高考文科数学解析几何练习题

解析几何单元易错题练习

一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于

|

1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122

2

2=+b x a y （a ＞b ＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于

2

y 项的分母，则椭圆的焦点在x

轴上，反之，焦点在y 轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质

椭圆的几何性质：设椭圆方程为122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）.

⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.

线段

1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，

a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所

以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

a c

e =

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆

越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a c

e =

（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，

12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为

c a x 2

±

=.对于椭圆

1222

2=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即

c a y 2

±=.

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则

两条焦半径长分别为

ex

a MF +=1，

ex

a MF -=2.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2

c 、a c

e =

两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

4.椭圆的参数方程

椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?

（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：

θαtan tan a

b

=

；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程122

2

2=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的

实质是三角代换. 92.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

. 5.椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b ?+>.

6. 椭圆的切线方程

椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.

22

221(0)x y a b a b +=>>0Ax By C ++=22222A a B b c +=

双曲线及其标准方程

双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.

在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|

1F 2F |，则

动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|

1F 2F |，则无轨迹.

若

1

MF ＜

2

MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若

1

MF ＞

2

MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线

是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的

a 、

b 、

c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果

2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.

对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 双曲线的简单几何性质

双曲线1222

2=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率

a c

e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02

222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n m

y ±=，即

0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双

曲线.对于双曲线1222

2=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2

-=和

c a x 2

=

.

双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2

2|()|

a PF e x c =-.

双曲线的内外部

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b ?->. 点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22

00221x y a b ?-<.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12

222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. 若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-222

2b y a x .

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

双曲线的切线方程

双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.

（3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>与直线

0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=. 抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。

需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：

px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例 （1）范围：x ≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；

（5）准线方程

2p

x =-

；

（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：

221122112:;2:222:;2:22p

p y px PF x y px PF x p

p

x py PF y x py PF y ==+

=-=-+==+=-=-+

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2

+bx+c=0，当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

4.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2

οοy p y 或或)2,2(2

pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =o o .

5.二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2

4(,)

24b ac b a a --；

（2）焦点的坐标为241

(,)

24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=.

6.抛物线的内外部 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部2

2(0)y px p ?<>.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部2

2(0)y px p ?>>.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部2

2(0)y px p ?<->.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部2

2(0)y px p ?>->.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部2

2(0)x py p ?<>.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部2

2(0)x py p ?>>.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部2

2(0)x py p ?<>.

点

00(,)

P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部

2

2(0)x py p ?>->.

7. 抛物线的切线方程

抛物线

px y 22

=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.

（2）过抛物线

px

y 22=外一点

00(,)

P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00()

y y p x x =+.（3）抛物线

22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.

(六).两个常见的曲线系方程 过曲线

1(,)0f x y =,

2(,)0

f x y =的交点的曲线系方程是

12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).

22

221x y a k b k +=--22max{,}k a b <22min{,}k a b >

2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

1212|||AB x x y y ==-=-A

),(),,(2211y x B y x ，由

方程?

?

?=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. (八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线

(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-

-=++.

四．基本方法和数学思想

椭圆焦半径公式：设P （x0,y0）为椭圆122

22=+b y a x （a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则

201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）；

双曲线焦半径公式：设P （x0,y0）为双曲线122

22=-b y a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:

（1）当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；

（2）当P 点在左支上时，

201,ex a PF ex a PF -=--=；（e 为离心率）；

另：双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的渐进线方程为022

22=-b y a x ；

抛物线焦半径公式：设P （x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则

20p

x PF +

=；y2=2px(p ＜0)上任意

一点，F 为焦点，

20p x PF +

-=；

涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(22

2

2=-b y a x 为参数，λ≠0）；

计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长

]

4))[(1(1222x x x x k x x k AB -++=-?+=

]4)[()1

1(1

1212212122y y y y k y y k

-+?+

=-?+

=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；

椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a b 2

2，焦准距为p=c b 2

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p; 双曲线122

22=-b y a x （a>0，

b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；

抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）

AB

＝x1+x2+p;（2）y1y2=

－p2，x1x2=42

p ;

过椭圆122

22=+b y a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则

)

(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦

)

(221x x e a AB +-=；

对于y2=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（

p y 22

0，y0）,以简化计算;

处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆122

22=+b y a x （a>b>0）上不同的

两点，M(x0,y0)是AB 的中点，则KABKOM=22

a b -；对于双曲线1222

2=-b y a x （a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=22a b ；

对于y2=2px(p ≠0)抛物线有KAB ＝21

2y y p

+

求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；

（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；

（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。

错解：设所求直线方程为1=+b y

a x 。

∵（2，1）在直线上，∴1

12=+b a ， ① 1

由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。

剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。

事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2

1

b

a

，而不是

2

1

ab。

故所求直线方程应为：

x + 2 y = 4，或（

2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。例题2求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。

错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-k

2

，0），

∴

5

1

2

4=

-

-

-

k

，解得k = -

5

1

。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。

剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。

例题3求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。

错解：设所求方程为

1

=

+

a

y

a

x

，将（1，1）代入得a = 2，

从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。

剖析：上述错解所设方程为

1

=

+

a

y

a

x

，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）

的直线y = x 也符合条件。

例题4已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。

错解：将圆的方程配方得：( x + 2

a

)2 + ( y + 1 )2 =

4

3

42a

-

。

∵其圆心坐标为C（－2

a

，－1），半径r ＝

4

3

42a

-

。

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则AC

＞r 。

即

2

2)1

2(

)

2

1(+

+

+

a

＞

4

3

42a

-

。即a2 + a + 9 ＞0，解得a∈R。

剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC

＞r ，即a2 + a +

9 ＞0，却忽视了a的另一制约条件4 – 3 a2 ＞0。

事实上，由a2 + a + 9 ＞0及4 – 3 a2 ＞0可得a的取值范围是（

3

3

2

,3

3

2

-

）。

例题5 已知直线L ：y = x + b 与曲线C ：y =

2

1x -有两个公共点，求实线b 的取值范围。

错解：由

?????2

1,x y b x y -=+=消去x 得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）

∵ L 与曲线C 有两个公共点， ∴

?= 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－2＜b ＜2

剖析：上述解法忽视了方程y =

2

1x -中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。

事实上，曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。

?????????

≥-=>=+>=?0

21022b --y y 0 1)-8(b -4b 2

212

221b y y

解得1≤ b ≤

2。

例题6 等腰三角形顶点是A （4，2），底边的一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程。 错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：

AC

=

AB

，即：

2

2)2()4(-+-y x =

2

2)52()34(-+-

∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。 这是以A （4，2）为圆心、以为半径的圆。

剖析：因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即B 、C 不能重合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。

事实上，C 点的坐标须满足??

?≠≠53

y x ，且?????≠+≠+225423

y x ，

故端点C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠3,y ≠5；x ≠5,y ≠－1)。 它表示以（4，2）为圆心，以

10

为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。

例题7 求z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件： ??

?

??≤-+≤≤+351y 15

3y 5x y x x

错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。 由于经过B 点且与L0平行的直线与原点的距离最近，

故z = 3 x + 5 y 在B 点取得最小值。解方程组

??

??

?=+=-153535y x y x ，得B 点坐标为（3，0），∴ z 最小＝3?3＋5?0=9。

由于经过A 点且与L0平行的直线与原点的距离最大，

解方程组??

?=++=15351y x x y ，得A 点坐标为（23，25）

。

∴ z 最大＝3?23＋5?25

= 17 。

剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z 取得最大值的点。反之，即为Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此

造成了解题失误。

事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的

右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的 左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在A 点取得最大值，在C 点取得最小值。

解方程组??

?=-+=351

y x x y ，得C （－2，－1）

。

∴ z 最小＝3?（－2）＋5?（－1）= －11。 例题8 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为

x y = .抛物线c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点

（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x

解答：（1）设

(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠

因为 B,D 在抛物线上 所以

222(2)(2)2(2)(2)s S b S c

S S b S c ?+=-+-+?-=++++?两式相减得

282s s sb =-- 则5b =-代入（1）

得2244105s s s s c +=-+-++ 288c s ∴=-<

故点

(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。 （2）设

(,),(,)0B t s t s D t s t s s +--+≠

同上

22()()(1)

()()(2)t s t s b t s c t s t s b t s c ?+=-+-+?-=++++?L L L L （1）-（2）得

1

2b t +=-

(3)L L

22(1)0(4)s b t t c +-++=L L

（3）代入（4）消去t 得22

2

1(1)024b b s c -+=-->

得2(1)44b c --> 又()f x x =即

2

(1)0x b x c +-+=的两根12,x x 满足 121x x b +=- 12x x c ?= 222121212||()4(1)44

x x x x x x b c ∴-=+-=-->

故

12||2

x x ->。

易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。

例题9

已知双曲线两焦点12,F F ，其中1

F 为2

1(1)14y x =-++的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求

点

1

F 的坐标；（2）求点

2

F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线

y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，

求实数 t 的取值范围。

解答：（1）由21

(1)1

4y x =-++得：

2(1)4(1)x y +=--，故1(1,0)F - （2）设点

2(,)

F x y ，则又双曲线的定义得

1212||||||||||||0

AF AF BF BF -=-≠

又

21||||AF AF ==Q

22||||

AF BF ∴=

或

2211||||||||F A F B AF BF +=+= ∴ 点

2

F 的轨迹是以

,A B 为焦点的椭圆

∴10x += 除去点(1,0),(1,4)--或22

(1)(2)1

84x y +-+=除去点

(1,0),(1,4)-- 图略。

（3）联列：2(1)(2)

184y x t x y =+?

?

?+-+=??消去y 得

22(1)2(2)8x x t +++-= 整理得：223(46)2810x t x t t +-+-+=

当0=V

时

得3t =±

从图可知：(,3(3)t ∈-∞-?++∞，

又因为轨迹除去点

(1,0),(1,4)-- 所以当直线过点(1,0),(1,4)--时也只有一个交点，即1t =或5

(,3(3){1,5}t ∴∈-∞-?++∞?

F

方程只有一解。 例题10

已知圆1:221=+y x O ，圆:2

O 09102

2=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：091022=+-+x y x ，即为

16)5(22=+-y x

所以圆O2的圆心为

)0,5(2O ,半径42=r ,

而圆1:2

21

=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r 则

1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O

即

3)5(2222=+--+y x y x ，化简得0649801622=+--y x x

即1449)25(2

2=--y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。

剖析：上述解法将||||21M O M O -=3

看成

3||||||21=-M O M O ,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的

概念不清所致。 事实上，|

3|||21=-M O M O 表示动点M 到定点1O 及2O 的距离差为一常数3。

且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(14

49)25

(2

2≥=--x y x

例题11

点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P 与定点

)

3,45

(1P 距离的最值。 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ，则

,31

||=d PF 即

31

|8|)2(22=

-+-x y x

两边平方、整理得

29)49()45

(2

22y x +

-=1 （1）

由此式可得：

2

22)49()921()45(?-=-y x

因为

221)3()45(||-+-=y x PP 2

22)3()49

()921(-+?-=y y

161377

)24(812+

+-=y

所以

|

|1PP 1534

3

161377max ==

剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了

2

23

223≤≤-

y 这一取值范围，由以上解题过程知，||1

P P 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 即：当

223-

=y 时，223

3||max 1+=PP

例题12

已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率e=332

, 过点A （

b -,0）和B(a,0)的直线与原点的距离为23

,直线y=kx+m )0,0(≠≠m k 与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的

取值范围。

错解

由已知，有2

24132

b e a ???=+=

? ????

?

?=??

解之得：

1,32

2==b a

所以双曲线方程为1

322

=-y x

把直线 y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得：

0336)31(2

22=----m kmx x k

所以03122>-+=?

k m (1)

设CD 中点为

)

,(00y x P ，则AP ⊥CD ，且易知：

2

2031,313k m

y k km x -=-=

所以

k

k km k m

k AP

131313122-=-+-= 1432

+=?m k (2)

将(2)式代入(1)式得

042

>-m m 解得m>4或0

故所求m的范围是

)

,4(

)0,

(+∞

-∞

∈Y

m

剖析上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，

将

3

1

4

2

+

=

m

k

代入(1) 式时，m受k的制约。

因为

2>

k所以4

1

-

>

m

故所求m的范围应为m>4或

4

1

<

<

-m

例题13椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率

2

3

=

e

,已知点P（

2

3

,0

）到椭圆上的点最远距离是

7

，求这

个椭圆的方程。

错解设所求椭圆方程为

)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

因为

2

2

2

a

c

a

a

b-

=

2

1

12=

-

=e

，所以a=2b

于是椭圆方程为

1 42

2

2

2

=

+

b

y

b

x

设椭圆上点M（x,y）到点P

)

2

3

,0(

的距离为d,

则：

2

2

2)

2

3

(-

+

=y

x

d

4

9

3

)

1(

42

2

2

2+

-

+

-

=y

y

b

y

b3

4

)

2

1

(32

2+

+

+

-

=b

y

所以当

2

1

-

=

y

时，有

1

,7

3

42

max

2=

=

+

=b

b

d

所以所求椭圆方程为

1 4

2

2

=

+y

x

剖析由椭圆方程

)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

得

b

y

b≤

≤

-

由(1)式知

2

d是y的二次函数，其对称轴为2

1

-

=

y

上述错解在于没有就对称轴在区间

]

,

[b

b-

内或外进行分类，

其正解应对f(y)=

3

4

)

2

1

(32

2+

+

+

-b

y

的最值情况进行讨论：

（1）当

21-

≤-b ，即21

≥b 时

3

4)21(2

max

2

+=-=b f d

=71=?b ,方程为1422=+y x

（2）当

b -<-

21, 即

21

=b 2123>-

，与21

综上所述，所求椭圆方程为1

422

=+y x

例题15

已知双曲线1

22

2

=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中

点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l 存在，并设

),(21x x P 、),(22y x Q

则???????=-=-

)2(12)1(122

2222

121y x y x

（1）

)2(-得)

)((2121x x x x +-)3())((21

2121y y y y +-=

因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以??

?=+=+)

5(2)4(22121y y x x

将(4)、(5)代入（3）得

)(21

2121y y x x -=

-

若

21x x ≠，则直线l 的斜率

2

2

12

1=--=

x x y y k

所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为

012=--y x

剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

应在上述解题的基础上，再由??

?

?

?

=

-

-

=

1

2

1

2

2

2

y

x

x

y

得

3

4

22=

+

-x

x

根据

8<

-

=

?,说明所求直线不存在。

例题15已知椭圆

1

3

4

)1

(

:

2

2

=

+

-y

x

C

，F为它的右焦点，直线

l过原点交椭圆C于A、B两点。求|

||

|FB

FA?

是

否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

错解设A、B两点坐标分别为

)

,

(

A

A

y

x

、

)

,

(

B

B

y

x

因为

3

,42

2=

=b

a

，所以

1

2

2=

-

=b

a

c，

4

,

2

12

=

=

=

c

a

a

c

e

又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5，所以

2

1 5

|

|

= -

A

x

FA

即

)

5(

2

1

|

|

A

x

FA-

=

，同理

)

5(

2

1

|

|

B

x

FB-

=

所以

|

||

|FB

FA?

)1(]

)

(5

25

[

4

1

B

A

B

A

x

x

x

x+

+

-

=

设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程得0

9

6

)

4

3(2

2=

-

-

+x

x

k

所以

=

+

B

A

x

x2

24

3

9

,

4

3

6

k

x

x

k B

A+

-

=

+

代入(1)式得

|

||

|FB

FA?

)

4

3

39

25

(

4

1

2

k

+

-

=

所以

4

25

|

||

|

3<

?

≤FB

FA

，所以

FB

FA?|

|

|有最小值3,无最大值。

剖析上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当

l的斜率不存在时，

有

|

||

|FB

FA?4

25

2

5

2

5

=

?

=

所以

FB

FA?|

|

有最小值为3，最大值为25/4

课后练习题

2

Y

X

A

B

C

O

x+y=1

A 、1

个

B 、 2个

C 、 3个

D 、 4个

分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导

致错选（ D ）。

事实上，已知圆的方程为： （x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以22为

半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离

为d=

2

1

21+--=

2，

这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8

和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为

2的平行直线即可。

如图2所示，图中三个点A 、B 、C 为所求，故应选（C ）。

2、过定点（1，2）作两直线与圆

222

2150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是

A k>2

B -3

C k<-3或k>2

D 以上皆不对 解 答：D

易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2

240D

E F +->

3、设双曲线22

221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为3C ，

则双曲线的离心率为

A 2

B 2或23

3

C

2 D

233

解 答：D

易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

4、已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的

距离为别为

y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的

A B C D

易错原因：只注意寻找,x y

的关系式，而未考虑实际问题中

,x y

的范围。

5

、若曲线

y=(2)

y k x

=-

+3有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是

A 01

k

≤≤ B

3

4

k

≤≤

C

3

1

4

k

-<≤

D

10

k

-<≤

解答：C

易错原因：

将曲线y=

转化为

224

x y

-=

时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线

y x

=

平

行的直线与双曲线的位置关系。

6、已知圆()3-x2

+y

2

=4 和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，

则︱OP︱·︱OQ︱=( )

A 1+m 2

B

2

1

5

m

+ C 5 D 10

正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。

7、双曲线9

2

x

－

4

2

y

＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（）

A 8x-9y=7

B 8x+9y=25

C 4x-9y=16

D 不存在

正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

8、已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=5

1

则方程x

2

sin

α－y2cosα=1表示（）

A 焦点在x轴上的双曲线

B 焦点在y轴上的双曲线

C 焦点在x轴上的椭圆

D 焦点在y轴上的椭圆

正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cosα=5

1

判断角

α为钝角。

9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点

A 共圆

B 共线

C 在另一条抛物线上

D 分布无规律

正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。

10、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( )

A、2

9

B、4

C、5

D、2

正确答案：B

错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。

11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线

x

y4

2=

仅有一个公共点，这样的直线有（）

A.1条

B.2条

C. 3条

D. 0条正确答案：C

错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==142kx y x y ，得

()x kx 412=+， 即：

01)42(2

2=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。

12、已知动点P （x,y ）满足

|3411|x y =+-，则P 点的轨迹是 （ ）

A 、直线

B 、抛物线

C 、双曲线

D 、椭圆 正确答案：A

错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。

13、在直角坐标系中，方程

()()

02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（

）

A ．一条直线和一个圆

B ．一条线段和一个圆

C ．一条直线和半个圆

D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。

14、设1F 和2F 为双曲线1422

=-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足ο

9021=∠PF F ，则

21PF F ?的面积是（ ）

。

A.1

B.25

C. 2

D.

5

正解：A

1

422

=-y x

5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ①

又Θο

9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ②

联立①②解得2||||21=∴PF PF

∴121=?PF F S

误解：未将

4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出||||21PF PF 。

15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为

)0,0(,>>±

=b a x a b

y ，若双曲线上有一点

M （

0,y x ），使

|

|||00x b y a >，那双曲线的交点（ ）。

在x 轴上 B.在

y 轴上

C.当b a

>时在x 轴上 D.当b a

<时在y 轴上

a y

b x >0y b

x a

>0,0

x y >>OM

可知焦点在

y 轴上。所以选B 。

误解：设双曲线方程为22

22x y a b λ-=，化简得：

222222b x a y a b λ-=， 代入00(,)x y ，22222222000b x a b a y b x λ-=>，0λ∴>，∴焦点在x 轴上。这个方法没错，但λ确定有误，应0λ<，

∴焦点在y 轴上。

误解：选B ，没有分组。

16、与圆

3)5(2

2=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）

A 、2条

B 、3条

C 、4条

D 、6条 答案：C 错解：A

错因：忽略过原点的圆C 的两条切线

17、若双曲线

122=-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ）

A 、

21-

B 、21

C 、21

±

D 、2±

答案：B 错解：C

错因：没有挖掘出隐含条件

b

a >

18、双曲线1492

2=-y x 中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ）

A 、

798=-y x B 、2598=+y x C 、694=-y x D 、不存在

答案：D 错解：A

错因：没有检验出

798=-y x 与双曲线无交点。

19、过函数y=-29

4--x x 的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、不存在 正确答案：（B ）

错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。

20、双曲线1

9162

2=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(

0,5-)的距离_______。 )0,5(-F )0,5(F

2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1

8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.

(word完整版)2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何,推荐文档

2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何 1.〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕 设椭圆2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.PF F F = 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e ； 〔Ⅱ〕设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，假设直线PF 2 与圆 22(1)(16x y ++-=相 交于M ，N 两点，且 5 |||| 8 MN AB =，求椭圆的方程。 【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。 〔Ⅰ〕解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得 2 210,1 c c c a a a ?? +-==- ???得〔舍〕 或11,.22 c e a ==所以 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知 2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方 程为).y x c =- A ，B 两点的坐标满足方程组 222 3412,). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2580x cx -=。解 得 1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ?=?=??? ??=??? =?? 不妨设 85A c ?? ? ??? ， (0,)B ， 所以 16||.5AB c ==

2013-2018全国新课标1.2卷文科数学解析几何题(附答案)

2013-2018高考解析几何题文科数学（Ⅰ） （2013年）： （4）已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。， 则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14 y x =± （B ）13y x =± （C ）12 y x =± （D ）y x =± （8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若 ||PF =POF ?的面积为（ ） （A ）2 （B ） （C ） （D ）4 （21）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB . （2014年）： （4）已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1

（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,() y x A 00,是C 上一点，x F A 0 4 5 = ，则=x 0 A. 4 B. 2 C. 1 D. 8 （20）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （I ）求M 的轨迹方程； （II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积. （2015年）： 5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1 2 ，E 的右焦点与抛物线 2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 16、已知F 是双曲线2 2 :18 y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ， 当APF ?周长最小时，该三角形的面积为 ． 20.（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ： ()() 22 231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围； （II ）12OM ON ?=，其中O 为坐标原点，求MN .

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P 是圆2 2 (3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3 x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0 时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧 长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与 直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．1 2 - B ．1 C ．2 D ． 12 【答案】C

4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆2 2 1x y +=相切于第一象限的 直线方程是（ ） A ．0x y += B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．0x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<< ).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是_________. 【答案】2 2325 (2) ()24 x y -++= 9 ．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点(,)P x y 的坐标x ,y 均为整数, 则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形,对应的1S =,0N =,4L =. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,其中a ,b ,c 为常数. 若某格点多边 形对应的71N =,18L =, 则S =__________(用数值作答).

2014年高考文科数学分类汇编练习题---分解几何含答案分解

2014高考文科数学分类汇编 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＝2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D. 20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1 3， 故l 的方程为y ＝－13x ＋8 3. 又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410 5， 故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16 5. 21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分 别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2 . (1)求该椭圆的标准方程． (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

人教版2018最新高考文科数学解析几何练习题Word版

解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥， 且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d

和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点

全国高考文科数学试题解析几何

高考文科数学真题分类汇编:解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＝2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 21．[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22 . (1)求该椭圆的标准方程． (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 图1-5 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 18．[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43 . (1)求新桥BC 的长． (2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 图1-6

20112017高考全国卷文科数学解析几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 【2017，5】已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ） A ． 13 B ．12 C ．23 D ．32 【解法】选D ．由2 2 2 4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2 2 13 y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13 3(21)22 ??-=，选D ． 【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22 13x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120° ，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U 【解法】选A ． 图 1 图 2 解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，03 tan tan 6032AEB a b m ∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan tan 60323 AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只

需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 3 4 解析：选B ． 由等面积法可得 1112224bc a b ?=???，故1 2 c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为 22 11612 x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |= 05 4 x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015 44 x x + =，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ． 26 C ．2 5 D ．1 解：2c e a ====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．

2019年高考数学理科全国1卷19题-解析几何说题

2019年高考数学理科全国1卷19题说题 已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴 的交点为P 。 （1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求||AB 【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。 【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转 化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =uuu r uu u r 。本题的第一问来自于教材， 稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题： 题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且 斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = （ ） A 。5 B 。6 C 。7 D 。8 题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。 （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t = +1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252 x x +=；

高三文科数学解析几何专题

高三文科数学解析几何专题 一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=m ( ) A ． 2 1 B ．2 1 - C ．2 D ．-2 2双曲线12 102 2=-y x 离心率为 ( ) A ． 5 6 B ． 5 5 2 C ． 5 4 D ． 5 30 3直线x 3+1=0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 4抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =( ) A ． 2 2 B 2 C ．22 D ．425已知点)0,1(M ，直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) （A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 6已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两 点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 ( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角 D ．都有可能 7经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 ( ) A ．30x y -+= B ．30x y --= C ．10x y +-= D ．30x y ++= 8直线1:20l kx y -+=到直线2:230l x y +-=的角为45 ，则k =（ ）

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高三文科数学解析几何专题 一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=m ( ) A ． 2 1 B ．2 1 - C ．2 D ．-2 2双曲线12 102 2=-y x 离心率为 ( ) A ． 5 6 B ． 5 5 2 C ． 5 4 D ． 5 30 3直线x 3+1=0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 4抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =( ) A ． 2 2 B 2 C ．22 D ．42 ~ 5已知点)0,1(M ，直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) （A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 6已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两 点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 ( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角 D ．都有可能 7经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 ( ) A ．30x y -+= B ．30x y --= C ．10x y +-= D ．30x y ++= 8直线1:20l kx y -+=到直线2:230l x y +-=的角为45 ，则k =（ ）

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题九解析几何第二十七讲双曲线

专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019年 1.（2019全国III 理10）双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是 . 3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1， F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ?=uuu r uuu r ，则 C 的离心率为____________． 4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标 原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率 为 A B C ．2 D 5．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 6.（2019天津理5）已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 C.2

2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ． D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．2=± y x D ．2 =±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 A B ．2 C D 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和 2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -=

高三文科数学解析几何专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《解析几何》专题 1．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆 C ：22 221x y a b += (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3 (1,)2 A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率； (Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程． 3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的 直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在，说 明理由 4．已知圆C ：224x y +=. （1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+， 求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 5．如图，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作A 的切线PM （M 为切点），连结PN 使得PM ： ，试建立适当 的坐标系，求动点P 的轨迹 6．已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）．

（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程． 7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低． 8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程. 9 情况下的两类药片怎样搭配价格最低？

高考文科数学解析几何练习题

解析几何单元易错题练习含答案 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 a c e = （e ＜1＝时，这个

2019-2020年高考备考：2018年高考数学试题分类汇编----解析几何

见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________．

6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率

2019年全国高考文科数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考文科数学分类汇编---解析几何 1.（2019北京文科）已知双曲线2 221x y a -=（a ＞0则a = A. B. 4 C. 2 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率c e a = =，c =， =， 解得12 a = ， 故选D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.（2019北京文科）设抛物线y 2 =4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2 =4. 【解析】 【分析】 由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2 =4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心， 且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2 =4. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.（2019北京文科）已知椭圆22 22 : 1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2 212 x y +=； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以 12 25 ； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2 2 2 2a b c =+=，故椭圆的方程为2 212 x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2 212(1)x y y kx t t ?+=???=+≠? 得222 (12k )4220x ktx t +++-=， 2121222 422 0,,1212kt t x x x x k k -?>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，22 2 2 1212122 2()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+. 直线111:1y AP y x x --= ，令0y =得111x x y -=-，即1 11 x OM y -=-； 同理可得2 21 x ON y -= -. 因为2OM ON =,所以 1212 121212211()1 x x x x y y y y y y --==---++；