多尺度几何分析详解

多尺度几何分析详解

一、从小波分析到多尺度几何分析

小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。

由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度j，小波

支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。我们希望的这种变换就是“多尺度几何分析”。

图像的多尺度几何分析方法分为自适应和非自适应两类，自适应的方法一般先进行边缘检测再利用边缘信息对原函数进行最优表示，实际上是边缘检测和图像表示方法的结合，此类方法以Bandelet和Wdgelet为代表；非自适应的方法并不要先验地知道图像本身的几何特征，而是直接将图像在一组固定的基或框架上进行分解，

这就摆脱了对图像自身结构的依赖，其代表为Ridgelet、Curvelet和Contourlet变换。

二、几种多尺度几何分析

1、脊波(Ridgelet)变换

脊波(Ridgelet)理论由EmmanuelJ Candès于1998年在其博士论文中提出，这是一种非自适应的高维函数表示方法，具有方向选择和识别能力，可以更有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。脊波变换首先对图像进行Radon变换，即把图像中的一维奇异性比如图像中的直线映射成Randon域的一个点，然后用一维小波进行奇异性的检测，从而有效地解决了小波变换在处理二维图像时的问题。然而自然图像中的边缘线条以曲线居多，对整幅图像进行Ridgelet分析并不十分有效。为了解决含曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题，1999年，Candes又提出了单尺度脊波(MonoscaleRidgelet)变换，并给出了其构建方法。另一种方法是对图像进行分块，使每个分块中的线条都近似直线，再对每个分块进行Ridgelet变换，这就是多尺度Ridgelet。脊波变换对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能，也就是说对于纹理（线奇异性）丰富的图像，Ridgelet可以获得比小波更加稀疏的表示；但是对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。

2、曲波(Curvelet)变换

由于多尺度Ridgelet分析冗余度很大，Candès和Donoho于

1999年在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换，即第一代Curvelet变换中的Curvelet99； 2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。第一代Curvelet 变换实质上由Ridgelet理论衍生而来，是基于Ridgelet变换理论、多尺度Ridgelet变换理论和带通滤波器理论的一种变换。单尺度脊波变换的基本尺度是固定的，而Curvelet变换则不然，其在所有可能的尺度上进行分解，实际上Curvelet变换是由一种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换(Multiscale Ridgelet Transform)组合而成：首先对图像进行子带分解；然后对不同尺度的子带图像采用不同大小的分块；最后对每个分块进行Ridgelet分析。如同微积分的定义一样，在足够小的尺度下，曲线可以被看作为直线，曲线奇异性就可以由直线奇异性来表示，因此可以将Curvelet变换称为“Ridgelet变换的积分”。

第一代Curvelet的数字实现比较复杂，需要子带分解、平滑分块、正规化和Ridgelet分析等一系列步骤，而且Curvelet金字塔的分解也带来了巨大的数据冗余量，因此Candès等人于2002年又提出了实现更简单、更便于理解的快速Curvelet变换算法，即第二代Curvelet (FastCurvelet transform)。第二代Curvelet与第一代Curvelet 在构造上己经完全不同。第一代Curvelet的构造思想是通过足够小的分块将曲线近似到每个分块中的直线来看待，然后利用局部的Ridgelet分析其特性，而二代的Curvelet和Ridgelet理论并没有关系，实现过程也无需用到Ridgelet，二者之间的相同点仅在于紧支撑、框架等抽象的数学意义。2005年，Candès和Donoho提出了两种基于

第二代Curvelet变换理论的快速离散Curvelet变换实现方法，分别是：非均匀空间抽样的二维FFT算法（Unequally-Spaced FastFourier Transform，USFFT）和Wrap算法（Wrapping-BasedTransform）。对于Curvelet变换，可在网上下载Matlab程序包Curvlab；Curvlab包里有Curvelet的快速离散算法的Matlab程序和C++程序。

3、轮廓波(Contourlet)变换

2002年，MN Do和Martin Vetterli提出了一种“真正”的图像二维表示方法：Contourlet变换，也称塔型方向滤波器组(Pyramidal Directional Filter Bank, PDFB)。Contourlet变换是利用拉普拉斯塔形分解(LP)和方向滤波器组(DFB)实现的另一种多分辨的、局域的、方向的图像表示方法。

Contourlet变换继承了Curvelet变换的各向异性尺度关系，因此，在一定意义上，可以认为是Curvelet变换的另一种快速有效的数字实现方式。Contourlet基的支撑区间是具有随尺度变化长宽比的“长条形”结构，具有方向性和各向异性，Contourlet系数中，表示图像边缘的系数能量更加集中，或者说Contourlet变换对于曲线有更“稀疏”的表达。Contourlet变换将多尺度分析和方向分析分拆进行，首先由LP(Laplacian pyramid)变换对图像进行多尺度分解以“捕获”点奇异，接着由方向滤波器组(Directional Filter Bank, DFB)将分布在同方向上的奇异点合成为一个系数。Contourlet变换的最终结果是用类似于轮廓段(Contour segment)的基结构来逼近原图像，这也是所以称之为

Contourlet变换的原因。而二维小波是由一维小波张量积构建得到，它的基缺乏方向性，不具有各向异性。只能限于用正方形支撑区间描述轮廓，不同大小的正方形对应小波的多分辨率结构。当分辨率变得足够精细，小波就变成用点来捕获轮廓。

4、条带波(Bandelet)变换

2000年，ELe Pennec和Stephane Mallat在文献《EL Pennec, S Mallat. Image compression with geometrical wavelets[A].In Proc. OfICIP’ 2000[C]. Vancouver, Canada, September,2000.661-664》中提出了Bandelet变换。Bandelet变换是一种基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向。Pennec和Mallat认为：在图像处理任务中，若是能够预先知道图像的几何正则性并充分予以利用，无疑会提高图像变换方法的逼近性能。Pennec和Mallat首先定义了一种能表征图像局部正则方向的几何矢量线；再对图像的支撑区间S 进行二进剖分S=∪iΩi，当剖分足够细时，每一个剖分区间Ωi中最多只包含图像的一条轮廓线(边缘)。在所有不包含轮廓线的局部区域Ωi，图像灰度值的变化是一致正则的，因此，在这些区域内不定义几何矢量线的方向。而对于包含轮廓线的局部区域，几何正则的方向就是轮廓的切线方向。根据局部几何正则方向，在全局最优的约束下，计算区域Ωi上矢量场τ(x1,x2)的矢量线，再沿矢量线将定义在Ωi的区间小波进行Bandelet化(bandeletization)以生成Bandelet基，以能够充分利用图像本身的局部几何正则性。Bandelet化的过程实际上是沿矢量线进行小波变换的过程，此即所谓的弯曲小波变换(Warped wavelet

transform)。于是，所有剖分区域Ωi上的Bandelet的集合构成了一组L2(S)上的标准正交基。

Bandelet变换根据图像边缘效应自适应地构造了一种局部弯曲小波变换，将局部区域中的曲线奇异改造成垂直或者水平方向上的直线奇异，再用普通的二维张量小波处理，而二维张量小波基恰恰能有效的处理水平、垂直方向上的奇异。于是，问题的关键归结为对图像本身的分析，即如何提取图像本身的先验信息，怎样剖分图像，局部区域中如何“跟踪”奇异方向等等。然而，在自然图像中，灰度值的突变不总是对应着物体的边缘，一方面，衍射效应使得图像中物体的边缘可能并不明显地表现出灰度的突变；另一方面，许多时候图像的灰度值剧烈变化，并不是由物体的边缘而是由于纹理的变化而产生的。所有基于边缘的自适应方法需要解决的一个共同的问题是如何确定图像中灰度值剧烈变化的区域对应的是物体边缘还是纹理的变化，实际上这是一个非常困难的问题。大部分基于边缘的自适应算法在实际应用中，当图像出现较复杂的几何特征时，如Lena图像，在逼近误差的意义下，性能并不能超过可分离的正交小波分析。在图像的低比特率编码中，用来表示非零系数所在位置的开销远远大于用来表示非零系数值的开销。Bandelet同小波相比有两个优势：（1）充分利用几何正则性，高频子带能量更集中，在相同的量化步骤下，非零系数相对减少；（2）得益于四叉树结构和几何流信息，Bandelet系数可以重新排列，编码时系数扫描方式更灵活。说明Bandelet变换在图像压缩中的潜在优势。

构造Bandelet变换的中心思想是定义图像中的几何特征为矢量场，而不是看成普通的边缘集合。矢量场表示了图像空间结构的灰度值变化的局部正则方向。Bandelet基并不是预先确定的，而是以优化最终的应用结果来自适应地选择具体的基的组成。Pennec和Mallat给出了Bandelet变换的最优基快速寻找算法，初步实验结果表明，与普通的小波变换相比，Bandelet在去噪和压缩方面体现出了一定的优势和潜力。

5、楔波(Wedgelet)变换

在多尺度几何分析工具中，Wedgelet变换具有良好的“线”和“面”的特性。

Wedgelet是DavidL.Donoho教授在研究从含噪数据中恢复原图像的问题时提出的一种方向信息检测模型。Wedgelet变换是一种简明的图像轮廓表示方法。使用多尺度Wedgelet对图像进行分段线性表示，能够根据图像内容自动确定分块大小，较好地捕捉图像中的线和面的特征。克服了滑动窗口方法存在的不足。

多尺度Wedgelet变换由两部分组成：多尺度Wedgelet分解和多尺度Wedgelet表示。多尺度Wedgelet分解将图像划分成不同尺度的图像块，并将每个图像块投影成各个允许方位的Wedgelet；多尺度Wedgelet表示则根据分解结果，选择图像的最佳划分，并为每个图像块选择出最优的Wedgelet表示，从而完成图像的区域分割。

什么是Wedgelet？说白了，就是在一个图像子块

(dyadic square)画条线段，把它分成两个楔块，每一个楔块用唯一的灰度值表示。线的位置，两个灰度值，就近似刻画了这个子块的性质。

6、小线（Beamlet）变换

小线变换（BeamletsTransform）是斯坦福大学的David L.Donoho教授1999年首次提出的，已经得到了初步的应用。由小线变换引入的小线分析（Beamlets Analysis）也是一种多尺度分析，但又不同于小波分析的多尺度概念，可以理解为小波分析多尺度概念的延伸，小线分析以各种方向、尺度和位置的小线段为基本单元来建立小线库，图像与库中的小线段积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组织变换系数，再通过图的形式从金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。这是一种能较好进行二维或更高维奇异性分析的工具。

根据小线理论及其研究结果来看，它对于处理强噪背景的图像有无可比拟的优势。但是小线变换的前期准备工作，如小线字典、小线金字塔扫描这些部分的工作量太过于庞大，不利于研究。如果能将这部分简化，或者做成固定的模块引用的话，相信小线分析能够很快的扩展其应用领域。总的来说小线分析的研究还处于初步阶段，相关的研究成果也不多，应用研究领域有待于进一步拓展。

在Beamlet分析中，线段类似于点在小波分析中的地位。Beamlet 能够提供基于二进组织的线段的局部尺度、位置和方向表示，线的精确定位易实现，且算法实现不复杂，所以基于Beamlet 的线特

征提取值得研究。

Beamlet基是一个具有二进特征的多尺度的有方向的线段集合，二进特征体现在线段的始终点坐标是二进的，尺度也是二进的。

Donoho 提出了连续Beamlet变换及其在多尺度分析中的应用，为减少计算量及更适于计算机处理，Xiaoming Huo 提出了离散Beamlet变换。

从Beamlet基的框架得知，每条Beamlet把每个二进方块分为两个部分，每个部分都称为Wedgelet，这两部分为互补的Wedgelet，从而每个Beamlet对应两个互补的Wedgelet，使Beamlet基与Wedgelet对应起来Wedgelet变换具有多尺度的特性；还可以看出Wedgelet基是片状基，与Beamlet的线状基不同。

多尺度几何分析详解

多尺度几何分析详解 一、从小波分析到多尺度几何分析 小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。 由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度j，小波

支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。我们希望的这种变换就是“多尺度几何分析”。 图像的多尺度几何分析方法分为自适应和非自适应两类，自适应的方法一般先进行边缘检测再利用边缘信息对原函数进行最优表示，实际上是边缘检测和图像表示方法的结合，此类方法以Bandelet和Wdgelet为代表；非自适应的方法并不要先验地知道图像本身的几何特征，而是直接将图像在一组固定的基或框架上进行分解，

解析几何常见方法

解析几何常见方法 解析几何是数学的一个重要分支，它通过引入坐标系和方程，将几何图形转化为代数方程进行研究，从而解决了许多传统几何无法解决的问题。在解析几何中，常见的分析方法有以下几种： 1、直接求解法 直接求解法是解析几何中最基本的方法之一。它通过建立方程来求解点的坐标、线段的长度、角度的大小等几何量。例如，在求解两点间的距离时，我们可以直接使用距离公式进行计算。 2、参数法 参数法是一种通过引入参数来简化问题的方法。在解析几何中，参数通常用于表示某些未知的几何量，如角度、长度等。通过将参数代入方程中，我们可以将复杂的问题转化为简单的问题进行求解。 3、反证法 反证法是一种通过假设相反的结论来证明原结论正确的方法。在解析几何中，反证法常常用于证明某些结论的唯一性或存在性。例如，在证明一个点在一个平面上的投影是唯一的，我们可以采用反证法来证

明。 4、归纳法 归纳法是一种通过归纳和总结规律来证明结论的方法。在解析几何中，归纳法常常用于证明一些具有一般性的结论。例如，在证明一个平面上的直线和另一个平面上的直线平行时，我们可以使用归纳法进行证明。 5、代数法 代数法是一种通过引入代数方法来研究几何问题的方法。在解析几何中，代数法常常用于求解一些需要用到方程的问题。例如，在求解一个二次曲线的方程时，我们可以使用代数法进行求解。 以上是解析几何中常见的几种方法，它们各自具有不同的特点和应用范围。在实际解题时，需要根据具体的问题选择合适的方法进行求解。 平面解析几何的产生费马与解析几何 在数学的历史长河中，平面解析几何的形成和发展无疑占据了重要的地位。这一学科领域的出现，源于一些伟大的数学家的创新和探索精神。其中，费马（Pierre de Fermat）的贡献尤为引人瞩目。

小波分析的发展历程

小波分析的发展历程 一、小波分析 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 （1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 （2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。 （3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。 1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。 1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。 1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。 1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。 1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。 1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第一代小波的开始？ （1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。 （2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。 （3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。 1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。 Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。 1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。 1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。 1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。 1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。 （1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。 （2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。

图像反问题、超分辨重建和多尺度几何分析 转载

图像反问题、超分辨重建和多尺度几何 分析转载 图像反问题、超分辨重建和多尺度几何分析(转载)2010-11-22 16：26图 像处理中不适定问题(ill posed problem)或称为反问题(inverse Problem)的 研究从20世纪末成为国际上的热点问题，成为现代数学家、计算机视觉和图像处理学者广为关注的研究领域。数学和物理上的反问题的研究由来已久，法国 数学家阿达马早在19世纪就提出了不适定问题的概念：称一个数学物理定解问题的解存在、唯一并且稳定的则称该问题是适定的(Well Posed).如果不满足适定性概念中的上述判据中的一条或几条，称该问题是不适定的。典型的图像处 理不适定问题包括：图像去噪(Image De-nosing)，图像恢复(Image Restorsion)，图像放大(Image Zooming)，图像修补(Image Inpainting)，图 像去马赛克(image Demosaicing)，图像超分辨(Image super-resolution)等。迄今为止，人们已经提出许多方法来解决图像处理中的不适定性。但是如何进 一步刻画图像的边缘、纹理和角形等图像中重要视觉几何结构，提高该类方法 在噪声抑制基础上有效保持结构和纹理能力是有待深入研究的问题。1不适定 图像处理问题的国内外研究现状评述由于图像处理中的反问题往往是不适定的。解决不适定性的有效途径是在图像处理中引入关于图像的先验信息。因此图像 的先验模型对于图像反问题和其它计算机视觉还是图像处理问题至关重要。对 于图像的先验模型的研究，研究者们从多个角度进行研究，其代表主要有"统计方法"和"正则化几何建模方法"，"稀疏表示方法"三种主流方法，而最近兴起的图像形态分量分析(MCA)方法吸引了大批国内外研究者的广泛关注。1.1正则化 几何模型日新月异关于自然图像建模的"正则化几何方法"是最近几年热点讨论 的主题。其中一类方法是利用偏微分方程理论建立图像处理模型，目前的发展 趋势是从有选择性非线性扩散的角度设计各类低阶、高阶或者低阶与高阶综合 的偏微分方程,或者从实扩散向复扩散推广,从空域向空频域相结合以及不同奇 异性结构的综合处理[1]。另一类方法是基于能量泛函最优的变分方法。1992年，Rudin-Osher-Fatemi提出图像能被分解为一个属于有界变差空间的分量和 一个属于的分量的全变差模型[2]。根据国际上及本人的研究表明：ROF模型模 型较好地刻画了图像中视觉重要边缘结构，但不能描述纹理信息。2001年

小波和多尺度简介

在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。 在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。 最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。 从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。 从基函数的形成来讲，在图像表示方面体现为多尺度几何分析，无论是曲波(curvelets)、带波(bandlets)，还是仿形波(coutourlets)，都要求基函数应具备下述特点：(i)多分辨率分析，(ii)时频定位能力，(iii)全角度分析(方向性)，(iv)各向异性的尺度变换。这些新的冗余函数系统的不断涌现，使信号稀疏表示的方法更加成为研究的热点。 超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年代。1993年Mallat和Zhang首次提出了应用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(marching pursuit, MP)算法。在这篇文献中，作者用自然语言表述浅显的类比，说明超完备冗余字典对信号表示的必要性，同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所固有的特性，以实现MP算法的自适应分解。 新思想的提出引起人们极大的关注，但由于算法所涉及的计算量十分繁重，因而早期研究的焦点集中在如何实现算法的快速计算，降低算法的复杂度，以及选择何种类型原子构造合适的字典两方面。这期间，许多音视频信号处理方面的实验都对MP算法作出了有利的支持，尤其在甚低码率视频编码方面，MP算法更显示出极大的优越性. 1999年Donoho等人又另辟蹊径，提出了基追踪(basis pursuit, BP)算法，并从实验的角度举证了MP,MOF,和BOB算法各自的优劣。稍后，又在2001年发表的另一篇重要文章中，给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件，并提出了字典的互不相干性的概念。 注：摘自《基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解》

基于多尺度几何分析的目标描述和识别解读

基于多尺度几何分析的目标描述和识别 基于多尺度几何分析的目标描述和识别 潘泓, 李晓兵, 金立左, 夏良正(东南大学自动化学院,江苏南京210096)摘要:结合多尺度几何分析和局部二值模式算子,构造了一种新的多尺度、多方 向局部特征描述子———局部Cont-ourlet二值模式(LCBP).通过对尺度内、尺度间及同一尺度不同方向子带内LCBP直方图统计分析,同时考虑到LCBP的四叉树结构特点和模型的简单性,用两状态HMT描述LCBP系数,得到LCBP-HMT模型.在此基础上,提出了基于LCBP-HMT模型的目标识别算法,该算法提取LCBP-HMT 模型参数作为特征,通过比较输入目标特征和各类标准目标特征的Kullback-Leibler距离进行分类.实验结果表明, LCBP特征比传统小波域特征和Contourlet域高斯分布模型特征更具鉴别能力. 关键词:多尺度几何分析;轮廓波变换;局部二值模式;目标识别 引言 由一维小波基通过张量积生成的二维可分离小波基是各向同性的,只具有有限的方向选择性,在表示二维或高维信号的奇异结构处(如图像边缘和轮廓)会产生大量小波系数,导致高维信号的非稀疏表示.针对传统小波在高维空间中分析能力 不足的缺点,人们相继提出了Curvelet、Contourlet、Bandelet和 Directionlet等一系列多尺度几何分析(MultiscaleGeometricAnalysis-MGA) 方法.这些MGA变换的共同特点在于:基函数的支撑区间具有各向异性和多种方 向选择性,在描述高维信号时,能以更少的系数、更优的逼近阶数逼近信号奇异处.MGA优越的非线性逼近特性,使其越来越多地被应用在特征提取、纹理分类[1]、生物特征识别[2]和图像检索[3]等领域.目前,MGA理论体系刚建立,在特 征提取、目标识别等方面的应用还处于起步阶段,仍有许多地方有待进一步研究. 本文结合多尺度几何分析和局部二值模式(LocalBinary Pattern-LBP)算子,构造了一种新的多尺度局部方向特征描述子-局部Contourlet二值模式(LocalContourletBinary Pattern-LCBP).通过对尺度内、尺度间及同一尺度 不同方向子带LCBP直方图的分析,研究了LCBP特征的边缘和条件统计模型. 在此基础上,用隐马尔可夫树模型对LCBP系数建模,并提出了基于隐马尔可夫树模型的LCBP目标识别算法,取得了较传统小波变换特征和Contourlet域高斯分布模型特征更好的识别结果. 1 Contourlet变换Contourlet变换[4, 5]是一种多尺度、多方向的二维图 像表示方法,与其它MGA方法相比, Contourlet变换在不同尺度上的方向分解 数目灵活可调,可以用较精细的角度分辨率捕获图像的方向信息. Cont-ourlet 变换将多尺度分析和方向分析分开进行:①通过拉普拉斯金字塔 (Laplacian Pyramid-LP)进行多尺度分解,捕获图像中的点奇异性.一次LP分 解将原始图像分解为低频分量和高频分量,低频分量由原始图像通过二维低通滤波和隔行隔列二采样得到,高频分量由原始图像和低频分量的差分得到.②使用 方向滤波器组(Directional Filter Bank-DFB)对高频分量进行方向变换.DFB 将同方向上的奇异点连接成线性结构,并合并为一个Contourlet变换系数,从而捕获图像中的轮廓.若DFB的个数为,l DFB将频域分解成2l个楔型方向子带.

解析几何学

[科目] 数学 [关键词] 解析几何/坐标系/圆锥曲线 [文件] sxbj67.doc [标题] 解析几何学 [内容] 解析几何学 解析几何学（analytic geometry）是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费马等人创建，其思想来源可上溯到公元前两千年。 美索不达米亚地区的巴比伦人已能用数字表示一点到另一个固定点、直线或物体的距离，已有原始坐标思想。公元前4世纪中古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥截线，并对这些曲线的性质做了系统阐述。公元前200年左右阿波罗尼奥斯着有《圆锥曲线论》 8卷，全面论述了圆锥曲线的各种性质，其中采用过一种「坐标」，以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，加之所研究的内容，可以看作是解析几何的萌芽。到16世纪末，法国数学家韦达提出了用代数方法解几何问题的想法，他的思想给笛卡儿很大的启发。此外开普勒发现行星运动三大定律，伽利略研究拋射体运动轨迹，都要求数学从运动变化的观点研究和解决问题，促进了解析几何学的建立。 1637年笛卡儿出版了一部哲学著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，书中有三个附录，其中之一是《几何学》3卷。这是笛卡儿唯一的数学论着，阐述了他关于解析几何的思想，后人把它作为解析几何的起点。书中第一次出现变量与函数概念，他所谓的变量是指具有变化长度和不变方向的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量，因此他试图创建一种几何与代数互相渗透的学科。在卷Ⅰ中将几何问题化为代数问题，提出几何问题的统一作图法，将线段与数量联系起来，设立方程，根据方程的解所表示的线段间的关系进行作图。卷Ⅱ将平面上的点与一种斜坐标确定的数对联系起来，进一步考虑含两个未知数的二次不定分程，指出它代表平面上的一条曲线，并依据方程的次数将曲线分类。这样，一个代数方程可以通过几何直观方法去处理，反之可以用代数方法研究曲线的性质，体现了具有某种性质的点之间有某种关系，构成解析几何的基本思想。 与笛卡儿同代的数学家费马独立发现了解析几何基本原理。费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易于进行，后为此写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》（ 1679年发表），其中断言，两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘一条直线或曲线。 1643年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想。另一位数学家拉伊尔于1670年也对三维解析几何做过讨论。 解析几何建立后得迅速发展，并广泛用于各个数学分支。意大利数学家卡瓦列里最先使用极坐标来求阿基米德螺线下的面积。牛顿则第一个把极坐标看成是确定平面上点的位置的一种方法。18世纪克莱罗在《关于双重曲率曲线的研究》（1731）、欧拉在《无穷分析引论》（1748）中以及拉格朗日（1773）等都讨论了曲面和空间曲线的解析理论。19世纪德国数学家普吕克发表《解析几何的发展》（1828-1831）和《解析几何系统》（1835），以优美的方式证明了该领域中的许多结论和定理，在解析几何发展史上占有重要位置。解析几何学大大推动了微积分学的发展，也促进了几何本身的进步，它的直接推广还产生了代数几何分支。在解析几何中，「坐标」一词由莱布尼兹于1692年首先创用。「纵坐标」是他两年后正式使用，「横坐标」到18世纪由德国数学家沃尔夫引用。而「解析几何学」这个名称直到18世纪末才由法国数学家拉克鲁瓦正式使用。

2.平面几何解题的基本方法——分析法

第一章中学几何证明 第一节分析法与综合法 在逻辑学中，所谓分析，就是把思维对象分解为各个组成部分、方面和要素，分别加以研究的思维方法．它在思维方式上的特点，在于它从事物的整体上深入地认识事物的各个组成部分，从而认识事物的内在本质或整体规律；所谓综合，是在思维中把对象的各个组成部分、方面、要素联结和统一起来进行考察的方法．它在思维方式方面的特点是在分析的基础上，进行科学的概括，把对各个部分、各种要素的认识统一为对事物整体的认识，从而达到从总体上把握事物的本质和规律的目的． 在数学研究及学习中，把分析与综合的思维方法运用到几何的逻辑证明或推导中，就形成了求解几何问题的分析法与综合法． 分析法是由命题的结论入手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的．这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程． 综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。 无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程．分析法先认定结论为真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应如何迈步，这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤． 1 分析法 在由结论向已知条件的寻求追溯过程中，由于题设条件的不同，或已知条件之间关系的隐蔽程度的不同等，寻求追溯的形式、程度有差异，因而分析法常分为选择型分析法、可逆型分析法、构造型分析法、设想型分析法等几种类型． 1.1 选择型分析法 选择型分析法解题，就是从要求解的结论B出发，希望能一步步把问题转化但又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论B需要什么样(充分)的条件，并为此在探求的“三岔口”

空间解析几何应用分析

空间解析几何应用分析 空间解析几何是数学中的一个重要分支，它与平面几何不同，研究 的对象是三维空间中的点、线和面。通过运用向量、坐标和方程等工具，空间解析几何可以应用于许多领域，例如物理学、工程学和计算 机图形学等。本文将从不同的角度分析空间解析几何的应用。 一、物理学中的空间解析几何应用 在物理学中，空间解析几何被广泛应用于描述和分析各种物理现 象和过程。以运动学为例，我们可以利用解析几何的概念和方法描述 物体在空间中的运动轨迹。通过建立适当的坐标系，用向量表示位移、速度和加速度，并运用方程求解，可以准确描述物体的运动状态。此外，在力学中，空间解析几何也可以用于分析力的作用方向和大小等 问题，为力学问题的求解提供了有力的工具。 二、工程学中的空间解析几何应用 空间解析几何在工程学中有着广泛的应用。比如在建筑设计中， 通过利用几何的原理和方法，可以进行建筑物的空间布局规划，确保 结构的稳定性和安全性。在机械工程中，空间解析几何可以用于设计 和分析复杂的机械系统，如机械零件的装配、轨迹规划和机器人运动 控制等。在电子工程领域，利用空间解析几何的概念，可以建立三维 坐标系，进行电路的分析和电子元器件的设计等。 三、计算机图形学中的空间解析几何应用

空间解析几何在计算机图形学中有着重要的应用价值。在三维建 模和渲染中，通过运用向量和坐标等概念，可以精确描述和表示三维 物体的形状、位置和光照等属性。此外，在计算机动画和游戏开发中，空间解析几何也扮演着核心的角色。通过计算物体在空间中的运动和 变换，可以实现逼真的动画效果和交互体验。 综上所述，空间解析几何在物理学、工程学和计算机图形学等领域 的应用非常广泛。通过掌握空间解析几何的概念和方法，我们可以更 好地理解和描述现实世界中的各种现象和问题。同时，空间解析几何 的应用也在推动科学技术的发展和创新。随着技术的不断进步，相信 空间解析几何将在更多领域发挥重要作用，为人类的学术研究和实践 应用提供更多的可能性。

数学几何模型的构建步骤与技巧详解

数学几何模型的构建步骤与技巧详解 数学几何模型是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和描述各种现象。在构建数学几何模型时，我们需要经过一系列步骤和运用一些技巧。本文将详细介绍数学几何模型的构建步骤与技巧。 第一步：问题分析 在构建数学几何模型之前，我们首先需要对问题进行全面的分析。这包括确定 问题的背景、目标和约束条件等。通过仔细分析问题，我们可以更好地理解问题的本质，并为后续的模型构建做好准备。 第二步：建立数学模型 在问题分析的基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。数学模型是对实际 问题的抽象和简化，通过数学符号和方程来表示。在几何模型中，我们通常使用几何图形来表示问题的空间特征。例如，对于一个城市的道路规划问题，我们可以使用线段、圆等几何图形来表示道路和交叉口等要素。 第三步：确定变量和参数 建立数学模型后，我们需要确定模型中的变量和参数。变量是模型中的未知量，可以通过实际观测或实验来确定。参数是模型中的已知量，可以通过文献调研或专家咨询来确定。确定变量和参数是模型求解的基础，它们的选择和确定将直接影响到模型的准确性和可行性。 第四步：建立方程和约束条件 在确定了变量和参数之后，我们需要建立方程和约束条件来描述问题。方程是 模型中的数学等式或不等式，它们可以用来描述问题的关系和约束条件。约束条件是对问题的限制和要求，它们可以限制变量的取值范围或满足特定的条件。通过建立方程和约束条件，我们可以将问题转化为一个数学优化问题，从而求解模型。

第五步：模型求解与分析 在建立了数学模型、确定了变量和参数、建立了方程和约束条件之后，我们可 以进行模型求解和分析。模型求解是通过数学方法和计算机技术来求解模型的最优解或近似解。在进行模型求解时，我们需要选择合适的求解方法和算法，并进行计算和优化。模型分析是对模型结果进行评估和解释，通过分析模型结果，我们可以得出结论和提出建议。 在构建数学几何模型时，还有一些技巧和注意事项需要注意。首先，要灵活运 用几何图形和空间关系，通过合理选择几何图形和建立几何关系，可以简化模型的构建和求解过程。其次，要注意模型的合理性和可行性，模型应该符合实际情况，并能够解决实际问题。同时，要注意模型的精确性和稳定性，模型应该能够给出准确的结果，并对参数的变化具有一定的鲁棒性。 总之，数学几何模型的构建是一个复杂而又有趣的过程。通过合理的问题分析、建立数学模型、确定变量和参数、建立方程和约束条件、模型求解与分析等步骤，我们可以构建出准确、可行的数学几何模型，并为实际问题的解决提供有力的工具和方法。同时，灵活运用几何图形和空间关系，注意模型的合理性和精确性，也是构建数学几何模型的重要技巧。希望本文对读者在数学几何模型的构建方面有所启发和帮助。

基于多尺度几何分析的图像处理技术研究

基于多尺度几何分析的图像处理技术研究 基于多尺度几何分析的图像处理技术研究 摘要：随着计算机技术的迅速发展，图像处理技术在许多应用领域得到了广泛应用。然而，由于图像的复杂性和多样性，如何提高图像处理算法的准确性和效率成为一个挑战。本文研究了基于多尺度几何分析的图像处理技术，通过在不同尺度下分析图像的几何特征，提出了一种新的图像处理方法。 一、引言 图像处理技术在计算机视觉、医学影像分析等领域有着广泛的应用。传统的图像处理方法通常在一个固定的尺度下处理图像，无法充分利用图像的多尺度信息。然而，图像中的目标物体通常具有不同的尺度和几何特征，在不同尺度下观察图像可以提供更全面和准确的信息。因此，基于多尺度几何分析的图像处理技术成为一个研究热点。 二、多尺度分析方法 多尺度分析是指对图像在不同尺度下进行分析和处理。常见的多尺度分析方法包括小波变换、尺度空间理论和多尺度分割等。 1. 小波变换 小波变换是一种基于函数的变换方法，可以将图像分解成不同尺度的频带。通过对图像进行小波变换，可以获取图像在不同尺度上的特征信息，从而实现多尺度分析和处理。 2. 尺度空间理论 尺度空间理论是一种基于高斯滤波器的多尺度分析方法，通过不同尺度下的高斯滤波器对图像进行处理，可以获取图像在不同尺度下的模糊特征。尺度空间理论可以用于图像增强、边缘

检测和特征提取等任务。 3. 多尺度分割 多尺度分割是指将图像分割成不同尺度上的子图，然后对每个子图进行分析和处理。多尺度分割可以提取图像中的局部特征，并对图像进行更精确的处理。常用的多尺度分割方法包括基于区域的分割和基于边缘的分割等。 三、基于多尺度几何分析的图像处理技术 基于多尺度几何分析的图像处理技术是指利用不同尺度下的几何特征对图像进行分析和处理。通过在不同尺度下提取图像的几何特征，可以获取图像在不同尺度上的细节信息，并对图像进行更准确的处理。 基于多尺度几何分析的图像处理技术主要包括以下几个步骤： 1. 多尺度分解 首先，将图像进行多尺度分解，获取图像在不同尺度下的特征信息。可以使用小波变换或尺度空间理论等方法进行图像的多尺度分解。 2. 几何特征提取 在不同尺度下，提取图像的几何特征，如边缘、纹理、角点等。可以使用边缘检测算法、纹理分析算法和角点检测算法等方法进行几何特征的提取。 3. 几何分析 将提取到的几何特征进行分析，对图像进行几何分析。可以使用形状分析、拓扑分析等方法进行几何分析。 4. 图像处理 根据几何分析的结果，对图像进行相应的处理。可以使用图像增强、分割、重建等方法进行图像处理。

高中数学知识点解析几何

高中数学知识点解析几何 解析几何是普及率极高的数学学科，属于高中数学的重要部分，是理学、工科、社科等领域的基础，同时也是实际问题的研究基础。解析几何的方法和思想对于高中数学学生来说是非常重要的，本文将对高中数学知识点解析几何进行解析。 一、平面直角坐标系 平面直角坐标系是解析几何的基础，含有两个坐标轴：水平的 x 轴和垂直的 y 轴，两轴相交于原点 O，构成四个象限。平面直角坐标系可以用于描述平面上的点、线、圆、多边形等几何图形。 二、二维向量 向量是一个物理量，既有大小又有方向，可以与平面上的点对应。向量的表示方式可以是端点坐标的差异，也可以通过公式来 求解。设向量 A 的坐标为(x1,y1)，向量 B 的坐标为(x2,y2)，则其 差向量的表示方法为 C=(x2-x1,y2-y1)。向量的长度称为模，即向 量 C 的模为|C|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

三、直线的方程 直线的方程有三种类型，即一般式、斜率截距式和点斜式。一 般式方程是 Ax+By+C=0，其中 A, B, C 是常数；斜率截距式方程 是y=kx+b，其中k 斜率，b 是截距；点斜式方程是y-y1=k(x-x1)，其中 (x1,y1) 是直线上的一点，k 斜率。 四、圆的方程 圆的方程是 (x-a)²+(y-b)²=r²，其中 (a,b) 是圆心， r 是半径。通 过圆的方程可以求得圆的周长和面积，也可以用于圆的位置、交 点等相关计算。 五、直线和圆的交点 求直线和圆的交点通常可以通过联立直线和圆的方程来解。设 直线的方程为 y=mx+n，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，则可得二元 一次方程组： (x-a)²+(mx+n-b)²=r²

基于多尺度分析的智能材料设计与优化

基于多尺度分析的智能材料设计与优化 随着科技的发展，智能材料越来越受到人们的关注。它们是一种通过其他材料或环境的变化来实现预定目标的材料。比如，温度敏感的材料可以根据温度的变化做出相应的反应，在医学领域可以用于制造体温计、药物负载等。而智能材料的设计和优化也成为了材料学中的重要研究方向之一。本文将介绍基于多尺度分析的智能材料设计与优化。 一、智能材料的设计和优化 智能材料的设计和优化需要考虑以下几个方面： 1. 选择合适的材料 不同的智能材料可以通过不同的刺激实现目标，因此选择合适的材料是智能材料设计的第一步。比如，温度敏感的材料可以选择聚N-异丙基丙烯酰胺(PNIPAAm)，因为它的可逆相变温度在体内和体外的温度范围内。而压电材料常用的是晶体或陶瓷等。 2. 分析材料的性能和特点 在材料的设计和优化中，需要对材料的性能和特点进行分析。可以通过计算机模拟、实验测试、理论分析等方法进行评估和验证，并寻找改进和提高材料性能的途径。 3. 确定合适的刺激因素 智能材料的刺激因素可以是温度、电场、光线、压力等，需要根据不同的应用场景确定。比如，在心脏瓣膜的修复中，可以利用温度敏感材料，通过局部加温来实现瓣膜的开合。 二、多尺度分析在智能材料设计和优化中的应用

智能材料的设计和优化需要涉及多个尺度，包括微观结构、介观结构和宏观结构。由于材料的性能和特点与其结构密切相关，分析多个尺度的结构和性能可以更全面地了解材料的特点和优化途径。 1. 微观结构分析 微观结构是材料最基本的组成单位，包括原子、分子、晶格等。在智能材料的 设计和优化中，需要分析微观结构对材料性能和响应的影响。比如，在设计压电材料时，可以分析材料晶体结构的对称性、晶格畸变等因素对压电效应的影响，找到优化材料压电性能的途径。 2. 介观结构分析 介观结构处于微观结构和宏观结构之间，包括晶粒、晶界、孪晶等，对智能材 料的性能有重要影响。在智能材料的设计和优化中，需要分析介观结构与微观结构、宏观结构的相互作用，找到优化材料性能的途径。 3. 宏观结构分析 宏观结构是材料在大尺度上的构成和形态，包括几何形状、形变、力学性能等。在智能材料的设计和优化中，需要分析材料的宏观结构与微观结构、介观结构的相互作用，找到优化材料性能的途径。比如，在设计形状记忆合金时，需要分析材料宏观结构与微观晶粒取向的关系，找到优化材料形状记忆性能的途径。 三、结语 基于多尺度分析的智能材料设计和优化是将多学科交叉融合的结果，需要充分 掌握材料学、物理学、化学、机械工程等相关领域的知识。今后，随着科学技术的不断更新和发展，基于多尺度分析的智能材料设计和优化将发挥越来越重要的作用。

高考数学考点归纳之解析几何常见突破口

高考数学考点归纳之解析几何常见突破口 解析几何研究的问题是几何问题,研究的手法是代数法〔坐标法〕.因此,求解解析几何 问题最大的思维难点是转化, 即几何条件代数化.如何在解析几何问题中实现代数式的转化, 找到常见问题的求解途径, 即解析几何问题中的条件转化是如何实现的, 是突破解析几何问 题难点的关键所在. 为此,从以下几个途径, 结合数学思想在解析几何中的切入为视角,分析解析几何的“双管齐下〞,突破思维难点. 考点一利用向量转化几何条件 ［典例］如下图,圆C: x2+y2-2x+ 4y- 4=0,问：是否存在斜率为1的直线 1,使l与圆C交于A, B两点,且以AB为直径的圆过原点？假设存在,写出直线 1的方程；假设不存在,请说明理由. ［解题观摩］假设存在斜率为1的直线1,使1与圆C交于A, B两点,且 以AB为直径的圆过原点. 设直线1的方程为y=x+b, 点A(X1, y i), B(x2, y2). y= x+ b, 联立x2+y2-2x+4y-4= 0, 消去y并整理得2x2 + 2(b+1)x+b2+4b—4=0, b2 + 4b — 4 所以x1 +x2= — (b+1), x[x2= 2 .① 由于以AB为直径的圆过原点,所以OA^OB, 即x1x2 + y〔y2= 0. 又y1 = x1+b, y2 = x2 + b, 那么x1x2+y1y2= x1x2 + (x1+ b)(x2+ b)= 2x1x2+ b(x1+x2)+ b2 = 0. 由①知,b2+ 4b-4- b(b+ 1)+b2=0, 即b2+3b— 4=0,解得b= —4 或b=1. 当b = - 4或b= 1时, 均有A= 4(b+1)2-8(b2+4b-4)=- 4b2-24b+36>0, 即直线1与圆C有两个交点. 所以存在直线1,其方程为x— y+ 1 = 0或x— y— 4= 0. ［关键点拨］

中考数学常见几何模型专题04 对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

专题04 对角互补模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（全等模型） 【模型解读】 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】 1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠23 4 COD COE S S += . 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝ OC ，∠21 2 ODCE OCD COE S S S OC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒ -：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒ -，OC 平分∠AOB . 则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCD COE S S OC αα+=⋅⋅. 1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．

（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ； （拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据 ()111 222 ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ， ， ∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝ 11 22 AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ， （2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ． ∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ， 又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED ()AAS ，∠FB ＝DE ， ∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ， 在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， 又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，