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自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

第一章行列式

一．行列式的定义和性质

1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义

2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1

,1,2,

;(,1,2,

ij ij ij

ij ij n

i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑

2）11 ;

n ij ik ij kj i j k j k i A A

a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.

3．行列式的性质 1）.T A A =

2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.

6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例设行列式22

b a b a =1，22

c a c a =2，则2

c b a c b a ++=（ 3 ）

二．行列式的计算

1．二阶行列式和三角形行列式的计算.

2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式

例(性质4) (1)(1)(2)

(2)(1)(3)

123233

100

233

100203249

4992004992004090.367677

300677

300607

+-+-=

= 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）

333000

30003000x a a a x a a a a x a a a a

a x a a x a x a a x a D a a x a x a a x a x a a a a x x a a a x x a

+++-===

=+-+-3(3)().x a x a =+-

例（行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算）

111111110

000 ==+(1)(1) 00000

0n n n n n n n a b a b a D aA bA aM b M a b a b b a

++=

+-=+-

例 23

112

48()13

141664

x x D x =

中，3x 项的系数5

14124

(1)139(32)(42)(43)21416

A ==-=----=-

第二章矩阵

一、矩阵的概念

1.要弄清矩阵与行列式的区别

2.两个矩阵相等的概念

3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算

1．矩阵,A B 的加、减、乘有意义的充分必要条件 2．矩阵运算的性质

比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.

+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=22222()()(-)-- 22(); ()2k k k AB ABAB

AB A B A E A A E =≠±=±+

如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B ????==????----????

都不为零，但AB O =.

3．转置对称阵和反对称阵

1）转置的性质

(); () ;()T T T T T T T T T A B A B A A ABC C B A λλ±=±==

2）若()T T

A A A A ==-，则称A 为对称（反对称）阵

例 A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．T A A +

B ．T

A A -

C ．T AA

D ．T

A A

解析 ()()T T T T T T T A A A A A A A A +=+=+=+.故T

A A +为对称阵. ()()T T T T A A A A A A -=-=--.故T

A A -为反对称阵.

().T T T

AA AA =故T AA 为对称阵.同理T A A 也为对称阵.

4. 方阵的行列式的性质

; ; ; T n A A A A AB A B λλ===

11 ; ;.k

n k A A A A A A

--*==

= 5.逆矩阵

1）方阵A 可逆(也称非异，A 满秩)的充分必要条件是0A ≠.

当A 可逆时，1

1A A A

-*=

.其中方阵A 的伴随阵A *的定义1121

11222212n n n n

nn A A A A

A A A A A A *??????=??????

。特别当0ad bc -≠时，1

1a b d b c d c a ad bc --????

=????--????

重要公式

AA A A A E **==；1

n A A

-*=； A *与1A -的关系

2）重要结论：若n 阶方阵,A B 满足AB E =，则,A B 都可逆，且1

1,A B B A --==.

3）逆矩阵的性质：

11();A A --=;当0λ≠时，111111

();()A A AB B A λλ

-----=

=；11()()T T A A --=;11A A

. 4）消去律：设方阵A 可逆，且()AB AC BA CA ==，则必有B C =.（若不知A 可逆，仅知0A ≠结论不一定成立。）

例设A 为2阶可逆矩阵，且已知1

12(2)34A -??=????，则A =1

121342-??????

解由 1

12(2)34A -??=????,所以112234A -??=????

故1

121342A -??=???? 例（求逆矩阵的方法）设101210,325A ??

?= ? ?--??

　求1A

解方法1 1

1A A A

-*=

方法2 []101100101100210 010012 210,325001022301AE ???? ? ?=????→--→ ? ? ? ?---????

(2)+(-2)(1)(3)+3(1)

(3)(3)(2)(2)2

10110010110001221001221000272171001122+-?

????????????→--???→--→????

????-??-????

例（若AB E =则,A B 都可逆,且1

,.A B B A --==）

已知228,A A E O --=则1

()

A E -+=_____________。

解由2

28A A E O --=得2

3350A A A E E +---=，即()(3)5A E A E E +-=，

即 (3)()

5A E A E E -+=，故 11

()(3).5

A E A E -+=- 例设A 是n 阶方阵，且2

()A E O +=，证明A 可逆？.

证因为2

()A E O +=,即2

20A A E ++=,所以(2)A A E E -+=

故A 可逆,且1

(2)A A E -=-+.

例设n 阶方阵A 满足m

A O =，其中m 为正整数，证明E A -可逆，且12

1()m E A E A A A ---=+++

分析只要检查2

1()()m E A E A A A E --++++=即可证因为 2

1()()m E A E A A A --+++

22m E A A A A A =-+-+-+-

m E A E =-=.

故 1

21()m E A E A A A ---=++++

6．分块矩阵

矩阵运算时，分块的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如

111

1213111122133221

23211

2222333,,B A A A A B A B A B A B B AB A A A A B A B A B B ??

++??????===??????++????????

；

分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置

12111

2112122212

12T

k m T

T T k m T T T m m mk k

mk A A A A A A A A A A A A A A A A A A ????????????=????

????

??????

准对角阵的逆矩阵：如果 12,,,k A A A 都是可逆阵，则

11221k k A O O A O

O O A O O

A O O

A O

A ----?????

?????

??=????

????

??????

三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质

称矩阵的下列三种变换为初等行变换：（1）两行互换；

（2）某一行乘一个非零的数；（3）某一行的k 倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.

方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A 化为标准形r

E O O O ??

???

，其中r 为矩阵A 的秩. 如果矩阵A 经过有限次的初等变换变成,B 则称矩阵A 与B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.

2.初等矩阵的定义和性质

1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系

3)对任意m n ?阶矩阵A ，总存在一系列m 阶初等阵12,,

,k P P P 和一系列n 阶初等阵12,,,,l Q Q Q 使得

1212

k l E O PP P AQ Q Q O O ??=?

???

4)矩阵m n ?阶A 与B 等价的充分必要条件是存在一系列m 阶初等阵12,,,k P P P 和一系列n 阶初等阵

12,,,,l Q Q Q 使得1212.k l PP P AQQ Q B =

例（初等矩阵的定义和性质）下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）

A ．1000??????

B ．011101001-????-??????

C ．100010101??????????

D ．010003100??

????????

解析100010101??

????????

是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。

四、矩阵的k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的k 阶子式的概念

2 矩阵秩的概念定义O 矩阵的秩为0，对于非零矩阵A ，如果有一个r 阶子式不等于0,而所有的1r +阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A 的秩为r .显然n 阶可逆矩阵的秩等于n ，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

3.等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价.

4.求矩阵秩的方法

例设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B AC =的秩为___r ____. 测试点用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵A ,则A 的秩不变.

五、矩阵方程的标准形及解的公式

11111212;;

AX B X A B XA B X BA A XA B X A BA ----=?==?==?=

第三章向量空间

一、n 维向量线性运算的定义和性质;

例向量由向量组线性表示;组合系数的求法

设向量123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),T T

T T

αααβ===

则β由123,,ααα线性表出的表示式为

__13βαα=-___.

解考虑 112233x x x αααβ++= 该线性方程组的增广矩阵

[]123

111011101101001110010111A αααβ????

????==??→-→????

????--????

111011011001011101000100001100110011??????

??????→-??→??→????????????---??????

所以 13βαα=-

二、n 维向量组的线性相关性

1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件： 1）定义: 设12,,

,m ααα是一组n 维向量.如果存在m 个不全为零的数12,,,m λλλ，使得

11220m m λαλαλα++

+=,

则称向量组12,,

,m ααα线性相关，否则，即如果11220m m λαλαλα++

+=，必有

120m λλλ====，则称向量组12,,

,m ααα线性无关.

2) m 个n 维向量12,,,(2)m m ααα≥线性相关的充分必要条件是至少存在某个i α是其余向量的线性组合.

即12,,,(2)m m ααα≥线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

2. 关于线性相关的几个定理 1) 如果向量组12,,,m ααα线性无关,而12,,,,m αααβ线性相关,则β可由12,,,m ααα线性表示,且表

示法唯一.

2) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关)

3) 若向量组12(,,,),1,2,

,i i i in a a a i m α==线性无关,则接长向量组

12(1)(,,,,),1,2,

,i i i in i n a a a a i m β+==必线性无关.

3．判断向量组线性相关性的方法 1)一个向量α线性相关0α?=； 2)含有零向量的向量组必线性相关； 3)向量个数＝向量维数时，n 维向量组12,,

,n ααα线性相关

120n A ααα?==.

4)向量个数>向量维数时, 向量组必线性相关；

5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）. 6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；

7)向量组线性无关?向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关?向量组的秩<所含向量的个数; 8)向量组12,,

n ααα线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

11220n n x x x ααα++

有（没有）非零解.

例设向量111122221111122222(,,),(,,),(,,,),(,,,)

a b c a b c a b c d a b c d ααββ====，下列命题中正确的是（ B ）

A ．若12,αα线性相关，则必有12,ββ线性相关

B ．若12,αα线性无关，则必有12,ββ线性无关

C ．若12,ββ线性相关，则必有12,αα线性无关

D ．若12,ββ线性无关，则必有12,αα线性相关

三、向量组的极大无关组及向量组的秩 1．极大无关组的定义：设12,,

,r ααα是向量组T 的一个部分组.如果（1）12,,,r ααα线性无关；（2）任给T β∈，都有

12,,,,r βααα线性相关，则称12,,,r ααα是向量组T 的一个极大无关组.

2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

例设1234,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为123,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量

组1234,,,αααα的秩为___3___.

四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标

1. n 维向量空间的定义：n 维实向量的全体构成的集合称为n 维向量空间，记为n R .

2. 子空间的定义：设V 是n R 的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称V 是n R 的一个子空间,简称为向量空间V .

3.生成子空间的定义：设12,,

,,n m R ααα∈则由它们的所有线性组合构成n R 的一个子空间，称它为由

12,,,m ααα生成的子空间.

例设1123123{(,,,0),,},V x x x x x x x R ==∈2123123{(,,,1),,}V x x x x x x x R ==∈ 31212{(,,

,)0}n n V x x x x x x x ==+++=，说明哪个是子空间，那个不是.

解析在1V 中，任取1231231(,,,0),(,,,0),x x x y y y V k αβ==∈为任意数，都有

1122331(,,,0),x y x y x y V αβ+=+++∈

1231(,,,0)k kx kx kx V α=∈ 所以1V 是子空间.

类似地，可以证明31212{(,,

,)0}n n V x x x x x x x ==+++=也是子空间.

但对2123123{(,,,1),,}V x x x x x x x R ==∈，取(1,0,0,1),(0,1,0,1)αβ==都属于2,V 而 2(1,1,0,2).V αβ+=?这表明2V 对加法运算不封闭，故2V 不是子空间.

4. 向量空间的基和维数的定义向量空间V 的一个向量组12,,

,r ααα线性无关，且V 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的

一个基.零空间{0}没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数r 为该空间的维数. 设 1122r r x x x αααα=++

+ 称12(,,,)r x x x 为α在这组基下的坐标.

例向量空间1212{(,,0),V x x x x x ==为实数}的维数为____2_____. 容易看出 (1,0,0),(0,1,0)αβ==是V 的一个基。

例（向量在一组基下的坐标）证明向量组123(1,1,1),(1,2,0),(3,0,0)ααα===是3R 的一组基，则向量

(8,7,3)β=在这组基下的坐标是___(3,2,1)____.

解因为1

3113

31112002160100

001

T T ααα==-=-≠

故123,,ααα线性无关，所以它是3R 的一组基.

考虑 112233T T T

T x x x αααβ++= 该线性方程组的增广矩阵为：

113811381207013110030135T

T T

T A αααβ????

??????==??→--??????

????---????

113811380131013100660011??????????→--→--????????--????

得 1233,2, 1.x x x === 所以(8,7,3)β=在这组基下的坐标是(3,2,1)（即12332βααα=++）例求由向量组123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)ααα===生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数. 解析显然12(1,1,1),(1,2,0)αα==是123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)ααα===的一个极大无关组，故是由

向量组123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)ααα===生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于2.

第四章线性方程组

一、线性方程组的三种表示方法

1. 1111221121121222

1122 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=

2.Ax b =，其中 11

1211121

222221

,,n n m m mn m n a a a b x a a a b x A b X a a a b x ??????

???????

?????===??????????????????

. 3．1122n n x x x b ααα++

+= 其中12(1,2,

,)j j

j mj a a j n a α??

????==????????

二、齐次线性方程组

1．齐次方程组有非零解的条件

1）齐次方程组0AX =有非零解的充分必要条件是()r A <未知数的个数（即矩阵A 的列数）. 2）其次方程组0Ax =只有零解的充要条件是系数矩阵A 的秩 3.n ==

3）n 个未知数n 个方程的齐次方程组0AX =有非零解的充分必要条件是0A =.

4) 设A 是m n ?阶矩阵.若m n <，则齐次方程组0AX =必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要)

2. 齐次方程组解的结构 1）齐次方程组解的性质

设,αβ都是0Ax =的解，则12C C αβ+也是0Ax =的解(C 1，C 2为任意常数) 2）齐次方程组0AX =的基础解系的概念设12,,

,s ξξξ是齐次方程组0AX =的一组解.如果它满足：

（1）12,,,s ξξξ线性无关；（2）0AX =的任何一个解ξ都可以表示为12,,,s ξξξ的线性组合，则称

12,,,s ξξξ为该齐次方程组的基础解系.

如果齐次方程组有非零解（即()r A n <），则它有基础解系.

重要结论:齐次方程组0AX =的基础解系含()n r A -个线性无关的解；齐次方程组0AX =的任意()n r A -个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系； 3）齐次方程组0AX =的基础解系的求法例 3元齐次方程组1223 =0

x x x x -??

+=?的基础解系所含解向量的个数为 1 .

解因为齐次方程组的系数矩阵为110011-??

????

的秩为2,未知数的个数为3,所以其基础解系含321-=个解.

例设m ×n 矩阵A 的秩()3(3)r A n n =->，,,αβγ是齐次线性方程组0Ax =的三个线性无关的解向量，则

方程组0Ax =的基础解系为（ D ） A ．,,αβαβ+ B ．,,βγγβ- C ．,,αββγγα---

D ．,,ααβαβγ+++

解显然A,B,C 选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.

3. 齐次方程组0AX =的通解公式如果

12,,,n r ξξξ-是0AX =基础解系，则它的通解为1122n r n r x C C C ξξξ--=++

+，其中

12,,

,n r C C C -为任意数.

三．非齐次方程组 1．非齐次方程组解的性质

1）设12,ηη都是Ax b =的解，则12ηη-是它的导出组0Ax =的解.

2）设12,ηη都是Ax b =的解，则当121k k +=时，1122k k ηη+也是Ax b =的解. 3）设η是Ax b =的一个解，ξ是它的导出组0Ax =的解,则ξη+是Ax b =的解.

2．关于非齐次方程组解的讨论

定理 n 个未知数，m 个方程的线性方程组AX b =中，（系数矩阵A 是m n ?阶矩阵）[]A Ab =是增广矩阵.则

1）当且仅当r A r A n ==()()（未知数的个数）时，方程组AX b =有惟一解； 2）当且仅当()()r A r A n =<（未知数的个数）时，方程组AX b =有无穷多解； 3）当且仅当()()r A r A <时，方程组AX b =无解.

从以上定理可见

1）线性方程组AX b =有解的充分必要条件是()()r A r A =.

2）当线性方程组AX b =，方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式（方阵）0A ≠.

3）如果非齐次线性方程组Ax b =有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组0Ax =只有零解.

3.非齐次方程组AX b =的通解的结构

1122n r n r x C C C ηξξξ*--=++++

其中η*

是方程AX b =的一个特解，()r r A =为系数矩阵的秩，12,,

,n r ξξξ-为它的导出组（与它对应的）

齐次方程组0AX =的基础解系.

例设3元非齐次线性方程组Ax b =的两个解为(1,0,2),(1,1,3)T T

αβ==-，且系数矩阵A 的秩()2r A =，

则对于任意常数12,,,k k k 方程组的通解可表为（ C ）

12A. (1,0,2)(1,1,3) B. (1,0,2)(1,1,3)T T T T k k k +-+- C. (1,0,2)(0,1,1) D. (1,0,2)(2,1,5)T T T T k k +-+-

解因为(1,0,2),(1,1,3)T T αβ==-都是非齐次方程组Ax b =的解，故(0,1,1)T

αβ-=-

是它的导出组0Ax =的解，又因为0Ax =为3元方程组，()2r A =，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解都是它的基础解系，故(0,1,1)T

αβ-=-就是它的基础解系，又(1,0,2)T

α=是非齐次方程组

Ax b =的（特）解，所以 (1,0,2)(0,1,1)T T k +-为Ax b =的通解.

第五章特征值与特征向量

一、特征值与特征向量

1．特征值与特征向量的定义

要点：λ是n 阶方阵A 的特征值，是指存在非零列向量α，使得A αλα=.这时，称α为矩阵A 属于特征值λ的特征向量.由此知，λ是n 阶方阵A 的特征值0E A λ?-=，这时，齐次方程组()0E A x λ-=的

非零解都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量.

例设 3阶矩阵A 的每行元素之和均为2,则A 必有一个特征值为 2 . 解因为3阶矩阵A 的每行元素之和均为2,

1112131112132122

2321222331

3331323312112212.121a a a a a a Ax a a a a a a x a a a a a a ++??????????

??????????==++===??????????

??????????++??????????

所以A 必有一个特征值为2.

例设矩阵1111021100310003A ??

?= ? ???

，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ 3 ）解 A 的特征值为12341,2,3λλλλ====，当343λλ==时，

311

1121110321101113003310001000330000E A -------????????-----????-==????---????-????

所以(3)3r E A -=，故(

3)0E A x -=的基础解系只含一个解，这表明A 只有一个属于特征值3的线性无关的特征向量，故A 的线性无关的特征向量的个数是3.（矩阵A 属于不同特征值的特征向量线性无关）

2．关于特征值、特征向量的性质

1）T A 与A 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；

2）设12,αα都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，12,k k 是数，只要11220k k αα+≠，则1122k k αα+也是矩阵A 属于特征值λ的特征向量；

3) 设n 阶方阵A 的n 个特征值为12,,

,n λλλ,则

121122(1);n nn trA a a a λλλ++

+==+++

(2)12

n A λλλ=.

4）矩阵A 属于不同特征值的特征向量线性无关;

5）设α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则α是矩阵()f A 属于特征值()f λ的特征向量，其中

101()k k k f x a x a x a -=+++.

6）设λ为矩阵A 的一个特征值,则()f λ为矩阵()f A 的特征值;

7) 设λ是可逆矩阵A 的特征值.则0λ≠，且1

是矩阵1A -的特征值.

3．特征值、特征向量的求法

例设n 阶矩阵A 有一个特征值为2-,对于n 阶单位矩阵E ,矩阵2A E -必有一个特征值为 -4 . 解()2f A A E =-,则()2f x x =-,因为A 有一个特征值为2-,故2A E -必有一个特征值为

(2)224f -=--=-

例已知A 是n 阶矩阵，且满足方程2

2A A O +=,证明A 的特征值只能是0或2-.

证设λ为A 的特征值，则2

2λλ+必为22A A +的特征值，又因为

22A A O +=，故2

20λλ+=，故必有0λ=或2λ=-.证毕

二、相似矩阵

1.相似矩阵的定义

设,A B 都是n 阶方阵，如果存在可逆阵,P 使得1

B P AP -=，则称A 与B 相似.

2. 相似矩阵的性质

1)反身性，对称性，传递性；

2）若方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而12,n A B λλλ==，

且12n trA trB λλλ==++

+,其中trA 表示矩阵A 的迹，即1122nn trA a a a =+++,12,,,n λλλ为方阵

A 的n 个特征值；

注意：反之，若A 与B 有相同的特征值，A 与B 不一定相似；例如1011,0101A B ????

==????

????

有相同的特征值，但A 与B 不相似.

3.方阵A 的对角化问题

1) n 阶方阵A 能与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量；设12,,,n λλλ是方阵A 的

n 个特征值，12,,

,n p p p 依次是方阵A 的属于特征值12,,

,n λλλ的n 个线性无关的特征向量.若令

[]1

n P p p p =，则121

000000

n P AP λλ

λ-??

???

?=???

???

. 2）若方阵A 有n 个不同的特征值（即特征方程无重根），则A 必能与对角阵相似.（这是A 能与对角阵相似的充分条件，不是必要条件）

三.向量的内积和正交矩阵

1.向量内积的定义:设11221122,,(,)T

n n n n a b a b a b a b a b a b αβαβαβ????

????????====++

+????????????

2．向量的长度22

12(,)n a a a ααα==++

3．单位化向量0

αα

4．正交向量组的定义及其性质

定义如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交），则称该向量组为正交向量组.

主要性质正交向量组必线性无关 5施密特正交化手续

2111222112111111121011(,)1

,2010(,)210000k αββαβαβαβββ??

??????????

???????

???????-===-=-=-=??????????????????

??????????

6. 正交矩阵

1）正交矩阵的定义；如果n 阶方阵A 满足T

AA E =，则称它为正交阵

2）正交矩阵的性质：设方阵A 为正交阵，则1;A =±

A 必可逆，且1T

A A -=；

如果,A B 都是n 阶正交阵，则AB 也是正交阵；

A 是正交阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组构成n R 的标准正交基.

四．实对称矩阵的相似标准形

1．实对称矩阵的特征值都是实数；

2．实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；

3．实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P ，使得1

P AP -为对角形.

4．等价矩阵有相等的秩;

第六章实二次型

一. 二次型及其矩阵表示 12(,,)T n f x x x x Ax =,称矩阵A 的秩为该二次型的秩

二．矩阵的合同设A 与B 都是n 阶方阵.如果存在可逆矩阵,P 使得T

B P AP =，则称A 与B 合同.

对于二次型12(,,

)T n f x x x x Ax =，做非退化的线性变换变换x Py =（其中P 为可逆阵）则

12(,,

)()T T T n f x x x x Ax y P AP y ==,可见经非退化的线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。

三．用正交变换化二次型为标准形 1.定理对任意实二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =，总存在正交变换x Py =，使得该二次型化为标准型

222121122(,,,)n n n f x x x y y y λλλ=+++，其中12,,

,n λλλ为实对称矩阵A 的n 个特征值.

此定理说明：对任意实对称矩阵A ，总存在正交阵P ，使得1200000

n P AP λλ

λ?????

?=???

???

其中12,,,n λλλ为实对称矩阵A 的n 个特征值.（即实对称矩阵A 必能与对角阵

000000n λλ

λ?????

?Λ=???

???

合同.

2. 要掌握用正交变换化二次型为标准形（平方和）的方法. 例 (用正交变换将二次型化为标准形的方法步骤)

已知二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求一正交变换Py x =，将此二次型化为标准形．

解 1.该二次型的矩阵为011101110A ????=??????

2.求矩阵A 的特征值和特征向量

令 0,E A λ-=得矩阵A 的特征值1231, 2.λλλ==-=

当 121λλ==-时，得齐次方程组()0E A x λ-=的基础解系为12111,001p p --????????==????????????

，这表明12,p p 为矩阵A 的属于特征值121λλ==-的两个线性无关的特征向量.

当32λ=时，得齐次方程组()0E A x λ-=的基础解系为3111p ????=??????

，故3p 为矩阵A 的属于特征值32λ=的特征向量.

3.将12,p p 正交化(重根特征向量)，令2111221111211(,)11,01(,)

22101p p p αααααα??

-??

--??????

??????==-=-=-????????????

??????????

单位化取312123123111632111,,.26302163p p ααβββαα??????

--????????????

??????====-==????????????

??????

????????????

4.得正交阵[]1231

112631

112

6321063P βββ??--????

??==-?????

?????

5.当x Py =时，原二次型化为标准形222

1232.f y y y =--+

四. 配方法化二次型为标准形（平方和）.

例用配方法求二次型32312

32221321424),,(x x x x x x x x x x f +-++=的标准形，并写出相应的线性变换。

解 1. 222

1231231323(,,)424f x x x x x x x x x x =++-+

222

1133223244x x x x x x x =-+++

2222

1322333()[(2)2(2)]x x x x x x x =-+++- 222

13233

()(2)x x x x x =-++- 2. 令113

2233

32y x x y x x y x

=-??=+??=?，得二次型的标准形222

123

f y y y =+-. 3. 相应的线性变换x Py =为332231131

,(),2

x y x y y x y y ==

-=+，即112233101110

.2200

1x y x x y x y ??

?????

???????==-??????????????????

例用配方法求二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-的标准形，并写出相应的线性变换.

解令112

2123

3x y y x y y x y

=+??

=-??=?

则原二次型 123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-=

12132313232()2()6()y y y y y y y y y y =-++--=

1213232248y y y y y y =--+

2222113322332(2)282y y y y y y y y =-+-+-= 222132332()2(2)6y y y y y =---+= 222123226.z z z =-+

其中113223332z y y z y y z y =-??=-??=?，整理后得所作的线性变换为：1123

21233

33x z z z x z z z x z

=++??

=--??=?

五. 惯性定律和二次型的规范形

定理任意的n 元二次型T

f x Ax =，一定可以经过可逆的线性变换化为规范形

222211,k k r f z z z z +=+

+--

而且其中的k 和r 是由原二次型惟一确定，与所做的变换无关，k 为规范形中系数取1+的项的个数，称为该

二次型的正惯性指数，r 为该二次型的秩，r k -为为规范形中系数取1-的项的个数，称为该二次型的负惯性指数.

例 3元实二次型2

123123(,,)234f x x x x x x =-++的规范形为【 D 】

A. 222123z z z -+-

B. 222123z z z --

C. 222123z z z --+

D.222

123

z z z +- 例 (化二次型为规范形的方法)

设矩阵001010100A ??

??=??????

，则二次型T x Ax 的规范形为（）

解法1 2

010(1)(1)10E A λλλλλλ

--=-=-+-

所以矩阵A 的三个特征值为1,1,1-

原二次型的一个标准形为 222

123z z z +- 所以原二次型的规范形为 222123z z z +- 解法2 22132T x Ax x x x =+

令11231223,,x y y x y y x y =+=-=

则 222231212123

2()()22T x Ax y y y y y y y y =++-=-+ 所以原二次型的规范形为 222

123z z z +-.

六．正定二次型与正定矩阵

1．二次型正定性的定义及其判别方法

定义 n 元二次型T

f x Ax =和对应的实对称矩阵A

1) 如果对任意的非零实向量x ，都有0(0)T

x Ax ><，则称f 为正定（负定）二次型，称A 为正定（负定）矩阵.

2) 如果对任意实向量x ，都有0(0)T

x Ax ≥≤，则称f 为半正定（半负定）二次型，称A 为半正定（半负定）矩阵.

3) 其它的二次型称为不定二次型，其它的实对称矩阵成为不定矩阵.

2．二次型正定（实对称矩阵正定）的充分必要条件

12(,,,)n f x x x x Ax '=正定的充分必要条件是它的正惯性指数＝n .

12(,,,)n f x x x x Ax '=正定的充分必要条件是A 与单位阵合同.

12(,,,)n f x x x x Ax '=正定的充分必要条件是A 的所有特征值都大于零. 12(,,

,)n f x x x x Ax '=正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子都大于零..

3. 二次型正定性的判别方法

n 元二次型正（负）定?它的正（负）惯性指数＝n ；

n 元二次型半正（负）定?它的负（正）惯性指数＝0； n 元二次型不定?它的正，负惯性指数都大于0.

4. 实对称矩阵合同的充要条件

实对称矩阵矩阵A 与B 合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数.

考研线性代数公式速记大全

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解， 0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号

线性代数(经管类)-阶段测评1,2,3,4

线性代数（经管类）-阶段测评1 1.单选题 1.1 5.0 设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（）您答对了a a $P_1P_2A=B$ b $P_2P_1A=B$ c $AP_1P_2=B$ d $AP_2P_1=B$ 考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。 1.2 5.0 设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（）您答对了 c ? a $-3$ ?

?b $9$ ? ?c $-27$ ? ?d $81$ ? $|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$. 1.3 5.0 设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（）您答对了 d ?a $A=B$ ? ?b $A=-B$ ? ?c $|A|=|B|$ ? ?d $|A|^2=|B|^2$ ? 方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取

$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。 1.4 5.0 设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（）您答对了 d ?a 9 ? ?b 1 ? ?c -1 ? ?d -9 ? $|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$. 1.5 5.0 设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（）您答对了 b ?a $[[d,-b],[-c,a]]$ ? ?b $[[-d,b],[c,-a]]$ ? ?c $[[d,-c],[-b,a]]$

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

(完整版)自考本科线性代数(经管类)知识汇总

自考高数线性代数笔记第一章行列式 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

自学考试线性代数经管类资料重点考点

线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==

线性代数公式大全——最新修订(突击必备)

线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

线性代数经管类——重点难点总结

4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==，由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα，所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关．证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ，即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，

因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ，只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0

自学考试试卷线性代数(经管类)

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=

第二部分非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________．三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

自考线性代数(经管类)试题及答案解析2020年1月

1 全国2018年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵；秩（A ）表示矩阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（） A.-108 B.-12 C.12 D.108 2.如果方程组?? ???=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（） A.AB=BA B.()111---+=+B A B A C.B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+ 4.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （） A.2 B.4 C.8 D.12 5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量

2 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 7.设A 为m n ?矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（） A.B A = B.秩（A ）=秩（B ） C.存在可逆阵P ，使P -1AP=B D.λE-A =λE-B 9.与矩阵A =???? ??????200010001相似的是（） A.???? ??????100020001 B.??????????200010011 C.??????????200011001 D.???? ??????100020101 10.设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 232221321+-=则)x ,x ,x (f 321（） A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若,02 11=k 则k=___________. 12.设A=???? ??????411023,B=,010201??????则AB=___________.

线性代数公式大全

概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ

线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0，则D1== ( B )． A.－2M B.2M C.－6M D.6M 2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A 应满足 ( D )． A. A≠O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0 3.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )． A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1 4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )． A. B. C. D. ，则下列说法正确的是( B )． A.若两向量组等价，则s = t .

B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价. D.若r()=r()，则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )． A. 中至少有一个零向量 B. 中至少有两个向量对应分量成比例 C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 可由线性表示 7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )． A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )． A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9.设方程组有非零解，则k = ( D )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．

线性代数公式必记

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0；

自学考试线性代数经管类试卷及答案

自学考试线性代数经管类试卷及答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设行列式D 1= 22 11 b a b a ，D 2=2 22 111 3232a b a a b a --，则D 2= 【】 2、若A=???? ??1x 1021，B =??? ? ??y 24202，且2A =B ，则【】 =1，y=2 =2，y=1 =1，y=1 =2，y=2 3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是【】 A.????? ??000000001 B.????? ??000010001 C.????? ??100000001 D.???? ? ??100010001

4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础解系所含解向量的个数为【】 5、矩阵??? ? ??--3113有一个特征值为【】二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = . 7、设A =??? ? ??5312，则A * = . 8、已知A =???? ??1201，B =??? ? ??-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数 k= .

自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

第一章行列式一．行列式的定义和性质 1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义 2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1 1 ,1,2, ;(,1,2, )n n ij ij ij ij ij ij n n i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑ 2）11 ; 00 n n ij ik ij kj i j k j k i A A a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 3．行列式的性质 1）.T A A = 2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例设行列式22 11 b a b a =1，22 11 c a c a =2，则2 22 1 11 c b a c b a ++=（ 3 ）二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式例(性质4) (1)(1)(2) (2)(1)(3) 123233 100 233 100203249 4992004992004090.367677 300677 300607 +-+-= = = 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）

考研线性代数公式

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１、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列)的元素乘以其它行(列）元素的代数余子式为0； ③、某行(列)的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置）,所得行列式为3D ，则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积; ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明０是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵)； ?()r A n =（是满秩矩阵) ?A 的行（列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;

自考线性代数(经管类)笔记-重点解析

《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析武汉大学出版社 2006年版第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出

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