高考数学大题经典习题
1. 对于函数()321
(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-。
（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过
22sin cos t t t -t 的取值范围；
（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。
1. （1）由()321
(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-
因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根
因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过22sin cos t t t -+
所以()2'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2
'21f x x =--+，其最大值为1．
故22sin cos 1t t t -≥
（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =
当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，
2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤
从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为
4S π=
2. 函数cx bx ax x f ++=23)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))(,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅲ）若m
m x f x 6
)(],1,2[-
>-∈恒成立，求实数m 的取值范围. 2. （Ⅰ） b =0
（Ⅱ）3'2()()30,f x ax cx f x ax c αβ=+∴=+=Q 的两实根是
则 03c a αβαβ+=????=??
|AB|＝2222()()()()4()2f f αβαβαβ?-+-=?-=
又0
1a a >∴= 3()3
2
x f x x =-
（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-5
3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若点B
的坐标为（2，0），且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c 的值；
（2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？
若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，
∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ，
即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0）
∴()a b d d b a 24,048+-==++即
令()0'=x f ，则a
b
x x bx ax 32,0,023212-
===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性
∴4322≤-
≤a b ， ∴36-≤≤-a
b
假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'=
即 032302
=-+b bx ax ∵ △=()()??
? ??+=+=-??-94364334222a b
ab ab b b a b
又36-≤≤-a
b ， ∴△＜0
∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为
4. 已知函数x x f ln )(=
（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值；
（2）当b a <<0时，求证2
2)
(2)()(b
a a
b a a f b f +->
-； 4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(Θ
)1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11
1
)(-+=
'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)( ∴ 当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0 （2）)1ln(ln ln ln ln )()(b b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由（1）知b a b b b a a f b f x x -= -- ≥-≤+)()()1ln( 又2 2 2222) (2212,0b a a b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<Θ 5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0Y ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，2 1 2)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式； （2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，212)(x ax x f + -=-，)(x f 是奇函数，则2 1 2)(x ax x f -=， 0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+ ='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x ，01 3 >+x a ，即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的． （3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，2 5 )1()(max -=?==a a f x f （不含题意， 舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，3 1a x -=，如下表)1 ()(3 max a f x f -= 0(2 2 226∈= ?-=?-=x a ]1， 所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-． ． 6. 已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ?的三内角C B A ,,的对应边分别为 c b a ,,，若ac b c a +≥+222时，不等式[] )4 33 2()cos(sin 2+ <+++m f C A B m f 恒成立． （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围． 19. (1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ，Θ)(x f 在R 上单调递增，∴0)(>'x f 恒 成立，∴03>k 且0k 且0124<-k ，∴3 1 >k ， 当0=?，即3 1 = k 时，22)1(123)(-=+-='x x kx x f ， ∴1 1 = k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，3 1≥ ∴k ． (2)Θac b c a +≥+2 2 2 ，由余弦定理：2122cos 222=≥-+= ac ac ac b c a B ，∴3 0π ≤ )4 33 2()cos(sin 2+ <+++m f C A B m f ，所以 4 33 2)cos(sin 2+<+++m C A B m =++=++-=+ +--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)2 1 (cos 2≥++B ，---10分 故82<-m m ，即9)1(2<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m 7. 已知函数36)2(23 )(23-++-=x x a ax x f （I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值 （II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。 7. （I ）)1)(2 (36)2(33)(2--=++-='x a x a x a ax x f ,2>a Θ 12<∴ a ∴当a x 2<或1>x 时，0)(>'x f ；当12 < 时，0)(<'x f )(x f ∴在)2,(a -∞，（1，)∞+内单调递增，在)1,2 (a 内单调递减 故)(x f 的极小值为2 )1(a f - = （II ）①若,0=a 则2)1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点。……6分 ②若,0 12 < 时，0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02 )1(>- =a f )(x f Θ的极小值为0)2 ( f )(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点。 ③若20< 12 >a 。 ∴当a x x 21> <或时，0)(>'x f ，当12 < 时，0)(<'x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ④若2=a ，则0)1(6)(2≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当2>a ，由（I ）知)(x f 的极大值为043 )431(4)2(2<---=a a f 综上所述，若,0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点； 若0 1. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满 足2 1 ,0==? （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。 6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则),(),,3(t s PQ t CP -== 由0=?PQ CP 得3s —t 2 =0……………………………………………………① 又由MQ PM 21= 得),(2 1 ),(y x s t y x --=- ??? ???? -=--=∴)(21)(21y t y x s x ， ?????==∴y t x s 233……………………………………② 把②代入①得2)23 (9y x -=0，即y 2=4x ，又x ≠0 ∴点M 的轨迹方程为：y 2=4x （x ≠0） （2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则 设),4 (),,4(22 2121y y B y y A ，则由0=?OB OA 可得 016 212 2 2 1=+y y y y 解得1621-=y y 又2 1212 2124 4 4y y y y y y k AB +=--= 则直线AB 的方程为：)4 (42 1211y x y y y y -+=- 即2 1212 1214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得 令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0） 答，存在点H （4，0），满足题意。 2. 设j i R y x ? ?,,,∈为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量，若向量 8,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y i x a ??????? ?且. (1)求点M （x,y ）的轨迹C 的方程； (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点，设+=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2. (1)8),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a ? ???Θ且 即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8, ∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为 112 162 2=+x y . (2)由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=， 由??? ??== +=112 16322x y kx y 消去y 得：(4+3k)x 2 +18kx-21=0. 此时，△=(18k)2-4(4+3k 2 (-21)>0恒成立，且??? ???? +- =+-=+22122134213418k x x k k x x 由+=知：四边形OAPB 为平行四边形. 假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则00,=?⊥即 . 因为),(),,(2221y x y x ==，所以02121=+y y x x ， 而9)(3)3()3(212122121+++=+?+=x x k x x k kx kx y y ， 故0 9)3418(3)3421)(1(2 22=++-++- +k k k k k ，即45,1852 ±==k k 得. 所以，存在直线l ：34 5 +± =x y ，使得四边形OAPB 为矩形. 3. 一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点 )0,1(2F ． （Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； （Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点 Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标． 12. （Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则 211-=+m n 且032 212=+--?n m ． 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52 ,59(-． （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05 2 ()159(22=-+--=， 2=∴a ，112=-=b ． ∴所求椭圆方程为12 22 =+y x ． （Ⅲ）22 =c a Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ． 22221) 2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， 令2 2)2(2 2)(-++= t t t t f )22(<<-t ，则3 422) 2() 86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--?++--?+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(, 3 4 2<'-<<-t f t ，0)(,23 4 >'<<- t f t ， 3 4 -=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在3 4 -=t 时取得最小值． 因此， 21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3 1,34(-． 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 说明：求得的点Q )3 1 ,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心 4. 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1 -=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 4. （1）∵34,,32e 成等比数列 ∴34322?=e 23 2 =e 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 99,3222 4 9)22(2222=+=+++y x y y x 化简得 即1922 =+y x 为所求的椭圆方程. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 -=x 相交，不可能垂直x 轴 因此可设l 的方程为：m kx y +=由 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ① 方程①有两个不等的实数根 ∴090)9)(9(44222222<-->-+-=?k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ∵线段MN 恰被直线21 -=x 平分 ∴19 2221221 -=+-+=-k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29( 22 2<+-+k k k ∵092 >+k ∴22 9104k k +-< ∴32 >k 解得3>k 或3- 2,2()2,3(π πππY 5. 已知向量(3),(1,0),(3)(3)a x y b a b a b ==+⊥-r r r r r r 且. （Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当AM AN =时，求实数m 的取值范围。 5. 由题意得： （II ）由22 13 y kx m x y =+???+=??得222 (31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴?>，即2231m k <+ ① （1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则 又22311 ,,2313m k AM AN AP MN m k mk k ++=∴⊥- =-=+则即 ②. 将②代入①得22m m >，解得02m <<, 由②得2211 0,32 m k m -= >>解得 , 故所求的m 取值范围是1 (,2)2 （2）当0k =时，22,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得 6. 设直线)1(:+=x k y l 与椭圆) 0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点. （I ）证明：2 2 2 313k k a +>； （II ）若OAB ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 6. 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11 )1(-= +=y k x x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311 222=+-= ，得 .012)31( 2 22 =-+-+a y k y k ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 3)31 ( ,0)1)(31(4422222>+>---= ?a k a k k 整理得， 即.3132 2 2 k k a +> （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得2 21312k k y y += + 因为212, 2y y -==得，代入上式，得.3122 2k k y +-= 于是，△OAB 的面积 ||2 3 ||||21221y y y OC S =-?= 其中，上式取等号的条件是.3 3,132± ==k k 即 由.33 ,31222 2±=+-= y k k y 可得 将3 3 ,3333,3322=-=-== y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x 7. 如图，已知⊙O '：()2 228x y ++=及点A ()2,0，在 ⊙O '上任取一点A ′，连AA ′并作AA ′的中垂线l ，设l 与直线O 'A ′交于点P ，若点A ′取遍⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点,且O N O M λ''=u u u u r u u u u u r ,则当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围. 7. (1) ∵l 是线段A A '的中垂线，∴PA PA '=, ∴||PA|－|P O '||=||P A '|－|P O '||=|O 'A '|=即点P 在以O '、A 为焦点，以4为 焦距，以C 的方程为22 122 x y -=. (2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则直线m 的方程为(2)y k x =+,则由O N O M λ''=u u u u r u u u u u r ,得 21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由22 (2) 2 y k x x y =+?? -=?,得222(1)420k y ky k --+=.∴ 2 1241k k y y -+= ,22 1221k k y y -= ,22222168(1)8(1)0k k k k k ?=--=+>. 由21y y λ=,2 1241k k y y -+= ,22 1221k k y y -= , 消去12,y y ,得2 2 8(1) 1 12k λλ λ λ+-= =+ +.∵6λ≥,函数1 ()2g λ λλ=+ +在[6,)+∞上单调递增. ∴ 2 814916 6 62k -≥++= ,2 149 1k ≤<，所以 17 1k -<≤-或17 1k ≤<. 故斜率k 的取值范围为11 7 7 (1,][,1)--U . 8. 如图，已知⊙O '：()2 22 640x y m m m ??++=> ? ??? 及点M 60, m ? ? ? ?? ? ，在 ⊙O '上任取一点M ′，连M M ′，并作M M ′的中垂线l ，设l 与O 'M ′交于点P ， 若点M ′取遍⊙O ' 上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点 D .若2,AD DB OAB =?u u u r u u u r 求的面积取得最大值时的椭圆方程． 8. (1) ∵l 是线段MM '的中垂线，∴ PM PM '=, ∴ |PM|+|P O '|=|P M '|+|P O '|=|O 'M '|=2m ()0m >. 即点P 在以O '、M 为焦点，以 26 m 为焦距，以2m 为长轴长的椭圆上，故轨迹C 的方程为22 2213 y x m m +=， 即2223x y m +=. （2）由 (1)y k x =+(0)k ≠得1 1.x y k = - 将11x y k = -代入2223x y m +=消去x ，得 22236 (1)30.y y a k k +-+-= ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 222363 4(1)(3)0, m k k ?=-+->整理得2 23(1)3m k +>，即222 3.3k m k >+ 设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122 63k y y k += +. ∵2,AD DB =u u u r u u u r 而点(1,0)D -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+，所以122y y =-， 代入上式，得22 6.3k y k -= + 于是，△OAB 的面积 12213||||||2 2 S OD y y y =?- =29||3k k = ≤=+ 其中，上式取等号的条件是23,k = 即k = 由22 6.3k y k -= + 可得2y =. 将2k y = 2k y ==215.a = ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y += 第三组：数列不等式 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 12 12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所 以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) a a Θ ，又由条件n n n S a a 22 =+有112 12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-= 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。 5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。 三、计算：（每小题5分，共10分） 数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式， 找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数 是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。 一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A 解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 小升初数学：应用题综合训练1 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 总棵数是900＋1250＝2150棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵 需要种的天数是2150÷86＝25天 甲25天完成24×25＝600棵 那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙 即做了300÷30＝10天之后即第11天从A地转到B地。 2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作1份。 因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份 因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份 所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份 所以，每亩面积每天长24÷15＝份 所以，每亩原有草量60－30×＝12份 第三块地面积是24亩，所以每天要长×24＝份，原有草就有24×12＝288份 新生长的每天就要用头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝头牛 所以，一共需要＋＝42头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=每亩原有草量为*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24**80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头） 解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头 高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--?? *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 升中典型题 1、一种商品按定价的75折出售，仍可获利20%，若按定价出售可获利（）%。 2、圆柱体和圆锥体的底面半径的比是2：3，高的比是4：3，则圆柱与圆锥的体积比是（）： （）。 3、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它是长、宽、高都是质数，那么 这个长方体的体积是（）。 4、小芳骑车从甲地到乙地每小时行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千 米，则返回时每小时应行（）千米。 5、一个半圆形，半径是r，它的周长是（）。 6﹑水结成冰后体积增了1 11 , 冰融化成水后,体积减少( ) 7.冰化成水后，体积比原来减少1 12，水结成冰后，体积比原来增加了（）. 8、甲数为a，比乙数的3 4多b，表示乙数的式子是（）。 9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等。已知圆柱的高是圆锥高的 2 3，圆柱的底面积和圆锥底 面积的比是（） .10、甲种商品降价20％后与乙商品涨价20％后的价格相等，甲乙两种商品的原价的比是（）。 11.甲数比乙数少20％，乙数比甲数多（）％。 12.甲乙两个数最大公因数是3，最小公倍数是45，若甲数是9，那么乙数是（）。 13. 相同的小正方形拼成一个大正方形，至少要（）个。相同的小正方体拼成一个大正方体，至少要（）个。 二、解决问题。 1﹑用同一种方砖铺一间长8米,宽6米的乒乓球室的地板,先用200块方砖就铺了32平方米,余下的还要多少方砖(用比例解) 2﹑小明读一本书,第一天读了这本书的1 4 多6页,第二天读了这本书的 2 5 少2页,第三天读完剩 下的17页,这本书共有多少页 3、一筐梨，先拿走30kg，又拿出余下的70%，这时剩下的梨正好是原来的1 10。这筐梨原来 多少kg 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?(完整版)数学归纳法经典例题详解
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