条件概率的性质及其应用

条件概率及其应用

摘要

概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的一门学科，由于在生产生活等等各个方面随机现象具有普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广阔的应用。概率论是对随机事物的现象进行统计规律演绎的研究，而数理统计又是对随机事物现象进行统计规律归纳的研究。并且条件概率这个概念有是概率论与数理统计的一个重要的内容和一个基本的工具。本文从条件概率的定义、性质、定理、应用这四个方面来解释、探讨、分析条件概率。

近年来，由于一方面它为科学技术、工农业的生产等的现代化作出了极其重要的贡献；另一方面，广泛的应用也促进概率论与数理统计有了非常大的发展。

本文从条件概率的定义、性质、定理这三个方面来解释、探讨、分析条件概率。并从应用的角度对条件概率进行系统全面的阐述，把目前应用和后继发展进行兼顾考虑，随着科学技术、工农业的生产等的现代化的发展，该课题还存在大量的后续研究工作。

关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；应用

引言或绪论等（内容略）

第一章．条件概率的定义和性质

条件概率是概率论中的一个基本工具，在中产生活中有着重要作用。在现实的世界里很少存在单一的不受别的事件影响的情况，由于事件的概率经常会由于其他时间的影响而发生改变，所以这里我们引入条件概率这一概念。这样我们就能了解在事件B 已经发生的情况下时间A 发生的概率，这样也就解决了无条件概率不能解决的问题…

例1、设在N 只鸡的总体中，有A N 条是白鸡而且有B N 条是母鸡的。若事件A 及事件B 表示随机选取一条是白鸡及是母鸡，则

P(A)= A N N P(B)= B N

N

现在，以所有母鸡组成的子总体代替总体的位置，我们来计算从母鸡中随

机选出的一只鸡是白鸡的概率。这概率就是AB N / B N ，其中AB N

是白色母鸡的数目。在研究某个特定的子集的时候，我们需要用一个新的符号来表达。一般所采用的符号是P(A|B)，可读为“在事件B （所选出的鸡是母鸡的）发生的假定条件下，时间A （白鸡）发生的概率”。采用数学符号

P(A|B) =

AB B N N = ()

()

P AB P B

很显然，每一个子集本身总可以被考虑为一个总体。为了表达上的方便，我们说一个子集时，意思是说这个子集背后还有一个较大的总体。从上面的例子可以看出P(A)一般是与P(A|B)不同的。再来看一个例子。

例2、从标号为1、2、3、4的四个球中，等可能地任取一个球，那么事件A ：“得标号为4”的概率P(A)=0.25 ；如果已知事件B ：“得标号为偶数”已经出现，那么这时只剩下两种可能，或得2号或得4号，所以P(A|B)=0.5

在一般情况下，应该怎么样定义P(A|B)呢？由于频率与概率有很多类似的性质，先从频率的讨论开始。

设A 、B 为任一个随机试验E 中的两个事件，每次试验结果。不外是下列四种情况中的一种。

（1）A 出现 ，B 不出现 （2）B 出现，A 不出现 （3）A,B 都出现 （4）A,B 都不出现。

现在把E 重复做n 次，分别以n1、n2、n3、n4记下四种情况出现的次数，显然4

i i=1n ∑=n 。而且

B 的频率为n F （B ）=

23

n +n n ， AB 的频率为n F （AB ）=3n

n ，

在B 已经出现的条件下，A 的频率为

n F （A|B ）=

23

n

n +n ，根据这些式子，得

n F （AB ）=n F （A|B ）•

n

F

（B ）。

因此，如n F （B ）>0 就有 n F （A|B ）=

n n F F （AB ）（B ）

这个式子告诉我们，如何去定义P(A|B)。我们就得到如下定义

定义 设（Ω,F,P ）为概率空间，A ∈F,B ∈F,设P(B)>0 。在事件B 已出现的条件下，事件A 出现的概率P(A|B)定义为

P(A|B)=

()

()

P AB P B 对于古典类型的随机试验，设B 含有m 个不同的基本事件，m>0 ，AB 含有k 个，以n 表示Ω中总共不同的基本事件的个数，则

P(A|B)=

k n m n = k

m

类似的可以知道，对于几何随机试验，例如F(B)>0 ，我们有这样的式子

P(A|B)=

()()()()F AB F F B F ΩΩ=()()

L AB L B 容易验证，条件概率具有概率定义中的三个基本性质： 如果P(B)>0 ,那么P （A|B ）作为A 的集函数是F 上的概率；即 （1）对每个A ∈F ，有1≥ P （A|B ）≥0 ； （2）P （Ω|B ）=1 ；

（3）如m A ∈F ，m=1，2，…. ，两两互不相容，则有

m m m=1

m=1

(

|)(|)P A B P A B ∞

∞

=∑

现在对上面的三个性质进行证明：

证 （1）因≥P （B)P(AB) ，P （B)>0 ，故由（3）知1≥ P （A|B ）≥0

（2） (|)P B Ω=

()()P B P B Ω=()

()

P B P B =1 （3） m m=1

(

|)P A B ∞

=

m m=1

(

)()

P A B P B ∞

=m m=1()()P A B P B ∞

∑=m m=1

(|)P A B ∞

∑

第二章．条件概率的三定理

现在对条件概率来证明三条重要的定理，这就是：概率的乘法定理，全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式。这些定理在概率的计算中起着重要的作为。

2.1 概率的乘法定理

定理1 设1A ，2A ，….，n A 为n 个事件，n ≥2，满足12n-1()P A A A ⋅⋅⋅>0 ；则

12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

上式称为乘法公式。它的直观意义是：1A ，2A ，….，n A 同时出现的概率，等于出现1A ，在1A 出现的条件下出现2A ，在1A ，2A 出现的条件下出现3A ，⋅⋅⋅各自的概率的乘积。

证 由于1()P A ≥12()P A A ≥⋅⋅⋅≥12n-1()P A A A ⋅⋅⋅>0，故

12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅右方出现的条件概率

都有意义；由条件概率的定义有

1231212n 112n 11212n-1()()()

()

=()()()()

P A A A P A A P A A A P A P A A A P A P A A P A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

例1 设箱子内有a （a ≥2）个白球b 个黑球，在其中接连取三次，每一次取出一个球，取球后不还原，问三个取出来的求都是白球的概率是多少？

解 以i A 表示“第i 次取得白球”这一个事件，i=1、2、3、要求的是

123()P A A A 。因为

12a 2()=0a+b 2P A A ⎛⎫

⎪⎝⎭>⎛⎫ ⎪⎝⎭

故可用 12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 。显然

1a

()=

a+b

P A 。如已知第一次取得白球，箱内只剩下a-1个白球b 个黑球，可见21a-1(|)=

a-1+b P A A （） ，类似得312(|)P A A A =a-2

a-2+b

（） 。于是由概率的乘法公式得 123a a-1a-2

()=a+b a+b-1a+b-2P A A A ⋅⋅

注：这个例子中随机试验~

E 是复合的：~

E =123E E E ⨯⨯ 。1Ω共含有a+b 个1ω，2Ω共含有a+b-1个2ω，3Ω共含有a+b-2个3ω，1A =（白球，球，球），2A =（球，

白球，球），3A =（球，球，白球），这里“球”不论是白或者黑均可。事件1A 对

第一次试验的结果加了条件，1a

()=

a+b P A 。如已知1A 出现，那么2Ω由a-1个白球b 个黑球组成，所以21a-1

(|)=a-1+b

P A A （） 。如已知前二次都是得到的白球，

则3Ω由a-2个白球b 个黑球构成，所以312(|)P A A A =a-2

a-2+b （） 。 注意到随机试

验2E 依赖于随机试验1E 后的结果，随机试验3E 依赖于随机试验1E 和随机试验2E 的结果，所以说1E 、 2E 、 3E 都是相依的随机试验。

例2 设一批产品总共有N 件，其中有M 件产品是次品，不放回地抽取三件，试求第三件猜抽到的是正品的概率。

解 令

i A =｛抽到的第i 件是正品｝， i=1、2、3 于是i A 表示抽到的第i 件是次品，故所求的概率是

123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =

112M M N M N N N --=⋅⋅

-- ()()

(1)()

12M M N M N N N --=

--

注：上例中的概率123()P A A A 也可以直接用古典方法求得，但是不如使用乘法公式简单方便。这个公式中的条件概率不要从定义出发来求，而应从该条件所限制的一个较小样本空间内来求古典概率。

2.2 概率的全概率公式

定理 2 设1H ，2H ，⋅⋅⋅为有穷或者可列多个互不相容的事件，n n

(

)P H =1，

()n P H >0，

（n=1，2，3，⋅⋅⋅），则对任何一个事件，有

()()n n =|n

P P H P A H ∑（A ）.

上面的式子称为全概率公式。

证明 ：由于n n (

)P H =1得到n n P H ⎛⎫

⎪⎝⎭

（）=0 。因为n H 互不相容，故n AH 也互不相容，n=1，2，3，⋅⋅⋅，于是

()()=P A P A Ω=n n n

n (

)+P A H P A H ⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（）

=()n n n

(

)=n

P AH P AH ∑

由条件概率的乘法公式()()()n n n =|P AH P H P A H ；带入上面的式子得到

()()n n =|n

P P H P A H ∑（A ）

例1 设甲盒子中有a 个白球b 个黑球，a>0，b>0，乙盒子中有c 个白球d 个黑球，自甲盒子中任意取一球放入乙盒子中，然后再从乙盒子中任取一球，试求事件A ：“从乙盒子中取得的球为白球”的概率。

解 以()12H H 表事件“自甲盒子中取出的球为白（黑）球”，显然12H H =∅，

12=H H ⋃Ω，所以()12P H H ⋃=1，又()1a =a+b P H >0 ()2b

=a+b

P H >0 ，由全概

率公式

()()()2

n n n=1=|P A P H P A H ∑。

但是如1H 出现，那么乙盒子中有c+1个白球，d 个黑球，所以()1|P A H =

c+1

c+d+1

；类似得到()2|P A H =c

c+d+1。代入()()()2

n n n=1

=|P A P H P A H ∑中便得到

()a c+1b c

=

+

a+b c+d+1a+b c+d+1P A ac+bc+a

=

(a+b)(c+d+1)

例 2 某个工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占产量的15%、20%、30% 和35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03以及0.02 。现在从出厂产品中任意取一件产品，问恰好抽到不合格品的概率为多少？又若该工厂规定，处了不合格的产品要追究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任意取一件，结果为不合格品，但是该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，第一条

（或者第二条、第三条、第四条）流水线应该承担多大的责任？

解 令

A=｛任取一件，恰好抽到不合格品｝

B=｛任取一件，恰好抽到第i 条流水线的产品｝ （i=1、2、3、4） 于是由全概率公式得到

()4i i i=1

=()(|)P A P B P A B ∑

=0.150.050.200.040.300.030.350.02⨯+⨯+⨯+⨯ =0.0315 =3.15%

其中，i (|)P A B 分别为0.05、0.04、0.03、0.02 。这是题目中告诉我们的。在实际问题中，这些数据可以从过去的生产的产品中统计出来。下面来解决下面的问题。

从概率论的角度考虑可以按()i |P B A 的大小来追究第i 条（i=1、2、3、4）流水线的经济责任。例如，对于第四条流水线，由条件概率的定义知

()44()

|=

()

P AB P B A P A 在前面的计算当中，已经利用全概率公式来求得

()4i i i=1

=()(|)P A P B P A B ∑

=0.150.050.200.040.300.030.350.02⨯+⨯+⨯+⨯=0.0315=3.15%

而

444()()(|)0.350.020.007P AB P B P A B ==⨯=

于是有

4444

1

()(|)

0.0072

(|)0.2220.03159

()(|)

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

=

=≈∑

由此可知，第四条流水线应该负有22.2%的责任。这个结果是容易理解的，虽然第四条流水线的产量占总产量的35%，但是他的不合格率却不是很高，他生产的不合格品只占总不合格品的22.2% ，所以在来计算下1(|)P B A 、2(|)P B A 和

3(|)P B A

111()()(|)0.150.050.0075P AB P B P A B ==⨯=

1114

1

()(|)

0.0075

(|)0.2380.0315

()(|)

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

=

≈∑

由此可知，第一条流水线应该负有23.8%的责任。

222()()(|)0.200.040.008P AB P B P A B ==⨯=

2224

1

()(|)

0.008

(|)0.2540.0315

()(|)

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

=

≈∑

由此可知，第二条流水线应该负有25.4%的责任。

333()()(|)0.300.030.009P AB P B P A B ==⨯=

3334

1

()(|)

0.0075

(|)0.2860.0315

()(|)

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

=

≈∑

由此可知，第三条流水线应该负有28.6%的责任。

上面的计算中实际上已经建立了一个非常有用的公式常常称为贝叶斯公式。

2.3 概率的贝叶斯公式

定理3 设1H ，2H ，⋅⋅⋅为有穷或者可列多个互不相容的事件，n n

()P H =1，

()n P H >0，

（n=1，2，3，⋅⋅⋅），则对任何一个事件A ，()P A >0 ， 有 ()()

()()

n (|)||m m m n n

P A H P H P H A P A H P H =

∑ 上面的式子称为贝叶斯公式

证明 ：由条件概率的定义及全概率公式得到

()()()()

()()

n (|)||m m m m n n

P AH P A H P H P H A P A P A H P H =

=

∑ 例子 设甲乙丙三个盒子中

甲盒子中有1a 个白球1b 个黑球 乙盒子中有2a 个白球2b 个黑球

丙盒子中有3a 个白球3b 个黑球 , 123(0)a a a ++>

现在任意取出一盒子，再从这个盒子当中取出来一个球，结果发现这个球为白球。试在事件A “此球为白球”的条件下，求事件1H “这个球是属于甲盒子的”条件概率()1|P H A 。

解 这里()()()1231

===03P H P H P H >，这里123H H H ，，分别表示“这个球属于

甲盒子” “这个球属于乙盒子” “这个球属于丙盒子”，这三个互不相容的事

件，

3

n n=1

=H Ω，所以3

n n=1(

)=1P H ;又由全概率公式

()()()3

n n n=1

=|P A P H P A H ∑

12112233

a a 111a

=

++3a +b 3a +b 3a +b >0

所以可以用贝叶斯公式得到

()111

112112233

a 13a +

b |=a a 111a

++

3a +b 3a +b 3a +b P H A

=

3112111221331

(+(+1(+)(+)

a a

b a a b a a b a a b ++

））

贝叶斯公式通常用在下列实际问题中：设只可能出现123H H H ，， ⋅⋅⋅共有有穷个或者可列多种不同的情况，而事件A 只能伴随着这些情况之一发生。如今A 已经出现的情况下，试求发生了情况m H 的条件概率。

例子 有朋自远方来，他乘坐火车来的概率是310 ，乘船来，或者乘坐汽车来，或者乘坐飞机来的概率分别是15， 110， 25 ，如果他乘坐火车来，迟到的概率是14 ；如果他乘坐船或者乘坐汽车，那么迟到的概率分别为13 ，

112 ； 如果乘坐飞机来便不会迟到（因而。这时迟到的概率为0）。结果他是

迟到了，试问在此条件下，他乘坐的是火车的概率是多少？

解 以事件A 表示“迟到”， 1234H H H H ， ， ，分别表示“乘坐火车”“乘船”“乘坐飞机”，这样于是

()()()()()()11111223344(|)

|=

(|)+(|)+(|)+(|)

P H P A H P H A P H P A H P H P A H P H P A H P H P A H

31104=3111112+++11045310125

⋅⋅⋅⋅⋅ 注意()11|=2P H A 与()13=10

P H 是不同的。类似的，如果以事件A 的对立事件A （不迟到）代替上面式子中的A ，就得到

()

1|P H A 33104=33121112+++11045310125⋅⋅⋅⋅⋅ = 934

2.4 概率的三定理的综合应用

下列中各个例子可以说明上述定理的联合应用

例1 设甲乙二人在装有a 个白球和b 个黑球的盒子中任意取出一个球，从甲开始然后轮流取球。每次取后不还原，试求甲(或者乙)先取出的是白球的概率1p （或者2p ）。

解 为了使甲先取出一个白球，必须也只须或者甲第一次就取出的球是白球（记为“白”），或者甲第一次取出的球是黑球，乙第二次取出的球是黑球，甲第三次取出的球为白球（记为“黑、黑、白”） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅因而事件“甲先取出的球是白球”可以表示为互不相容的事件“白”、“黑、黑、白”、“黑、黑、黑、黑、白” ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和，然而事件“白”的概率为a a b

+ ，事件“黑、黑、白”的概率可用概率的乘法公式 12n ()P A A A ⋅⋅⋅=121312n 12n-1()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅来计算得出

112

a b a a b a b a b -⋅⋅++-+- ，事件“黑、黑、黑、黑、白”的概率任然可以用概率的乘法公式来计算出1231234a b b b a a b a b a b a b a b ---⋅⋅⋅⋅++-+-+-+-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以 1(1)(1)(2)(3)1(1)(2)(1)(2)(3)(4)a b b b b b b p a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤----=+++⋅⋅⋅⎢⎥++-+-+-+-+-+-⎣⎦ 同样得到

2(1)(2)1(1)(2)(3)a b b b b p a b a b a b a b a b ⎡⎤--=++⋅⋅⋅⎢⎥++-+-+-+-⎣⎦

注意，由于b 是有穷数，故上面两个式子右方中自某一项起全为0，又因为甲、乙二人中，总有一个人先取出白色的球，故121p p +=。以1p 、2p 的值代入并且简化后，得到等式

(1)11(1)(2)b b b a b a b a b a b a

-++++⋅⋅⋅=+-+-+- 于是我们附带地用概率的方法证明了上面的恒等式。用概率的方法来证明一些关系或者解决其他一些数学分析中的问题。是概率论中的重要研究方向之一。

例2 从装有a 个白球和b 个黑球的盒子中同时取出n 个球，a b n +≥，试求至少取出一白球的概率p 。

解 先求对立事件的概率，事件B ：“取出的全部是黑球”的概率是

b n q a b n ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+⎛⎫ ⎪⎝⎭

所以

(1)(1)11()(1)(1)

b b b n p q a b a b a b n -⋅⋅⋅-+=-=-++-⋅⋅⋅+-+ 还可以用另一个让发求得p ：同时取出n 个球可以看成不还原地连续取出n 次，每次取出一个球。为了使n 次中至少取出一白球，必须也只须或者第一次就得到白球（概率为a a b

+），或者第一次取出的是黑球第二次取出的是白球（概率为1

a a a

b a b ⋅++-），⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这些事件互不相容，所以 121121

a b a b b b n a p a b a b a b a b a b a b n a b n --+=+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-++-+-++-+ 比较上面的两个式子，可见它们右方的值相等，于是又得到恒等式：当a>0时

(1)(2)(2)1+1(1)(2)(1)

b b b b b n a b a b a b a b n --⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅+-+ (1)(2)(1)1(1)(2)(1)a b b b b b n a a b a b a b n ⎡⎤+--⋅⋅⋅-+=-⎢⎥+-+-⋅⋅⋅+-+⎣⎦

第三章．条件概率的应用

在前面的内容中我们认识的大多概率都是在样本空间中的。并且只是计算了一些条件概率，许多的实验都是用某些特定的条件概率来描述。在理论上这意味着：样本空间中的概率可由给定的条件概率中推到出来。下面来介绍几个条件概率的应用

3.1 用条件概率所定义的概率——波利亚罐子模型

罐子模型。一个罐子中包括b 个黑球与r 个红球。随机地抽取一个球。看了颜色再放，并且还要另外加进去c 个与抽出来的球具有同样颜色的球和d 个相反颜色的球（这个时候罐子里面就有r+b+c+d 个球了），这种过程反复地进行，其中c 和d 是任意的整数。C 和d 可以取为负数，不过在这种情形下经过有限次取球之后会因为没有了球而停止。特别的，取c=-1，d=0，则我们的抽样就变成了无放回的抽样，它在r+b 次以后就结束

现在我们转向数学描述，注意一点就是，某些基本的概率可以通过它所确定的条件概率来计算。对应于n 次抽取的样本空间的典型的描述法是用n 个字母B 和R 的序列来代表其样本点。事件“第一次取出的球是黑的”（即是第一个字母是B 的全部序列所构成的集合）的概率为()b b r +。如果第一个球是黑色的球，则第二次取出的球的颜色任然为黑色的概率是()()b c b r c d ++++因此黑黑的概率为

()()()

b b

c b r b r c

d +⋅++++ 黑黑黑的概率为

()(2)()()(22)

b b

c b c b r b r c

d b r c d ++⋅⋅+++++++ 显然这样的方法可以计算出每一个样本点的概率

概率的显式表达式不是很容易得到的，除非在下面介绍的一个重要的而且著名的特殊情形：

波利亚管子模型，其特征是d=0，c>0。每次抽取后，这时候与取出来的球

有相同颜色的球的数目增加，而与取出的球的颜色不同的球的数目保持不变。在效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此，我们得带到了类似传染病的一个模型，在这其中，每一次传染以后都增加再传染的概率。在n 次抽取中，先取出1n 个黑球后在取出2n 个红球（这当中

12n n n +=）的概率是

12()(2)()()()()()(2)()

b b

c b c b n c c r r c r n c c b r b r c b r c b r nc c ++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+++++⋅⋅⋅++- 考虑n 个抽取为1n 个黑球，2n 个红球的其他抽取顺序，计算它的概率，发现因子是相同的，只是排列的次序是不同的。因此可以得到抽出1n 个黑球和2n 个红球的所有可能的抽取方式具有不同的概率，这为波利亚罐子模型咋分析上的简明

性，分子分母同乘以1n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，即是所有的排列的数目，利用广义二项式系式得到下

列形式：

1121212,111()(+)n n

n b c n r b c r c n n n n p n b r c b c c n n -+-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-++-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

3.2 配对问题

例 有n 张信纸，分别标号为1，2，3，…，n ，另外有n 个信封也同样标号，今将每一张信纸任意的装入每一个信封中，试求“没有一个配对”的概率0q 及“恰有r 个配对成功”的概率r q （r n ≤），这里说的“r 个配对”是指的是有r 张信纸，分别装入同号码的信封。

解 以i A 表示“第i 号信纸装入第i 号信封”这一事件，则

01

1(

)n

i i q P A ==-

为了求1(

)n i i P A =，利用一般加法公式。第i 号信纸可以装入n 个信封，恰

好装入第i 号信封的概率1()i P A n

=，故 1()1i i s P A ==∑

如i A 出现，第j 号信纸共有n-1个信封可以选择，故

1(|)1

j i P A A n =- 11()()(|)1

i j i j i P A A P A P A A n n ==⋅- 从而

2,1()(1)22!i j i j n s P A A n n ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭

∑ 类似地一般有

1!

r s r = ，（r=1，2，…，n ） 于是

10101(1)(1)1()1!!k k

n n

n i k k i q P A k k +===--=-=-=∑∑ 注意0q 与n 有关，如记为00()q q n =则

10lim ()0.36x q n e -→∞

==⋅⋅⋅ 利用0q 便不难求出r q 。如果指定某r 张信纸装入对应的信封中，这事件的概率为

1(1)(1)

n n n r -⋅⋅⋅-+ 其余n-r 张信纸中没有一个配对成功的概率为 00(1)()!k

n r

k q n r k -=--=∑ 由于r 张配对的信纸一共有n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭

种选择的方法，所以

00(1)1(1)(1)(1)!!!

k k n r n r r k k n r q n n n r k r k --==⎛⎫ ⎪--⎝⎭=⋅=-⋅⋅⋅-+∑∑ 注意当n →∞时候，1()!r r q q n e r -=→

条件概率及应用

条件概率及应用的实际应用情况 1. 应用背景 条件概率是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某个条件下事件发生的概率。在实际应用中，条件概率可以帮助我们解决许多问题，例如预测天气、推荐系统、医学诊断等。通过分析已有的数据和利用条件概率，我们可以得到更准确的预测结果或者提供更好的决策支持。 2. 应用过程 2.1 预测天气 天气预报是人们日常生活中关注的一个重要方面。而天气预报正是通过分析历史数据和利用条件概率来进行预测的。具体来说，我们可以根据过去一段时间内的天气数据（如温度、湿度、风速等）和当地气象台发布的观测数据，建立一个统计模型来计算各种天气情况出现的概率。 以预测明天是否会下雨为例，我们可以根据历史数据得到以下信息：在过去100天中，有30天下雨。同时我们还可以观察到，在过去30天中，有20天出现了与明 天相似的天气条件（如温度、湿度等）。那么在这20天中，有多少天下雨呢？假 设有15天。那么在给定今天的天气条件下，明天下雨的概率就是15/20=0.75。 通过利用条件概率，我们可以根据当地的气象观测数据和历史统计数据来预测明天的天气情况，提供给人们更准确的天气预报信息。 2.2 推荐系统 推荐系统是电子商务和社交媒体平台中常见的应用之一。它通过分析用户的历史行为和利用条件概率来向用户推荐他们可能感兴趣的产品或内容。 以在线购物平台为例，假设用户A在过去购买了电视、音响和游戏机等产品，并且还搜索了一些与这些产品相关的信息。而现在用户A正在浏览一个新上架的音响产品页面，并且已经停留在该页面上一段时间。那么根据用户A历史行为分析和条件概率，我们可以计算出用户A购买该音响产品的概率。 具体来说，在过去100个用户中，有50个用户购买了音响产品，并且其中有30个用户也购买了游戏机。而在这30个购买了游戏机的用户中，有20个用户也购买了音响产品。那么在给定用户A历史行为的条件下，用户A购买该音响产品的概率就是20/30=0.67。 通过利用条件概率，推荐系统可以根据用户的历史行为和当前的浏览情况来向用户推荐他们可能感兴趣的产品，提高用户体验和购买转化率。

条件概率及其性质

条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即P(B|A)＝. (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1. ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立． (2)如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k (k＝0,1, 2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作

X～B(n，p) ，并称_p_为成功概率． 若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 1.区分条件概率P(B|A)与概率P(B) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P(B)是指在整个样本空间Ω的条件下事件B发生的可能性大小，而条件概率P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝P(AB) P(A) ； (2)先求A含的基本事件数n(A)，再求在A发生的条件下B包含的事 件数即n(AB)，得P(B|A)＝n(AB) n(A) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．

条件概率知识点总结

条件概率知识点总结 概率论是研究随机事件发生的规律性和可能性的一个数学分支。而条件概率则是概率论中一个重要的概念。它将一个事件在另一 个事件发生条件下的概率计算为其相应的基本概率的比率。在实 际应用中，条件概率有着广泛的应用。理解和掌握条件概率知识 点对于正确地进行数据分析、概率计算等领域至关重要。本文将 对条件概率进行总结和探讨。 一、条件概率的定义和公式 设A和B是两个事件，且P(B)>0，那么我们可以定义事件A 在事件B发生的条件下的概率为： P(A|B) = P(A ⋂ B)/P(B) 其中，A ⋂ B是事件A和B的交集。 如果A和B互不相交，则有P(A ⋂ B) = 0。 根据上面的公式，可以得到以下的两条重要的性质：

1、P(A ⋂ B) = P(A|B)P(B) 2、P(B ⋂ A) = P(B|A)P(A) 以上两式表达了条件概率的互逆性。 二、条件概率的思想 条件概率的思想是建立在贝叶斯定理及全概率公式的基础之上。全概率公式是指，如果事件B1，B2，...，Bn互不相交、组成了样本空间，并且每个事件的概率均大于0，则对于任意事件A有： P(A) = Σi=1到n P(A|Bi)P(Bi) 贝叶斯定理是指，对于对于任意两个事件A和B，有： P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)

这是逆向概率的计算，通常被用来求解概率A在已知B的情况下发生的概率。 三、条件概率的应用 1、医学领域 在医学领域中，条件概率被广泛应用于疾病的诊断和治疗。以乳腺癌为例，医生通过乳腺肿块的体检找到患者，而在这个基础上再利用脉冲声或乳腺钼靶摄影、核磁共振等方法进一步诊断患者是否患上乳腺癌。利用条件概率，医生可以更加精准地诊断病情。 2、金融风险评估 在金融领域中，条件概率的应用使得金融机构可以更准确地评估潜在的金融风险。例如，通过分析历史数据，金融机构可以预测借款人无法按时偿还贷款的概率。这种分析方法称为信用风险评估。通过使用条件概率，金融机构可以在合理的风险范围内提供贷款。

概率论中的贝叶斯定理与条件概率

概率论中的贝叶斯定理与条件概率 概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性。在概率论中，贝叶斯定理和条件概率是两个基本概念，它们在统计学和机器学习等领域有着广泛的应用。本文将介绍贝叶斯定理与条件概率的概念、性质以及应用。 一、条件概率的定义与性质 条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。设A、B 为两个事件，且P(B) > 0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记为 P(A|B)，其定义为： P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的 概率。 条件概率的性质包括： 1. 非负性：对于任意的事件A、B，有P(A|B) ≥ 0； 2. 规范性：对于任意的事件A，有P(A|Ω) = P(A)； 3. 相对性：对于任意的事件A、B，有P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(B|A)P(A) / P(B)。 二、贝叶斯定理的定义与推导 贝叶斯定理是一种基于条件概率的推理方法，它描述了在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯定理的表达式：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事 件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。 贝叶斯定理的推导基于条件概率的乘法公式： P(A∩B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B) 将乘法公式代入条件概率的定义中，即可得到贝叶斯定理的表达式。 三、贝叶斯定理的应用 贝叶斯定理在实际应用中具有广泛的用途，下面列举几个常见的应用场景。 1. 疾病诊断：假设某种疾病的患病率为1%，某项检测方法的准确率为95%， 如果一个人接受了该项检测并得到了阳性结果，那么他真正患病的概率是多少？根据贝叶斯定理，可以计算出该患者患病的概率为： P(患病|阳性) = P(阳性|患病)P(患病) / P(阳性) 其中，P(阳性|患病)表示在患病的条件下得到阳性结果的概率，P(患病)表示患 病的概率，P(阳性)表示得到阳性结果的概率。通过具体的数值代入计算，可以得 到该患者患病的概率。 2. 垃圾邮件过滤：在电子邮件系统中，我们经常会收到一些垃圾邮件。为了提 高用户的体验，需要对垃圾邮件进行过滤。贝叶斯定理可以用于垃圾邮件的分类和过滤。通过对已知的垃圾邮件和非垃圾邮件进行学习，建立一个贝叶斯分类器，可以根据邮件的内容和特征判断其属于垃圾邮件的概率。 3. 机器学习：贝叶斯定理在机器学习中也有广泛的应用。例如，在文本分类任 务中，可以使用朴素贝叶斯分类器进行文本分类。通过对已知类别的文本进行学习，建立一个贝叶斯分类器，可以根据文本的特征和词频等信息判断其属于不同类别的概率。

二项分布应用举例

二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表 示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个 数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ． (3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D .12 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1 C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝1 1025＝14. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012? ????3810? ????582 B ． C 911? ????389? ????58238 C ．C 911? ????589? ????382 D ．C 911? ????389? ?? ??582

高考数学重点：条件概率问题总结+题型详细分类解析

高考数学：条件概率问题总结复习 1．条件概率的概念 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率．P (B |A )读作 发生的条件下 发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈ ． (2)如果B 与C 是两个互斥事件，则 P (B ∪C |A )＝ . [一点通] 求条件概率一般有两种方法： 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) ，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P (B |A )＝P (AB ) P (A ) ，特别要注意P (AB )的求法． [例1] 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同． [精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果． ∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝1 6. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1 3 . (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1. ∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝1 4 . ∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1 412 ＝1 2 . 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3 ；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概 率为12 . 1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能 结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A ＝{2,3,5}，B ＝ {1,2,4,5,6}，则P (A |B )＝ ( ) A.12 B.15 C.25 D.35

条件概率的性质概念

条件概率的性质概念 条件概率是概率论中的基本概念之一，它描述了在给定某个条件下的事件发生的概率。条件概率是一种经验性的或者统计性的概率，它需要依赖于一定数量的观察结果来计算。在理解条件概率的性质之前，我们先从条件概率的定义开始。 条件概率的定义： 设A和B是两个事件，且P(B)>0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A 发生的概率称为事件A在事件B的条件下发生的条件概率，记作P(A B)。 条件概率的性质： 1.非负性：条件概率是一个概率值，因此它的取值范围在0到1之间，即对于任何事件A和B，有0≤P(A B)≤1。 2.规范性：当事件A包含在事件B中时，即A⊆B时，有P(A B)=1。 3.对立性：当事件A与事件B互斥时，即A与B不可能同时发生时，有P(A B)=0。 4.可加性：当事件B的概率大于0时，有P(A∪B)=P(A B)P(B)+P(A B')P(B')，其中B'表示事件B的补事件。

5.乘法公式：对于任何两个事件A和B，有P(A∩B)=P(A B)P(B)=P(B A)P(A)。这一性质也称为乘法规则。 6.独立性：当事件A和B相互独立时，即P(A∩B)=P(A)P(B)，根据乘法公式可知P(A B)=P(A)，即事件B的发生与否对事件A的发生概率没有影响。 条件概率的性质可以帮助我们更好地理解和计算各种事件之间的关联关系。 在实际应用中，条件概率常常用于解决与观察结果有关的问题，例如医学诊断、金融风险评估等。通过计算各种疾病的发生概率以及与之相关的症状，医生可以利用条件概率来判断某位患者是否患有某种疾病。类似地，金融机构可以利用条件概率来评估某个投资项目的风险程度，进而作出合理的决策。 此外，条件概率还可以应用于事件的预测和分类。通过观察某个事件已经发生的条件下的频率，我们可以计算出在给定观察结果下其他事件发生的概率。这对于制定决策、进行预测以及进行风险评估等具有重要作用。 在实际计算中，条件概率可以通过基础概率和全概率公式来计算。基础概率表示在不考虑任何附加信息的情况下，事件发生的概率。全概率公式则是利用已知的一系列事件的概率来计算其他事件的概率。 总结起来，条件概率是概率论中的基本概念之一，它描述了在给定某个条件下的

条件概率的性质及其应用

条件概率及其应用 摘要 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的一门学科，由于在生产生活等等各个方面随机现象具有普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广阔的应用。概率论是对随机事物的现象进行统计规律演绎的研究，而数理统计又是对随机事物现象进行统计规律归纳的研究。并且条件概率这个概念有是概率论与数理统计的一个重要的内容和一个基本的工具。本文从条件概率的定义、性质、定理、应用这四个方面来解释、探讨、分析条件概率。 近年来，由于一方面它为科学技术、工农业的生产等的现代化作出了极其重要的贡献；另一方面，广泛的应用也促进概率论与数理统计有了非常大的发展。 本文从条件概率的定义、性质、定理这三个方面来解释、探讨、分析条件概率。并从应用的角度对条件概率进行系统全面的阐述，把目前应用和后继发展进行兼顾考虑，随着科学技术、工农业的生产等的现代化的发展，该课题还存在大量的后续研究工作。 关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；应用

引言或绪论等（内容略） 第一章．条件概率的定义和性质 条件概率是概率论中的一个基本工具，在中产生活中有着重要作用。在现实的世界里很少存在单一的不受别的事件影响的情况，由于事件的概率经常会由于其他时间的影响而发生改变，所以这里我们引入条件概率这一概念。这样我们就能了解在事件B 已经发生的情况下时间A 发生的概率，这样也就解决了无条件概率不能解决的问题… 例1、设在N 只鸡的总体中，有A N 条是白鸡而且有B N 条是母鸡的。若事件A 及事件B 表示随机选取一条是白鸡及是母鸡，则 P(A)= A N N P(B)= B N N 现在，以所有母鸡组成的子总体代替总体的位置，我们来计算从母鸡中随 机选出的一只鸡是白鸡的概率。这概率就是AB N / B N ，其中AB N 是白色母鸡的数 目。在研究某个特定的子集的时候，我们需要用一个新的符号来表达。一般所采用的符号是P(A|B)，可读为“在事件B （所选出的鸡是母鸡的）发生的假定条件下，时间A （白鸡）发生的概率”。采用数学符号 P(A|B) = AB B N N = ()() P AB P B 很显然，每一个子集本身总可以被考虑为一个总体。为了表达上的方便，我们说一个子集时，意思是说这个子集背后还有一个较大的总体。从上面的例子可以看出P(A)一般是与P(A|B)不同的。再来看一个例子。

二项分布及其应用

二项分布及其应用 ?条件概率? 一、条件概率的定义与性质 如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。 1. ___________________________________________________________ 定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A) > 0,称RB|A)= _________________________________________________________ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件 概率，一般把R B A)读作A发生的条件下B的概率. 2?性质：(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即_____________ . (2)__________________________________________________ 如果B和C是两个互斥事件，则RB U C| A) = 二、典型例题 1、利用定义求条件概率 例1:抛掷两颗均匀的骰子，问 (1)至少有一颗是6点的概率是多少？ (2)在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？ 例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。 (1) 求P(A),P(B),P(AB); (2) 在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。 2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率 例1 :一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求 (1)第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。 (2)第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即P (B |A )＝ . (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果事件A 与B 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与也都相互独立．3．二项分布 在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B ) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) ； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝ 4 2＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1 3， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11 27.

条件概率知识点总结归纳

条件概率知识点总结归纳 一、条件概率的基本概念 1.1 条件概率的定义 条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。它的数学表示为P(A|B)，读作“A在B条件下发生的概率”，其计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。 1.2 条件概率的意义 条件概率是描述事件之间关联性的重要工具，能够揭示一个事件在另一事件发生的条件下 的概率，反映了事件之间的相互依存关系。在实际问题中，许多事件不是独立发生的，而 是受到其他事件的影响，这时需要用到条件概率来进行分析和计算。 1.3 条件概率的性质 条件概率具有以下性质： （1）非负性：条件概率始终大于等于0，即P(A|B) ≥ 0； （2）归一性：当总体空间Ω为有限集合时，有P(Ω|B) = 1； （3）加法公式：当事件A与B互斥时，有P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)； （4）乘法公式：当事件A与B独立时，有P(A∩B|C) = P(A|C) * P(B|C)。 二、条件概率的计算方法 2.1 全概率公式 全概率公式是指当事件B的发生是由于多个互斥事件引起时，可以利用这些事件与事件A 的交集来计算事件A的概率。全概率公式的表达式为P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)，其中B1、B2、…、Bn为互斥事件，且并集为样本空间。 2.2 贝叶斯定理 贝叶斯定理是用来计算在得到某一新信息后，原有的主观概率应该如何进行修正的方法。 它的表达式为P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / [P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)]，其中P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。 2.3 独立性的条件概率 当事件A与事件B相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的发生并不影响事件A的发 生概率。对于独立事件来说，它们的条件概率与无条件概率是相等的。 2.4 条件概率的应用

条件概率函数

条件概率函数 条件概率函数是一种特殊的概率函数，它可以用来描述两个或多个随机变量之间的概率关系。它是一种特殊的函数，可以表示一组条件下某件事情发生的概率。它具有两个参数，即条件和一个无条件变量。在一般条件下，条件概率函数的定义如下：设X、Y是两个随机变量，则它们之间的条件概率函数为P(X/Y)，它表示在Y取一定值的情况下，X取某个值的概率。 条件概率函数的性质 1、Y的取值范围是无穷的时，条件概率函数P(X/Y)可以表示X 的联合分布，它对Y的整个取值范围求和得到1，即： $∑_y P(X|Y=y)=1$ 2、设X、Y是两个独立的随机变量，则： $P(X|Y=y)=P(X)$ 3、设X、Y是两个确定关系的随机变量，它们之间的条件概率函数表示的是X的条件分布，当Y的取值范围有限的时候，条件概率函数的和是不等于1的，即： $∑_y P(X|Y=y)≠1$ 条件概率函数的实际应用 条件概率函数在实际应用中应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。它可以用来表示多个随机变量之间的关系，从而用于提出解决实际问题方案。例如，在机器学习中，条件概率函数可以用来确定特征向量与类别之间的关系，从而用于分类任务。此外，在推荐系统的

实际应用中，条件概率函数可用于估计物品的关系，从而实现用户的推荐。 条件概率函数的理论研究 条件概率函数的理论研究也在迅速发展。它的研究主要集中在条件概率函数的统计性质和模型学习等方面。在模型学习领域，研究者提出了各种模型学习算法，如最大似然估计算法、最小二乘法等，以更好地模拟条件概率函数，并更加准确地预测结果。同时，研究者还探讨了此类算法的效率和可伸缩性，为实际应用提供了更完善的技术支持。 结论 条件概率函数是一种重要的概率函数，它具有重要的实际应用价值。它可以用于描述多个随机变量之间的概率关系，同时它的实际应用也广泛，在机器学习、推荐系统等领域都有广泛的应用。同时，条件概率函数的理论研究也在不断发展和完善，提出了各种模型学习算法、优化算法等，为实际应用提供了技术支持。

概率论中的条件概率计算技巧

概率论中的条件概率计算技巧 概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的概率性质。在概率论中，条件概率是一个重要的概念，用于描述在已知一些信息的情况下，另一事件发生的概率。本文将探讨概率论中的条件概率计算技巧。 一、条件概率的定义和性质 条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。设A和B 是两个事件，且P(A)>0，那么在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记作 P(B|A)。条件概率的计算公式为： P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。 条件概率具有以下性质： 1. 非负性：对于任意事件A和B，P(B|A)≥0。 2. 规范性：对于必然事件Ω，P(Ω|A) = 1。 3. 乘法公式：对于任意事件A和B，P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。 二、条件概率计算的基本方法 在实际问题中，计算条件概率的方法有很多种。下面介绍几种常用的方法。 1. 列举法 列举法是一种直观的计算条件概率的方法。通过列举所有可能的情况，并计算出每种情况下的概率，然后根据条件事件的发生情况，计算出条件概率。 例如，假设有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子，现从袋子中随机取出一个球，已知取出的球是红球，求取出的球是蓝球的概率。

根据列举法，我们可以列举出以下情况： 1) 取出红球，概率为5/8； 2) 取出蓝球，概率为3/8。 由于已知取出的球是红球，因此只需考虑取出红球的情况，即概率为5/8。所以，取出的球是蓝球的概率为3/8。 2. 全概率公式 全概率公式是一种常用的计算条件概率的方法。它适用于当事件A的发生依赖于多个互斥事件B1、B2、...、Bn时。 全概率公式的表达式为： P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn) 其中，B1、B2、...、Bn为互斥事件，且它们的并集为样本空间Ω。 例如，假设有两个袋子，袋子1中有4个红球和2个蓝球，袋子2中有3个红球和5个蓝球。现在随机选择一个袋子，并从袋子中随机取出一个球，已知取出的球是红球，求这个红球来自袋子1的概率。 根据全概率公式，我们可以计算得到： P(红球来自袋子1) = P(红球来自袋子1|取出红球)P(取出红球) + P(红球来自袋子1|取出蓝球)P(取出蓝球) = (4/6)(1/2) + (3/8)(1/2) = 2/3 所以，这个红球来自袋子1的概率为2/3。 三、贝叶斯定理

谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法 摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。 关键词:条件概率，事件、样本空间 1.条件概率的概念 一般地，设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。 关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件的概率，则在事件已经发生的条件下事件的条 件概率等于事件的概率除以事件的概率所得的商: 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: 性质：1. =1- 2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别 与这是两个截然不同的事件概率．设是随机试验对应的样本空间中的两个事件，是事件同时发生的概率，而是在事件已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间中进行讨论；而求时，所考虑的样本空间就不是了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式给出了它们之间的联系。 3.条件概率的解题方法： 解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法: （1） 化为古典概型解决 （2） 化为几何概型解决 （3） 条件概率公式法 如果,则先在原样本空间中计算和，再按公式B A ,0)(>A P =)|(A B P )() (A P AB P A B A 0)(>A P A B AB A =)|(A B P )() (A P AB P )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==()P B A )|(A B P )|(A B P )(AB P B A ,Ω)(AB P B A ,)|(A B P A )(AB P Ω)|(A B P ΩA )(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P )()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等0)(>A P Ω)(AB P )(A P = )|(A B P

【高中数学选修第三册】第七章 条件概率

§7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 知识点一 条件概率的概念 一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P (AB ) P (A ) 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． 思考 P (A |B )，P (B )，P (AB )间存在怎样的等量关系？ 答案 P (A |B )＝P (AB ) P (B )，其中P (B )>0. 知识点二 概率乘法公式 对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )为概率的乘法公式． 知识点三 条件概率的性质 设P (A )>0，则 (1)P (Ω|A )＝1. (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． (3)设B 和B 互为对立事件，则P (B |A )＝1－P (B |A )． 1．在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作P (A |B )．( × ) 2．对事件A ，B ，有P (B |A )＝P (A |B )．( × ) 3．若P (B |A )＝P (B )，则事件A ，B 相互独立．( √ ) 4．P (B |A )相当于事件A 发生的条件下，事件AB 发生的概率．( √ )

一、条件概率的定义及计算 命题角度1 利用定义求条件概率 例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB . (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n (Ω)＝A 26＝30. 根据分步乘法计数原理，有n (A )＝A 14A 15＝20， 所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23 . (2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝2 5 . (3)方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523 ＝35 . 方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝3 5 . 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P (AB ) P (A )，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生． 跟踪训练1 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率． 解 设A ＝“抽到的两张都是假钞”，B ＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P (A |B )． ∵P (AB )＝P (A )＝C 25 C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 1 15C 220 ， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25 C 25＋C 15C 115＝1085＝217. 命题角度2 缩小样本空间求条件概率