不等式性质的应用 (1)

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不等式性质的应用

学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；

3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而

培养学生的逻辑能力.

学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：

题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.

1、已知），（），，（ππβπα2

2

0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2

的取值范围.

2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.

3、已知3286<<<<-b a ，

，求b

a

的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c

b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3)

；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2

2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33

b a

b a >> (2)；，则若2

2b a b a >>

(3) ；，则若2

20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >>

其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.

(1) ；，则若b

a b a 1

1<> (2)；，则若b a b a 110<<<

(3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1

10<>>

(5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1

1<>>>b b a b a b a

附加题：1、已知.,0,,,ad bc b

d

a c a

b R d

c b a >-<->∈证明，

且 2、证明：.0b

c b

a c a

b a

c ->->>>，则

若 不等式性质的应用

学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；

3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而

培养学生的逻辑能力.

学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：

题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.

1、已知），（），，（ππ

βπα2

2

0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2

的取值范围.

2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.

3、已知3286<<<<-b a ，

，求b

a

的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假.

1、给出下列命题：(1)；，则若c

b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3)

；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2

2

其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33

b a

b a >> (2)；，则若2

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其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.

(1) ；，则若b

a b a 1

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1<>>>b b a b a b a

附加题：1、已知.,0,,,ad bc b

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c b a >-<->∈证明，

且 2、证明：

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不等式性质的两个重要应用

不等式性质的两个重要应用 一．利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 例1：若0>>b a ，0<-. 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件. 解：∵0<< d c ，0>->-d c ，又0>>b a ∴0>->-d b c a ，故 d b c a -<-11。 而0< e ，∴d b e c a e ->-. 二．利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径. 三．利用不等式性质，探求不等式成立的条件 不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用. 例2：已知三个不等式：①0>ab ；②b d a c >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题. 解：对命题②作等价变形：0>-?>ab ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③?②； 若0>ab ，0>-ab ad bc ，则ad bc >，故①②?③； 若ad bc >， 0>-ab ad bc ，则0>ab ，故②③?①。 ∴可组成3个正确命题.

初一数学-不等式易错题、难题集合--不等式性质应用

学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.00,y<0 D.x<0,y>0 a b 2 2ab 的值是（ B .负数 C .等于零 D.不能确定 ，则下列不等式成立的（ 10.不等式ax v b 的解集是 11.若不等式组 A. n 8 B. 12.不等式组 A. m 4 13.已知关于 x v -，那么a 的取值范围是（） a > 0 D 、 n 有解，那么 8 C. 2 x n 8 6 的解集是 n 的取值范围是（ D. 4，那么m 的取值范围是 X 的不等式组 2X a 2b 的解集为3 x 5，则 1 -的值为。 a 1 -C 2 14. 已知函数y=mx+2x — 2,要使函数值y 随自变量x 的增大而增大, A. m>— 2 B . m>— 2 C . m<— 2 D . m<— 2 15. 要使函数y =（2 m- 3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则 A. -2 B .-4 则m 的取值范围是（） m 与n 的取值应为 （）

不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b a0, X1-X2<0,可得 f(X l)b三bb, b>c 二a>c (传递性) ⑶ a>b = a+c>b+c (c € R) (4) c>0 时，a>b A，ac>bc c<0 时，a>b acb, c>d —a+c>b+d。 ⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。

⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的意义、性质及其应用

不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( )

A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a0,则ac+c bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0. 例2 利用不等式性质解下列不等式 (1)x-7>26; (2)3x<2x+1; (3)3 2x>50; (4)- 4x>3. 分析:利用不等式性质变形为最基本形,利用数轴表示解集 练习： 1.根据不等式的性质,把下列不等式化为x>a 或xx x (2)22 121--≤x x (3)-3x>2 (4)-3x+2<2x+3 3. 已知不等式3x-a ≤0的解集是x ≤2，求a 的取值范围. 六、不等式的实际应用 问题一：某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．学校经核算选择甲商场比较合算，你知道学校至少要买多少台电脑？ 解：设购买x 台电脑，到甲商场比较合算，则 6000＋6000（1－25％）（x －1）＜6000（1－20％）x 去括号，得：6000＋4500x －45004＜4800x 移项且合并，得：－300x ＜1500 不等式两边同除以－300，得：x>5 ∵x 为整数 ∴x ≥6 答：至少要购买6台电脑时，选择甲商场更合算． 问题二 ：甲、乙两个商店以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；在乙商累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更大的优惠？

高中数学第三章不等式3.1不等关系不等式的性质及其应用素材北师大版必修

不等式的性质及其应用 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。 一、不等式最基本的性质 对称性：a b b a >?< 传递性：,a b b c a c >>?> 加法性： ,a b c R a c b c >∈?+>+ 乘法性： 00 a b ac bd c d >≥??>? >≥? 除法性： 110a b ab a b >??? 乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥?>∈ 开方性： 0)a b n N *>≥>∈ 倒数法则：011ab a b a b >??? 二、不等式性质的应用 （1）比较实数的大小 因为“0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它 们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。 解：∵1 111(1)(1)1log log log log 10a a a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++< 点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。 例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A. 11a b < 22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件 （2）求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。 例2、若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。

人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版

1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1]

（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=

不等式性质的应用

不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππβπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππ βπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若

高中数学专题讲义-不等式性质的应用 比较大小

【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ） A ．1 2 B ．22a b + C ．2ab D ．b 【例2】 将23 2，12 23?? ??? ，1 22按从大到小的顺序排列应该是 ． 【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ） A ．x y > B ．x y ≥ C ．x y < D ．x y = 【例4】 若 11 0a b <<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号） 典例分析 比较大小

【例5】已知,a b∈R，那么“|| a b >”是“22 a b >”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0 b a <<，则下列不等式中正确的是（） A．11 a b >B．a b >C．2 b a a b +>D．a b ab +> 【例7】比较下列代数式的大小： ⑴23 x x +与2 x-； ⑵61 x+与42 x x +； 【例8】比较下列代数式的大小： ⑴43 x x y -与34 xy y -； ⑵（其中0 xy>，且x y >） ⑶x y x y与y x x y（其中0,0, x y x y >>≠）．

【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列． 【例10】 比较大小：log a a b 、log a b 与log b a （其中21a b a >>>） 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d a b - <-， 则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d < 【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ac > B ．a c b c > C ．ab bc > D ．()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->， 0c d a b ->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

人教版高中数学高二人教A版必修5练习 不等式的性质与应用

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1 x ＜a 等价于( ) A ．－1 b ＜x ＜0或0＜x ＜1a B ．－1a ＜x ＜1 b C ．x ＜－1a 或x ＞1 b D ．x ＜－1b 或x ＞1 a 解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ?x ＞1a ； (2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ?x ＜－1 b . 综上所述，不等式－b ＜1 x ＜a ?x ＜－1 b 或x ＞1 a . 答案：D 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12 a ＜0

C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1 答案：C 3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是() A．[－7，26] B．[－1，20] C．[4，15] D．[1，15] 答案：B 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是() A．a3＜b3B．a2＜b2 C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2 解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A. 答案：A 5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利() A．x＞a B．x＜a C．x≥a D．0≤x≤a 解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A. 答案：A 二、填空题

不等式性质的应用 (1)

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππβπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππ βπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 11 0< >> (4) ；，则若b a b a 110<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明： .0b c b a c a b a c ->->>>，则若

不等式的概念和基本性质

不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+bb a+c>b+c （４）a>b ２．不等式的运算性质 （１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0 （４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0 （５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2) （６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2) ３．基本不等式 （１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号） （２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号） （３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号） （４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号） （５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号） （６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。 例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则acbc2, 则a>b;

（３）若aab>b2; （４）若a|b|; （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 解：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 （３）因为所以a2>ab① 又所以ab>b2② 综合①②得a2>ab>b2 故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题． （５）因为所以 所以从而ab<0 又因a>b所以a>0, b<0． 故原命题为真命题． 例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围． 解：由题意可知：∴ ∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1)∴运算可知-1≤f(3)≤20 错解：依题设有①消元，得② ∵f(3)=9a-c∴-7≤f(3)≤26 错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范围，同向不等式在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性．

《不等式的性质2》----性质的应用

《不等式的性质2》教学设计 一、教学目标 1、知识技能： （1）探索和发现不等式的性质，并初步掌握不等式的性质； （2）利用不等式的性质解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 （3）并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2、情感态度与价值观： （1）认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验数学活动充 满着探索性和创造性。 （2）培养学生独立思考问题与解决问题的能力 二、学习重点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3； 三、学习难点 不等式的基本性质3的理解和熟练运用； 四、教学过程 （一）复习引入 不等式的性质1不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用符号语言表达： 如果a＞b，那么a+c>b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b。那么a+c＜b+c ，a-c＜b-c 不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言表示： 如果a>b,且c>0,那么ac>bc 如果a0, 那么ac

不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示： 如果a>b,且c<0,那么acbc 思考：（1）不等式的基本性质与等式基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？ （2）不等式的两边都乘0，结果怎样？ 【设计意图】复习巩固上节所学不等式的三条基本性质，通过练习让学生对其有新的认识。 （二）自学新知 尝试解题 试一试 例1 利用不等式的性质解下列不等式： 思路： ()1+320x >()23503x >()443 x - >()2657x x <+解未知数为 x 的不等式 方法：利用不等式基本性质1、2、3

不等式基本性质的应用.doc

不等式基本性质的应用 不等式的基本性质是求不等式（组）的解的基础，也是中考的必考内容之一．近几年，各地的中考试题中，有不少对不等式基本性质的考查的试题，解决这类问题时，特别要注意不等式性质3的运用，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数．．时，必须把不等号的方向改变，所得的不等式才成立．本文举例说明． 例1．如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( ). A ．a+t >a B ．a+t 0，两边都加上a ，根据不等式的性质1得a+t>a ，故答案为A ． 例2．已知a b <，则下列式子不正确的是（ ） A ． 44a b < B ．44a b -<- C ． 44a b +<+ D ．44a b -<- 解析：由a b <，两边都加上4、减去4、乘以4，根据不等式性质1、2，不等式仍成立，知C 、D 、 A 正确，而两边都乘以－4，根据不等式性质3，必须把不等号的方向改变，不等式才能成立，所以B 不正确，故答案为B ． 例3．如果0m n <<，那么下列结论中错误的是（ ） A ． 99m n -<- B ． m n ->- C ． 11n m > D ．1m n > 解析：由0m n <<，两边都加上－9，根据不等式性质1，知A 正确；两边都乘以－1，根据不等式性质3，知B 正确；两边都除以n ，因为0n <，根据不等式性质3，必须改变不等号的方向，故D 正确．所以错误的结论是C ，选C ． 例4．（06芜湖）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ） A 、ab>b 2 B 、a+c>b+c C 、 1a < 1b D 、ac>bc 解析：字母c 可以表示正数、负数或0，当不等式两边乘以0时，不等式转化为等式，当不等式两边乘以负数时，不等号要改变方向，所以ac>bc 不一定能成立，故答案为D ． 例5．如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是（ ） A. a >0 B. a <0 C. a >-1 D. a <-1 解析：从不等式 (a +1) x >a +1得到不等式的解集x <1，是对不等式两边都除以a +1得到的，又注意到不等号方向改变了，根据不等式性质3，得10a +<，解得1a <-，故选D ．本题考查了对不等式性质3的逆向运用． 练习： 1. 若a b -<0，则下列各式中一定正确的是（ ） A. a b > B. ab >0 C. a b <0 D. ->-a b 2．如果a ＞b ，那么下列结论中错误的是（ ）. （A ）a －3＞b －3 （B ）3a ＞3b （C ）3a ＞3 b （D ）－a ＞－b

不等式基本性质的应用

不等式基本性质的应用 不等式的基本性质是求不等式（组）的解的基础，也是中考的必考内容之 一．近几年，各地的中考试题中，有不少对不等式基本性质的考查的试题，解决这类问题时，特别要注意不等式性质3的运用，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数．． 时，必须把不等号的方向改变，所得的不等式才成立．本文举例说明． 例1．如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是（ ） A ．a+t >a B ．a+t 0，两边都加上a ，根据不等式的性质1得a+t>a ，故答案为A ． 例2．已知a b <，则下列式子不正确的是（ ） A ．44a b < B ．44a b -<- C ．44a b +<+ D ．44a b -<- 解析：由a b <，两边都加上4、减去4、乘以4，根据不等式性质1、2，不等式仍成立，知C 、D 、 A 正确，而两边都乘以－4，根据不等式性质3，必须把不等号的方向改变，不等式才能成立，所以B 不正确，故答案为B ． 例3．如果0m n <<，那么下列结论中错误的是（ ） A ．99m n -<- B ．m n ->- C ．11n m > D ．1m n > 解析：由0m n <<，两边都加上－9，根据不等式性质1，知A 正确；两边都乘以－1，根据不等式性质3，知B 正确；两边都除以n ，因为0n <，根据不等式性质3，必须改变不等号的方向，故D 正确．所以错误的结论是C ，选C ． 例4．（06芜湖）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．ab>b 2 B ．a+c>b+c C ．1a < 1b D ．ac>bc 解析：字母c 可以表示正数、负数或0，当不等式两边乘以0时，不等式转化为等式，当不等式两边乘以负数时，不等号要改变方向，所以ac>bc 不一定能成立，故答案为D ． 例5．如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a >0 B ． a <0 C ． a >-1 D ．a <-1 解析：从不等式 (a +1) x >a +1得到不等式的解集x <1，是对不等式两边都除以a +1得到的，又注意到不等号方向改变了，根据不等式性质3，得10a +<，解得1a <-，故选D ．本题考查了对不等式性质3的逆向运用．

不等式的基本性质教学设计

§6.1.2不等式的性质 【教学重点与难点】 教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． 【教学目标】 1、探索并掌握不等式的基本性质 2、会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】 通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 【教学过程】 一、创设情境复习引入 （设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．） 问题：1、什么是等式？等式的基本性质是什么？ 2、什么是不等式？ 3、用“＞”或“＜”填空． （1）3<7 （2）2<3 （3） 2<3 3+1 7+1 2×53×52×( -1) 3×(-1)

3-5 7-5 2÷23÷22×(- 5) 3×(-5) 3+a 7+a 2÷(-2) 3÷(-2) （教学说明：复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.） 二、师生互动，探索新知 1、不等式的基本性质 问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质 先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质. 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关？由学生概括总结，教师补充完善得出： 不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

不等式的性质及应用

不等式的性质及 应用 已知a<0,0ab B.a>ab2 C.abab2 解析:由题意得ab-ab2=ab(1-b)<0,所以abb,ab≠0,则下列不等式中: ①a2>b2;②;③a3>b3;④a2+b2>2ab. 恒成立的不等式的个数是. 解析:当a=1,b=-2时,显然①②不成立;对于③,当a,b异号时,a>0>b时,显然有a3>0>b3,当a,b同号时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,所以③恒成立;对于④,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,即④恒成立.综上所述,不等式恒成立的个数为2. 答案:2 92一元二次不等式的解法 若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是() A.(1,) B.(,5) C.() D.(1,)∪(,5) 解析:依题意,当x是最大边长时,则有 - 解得0且f(1)=1.若对于任意a∈[-1,1],存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立,则实数t的取值范围是() A.-2≤t≤2 B.t≤-1-或t≥+1 C.t≤0或t≥2 D.t≥2或t≤-2或t=0 解析:因为对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,总有- - >0, 故函数f(x)在[-1,1]上单调递增. 由于存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立, 1

高中数学人教A版第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1 x ＜a 等价于( ) A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a B ．－1a ＜x ＜1b C ．x ＜－1a 或x ＞1b D ．x ＜－1b 或x ＞1 a 解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ?x ＞1 a ； (2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ?x ＜－1 b . 综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ?x ＜－1b 或x ＞1 a . 答案：D 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0 C ．2b ＜2a ＜2 D ．a 2＜ab ＜1

答案：C 3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是() A．[－7，26] B．[－1，20] C．[4，15] D．[1，15] 答案：B 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是() A．a3＜b3B．a2＜b2 C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2 解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A. 答案：A 5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利() A．x＞a B．x＜a C．x≥a D．0≤x≤a 解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A. 答案：A 二、填空题 6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是