则a >b B .若a 2>b 2,则a >b C .若1a >1b ,则a <b D .若a <b ,则a <b 解析:选D.利用特殊值法易知A 、B 、C 为假. 2.如果a >b >0,则下列不等式中成立的是( ) ①1a <1b ②a 3>b 3 ③lg(a 2+1)>lg(b 2+1) ④2a >2b A .①②③④ B .①②③ C .①② D .③④ 解析:选A.∵a >b >0,∴1a <1b ,即①正确.因A 、B 、C 中均含②,故不用论证②,故选④ 论证,∵a >b >0,利用指数函数y =2x 的性质,2a >2b 成立.∴④正确,选A. 3.已知x >y >z ,且x +y +z =0,则下列不等式一定成立的是( ) A .xy >yz B .xz >yz C .yz >xz D .x |y |>z |y | 解析:选C.∵x >y >z ,x +y +z =0, ∴x >0,z <0, 又x >y ,则xz <yz . 4.下列命题中为真命题的是( ) ①a >b >0,d >c >0?a c >b d ②a >b ,c >d ?a -c >b -d ③a c 2>b c 2?a >b ④a >b ?a n >b n (n ∈N +,n >1) A .①②③ B .①③ C .②③④ D .①③④ 答案:B 5.若x ∈(e -1,1),a =ln x ,b =2ln x ,c =ln 3x ,则( ) A .a B .c C .b D .b 解析:选C.因为a =ln x ,x ∈(e -1,1),所以-1a . 6.若x +y >0,a <0,ay >0,则x -y 的值( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .符号不确定 解析:选A.由a <0与ay >0得y <0. 又x +y >0,∴x >0,∴x -y >0,故选A. 7.如果a >b >0,c (选填“>”“<”“≤”或“≥”). 解析:∵0 又∵a >b >0,-c >-d >0, ∴a -c >b -d >0.∴1a -c <1b -d , ∴log sin απa -c >log sin απb -d . 答案:> 8.若a ,b ∈R ,且a >b ,给出下面三个不等式:①b a > b -1a -1;②(a +1)2>(b +1)2;③(a -1)2>(b -1)2.其中不成立的是________. 解析:①b a -b -1a -1=ab -b -ab +a a a -1=a -b a a -1 ,因为a (a -1)的符号不定,所以a -b a a -1 的符号不能确定,所以①不成立.若a =-1,b =-2,则(a +1)2=0,(b +1)2>0,所以②不成立,而a -1=-2,所以(a -1)2=4,b -1=-2-1=-3,所以(b -1)2=9, 所以③不成立. 答案:①②③ 9.给出四个条件:①b >0>a ;②0>a >b ;③a >0>b ;④a >b >0.能推得1a <1b 成立的是________. 解析:由①a <0,b >0,显然1a <1b 成立;由②a <0,b <0, ∴ab >0,两边同除以ab 得:1a <1b ;由③,a >0,∴1a >0,b <0,∴1b <0,∴1a >1b ;由④两边同除以ab 得:1a <1b 成立. 答案:①②④ 10.求方程|sin x |+|cos x |=π4 的实数解的个数. 解:∵sin x ∈[-1,1],cos x ∈[-1,1], ∴|sin x |∈[0,1],|cos x |∈[0,1], ∴sin 2x ≤|sin x |,cos 2x ≤|cos x |, ∴|sin x |+|cos x |≥sin 2x +cos 2x =1>π4 , ∴原方程无解. 11.已知-3<a <b <1,-2<c <-1. 求证:-16<(a -b )c 2<0. 证明:∵-3 ∴-1<-b <3,-3 ∴-4 又a ∴-4 ∴0 又-2 ∴0<(b -a )c 2<16, ∴-16<(a -b )c 2<0. 12.已知a >b >0,c . 证明:∵c . 又a >b >0,∴-a d >-b c >0. ∴ 3-a d > 3-b c ,即-3a d >-3b c . 两边同乘以-1,得3a d <3b c . 高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 9.1.2 不等式的基本性质 内容解析:它承接了等式的性质,让学生第一次经历不等式的等价变形,也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折,不等式的性质是解不等式的重要依据,因此它是不等式解法的核心内容之一,是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种:相等关系与不等关系,通过这堂课的学习,让学生对数量关系的变形有一个完整的认识,形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力:1.探索并掌握不等式的基本性质; 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程:通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观:通过大家对不等式性质的探索,培养学生的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点:掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点:不等式基本性质3的运用 教学方法:类推探究法 学法:自主探索与合作交流 学情分析: 学生的认知基础有:第一,会比较数的大小;第二,理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据;第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据,已有知识经验对性质3造成负迁移,导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”;在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式,使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程,自发生成。 教学过程 复习回顾,导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式. 等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1: (1)提问1:类比等式的性质,你发现不等式有哪些性质么? 如果5> 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗? 高一数学必修1(人教版A)基本知识点回顾 一、集合 1.集合的概念描述:集合的元素具有______性、______性和______性.如果a是集合A的元素,记作________. 2.常用数集的符号:自然数集______;正整数集______;整数集______;有理数集______;实数集______. 3.表示集合有两种方法:______法和______法.______法就是把集合的所有元素一一列举出来,并用_____号“_____”起来;______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,具体的方法是:在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条______,在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.4.集合间的关系:A?B?对任意的x∈A有______,此时我们称A是B的______;如果_______,且_______,则称A是B的真子集,记作______;如果______ ,且______,则称集合A与集合B相等,记作_______;空集是指____________的集合,记作_____.5.集合的基本运算:集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ,记作_______;集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______,记作_______;集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ,记作____;其中集合U称为_____.6.性质:①A ?A,??A; ②若A ?B,B ?C,则A ?C; ③A∩A=A∪A=A; ④ A∩B=B∩A,A∪B=B∪A; ⑤A∩?=?;A∪?=A; ⑥A∩B=A?A∪B=B ?A ?B; ⑦A∩C U A=?;A∪C U A=U; ⑧C U (C U A)=A;⑨C U (A∪B)=C U A∩C U B. 7.集合的图示法:用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观,对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法. 8.补充常用结论:①若集合A中有n (n∈N)个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2n(包括A与?);②对于任意两个有限集合,其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算: card(A∪B)=card A + card B - card(A∩B) 9.易错点提醒:①注意不要用错符号“∈”与“?”;②当A ?B时,不要忘了A =?的情况讨论; 二、函数及其表示法 1.函数的定义:设A,B是非空数集,如果按照某种确定的_________ f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应,则称f为从集合A到集合B的函数,记作_________.函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________. 2.函数的表示法:_____________法、____________法和____________法. 3.解有关函数定义域、值域的问题,关键是把握自变量与函数值之间的对应关系,函数图象是把握这种对应关系的重要工具.当只给出函数的解析式时,我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数. 4.求函数解析式的常用方法:①待定系数法,②换元法,③赋值法(特殊值法),等(试各举一例). 5.函数图象的变换:根据函数图象的变换规律,可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象,以便利用函 高一数学必修1基础试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知全集I ={0,1,2},且满足C I (A ∪B )={2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合A ={x |x =2k π+π,k ∈Z},B ={x |x =4k π+π,k ∈Z},则 A.A B B.B A C.A =B D.A ∩B =? 3.设A ={x ∈Z||x |≤2},B ={y |y =x 2 +1,x ∈A },则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ={x |3 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 高中数学必修 1 知识点总结 集合 (1)元素与集合的关系:属于( )和不属于( ) (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 集合与元素 (3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 (4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 子集:若 x A x ,则 A ,即 是 的子集。 B B A B 、若集合 中有 个元素,则集合 的子集有 2 n 个,真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集,即 A A 注 2 关系 、对于集合 A,B,C, 如果 A ,且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的(真)子集。 4 真子集:若 且 (即至少存在 x 0 但 ),则 是 的真子集。 集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等: A 且 A B A B B 集合与集合 定义: A B x / x 且 x B 交集 A 性质: , , , , AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义: A B x / x 或 x B 并集 A 性质: , , , , , 运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义: C U A x/ x U 且x A A 补集 性质: A) A , A U , C U (C U A) , , (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数 【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计(人教A版) 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位,它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应,有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论,能够运用其解决简单的问题. 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小. 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象:不等式的基本性质; 2.逻辑推理:不等式的证明; 3.数学运算:比较多项式的大小及重要不等式的应用; 4.数据分析:多项式的取值范围,许将单项式的范围之一求出,然后相加或相乘.(将减法转化为加法,将除法转化为乘法); 5.数学建模:运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点:掌握不等式性质及其应用.高中数学-不等式的基本性质(一)练习
高一数学必修1知识点总结
9.1.2不等式的性质(第一课时)
高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾
高一数学必修1基础试题附答案
高中数学不等式知识点总结
高中数学必修一知识点总结完整版
《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)