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2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）

试题数：21，总分：150

1.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．

2.（填空题，4分）计算：

n→∞n 2+2

n (n−1)

=___ ．

3.（填空题，4分）已知复数z=1+i （其中i 是虚数单位），则z 2+z=___ ．

4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =1

3x +y =−1

的增广矩阵为 ___ ．

5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1

x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．

7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ． 8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．

9.（填空题，5分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx （ω＞0），若f （x ）≤f （ π4

）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ___ ．

10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1

a+2 + 2

b = 2

3 ，则2a+b 的最小值为 ___ ．

11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．

12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0

|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在

x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ．

13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P （3，4），将角α的终边绕原点O 逆时针旋转

得到角β的终边，则tanβ等于（）

A. −4

3 B. −3

4 C. 4

5 D. −54

14.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（） A.高一学生26人、高三学生23人 B.高一学生28人、高三学生21人

C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可

D.高一、高三学生人数都不限

15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√3

17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．

（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．

18.（问答题，14分）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinC-

bsinB=a（sinA-sinB）．

（1）求角C的值；

（2）若c=3，求△ABC周长的最大值．

19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．年份传统能源发电新能源发电总装机容量

火力发电水力发电核能发电太阳能发电风能发电2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 （1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？

（2）假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？

20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2

b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2 √3 ，渐近线方程为y=± √2

2 x ．

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；（3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．

21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数k 和A ，对任意的x∈R ，都有|f （x ）-kx|≤A 成立，则称函数f （x ）为“拟线性函数”，其中数组（k ，A ）称为函数f （x ）的拟合系数．

（1）数组（2，1）是否是函数

g （x ）= 2x 3

1+x 2 的拟合系数？

（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；

（3）若奇函数h （x ）在区间[0，p]（p ＞0）上单调递增，且h （x ）的图像关于点（p ，q ）成中心对称（其中p ，q 为常数），证明：h （x ）是“拟线性函数”．

2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

试题数：21，总分：150

1.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ．

【正确答案】：[1]{1，2}

【解析】：先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．

【解答】：解：A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}={x|x＜3}，

则A∩B={1，2}．

故答案为：{1，2}．

【点评】：本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．

2.（填空题，4分）计算：

n→∞

n2+2

n(n−1)

=___ ．

【正确答案】：[1]1

【解析】：

n→∞

n2+2

n(n−1)

= lim

n→∞

1+2

1−1

，可求．

【解答】：解：

n→∞

n2+2

n(n−1)

= lim

n→∞

1+2

1−1

=1．

故答案为：1．

【点评】：本题主要考查了∞

∞

型极限的求解，属于基础题．

3.（填空题，4分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=___ ．

【正确答案】：[1]1+3i

【解析】：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．【解答】：解：由z=1+i，得

z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．

故答案为：1+3i．

【点评】：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题． 4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =1

3x +y =−1 的增广矩阵为 ___ ．

【正确答案】：[1] (1−21

31−1

)

【解析】：直接由增广矩阵的定义得答案．

【解答】：解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组 {x −2y =1

3x +y =−1

的增广矩阵为

(1−2131−1

) ，故答案为： (1−21

31−1) ．

【点评】：本题考查增广矩阵的概念，属于基础题．

5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1

x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）．【正确答案】：[1]10

【解析】：先求出二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式，令x 的系数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中含x 4的项的系数．

【解答】：解：二项式（x 2+ 1x ）5的展开式中通项公式为 T r+1= C 5r x 10-2r x -r = C 5r x 10-3r

．

令 10-3r=4，可得 r=2，

∴展开式中含x 4的项的系数是 C 52

=10，

故答案为10．

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ．

【正确答案】：[1]5

【解析】：由题意得到点P 的横坐标，从而求出点P 到抛物线准线的距离，由抛物线的定义求解即可．

【解答】：解：因为抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 的横坐标为4，

又抛物线的准线为x=-1，

所以点P到抛物线准线的距离为4+1=5，

由抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5．

故答案为：5．

【点评】：本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的理解与应用，属于基础题．7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √3

【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．

【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，

因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，

所以r=1，l=2，h= √22−12=√3，

则这个圆锥的体积为V=1

3Sℎ=1

×π×12×√3 = √3

π．

故答案为：√3

π．

【点评】：本题考查了圆锥的体积的求解，涉及了圆锥轴截面的理解与应用，锥体体积公式的应用，属于基础题．

8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种．

【正确答案】：[1]840

【解析】：显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．

【解答】：解：由已知得：不同的选派方案共有A74 =840（种）．

故答案为：840．

【点评】：本题考查排列数公式的应用，属于基础题．

9.（填空题，5分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）≤f（π

）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ___ ．

【正确答案】：[1] 4

【解析】：由已知条件可得， f (π

4) 是函数f （x ）的最大值，再结合正弦函数的性质，即可求解．

【解答】：解：∵f （x ）= √3 sinωx+cosωx= 2sin (ωx +π6

) ， ∵f （x ）≤f （ π

4 ）对任意的实数x 都成立， ∴ f (π

4) 是函数f （x ）的最大值， ∴ π

4ω+π

6=π

2+2kπ ，k∈Z ， ∴ω= 43+8k ，k ∈Z ， ∵ω＞0，

∴ω的最小值为 4

3 ．故答案为： 4

．

【点评】：本题主要考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1

a+2 + 2

b = 2

3 ，则2a+b 的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8

【解析】：2a+b=2a+4+b-4= 3

（2a+4+b ）（ 1a+2+2

b ）-4，展开后利用基本不等式即可求解．

【解答】：解：因为a ＞0，b ＞0，且 1

a+2 + 2

b = 2

3 ，

则2a+b=2a+4+b-4= 3

2 （2a+4+b ）（ 1

a+2+2

b ）-4= 3

2 （4+ b

a+2+4(a+2)b ）-4 ≥3

(4+2√b

a+2•

4a+8

b ) -4=8，当且仅当 b

a+2=4a+8b 且 1a+2 + 2b = 2

，即a=1，b=6时取等号，此时2a+b 取得最小值8．

故答案为：8．

【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．

11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ．

【正确答案】：[1]-10

【解析】：由条件可令m=1，n=5，得a k =a 1+a 5，进一步代入化简可得d= 2

k−5 ，分析k 的取值范围，可得d 的最小值，而a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=10+10d ，故d 最小时，S 5最小．

【解答】：解：对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，所以令m=1，n=5，则a k =a 1+a 5，

又a k =a 1+（k-1）d=2+（k-1）d ， a 1+a 5=2+2+4d=4+4d ，所以2+（k-1）d=4+4d ，所以（k-5）d=2，显然k≠5，所以d=

k−5

，当1≤k≤4时，d=

k−5

单调递减，所以当k=4时，d min =-2，当k≥6时，d= 2

k−5 ＞0，所以d min =-2，因为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=

5(a 1+a 5)

=10+10d ，所以当d 最小时，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5有最小值10-20=-10，故答案为：-10．

【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题．

12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8

x x ＜0

|x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在

x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1] (−∞，7

【解析】：问题可转化为 |x 1−a |min ≥(a

x 2−

8x 2

)

min

=a 7

，分类讨论结合x 1∈[2，+∞）即可得

出结论．

【解答】：解：∵x1∈[2，+∞），x2∈[-2，-1]，f（x2）＞0，

∴ (x2−8

)⋅|x1−a|≥a，即对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[-2，-1]，使|x1−a|≥a

x2−8

恒成立，

∴有|x1−a|min≥(a

x2−8

x2)

min

，

当a≤0 时，显然不等式恒成立；

当0＜a＜2时，2−a≥a

7，解得0＜a≤7

；

当a≥2时，|x1-a|∈[0，+∞），此时不成立．

综上，a≤7

．

故答案为：(−∞，7

]

【点评】：本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P（3，4），将角α的终边绕原点O逆时针旋转π

得到角β的终边，则tanβ等于（）

A. −4

B. −3

C. 4

D. −5

【正确答案】：B

【解析】：直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果．

【解答】：解：角α的终边经过点P（3，4），所以tan α=4

3，cot α=3

将角α的终边绕原点O逆时针旋转π

得到角β的终边，

所以tan β=tan(π

2+α)=−cotα = −3

．

故选：B．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14.（单选题，5分）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为（）

A.高一学生26人、高三学生23人

B.高一学生28人、高三学生21人

C.高一学车多于24人、高三学生少于24人即可

D.高一、高三学生人数都不限

【正确答案】：A

【解析】：根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．

【解答】：解：∵高二学生360人，抽取人数为24人，

360÷24=15，

∴高一学生抽取人数为390÷15=26人，高三学生抽取人数为345÷15=23人．

故选：A．

【点评】：本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

15.（单选题，5分）如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【正确答案】：C

【解析】：利用直线与平面垂直的判断定理，推出结果，即可判断选项．

【解答】：解：已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，直线a⊥直线OA，PO∩OA=O，可知直线a⊥平面POA，PO⊂平面POA，所以直线a⊥直线PA；直线a⊥直线PA，

PA∩OA=A ，可知直线a⊥平面POA ，OA⊂平面POA ，所以直线a⊥直线OA ，所以“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件．故选：C ．

【点评】：本题考查直线与平面的位置关系的判断，三垂线定理与逆定理的应用，充要条件的判断，是中档题．

16.（单选题，5分）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{-1，1}（i=1，2，3，4，5）时，|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（） A.6 B.12 C.18 D. 8+4√3 【正确答案】：B

【解析】：建立平面直角坐标系，由坐标法表示出|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，并利用列举法求得最大值．

【解答】：解：以A 为原点，AD 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，

正六边形的边长为2，所以：

B （1，- √3 ），F （1， √3 ），

C （3，- √3 ），E （3， √3 ），

D （4，0）， |λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 A

E ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF

⃗⃗⃗⃗⃗ | =|λ1（1，- √3 ）+|λ2（3，- √3 ）+λ3（4，0）+λ4（3， √3 ）+λ5（1， √3 ）| = |(λ1，−√3λ1)+(3λ2，−√3λ2)+(4λ3，0)+(3λ4，√3λ4)+(λ5，√3λ5)| = |(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5，−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)| = √(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5)2+(−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)2

√4λ12+12λ22+16λ32+12λ42+4λ52+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5) =

√4+12+16+12+4+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5)

= √48+4(3λ1λ2+2λ1λ3−λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5)

令t=3λ1λ2+2λ1λ3-λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5，

下用例举法求得t的所有可能取值．

由表格数据可知t 的最大值为24，

所以|λ1 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 √48+4×24 =12，故选：B ．

【点评】：本题考查平面向量的数量积运算及坐标表示，考查学生的运算能力，属于难题． 17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点．

（1）求异面直线BC 1与DC 所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求证：BC 1 || 平面A 1CD ．

【正确答案】：

【解析】：（1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可；（2）根据线面平行的判定定理即可证明BC 1 || 平面A 1CD ．

【解答】：解：（1）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ，

因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ，易知∠CDO 即为异面直线BC 1与DC 所成角，因为AB=BC=BB 1=2，AB⊥BC ，D 为AB 的中点， CD= √12+22 = √5 ，OD= 12 BC 1= 1

2 × √22+22 = √2 ，又因为该三棱柱是直三棱柱， A 1C= √22+(2√2)2

=2 √3 ， OC= 1

2 A 1C= √

3 ， ∴在△ODC

中，cos∠CDO= √2)2

√5)2

√3)

2×√2×√5

√10

， ∴∠CDO=arccos

√10

；（2）证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ，因为D 是AB 的中点，所以BC 1 || OD ，因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD⊂平面A 1CD ，所以BC 1 || 平面A 1CD ．

【点评】：本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，利用相应的判定定理以及异面直线所成角的定义是解决本题的关键．

18.（问答题，14分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ）．（1）求角C 的值；

（2）若c=3，求△ABC 周长的最大值．

【正确答案】：

【解析】：（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C 的值；（2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值．

【解答】：解：（1）已知csinC-bsinB=a （sinA-sinB ），利用正弦定理：c 2-b 2=a 2-ab ，整理得 cosC =

a 2+

b 2−

c 2

2ab

=12

，

由于C∈（0，π），

故C= π

；

（2）由于c=3，C= π

，

利用余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC，所以9=（a+b）2-3ab，

利用基本不等式的应用：3×(a+b

≥3ab=(a+b)2−9，

整理得：（a+b）2≤36，（当且仅当a=b=3时，等号成立）

所以3＜a+b≤6，

故三角形的周长的最大值为3+6=9．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

19.（问答题，14分）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》．

（1）2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？

【正确答案】：

【解析】：（1）由题意直接求2015～2020年平均每年增加的容量即可，再设出平均增长率，列出指数形的方程，再求解即可；

（2）设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，列出不等式

6.05(1+0.2)n

23.35+2n

＞0.6，代入n=7与n=8时，验证即可．

【解答】：解：（1）由表可知，我国2015年发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年发电总装机容量为22.00万万千瓦，则2015～2020年平均每年增加

22.00−15.27

=1.35万万千瓦，

且2015年新能源装机容量为（0.43+1.31）=1.74万万千瓦， 2020年新能源装机容量为（2.53+2.82）=5.35万万千瓦，设年平均增长率为x ， ∴1.74（1+x ）5=5.35， ∴（1+x ）5≈3.075，解得x=0.252，

故同期新能源发电装机容量年平均增长率为0.252，

（2）由（1）可知，我国2021年发电总装机容量为：22.00+1.35=23.35万万千瓦，新能源发电装机容量为：5.35+0.7=6.05万万千瓦，

设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%， ∴

6.05(1+0.2)n

23.35+2n

＞0.6，

其中当n=7时， 6.05(1+0.2)n

23.35+2n

=0.580＜0.6，

当n=8

时， 6.05(1+0.2)n

23.35+2n =0.661＞0.6，

∴n≥8， ∴2021+8=2029

即2029年我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%．

【点评】：本题考查函数的实际应用，考查学生的综合能力，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知双曲线Γ： x 2a 2 - y 2

2 =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为

2 √

3 ，渐近线方程

为y=± √2

2 x ．

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）若对任意的m∈R ，直线y=kx+m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；

（3）若过点（1，0）的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．

【正确答案】：

【解析】：（1）利用焦距以及渐近线方程，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b 的值，即可得到答案；（2）当k=时不合题意，当k≠0时，将直线与双曲线联立方程，则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立，求解即可；

（3）设存在点P （a ，0），设直线l 的方程与双曲线方程联立，得到韦达定理，利用向量的坐标运算表示出 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分析求解即可．

【解答】：解：（1）因为2c= 2√3 ，所以c= √3 ，又渐近线方程为y=± √2

2 x ，则 b

a =

√2

，又c 2=a 2+b 2，解得a 2=2，b 2=1，

所以双曲线的方程为 x 2

−y 2=1 ；

（2）当k=0时，y=m 对于任意的实数m 与双曲线不是总有公共点，不符合题意；当k≠0时，直线y=kx+m 与双曲线方程联立，可得（1-2k 2）x 2-4kmx-2m 2-2=0，则Δ=16k 2m 2-4（1-2k 2）（-2m 2-2）≥0对于任意的m 恒成立，即2k 2≤（m 2+1）min ，所以2k 2≤1，解得 −

√22

≤k ≤

√22

，故实数k 的取值范围为 [−

√22，√22

] ；（3）设存在点P （a ，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 PM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−a ，y 2) ，所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a )(x 2−a )+y 1y 2 = x 1x 2−a (x 1+x 2)+y 1y 2+a 2 ，设直线l 的方程为y=k （x-1），

将直线l 的方程与双曲线的方程联立，可得（1-2k 2）x 2+4k 2x-2k 2-2=0，

所以 x 1+x 2=4k 22k 2−1，x 1x 2=2k 2+2

2k 2−1 ，

故 y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1) =k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]= k 2

1−2k 2 ，故 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a 2−4a+3)k 2+2−a 2)

2k 2−1

，

若 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数，则

2a 2−4a+3

a 2−2

，解得 a =74

，

故存在点 P (7

4，0) ，使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数 1716

．

【点评】：本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．

（1）数组（2，1）是否是函数

g （x ）= 2x 3

1+x 2 的拟合系数？

（2）判断函数s （x ）=xsinx 是否是“拟线性函数”，并说明理由；

【正确答案】：

【解析】：（1）根据所给新定义推出|g （x ）-2x|≤1即可得出结论；

（2）根据新定义，利用特例法可知不存在（k ，A ）使|s （x ）-kx|≤A 成立，即可得出结论；（3）根据所给函数的性质可构造函数H （x ）=h （x ）- q

p x ，利用周期定义可得H （x ）为周期函数，先证明H （x ）在x∈[-p ，p]时，

|H （x ）|≤q ，再利用周期证明对一切x∈R ，都有|H （x ）|≤q 即可得证．

【解答】：解：（1）因为

g （x ）-2x= 2x 3

1+x 2−2x =−2x

1+x 2 ，所以当x=0时，g （x ）-2x=0，

当x≠0时，g （x ）-2x= −2x

1+x 2 = −21x

，

因为1

x +x≥2或1

+x≤−2，

所以|g（x）-2x|≤1，

所以数组（2，1）是函数g（x）= 2x 3

1+x2

的拟合系数；（2）① 当x=π/2+2nπ（n∈N*）时，

|s（x）-kx|=| π

2+2nπ−k(π

+2nπ)|≤A对于n∈N*恒成立，

所以k=1成立，

② 当x=2nπ（n∈N*）时，|s（x）-kx|=|2nkπ|≤A恒成立，

所以k=0成立，

由① ② 可知，k不能同时满足，

所以函数s（x）=xsinx不是“拟线性函数”；

（3）∵h（x）的图像关于点（p，q）成中心对称，

∴h（p+x）+h（p-x）=2q，令x=0，得：h（p）=q，

由于h（x）在区间[0，p]（p＞0）上单调递增，

∴h（p）＞h（0），∴q＞0，

又∵h（x）为奇函数，∴h（0）=0，

∴x∈[0，p]时，h（x）∈[0，q]，

记H（x）=h（x）- q

x，下面证明对一切x∈R，都有|H（x）|≤q，

∵h（x）为奇函数，∴h（-x）=-h（x），

∴h（p+x）+h（p-x）=h（x+p）-h（x-p）=2q，即h（x+2p）=h（x）+2q，

由于H（x+2p）=h（x+2p）- q

p （x+2p）=[h（x）+2q]- q

x-2q=h（x）- q

x =H（x），

∴H（x）是周期函数，且一个周期为T=2p，

因为当x∈[0，p]时，0 ≤q

x≤q，

∴-q ≤−q

x≤0，

又因此时0≤h（x）≤q，

∴当x∈[0，p]时，H（x）=h（x）- q

x∈[-q，q]，∴|H（x）|≤q，

由于y=h（x），y= q

x均为奇函数，

∴H（x）也为奇函数，

当x∈[-p，0]时，-x∈[0，p]，

∴|H（x）|=|H（-x）|≤q也成立，

2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|2x-6＜0}，则A∩B=___ ． 2.（填空题，4分）计算： n→∞n 2+2 n (n−1) =___ ． 3.（填空题，4分）已知复数z=1+i （其中i 是虚数单位），则z 2+z=___ ． 4.（填空题，4分）关于x ，y 的方程组 {x −2y =1 3x +y =−1 的增广矩阵为 ___ ． 5.（填空题，4分）二项式（x 2+ 1 x ）5的展开式中含x 4的项的系数是 ___ （用数字作答）． 6.（填空题，4分）若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ___ ． 7.（填空题，5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为 ___ ． 8.（填空题，5分）第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有 ___ 种． 9.（填空题，5分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx （ω＞0），若f （x ）≤f （ π4 ）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ___ ． 10.（填空题，5分）已知a ＞0，b ＞0，且 1 a+2 + 2 b = 2 3 ，则2a+b 的最小值为 ___ ． 11.（填空题，5分）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n∈N *（m≠n ），存在k∈N *，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为 ___ ． 12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x −8x x ＜0 |x −a |x ≥0 ，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在 x 2∈[-2，-1]，使得f （x 1）•f （x 2）≥a ，则实数a 的取值范围为 ___ ． 13.（单选题，5分）已知角α的终边经过点P （3，4），将角α的终边绕原点O 逆时针旋转 π 2 得到角β的终边，则tanβ等于（） A. −4 3 B. −3 4 C. 4 5 D. −54

2021-2022学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模） 1.（填空题，4分）设m∈R ，已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则m=___ ． 2.（填空题，4分）不等式|x-1|＜1的解集是 ___ ． 3.（填空题，4分）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ___ ． 4.（填空题，4分）设a ＞0且a≠1，若函数y=a x 的反函数的图像过点（2，-1），则a=___ ． 5.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵为 (23 c 101c 2 ) 解为 {x =3y =5 ，则c 1-c 2=___ ． 6.（填空题，4分）圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离为 ___ ． 7.（填空题，5分）以双曲线 x 24 - y 25 =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ___ ． 8.（填空题，5分）若O 为△ABC 内一点，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 9.（填空题，5分）设无穷等比数列{a n }的公比为q ，且a 1=q 2+1，则该数列的各项和的最小值为 ___ ． 10.（填空题，5分）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为 ___ .（结果用数值表示） 11.（填空题，5分）设b∈R ，若曲线y 2=-|x|+1与直线y=-x+b 有公共点，则b 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）若数列{a n }满足a 0=0，且|a k |=|a k-1+3|（k∈N *），则|a 1+a 2+⋯+a 19+a 20|的最小值为 ___ ． 13.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（） A.y=x -2 B.y=x -1 C.y=x 2 D. y =x 13 14.（单选题，5分）若z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 15.（单选题，5分）下列不等式中，与不等式 x+8x 2+2x+3 ＜2解集相同的是（）

2021-2022学年上海市闵行区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一模） 1.（填空题，4分）函数y=log2（1-x2）的定义域为 ___ ． 2.（填空题，4分）已知集合A={3，m}，B={m，m+1}，若A∩B={4}，则A∪B=___ ． 3.（填空题，4分）已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为 ___ ． 4.（填空题，4分）若函数f（x）=x3-3的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0的根为 ___ ． 5.（填空题，4分）函数y= |sinx1 0cosx |的最小正周期为 ___ ． 6.（填空题，4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，a9=27，则S22=___ ． 7.（填空题，5分）若（2x+ a x ）6的二项展开式中的常数项为-160，则实数a=___ ． 8.（填空题，5分）已知椭圆(n+1)x2 4n+1 + (n+2)y2 n+1 =1的右焦点为F n（c n，0），其中n∈N*，则 n→∞ c n =___ ． 9.（填空题，5分）若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos(θ+π 2)，sin(θ+π 2 )）关于直线3x- y=0对称，则tanθ=___ ． 10.（填空题，5分）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表．小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共 ___ 种．则实数a的取值范围为 ___ ． 12.（填空题，5分）已知D=（10，t），数列{a n}满足a n+12+a n2=2（a n+1+1）（a n-1）+1，n∈N*．若对任意正实数λ，总存在a1∈D和相邻两项a k、a k+1，使得a k+1+λa k=0成立，则实数t的最小值为 ___ ． 13.（单选题，5分）若直线l的一个方向向量为（1，-3），则l的法向量可以是（） A.（-3，1） B.（-1，-3） C.（3，1） D.（1，3）

2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末英语试卷(一模)

2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末英语试卷（一模） 1.（问答题，1分）A.On a ship. B.On an airplane. C.In a flat. D.At an airport. 2.（问答题，1分）A.Manager and clerk. B.Doctor and patient. C.Teacher and student. D.Waitress and customer. 3.（问答题，1分）A.15 dollars. B.25 dollars. C.35 dollars. D.55 dollars. 4.（问答题，1分）A.The deadline for an assignment. B.Tim's study habits. C.The way to survive a university. D.Tim's daily routine. 5.（问答题，1分）A.Go to Jenny's home. B.Go to that restaurant. C.Prepare for dinner. D.Invite Jenny to dinner. 6.（问答题，1分）A.Acceptable. B.Marvelous. C.Serious. D.Ridiculous. 7.（问答题，1分）A.She made a late delivery. B.She went to the wrong place. C.She didn't attend the party. D.She didn't take the cake back. 8.（问答题，1分）A.The woman did not expect his paper to be graded so soon. B.Professor Johnson has given the woman a very high grade. C.The woman will not pick up Professor Johnson at his office. D.Professor Johnson intends to meet each student at his office. 9.（问答题，1分）A.Jane is probably stuck in the traffic. B.He knows what sort of driver Jane is. C.Jane had better avoid the heavy traffic. D.He is angry at having to wait for Jane. 10.（问答题，1分）A.He is not feeling very well. B.He has not checked the lab. C.He spends a lot of time in the lab. D.He will be surprised to see the lab.

2021-2022学年上海市金山区高三上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市金山区高三上学期期末数学试卷(一模) 一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.已知a、b∈R，则“b a >1”是“b>a”的()条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 2.下列函数中，以π 2为周期且在区间[π 4 ,π 2 ]上单调递增的是() A. f(x)=|cos2x| B. f(x)=|sin2x| C. f(x)=sin4x D. f(x)=cos2x 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱 AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为() A. 3 8B. √3 8 C. 3 16 D. √3 16 4.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且a⃗⋅b⃗ =−2，向量c⃗满足c⃗=λa⃗+(1−λ)b⃗ (0<λ<1)，且a⃗⋅c⃗= b⃗ ⋅c⃗，记向量c⃗在向量a⃗与b⃗ 方向上的投影分别为x、y.现有两个结论：①若λ=1 3 ，则|a⃗|=2|b⃗ |； ②x2+y2+xy的最大值为3 4 .则正确的判断是() A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.已知集合A={x|x>2}，B={x|x<3}，则A∩B=______． 6.函数y=log2(x−1)的定义域是______． 7.若复数z满足iz=√3−i(i为虚数单位)，则|z|=______． 8.(x+2)6的展开式中x3的系数为______.(结果用数值表示) 9.已知cosα=1 3，则行列式| 1sinα sinα1 |的值为______． 10.某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为______．

2021-2022学年上海市虹口区高三(上)期末数学试卷(一模)(学生版+解析版)

2021-2022学年上海市虹口区高三（上）期末数学试卷（一模）一．填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题满分54分） 1．（4分）已知集合A ＝{1，2，4}，B ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝． 2．（4分）已知x ＝﹣2是方程| x a 1x |=0的解，则实数a 的值为． 3．（4分）已知α∈{﹣2，﹣1，−12，12 ，1，2，3}，若幂函数f （x ）＝x α为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝． 4．（4分）已知无穷等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，首项a 1＝3，公比为q ，且lim n→∞ S n =2，则q ＝． 5．（4分）圆x 2+y 2+4sin θ•x +4cos θ•y +1＝0的半径等于． 6．（4分）在（x −1 x ）10的二项展开式中，常数项等于．（结果用数值表示） 7．（5分）已知角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，则该三角形的最大内角等于（用反三角函数值表示）． 8．（5分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且对任意的x 满足f （x +2）＝f （x ），若0＜x ＜1时，有f （x ）＝4x +3，则f （3.5）＝． 9．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足|FA → |+|FB → |+|FO → |＝12，且FA → +FB → +FO → =0→ ，则p ＝． 10．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足D 1P 与直线CC 1所成角的大小为π 6，则线段DP 扫过的面积为． 11．（5分）已知实数x ，y 满足：x |x |+y |y |＝1，则|x +y +√2|的取值范围是． 12．（5分）已知函数f （x ）＝cos x ，若对任意实数x 1，x 2，方程|f （x ）﹣f （x 1）|+|f （x ）﹣f （x 2）|＝m （m ∈R ）有解，方程|f （x ）﹣f （x 1）|﹣|f （x ）﹣f （x 2）|＝n （n ∈R ）也有解，则m +n 的值的集合为．

2021-2022学年上海市长宁区高三(上)期末数学试卷(一模)(学生版+解析版)

2021-2022学年上海市长宁区高三（上）期末数学试卷（一模）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{1，3，5，7}，则A ∩B ＝． 2．（4分）（2+x ）4的二项展开式中x 2的系数为． 3．（4分）lim n→∞3n −2n 3n +1 = ． 4．（4分）若线性方程组的增广矩阵为(01c 111c 2)，解为{x =1 y =1，则c 1﹣c 2＝． 5．（4分）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴正半轴，顶点为坐标原点．若角α的终边经过点（﹣3，4），则sin （α+π）＝． 6．（4分）3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法． 7．（5分）已知双曲线x 2 −y 2 6=1的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与双曲线M 的左、右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则△ABF 2的边长为． 8．（5分）在复平面xOy 内，复数z 1、z 2所对应的点分别为Z 1、Z 2，对于下列四个式子： ①z 12 =|z 1|2； ②|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|； ③OZ 1→2 =|OZ 1→ |2； ④|OZ 1→ ⋅OZ 2→ |=|OZ 1→ |⋅|OZ 2→ |．其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号） 9．（5分）设x 、y ∈R ，a ＞0，b ＞0，若a x ＝b y ＝3，a +2b =2√6，则1 x +1 y 的最大值为． 10．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4、S 5、S 7∈{﹣10，0}，则S n 的最小值为． 11．（5分）已知点A 、B 在抛物线Γ：y 2＝4x 上，点M 在Γ的准线上，线段MA 、MB 的中点均在抛物线Γ上，设直线AB 与y 轴交于点N （0，n ），则|n |的最小值为． 12．（5分）设曲线C 与函数f （x ）=√3 12x 2（0≤x ≤m ）的图像关于直线y =√3x 对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

2021-2022学年上海市闵行区高三上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市闵行区高三上学期期末数学试卷(一模) 一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.若直线l的一个方向向量为(1,−3)，则l的法向量可以是() A. (−3,1) B. (−1,−3) C. (3,1) D. (1,3) 2.在空间中，直线AB平行于直线EF，直线BC、EF为异面直线，若∠ABC=120°，则异面直线BC、 EF所成角的大小为() A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3.已知实数x1、y1、x2、y2、x3、y3满足x12+y12=x22+y22=x32+y32=2，则x1y2、x2y3、x3y1三个数中，大于1的个数最多是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f(x)=2x−2−x+3 |x|+1 ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a−b2≥0；命题q：f(a)+f(b)≥0．下列选项中正确的是() A. p1、p2中仅p1是q的充分条件 B. p1、p2中仅p2是q的充分条件 C. p1、p2都不是q的充分条件 D. p1、p2都是q的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.函数y=log2(1−x2)的定义域为______． 6.已知集合A={3,m}，B={m,m+1}，若A∩B={4}，则A∪B=______． 7.已知复数z的虚部为1，且|z|=2，则z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为______． 8.若函数f(x)=x3−3的反函数为y=f−1(x)，则方程f−1(x)=0的根为______． 9.函数y=∣∣∣sinx1 0cosx∣ ∣∣的最小正周期为______． 10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，a9=27，则S22=______． 11.若(2x+a x )6的二项展开式中的常数项为−160，则实数a=______． 12.已知椭圆(n+1)x2 4n+1+(n+2)y2 n+1 =1的右焦点为F n(c n,0)，其中n∈N∗，则n→∞ lim c n=______． 13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π 2),sin(θ+π 2 ))关于直线3x−y=0对称，则tanθ=______．

2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ． 2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ． 3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ． 4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ． 5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ． 6.（填空题，4分）三阶行列式 |1251 43356 | 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ． 9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ． 10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答） 11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件． A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（） A. C 103x 7 B. C 104x 6 C. −C 103x 7 D. −C 104x 6

2021-2022学年上海市崇明区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市崇明区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）已知集合A={1，2}，B={a，3}，若A∩B={1}，则A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则复数z的模等于 ___ ． 3.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵是(12c1 34c2)，解为{ x=0 y=2，则c1+c2=___ ． 4.（填空题，4分）计算： n→∞[1−n2 1+2n2 +(3 4 ) n ] =___ ． 5.（填空题，4分）已知（1+2x）n的展开式的各项系数之和为81，则n=___ ． 6.（填空题，4分）直线y-2=0与直线y=2x-1的夹角大小等于 ___ .（结果用反三角函数值表示） 7.（填空题，5分）在△ABC中，已知a=8，b=5，c= √153，则△ABC的面积为 ___ ． 8.（填空题，5分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 ___ ． 9.（填空题，5分）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的未来进发的期望和理想．组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者），不同的分配方案有 ___ 种． 10.（填空题，5分）设函数f（x）=sinx-m（x∈[0，5π 2 ]）的零点为x1，x2，x3，若x1，x2，x3成等比数列，则m=___ ． 11.（填空题，5分）已知双曲线Γ1：x2- y2 b2 =1的左、右焦点分别为F1、F2，以O为顶点F2为焦点作抛物线Γ2，若双曲线Γ1与抛物线Γ2交于点P，且∠PF1F2=45°，则抛物线Γ2的准线方程是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知无穷数列{a n}各项均为整数，且满足a2=-1，a4n-1＜a4n（n=1，2，3，…），a m+n∈{a m+a n+1，a m+a n+2}（m，n=1，2，…），则该数列的前8项和S8=___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A. y=(1 3) x B.y=log3x C. y=1 x D.y=（x-1）2

2021-2022学年上海市普陀区高三上学期期末考数学试卷(高考一模)含详解

2021-2022学年上海市普陀区高三（上）期末数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．（4分）若集合{a，2}∪{3}＝{2，3}，则实数a＝． 2．（4分）不等式＞1的解集为． 3．（4分）设i为虚数单位，若复数z＝（1+2i）（2﹣i），则z的实部与虚部的和为．4．（4分）设关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，若D x＝3，则实数m ＝． 5．（4分）已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥母线的长为． 6．（4分）若（x2﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a14x14，则a5+a8＝． 7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若平面OMQ的一个法向量＝（2，1，﹣2），则点P（﹣1，1，4）到平面OMQ的距离为． 8．（5分）设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的首项a＞0，前两项的和为，若所有奇数项的和比所有偶数项的和大3，则a＝． 9．（5分）设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集．若集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，则其偶子集Q的个数为．10．（5分）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量y（毫克/每立方米）与时间x（小时）成正比（0＜x＜）；药物释放完毕后，y与x满足关系y＝9b﹣x（b为常数，x≥）．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．乘客方可进站．则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作．

2021-2022学年上海市宝山区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市宝山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（1，2），则i•z=___ ． 2.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x ＜3}，则A∩B=___ ． 3.（填空题，4分）在（ √x -2）5的展开式中，x 的系数为 ___ ． 4.（填空题，4分）函数f （x ）=ln 2x −4 2x +1 的定义域是 ___ ． 5.（填空题，4分）已知函数f （x ）=-x 2+2ax+3在区间（-∞，4）上是增函数，则实数a 的取值范围是 ___ ． 6.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =1+（n-1）d ，5a 2=a 8，则S n =___ ． 7.（填空题，5分）若x ，y 满足 {x ≤2， y ≥−1， 4x −3y +1≥0，则y-x 的最大值为 ___ ． 8.（填空题，5 分）计算 n→∞ 1+2+⋯+2n−1 2n +(1 2 + 122 +⋯ 12n +⋯) =___ ． 9.（填空题，5分）在三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB=2，AC=4，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 10.（填空题，5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （x ），当x∈[0，2]时，f （x ）=-x （x-2），则方程f （x ）=|lgx|有 ___ 个根． 11.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B+ 1 2 sin2B=1，0＜B ＜ π 2 ，若| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则ac 的最大值为 ___ ． 12.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x-2）2+y 2=4，点A 是直线x-y+2=0上的一个动点，直线AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是 ___ ．

2021-2022学年上海市奉贤区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市奉贤区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）已知集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3}，则a=___ ． 2.（填空题，4分）计算 n→∞7n+4 5−3n =___ ． 3.（填空题，4分）已知圆的参数方程为{x=2cosθ y=2sinθ（θ为参数），则此圆的半径是 ___ ． 4.（填空题，4分）函数y= √3 sinx-cosx的最小正周期是 ___ ． 5.（填空题，4分）函数y=x3+acosx是奇函数，则实数a=___ ． 6.（填空题，4分）若圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的体积为 ___ ． 7.（填空题，5分）函数y=lg 3−2x 3+2x 的定义域是 ___ ． 8.（填空题，5分）等差数列{a n}满足a3+a2=8，a4+a3=12，则数列{a n}前n项的和为 ___ ． 9.（填空题，5分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是24厘米，灯深10厘米，则灯泡与反射镜顶点的距离是 ___ 厘米． 10.（填空题，5分）已知曲线x2 a + y2 16 =1的焦距是10，曲线上的点P到一个焦点距离是2，则点P到另一个焦点的距离为 ___ ． 11.（填空题，5分）从集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8、9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，则经过坐标原点的不同直线有 ___ 条（用数值表示）．12.（填空题，5分）设平面上的向量a⃗、b⃗⃗、x⃗、y⃗满足关系a⃗ = y⃗ - x⃗，b⃗⃗ =m x⃗ - y⃗ （m≥2），又设a⃗与b⃗⃗的模均为1且互相垂直，则x⃗与y⃗的夹角取值范围为 ___ ． 13.（单选题，5分）下列函数中为奇函数且在R上为增函数的是（） A.y=2x B.y=|x|

2021年上海市松江区高考数学一模试卷(附答案详解)

2021年上海市松江区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 已知两条直线l 1，l 2的方程为l 1：ax +y −1=0和l 2：x −2y +1=0，则a =2是 “直线l 1⊥l 2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列四个结论中错误的是 ( ) A. 直线B 1C 与直线AC 所成的角为60° B. 直线B 1C 与平面AD 1C 所成的角为60° C. 直线B 1C 与直线AD 1所成的角为90° D. 直线B 1C 与直线AB 所成的角为90° 3. 设x >0，y >0，若2x +1 y =1，则y x 的( ) A. 最小值为8 B. 最大值为8 C. 最小值为2 D. 最大值为2 4. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知点(n,a n )在直线y =10−2x 上，若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ，则实数k 的取值范围是( ) A. (8,14] B. (14,18] C. (18,20] D. (18,81 4] 二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. n →∞lim 3 n 3n +2 n =______． 6. 若集合A ={x|−1

2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)(学生版+解析版)

2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝． 2．（4分）函数y ＝log 2（x ﹣1）的定义域是． 3．（4分）若复数z 满足iz =√3−i （i 为虚数单位），则|z |＝． 4．（4分）（x +2）6的展开式中x 3的系数为 .（结果用数值表示） 5．（4分）已知cos α=13，则行列式| 1sinα sinα 1 |的值为． 6．（4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为． 7．（5分）设P 为直线y ＝2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线x 24 −y 2＝1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为． 8．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且4 x + 1y =1，则4x +y 的最小值为． 9．（5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 .（结果用最简分数表示） 10．（5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2 ＝8x 上不同的点，点F （2，0），若FP → 1+FP → 2+⋯+FP 10→ =0→ ，则|FP → 1|+|FP 2→ |+…+|FP 10→ |＝． 11．（5分）若数列{a n }满足a n +a n +1+a n +2+…+a n +k ＝0（n ∈N *，k ∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n ＝2cos ωn ，记T n ＝b 1b 2…b n ，1≤n ≤2021，n ∈N *，则当n ＝时，T n 取得最小值． 12．（5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|﹣5）（|OB 1|﹣5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|﹣5）（|OB 2|﹣5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则lim n→∞ |A 0P n |＝．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）已知a 、b ∈R ，则“b a ＞1”是“ b ＞a ”的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分

2021-2022学年上海市徐汇区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市徐汇区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）已知集合M={x|x 2-2x ＞0}，N={x||x|≤1}，则M∪N=___ ． 2.（填空题，4分）若直线l 的一个法向量是 n ⃗ =（1，- √3 ），则直线l 的倾斜角的大小为 ___ ． 3.（填空题，4分）已知复数z 满足i•z=1+i （i 为虚数单位），则| z |=___ ． 4.（填空题，4分）已知某圆锥的底面圆的半径为 √2 ，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为 ___ ． 5.（填空题，4分）若函数f （x ）=a•3x + 1 3x 为偶函数，则实数a=___ ． 6.（填空题，4分）已知菱形ABCD 的边长为1，∠DAB= π3 ，点E 为该菱形边上任意一点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 7.（填空题，5分）设椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1上的一点P 到椭圆两焦点的距离的乘积为s ，则当s 取得最大值时，点P 的坐标是 ___ ． 8.（填空题，5分）设x∈R 且x≠0，则（x+2） (1x −1)5 的展开式中常数项为 ___ ． 9.（填空题，5分）设函数f （x ）=cos （ωx+ π 3 ）（0＜ω＜2），若将f （x ）图像向左平移 4π 5 个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则ω=___ ． 10.（填空题，5分）秉辰“新时代、共享未来”的主题．第四届”进博会”于2021年11月5至10日在上海召开．某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有 ___ 种． 11.（填空题，5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n 是 √2 =1.41421356237⋯的小数点后的第n 位数字，（例如a 1=4，a 6=3）．若b 1=a 1，且对任意的n∈N *，均有 b n+1=a b n ，则满足b n =n-2019的所有n 的值为 ___ ． 12.（填空题，5分）已知函数 f (x )={ log 2x ，x ＞0， |2x +1|，x ≤0．设集合A={（a ，b ）|a≤-1，且 n≤b≤m ，m ，n∈R}，若对任意的（a ，b ）∈A ，总有a•f （b ）-b-3a≥0成立，则m-n 的最大值为 ___ ． 13.（单选题，5分）已知a ，b∈R 且a•b≠0，则“a ＜b”是“ 1 a ＞ 1 b ”的（）

2021-2022学年上海市青浦区高三(上)期末数学试卷(一模)(学生版+解析版)

2021-2022学年上海市青浦区高三（上）期末数学试卷（一模）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，3，4}，N ＝{2，3，4}，则集合∁U （M ∩N ）＝． 2．（4分）不等式 1x−1 ＜1的解集是． 3．（4分）已知数列{a n }为等差数列，数列{a n }的前5项和S 5＝20，a 5＝6，则a 10＝． 4．（4分）已知函数y ＝f （x ）的图像经过点（2，3），y ＝f （x ）的反函数为y ＝f ﹣ 1（x ），则函数y ＝f ﹣ 1（x ﹣2）的图像必经过点． 5．（4分）（x +1x ）9的二项展开式中x 3项的系数为． 6．（4分）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为4π3 ，半径为18cm 的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为． 7．（5分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F （√7，0），直线y ＝x ﹣1与该双曲线相交于M 、N 两点，线段MN 中点的横坐标为−2 3，则此双曲线的方程为． 8．（5分）设向量a → 与b → 的夹角为θ，定义a → 与b → 的“向量积”：a → ×b → 是一个向量，它的模|a → ×b → | ＝|a → |•|b → |sin θ，若a → =（−√3 2，−12），b →=（12，√32），则|a →×b →|＝． 9．（5分）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有个． 10．（5分）已知函数y =√5sin x +√5cos x 的图像向右平移θ（0＜θ＜π2 ）个单位得到函数y ＝3sin x +a cos x （a ＜0）的图像，则tan θ＝． 11．（5分）已知函数f （x ）={x 2−x +3，x ≤1x +2 x ，x ＞1 ，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是． 12．（5分）若数列：cos α、cos2α、cos4α、⋯，cos2n α、⋯中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列条件中，能够确定一个平面的是（） A ．两个点 B ．三个点

上海市松江区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

上海市松江区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．化简：11+21x x x = ________． 2．一元二次方程()()()1121x x x +-=+的根是__________． 3．在实数范围内分解因式：2x 2﹣4=__________． 4．函数y =__________． 5．若关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________． 6．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________． 7．已知12a ≤≤2a -=_________． 81-≤的解集是___________． 9．已知反比例函数3k y x -=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是_____． 10．已知两个定点A 、B 的距离为4厘米，那么到点A 、B 距离之和为4厘米的点的轨迹是____________． 11．如图，在Rt △ABC 中，△C=90°，BD 平分△ABC ，AD =4，CD =2，那么△A=____度． 12．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则DAE =∠__________°． 13．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AD △AB ，如果AC =5，AD =2，那么AB 的长是________． 14．如图，长方形ABCD 中，BC =5，AB =3，点E 在边BC 上，将△DCE 沿着DE 翻折