9二项分布及其应用-简单难度-讲义
二项分布及其应用
引入
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少?
问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少?
解读
1、条件概率
（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()()
P A B P B A P A =
I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或
积）．
把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法：
①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()
P A B P B A P A =
I ．
②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()()
n A B P B A n A =
I ．
2、相互独立事件同时发生的概率
（1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．
如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．
（2）“相互独立”与“事件互斥”
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．
3、二项分布
（1）独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复
试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k
k n k n n
P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．
（2）二项分布
若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验
中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k
n P X k p q
-==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X
由于表中的第二行恰好是二项展开式
001110()C C C C n n n k k n k n
n n n n n q p p q p q
p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．
典例精讲
一．选择题（共19小题）
1．（2018春•重庆期末）设随机变量X ～B （3，0.2），则E （2x +1）=（ ） A ．0.6
B ．1.2
C ．2.2
D ．3.2
【分析】由随机变量X ～B （3，0.2），E （2x +1）=2E （X ）+1，由此能求出结果． 【解答】解：∵随机变量X ～B （3，0.2）， ∴E （X ）=3×0.2=0.6，
∴E （2x +1）=2E （X ）+1=2×0.6+1=2.2． 故选：C ．
2．（2018春•泉州期末）设随机变量X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），若P
（X ≥1）=5
9
，则D （Y ）=（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【分析】由X ～B （2，p ），P （X ≥1）=59，求出p=13，从而X ～B （2，13
），由此
能求出D （X ），利用D （Y ）=9E （X ），能求出结果．
【解答】解：∵随机变量X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），P （X ≥1）=5
9
，
∴P （X=0）=1﹣P （X ≥1）=C 20
(1−p)2=49
，
解得p=13，∴X ～B （2，1
3
），
∴D （X ）=2×13×(1−13)=4
9
，
∴D （Y ）=9E （X ）=9×4
9
=4．
故选：A ．
3．（2018春•大连期末）设X 为随机变量，X ～B （n ，1
3
），若随机变量X 的数学
期望E （X ）=2，则P （X=2）等于（ ） A ．
80243
B ．
13
243
C ．
4
243
D ．
1316
【分析】根据X 为随机变量，X ～B （n ，1
3
），利用二项分布的变量的期望值公
式，代入公式得到n 的值，再根据二项分布概率公式得到结果．
【解答】解：∵随机变量X 为随机变量，X ～B （n ，1
3
），
∴其期望EX=np=1
3n=2，∴n=6，
∴P （X=2）=C 62
⋅(13)2(1−13)4=80243
．
故选：A ．
4．（2017春•金州区校级期末）若ξ～B （n ，p ），且E(ξ)=3，D(ξ)=3
2，则P
（ξ=1）的值为 （ ） A ．3
2
B ．1
4
C ．
3
32
D ．
1
16
【分析】利用二项分布的数学期望和方差性质列出方程组，求出n ，p ，由此能求出P （ξ=1）的值．
【解答】解：∵ξ～B （n ，p ），且E(ξ)=3，D(ξ)=3
2， ∴{np =3
np(1−p)=32，解得n=6，p=12
，
∴P （ξ=1）=C 61(12)(12)5=3
32
． 故选：C ．
5．（2017春•庆城县校级期末）已知随机变量X ，Y 满足X +Y=8，若X ～B （10，0.6），则E （Y ），D （Y ）分别是（ ） A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
【分析】由随机变量X ，Y 满足X +Y=8，X ～B （10，0.6），求出E （X ），D （X ），由此能求出E （Y ），D （Y ）．
【解答】解：∵随机变量X ，Y 满足X +Y=8，X ～B （10，0.6）， ∴E （X ）=10×0.6=6， D （X ）=10×0.6×0.4=2.4，
E （Y ）=E （8﹣X ）=8﹣E （X ）=8﹣6=2， D （Y ）=D （8﹣X ）=D （X ）=2.4． 故选：B ．
6．（2017春•黄山期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，P ），且E （ξ）=300，
D （ξ）=200，则n
p
等于（ ）
A ．3200
B ．2700
C ．1350
D ．1200
【分析】根据数学期望和方差列不等式组解出n ，p ，从而得出答案． 【解答】解：由题意可得{np =300
np(1−p)=200，解得{n =900p =13
，
∴n
p
=2700． 故选：B ．
7．（2017春•龙海市校级期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=3，则n 与p 的值分别为（ ）
A ．18，23
B ．16，3
4
C ．16，1
4
D ．18，1
4
【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出． 【解答】解：∵X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=3， ∴{np =12np(1−p)=3，
解得{n =16p =34，
故选：B ．
8．（2017春•辛集市校级月考）若P(ξ=K)=1
2
K ，则n!3!(n−3)!的值为（ ） A ．1
B ．20
C ．35
D ．7
【分析】根据P(ξ=K)=1
2
K ，求出n ，即可求出n!3!(n−3)!的值．
【解答】解：由P(ξ=K)=1
2
K ，得n(n−1)(n−2)3×2×1=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，n =7，
所以n!3!(n−3)!=7×6×5×4!3!4!=7×6×5
3×2×1
=35．
故选：C ．
9．（2016秋•东胜区校级期末）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于（ ）
A ．n=45，p=23
B ．n=45，p=1
3
C ．n=90，p=1
3
D ．n=90，p=2
3
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
【解答】解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，
可得np=30，npq=20，q=23，则p=1
3
，n=90，
故选：C ．
10．（2017秋•天心区校级月考）已知随机变量X ：B （20，1
3
），要使P （X=k ）的
值最大，则k 等于（ ） A ．5或6
B ．6或7
C ．7
D ．7或8
【分析】利用C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（13）k ﹣1•（23）21﹣k ，C 20k •（1
3
）k •
（23）20﹣k ≥C 20k +1•（13）k +1•（23
）19﹣k ，即可得出结论． 【解答】解：P （X=k ）=C 20k •（13）k •（23
）20﹣k ，则
由题意C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（13）k ﹣1•（23）21﹣k ，C 20k •（13）k •（2
3）20
﹣k ≥C 20k +1•（13）k +1•（23
）19﹣k ， ∴k=6或7． 故选：B ．
11．（2017秋•七里河区校级月考）若X ～B （n ，p ），且E （x ）=6，D （x ）=3，则P （x=1）的值为（ ） A ．
116
B ．
32
C ．
12
D ．3
4
【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式，求得p 和n 的值，根据P （X=k ）
=C 12k •（12）k •（1
2
）n ﹣k ，即可求得P （x=1）的值．
【解答】解：由题意Ex=np=6，Dx=np （1﹣p ）=3，解得p=1
2
，n=12，
∴P （x=1）=C 121•12•（12
）11=3•2﹣10． 故选：B ．
12．（2017春•抚顺期末）设服从二项分布B ～（n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为（ ） A ．n=4，p=0.6
B ．n=6，p=0.4
C ．n=8，p=0.3
D ．n=24，p=0.1
【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
【解答】解：∵ξ服从二项分布B ～（n ，p ） 由Eξ=2.4=np ，Dξ=1.44=np （1﹣p ），
可得1﹣p=1.442.4=0.6，
∴p=0.4，n=2.4
0.4
=6．
故选：B ．
13．（2016春•天津校级期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=4，则n 与p 的值分别为（ ）
A ．18，23
B ．18，1
3
C ．12，2
3
D ．12，1
3
【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于n 和p 的方程组，解方程组可得到n ，p 的值．
【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ），且E （X ）=12，D （X ）=4，
∴E （X ）=12=np ，① D （X ）=4=np （1﹣p ），②
①与②相除可得1﹣p=13
，
∴p=2
3
，n=18．
故选：A ．
14．（2016春•红桥区期末）已知随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B （3，1
3
），则
P （ξ=1）等于（ ）
A ．13
B ．49
C ．29
D ．23
【分析】根据随机变量ξ服从二项分布，ξ～B （3，1
3
），得到变量对应的概率公
式，把变量等于1代入，求出概率．
【解答】解：∵随机变量ξ服从二项分布，ξ～B （3，1
3
），
∴P （ξ=1）=C 31⋅13⋅(23)2=4
9
，
故选：B ．
15．（2016春•福建校级期末）若随机变量ξ～B （10，3
5
），则D （5ξ﹣3）等于（ ）
A ．9
B ．12
C ．57
D ．60
【分析】利用二项分布的方差公式进行计算．
【解答】解：∵随机变量ξ～B （10，3
5
），
∴D （ξ）=10×35×25=12
5
∴D （5ξ﹣3）=25D （ξ）=60． 故选：D ．
16．（2016春•铜仁市校级期中）随机变量X ～B （n ，p ），其均值等于200，标准差等于10，则n ，p 的值分别为（ ）
A ．400，12
B ．200，1
20
C ．400，1
4
D ．200，1
4
【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
【解答】解：∵随机变量X ～B （n ，p ），均值等于200，标准差等于10， ∴由Eξ=200=np ，Dξ=100=np （1﹣p ），
可得p=1
2
，n=400．
故选：A ．
17．（2015秋•孝感期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且Eξ=300，Dξ=200，则p 等于（ ） A ．2
3
B ．0
C ．1
D ．1
3
【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的未知量p ．
【解答】解：∵ξ服从二项分布B ～（n ，p ） Eξ=300，Dξ=200
∴Eξ=300=np ，①；Dξ=200=np （1﹣p ），②
②①可得1﹣p=200300=23
，
∴p=1﹣23=1
3
故选：D ．
18．（2015春•蚌埠期末）设随机变量ξ服从B （6，1
2
），则P （ξ=3）的值是（ ）
A ．58
B ．38
C ．516
D ．316
【分析】直接利用独立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：随机变量ξ服从B ～（6，12），则P （ξ=3）=C 63(12)6=516
．
故选：C ．
19．（2015春•珠海期末）在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是2
3
，那么
在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．
40243
B ．
80
243
C ．
110243
D ．
20
243
【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果．
【解答】解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是2
3
，故在五次比赛中，
运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3
•(1−23)2=80243
，
故选：B ．
二．填空题（共5小题）
20．（2016春•泰兴市校级月考）设随机变量X ～B （2，p ）．若P （X ≥1）=3
4
，
则p= 1
2
．
【分析】根据随机变量服从X ～B （2，P ）和P （X ≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P 的方程，解出P 的值． 【解答】解：∵随机变量服从X ～B （2，P ），
∴P （X ≥1）=1﹣P （X=0）=1﹣C 20（1﹣p ）2=34
，
解得p=12
，
故答案为：1
2
．
21．（2014春•溧阳市期末）已知二项分布满足X ～B （6，23），则P （X=2）= 20
243
，
EX= 4 ．
【分析】根据随机变量符合二项分布，x ～B （6，2
3
）表示6此独立重复试验，每
次实验成功概率为2
3
，P （x=2）表示6次试验中成功两次的概率，根据二项分
布的期望公式，代入n 和p 的值，求出期望．
【解答】解：∵X 服从二项分布X ～B （6，2
3
）
∴P （X=2）=C 62(13)4
(23)2=20243
∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B （6，2
3
），
∴期望Eξ=np=6×2
3=4
故答案为：20
243
；4
22．（2011春•徐州期中）在0﹣1分布中，设P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则P （X=1）= 1﹣p ．
【分析】由两点分布的性质知，若P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则P （X=1）=1﹣p ． 【解答】解：在0﹣1分布中， ∵P （X=0）=p ，0＜p ＜1， ∴P （X=1）=1﹣p ． 故答案为：1﹣p ．
23．若随机变量X 1～B （n ，0.2），X 2～B （6，p ），X 3～B （n ，p ），且E （X 1）=2，
V （X 2）=32，则σ（X 3）的值是 √102
．
【分析】利用二项分布的期望与方差公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，0.2n=2，∴n=10，
6p （1﹣p ）=32，∴p=1
2，
∴X 3～B （10，1
2
），
∴D （X 3）=10×12×12=5
2
∴σ（X 3）=√10
2
．
故答案为：√102
． 24．服从二项分布∮～B （n ，p ），则D 2∮(E∮)2= （1﹣p ）2 ．
【分析】随机变量服从二项分布，其E （∮）=np ，D （∮）=np （1﹣p ），即可求出则D 2∮
(E∮)的值
【解答】解：∵随机变量∮服从二项分布∮～B （n ，p ），
∴E （∮）=np ，D （∮）=np （1﹣p ），
∴D 2∮
(E∮)2=（1﹣p ）2 故答案为（1﹣p ）2．
三．解答题（共3小题）
25．设随机变量X 具有分布P （X=k ）=15，k=1，2，3，4，5，求E （X +2）2，D （2X ﹣1），√D(X −1)．
【分析】由P （X=k ）=15
，k=1，2，3，4，5，知Eξ，Dξ．然后求E （X +2）2，D （2X ﹣1），√D(X −1)．
【解答】解：∵P （X=k ）=15
，k=1，2，3，4，5， ∴EX=（1+2+3+4+5）×15
=3， DX=15
[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2， ∴E （X +2）2=E （X 2+4X +4）=9+12=21，
D （2X ﹣1）=4DX=8，
√D(X −1)=√DX =√2．
26．某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求五次中至少有三次中靶的概率．
【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得五次中有三次中靶的概率、五次中有四次中靶的概率、五次中有五次中靶
的概率，再把这3个概率值相加，即得所求．
【解答】解：五次中有三次中靶的概率为C 53×0.63×0.42=0.3456，
五次中有三次中靶的概率C 54×0.64×0.4=0.2592，
五次中有三次中靶的概率C 55•0.65=0.07776，
综上可得，五次中至少有三次中靶的概率为 0.3456+0.2592+0.07776=0.68256．
27．选择题有4个选项，有一份试卷有10道选择题，小明每道题选对的概率都是0.25．问：
（1）小明选对八道题的概率 4054 ； （2）小明连续选对八道题的概率 27410 ； （3）小明全选对的概率是 1410 ． 【分析】（1）小明选对八道题的概率C 108⋅0.258⋅0.752；
（2）小明连续选对八道题的概率3•0.258•0.752；
（3）小明全选对的概率是0.258•0.752．
【解答】解：（1）小明选对八道题的概率C 108⋅0.258⋅0.752=405410； （2）小明连续选对八道题的概率3•0.258•0.752=274； （3）小明全选对的概率是0.2510=1410， 故答案为：405410；27410；1410．
高考数学选修-随机变量及其分布-二项分布及其应用
高考数学选修 二项分布及其应用 知识点 一、条件概率 1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ； （2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质： （1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。 （2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验： 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布： 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X
题型一 条件概率 【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1 3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在???? 15，1内的概率． 【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48 D ．0.20 2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 为1 2 ，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.
9二项分布及其应用-简单难度-讲义
二项分布及其应用 引入 姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少? 问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少? 解读 1、条件概率 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()() P A B P B A P A = I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或 积）． 把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法： ①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()() P A B P B A P A = I ． ②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()() n A B P B A n A = I ． 2、相互独立事件同时发生的概率 （1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ． 如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立． （2）“相互独立”与“事件互斥” 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥． 3、二项分布 （1）独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复 试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． （2）二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验 中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用 【知识要点】 一、条件概率及其性质 1、条件概率 一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。 【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。 【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）
A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。 二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率： 对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。 如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。 一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概 率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。 【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24
北师大版数学高二-高中数学《二项分布及其应用 》教案3 选修2-3
高中数学《二项分布及其应用 》教案3 选修2-3 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=-
二项分布及其应用
二项分布及其应用 1． 相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 2． 二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ， 则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布， 记为X ～B (n ，p )，并称 题型一 相互独立事件的概率 例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12 与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116 . (1)求乙投球的命中率p ； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率． 练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9， (1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率． 甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14 . (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．
艺术生高考数学专题讲义：考点55 二项分布及其应用(理)
考点五十五二项分布及其应用（理） 知识梳理 1．相互独立事件 (1)一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，则称A、B相互独立． (2)如果A、B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立． (3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有：P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)． 2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X＝k)＝C k n P k q n－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X 的概率分布如下： 由于n n n n n0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．3．二项分布特点 (1)每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为P，“失败”的概率均为1－P； (3)各次试验是相互独立的． 4．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，用A i(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n) ＝P(A1)P(A2)…P(A n)． 典例剖析 题型一相互独立事件 例1，，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． (1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列． 解析记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D表示事件：进入商场的1位顾客没有购买甲、乙两种商品中的任何一种． (1) C＝A·B＋A·B，
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用 一、条件概率 1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。 2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。 记作D=ANB或D=AB 3. 条件概率计算公式： P(B | A)相当于把A B发生的概率： 若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 . 4. 公式推导过程： 5. 解题步骤： 例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率. 解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品} 所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9. 二、相互独立事件 1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 说明： (1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立. 2. 相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有：P(A●B)=P(A)●P(B) 说明： (1)使用时，注意使用的前提条件；
二项分布及其应用
二项分布及其应用 一、学习目标： 1、了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念； 2、理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。 二、重点、难点：独立重复试验及二项分布 三、导读、导思： 1、条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为() A B P 在古典概型中，若用)(A n 表示事件A 中基本事件的个数,则(P . （2）条件概率具有的性质： ① ； ②如果B 与C 是两互斥事件，则=⋃)(A C B P . 2、相互独立事件 （1）对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 （2）若A 与B 相互独立，则() =A B P ，=)(AB P = （3）若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立。 （4）若()()()B P A P AB P =,则 。 3、二项分布 （1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 （2）在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 （p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为 ，记为 。 四、导练展示： 1、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分布从不同方位对同一目标发动攻击（各放射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为 ,8.0,9.0,9.0若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为 （ ） A 、0.998 B 、0.046 C 、0.002 D 、0.954 2、在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球，如果不放回地依次取两个球，在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。 3、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率。 4、某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时 目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则 记0分。已知射手甲在100m 处击中目标的概率为,21 他的命中率与目标的距离的 平方成反比，且各次射击都是独立的。 （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的分布列。 五、达标训练： 1、某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是（ ） A 、 101 B 、102 C 、108 D 、10 9 2、两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分布为b a ,，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） A 、ab B 、b a + C 、a -1 D 、b a --1 3、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。 4、小明上学途中必须经过A 、B 、C 、D 四个交通岗，其中在A 、B 岗遇到红灯 的概率均为21，在C 、D 岗遇到红灯的概率均为31 。假设他在4个交通岗遇到红 灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数。 （1）若3≥X ，就会迟到，求小明不迟到的概率；（2）求X 的分布列。 六、反思小结：
专题2.2 二项分布及其应用-20届高中数学同步讲义(理)人教版(选修2-3)
2.2 二项分布及其应用 1．条件概率的概念 一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称|()P B A =________________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．|()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率． 注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行． 2．条件概率的性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即________________． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 和C 是两个互斥事件，则()|||()()P B C A P B A P C A =+． 3．条件概率的计算方法 （1）利用定义计算：先分别计算概率()P AB 和()P A ，然后代入公式() ()() |P AB P B A P A = 即可． （2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数()n AB ，则|()P B A =________________．学-科网 4．相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件A ，B ，如果(|) ()P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设 ()0P A >，根据条件概率的计算公式，() ()()() |P AB P B P B A P A == ，从而()()()P AB P A P B =． 由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若________________，则称事件A 与事件B 相互独立． （2）相互独立事件的性质 如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （3）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到(2,)n n n >∈*N 个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相
二项分布的背景及应用
二项分布的背景及应用 二项分布是概率论中最基本且常见的离散概率分布之一。它的背景可以追溯到18世纪，由瑞士数学家雅各布·贝努利首次提出。二项分布描述了一次试验成功的次数，而这次试验是独立地重复多次。它的应用非常广泛，涉及领域包括统计学、生物学、工程学和金融等。 二项分布的背景源于一个基本的思想，即一次试验成功的概率是固定的，且与其他试验的结果无关。这样的试验称为独立重复试验。例如，将一枚硬币投掷多次，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。假设我们关注的是正面出现的次数，这就是二项分布中的“成功”。 二项分布的定义如下：设一次独立重复试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，进行n次试验，成功的次数记为X，则X服从二项分布，记为X~B(n,p)。 二项分布的概率质量函数可以表示为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k) 其中，P(X=k)表示成功k次的概率，C(n,k)表示组合数，计算公式为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)。p^k表示成功k次的概率，q^(n-k)表示失败(n-k)次的概率。 二项分布的应用非常广泛。在统计学中，二项分布常被用于描述二分类问题中的成功次数，例如调查中投票支持率、市场调研中产品接受度等。在生物学中，二
项分布可用于描述基因在不同个体中的分布情况，以及进行杂交的基因组合等。在工程学中，二项分布常用于可靠性工程、质量控制等方面。在金融学中，二项分布可用于衡量金融市场上的涨跌概率等。 以市场调研为例，假设我们想了解一种新产品的市场接受度。我们通过问卷调查的方式，向1000个人随机抽样，并记录他们对该产品的态度。我们将“喜欢”该产品定义为一次成功的试验，而“不喜欢”则为一次失败的试验。如果该产品的市场接受度为60%，即成功率为0.6，失败率为0.4，则我们可以使用二项分布来描述喜欢该产品的人数的分布情况。 假设我们考虑了喜欢该产品的人数为10、20和30的情况。我们可以使用二项分布的概率质量函数，计算出每种情况下成功的概率。例如，对于喜欢该产品的人数为10的情况，我们可以计算P(X=10) = C(1000,10) * 0.6^10 * 0.4^990。同样地，我们可以计算喜欢该产品的人数为20和30的情况下的成功概率。 通过计算这些概率，我们可以获得不同喜欢该产品的人数的分布情况。这有助于我们了解市场对该产品的态度，并进行相应的决策和策略调整。 总之，二项分布是一种用于描述独立重复试验中成功次数分布的概率分布。它的应用广泛，包括统计学、生物学、工程学和金融等多个领域。通过使用二项分布，我们可以对试验的结果进行概率分析，从而更好地理解和应用相关问题。
2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第61讲 二项分布及其应用
第7讲 二项分布及其应用 1．条件概率 (1)定义 设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ） P （A ） 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1； ②如果B ，C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质： ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B － 也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 导师提醒 1．注意区别“二项分布”与“超几何分布” 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．关注两个概率公式 (1)在事件B 发生的条件下A 发生的概率为P (A |B )＝ P （AB ） P （B ） .注意其与P (B |A )的不同． (2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( ) (3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( ) (5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 解析：选 D.由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为7 10，两人打靶相互独立，同时中 靶的概率P ＝45×710＝14 25 . 盒中装有8个乒乓球，其中5个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.58 B.47 C.37 D.25 解析：选B.根据题意，分析可得：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有7个球，这7个球中有4个新球和3个旧球，则在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率P ＝4 7. 故选B. 设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，1 2，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123 ×⎝⎛⎭⎫1－123 ＝516 .
高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理 新人教A版
§12.5 二项分布及其应用 2014高考会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n 次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题． 复习备考要这样做 1.利用互斥事件、事件的独立性对事件进行分解是计算复杂事件概率的关键，复习时要注意体会总结；2.掌握二项分布的含义，会从实际问题中抽象出二项分布模型． 1． 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P AB P A (P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n AB n A . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2． 相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3． 二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项 分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．
二项分布应用举例
二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表 示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个 数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ． (3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.2 5 D.1 2 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23 ＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝1 10，∴P (B |A )＝11025＝14 . 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭ ⎪⎫582 B ． C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭ ⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭ ⎪⎫582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 . 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
《二项分布及其应用》教案 (1)
一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 条件概率 （1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为() (/)() P A B P B A P A = （2） 条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U 考点/易错点2 相互独立事件 （1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件 （3） 相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃 g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立 考点/易错点3 独立重复试验与二项分布 ①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 ②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃 ， 此时称随机变量X 服从二项
教学设计3：二项分布及其应用
第8课时 二项分布及其应用 1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题． 【梳理自测】 一、条件概率 1．(教材改编)已知P (AB )＝ 320，P (A )＝3 5 ，则P (B |A )＝________. 2．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.1 4 C.16 D.18 【答案】1.1 4 2.A ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 二、相互独立事件 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是1 5，假定两人的行动相互之 间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) A.320 B.1 5
C.25 D.920 2．每次试验的成功率为p (0＜p ＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( ) A ．C 310p 3(1－p )7 B ． C 310p 3(1－p )3 C ．p 3(1－p )7 D ．p 7(1－p )3 【答案】1.C 2.C ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 三、二项分布 1．如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，1 4，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4 2．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出2红球的概率为________． 【答案】1.D 2.20 243 ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为C k n p k (1－p ) n － k (0≤k ≤n )(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为二项分布，记为X ～B (n ，p )． 【指点迷津】 1．一个区别——互斥事件与独立事件的区别 “互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 2．二种算法