罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型
跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：
（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则
（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则
（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g
证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：
则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，
那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
再简化为下面的结果:
则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
又由于()()ln ln X t X t αα??=??
，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降
为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。
图1-1 时间函数X 的增长率
（b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即：
因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的
斜率出现扭曲，在
t时刻至2t时刻，ln X的斜率由0逐渐变为a；从2t时刻
1
之后，ln X的斜率再次变为a（0
a>）。
图1-2 ln X关于时间的图形
描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。
（a）折旧率下降。
（b）技术进步率上升。
（c）生产函数是柯布—道格拉斯型，()
=，并且资本份额α上升。
f k kα
（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。
答：（a）折旧率下降的影响
由于持平投资线的斜率为()
++，当折旧率δ下降后，持平投资线的
n gδ
斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到
k*。
NEW
图1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为()
++，当技术进步率g上升后，会使持平
n gδ
投资线的斜率变大，持平投资线向左转，而实际投资线则不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到
k*。
NEW
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的()
f k kα
=，并且资本份额α上升的影响
由于持平投资线的斜率为()n g δ++，因此α上升对持平投资线没有影响。由于实际投资线为()sf k ，而()f k k α
=，因此ln sk sk k α
αα?=?。当资本份额α上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于01α<<，如果ln 0k >，或者1k >，则/0sk αα??>，即实际投资线sk α随α增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果ln 0k <，或者01k <<，/0sk αα??<，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于1k =，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外，α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。如果()s n g δ>++，α的上升会使k *上升，如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响
（d ）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：
如果修改密集形式的生产函数形式为：()sBf k ，0B ＞，则实际投资线为()sBf k 。
工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B 上升，B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升；持平投资线()n g k δ++并不
受影响，此时，k 也从k *上升到NEW k *，如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响
考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次跳跃。
（a ）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？
（b ）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初始变化（如果存在的话）之后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？
（c ）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？
答：（a ）假定在0t 时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每
单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。从/k K AL =这一式子中可以看出，由于L 上升，而K 和A 则没有变化，因此，k 会下降。因为()0f k '＞，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，y 从y *下降到NEW y 。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响
（b ）在NEW k 处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平
投资，即：()()NEW NEW sf k g k δ+＞。在NEW k 处，经济中储蓄和投资超过了折旧和
技术进步所需要的投资数量，因此k 开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。因此，y 从NEW y 返回到y *。
（c ）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平k *。在k *处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径，k 便会返回到k *处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
设生产函数是柯布—道格拉斯型的。
（a ）找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。
（b ）k 的黄金律值是什么？
（c ）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？
解：（a ）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：
定义柯布—道格拉斯生产函数为：()f k k α=，将其代入上式，有下式： 在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k 保持不变，则有下面结果：
从上式可以解出：
()()1/1k =s /n+g +αδ-*????
（1）
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：
将方程（1）代入()f k k α=，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：
()()/1*/g y s n ααδ-=++????
（2）
下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。
将方程（2）代入()1c s y **=-，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为：
()()()/11/*c =s s n g ααδ--++????
（3）
综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数表达式。
（b ）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。
由方程（1）可以解出s ，即：
()1s =n+g +k αδ*-
（4）
将上式代入方程（3），有下式：
上式可以简化为：
()***c =k n+g +d k α-
（5）
即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。
下面求*c 关于*k 的最优化，可以由（5）得出：
再
简化为：()*1=a ak n+g +δ- （6）
方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（6）左边，因为()*1*a k f k α-'=
，则，()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。
可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k 的黄金律值：
()()1/1*GR k /n+g +ααδ-=????
（7）
（c ）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：
进一步简化为：
GR s α=
（8）
由方程（8）可以得出：对于柯布—道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。
考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。
（a ）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。
（b ）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。
答：（a ）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：/y Y L =，/k K L =。
由于持平投资线的斜率为()n δ+，因此，人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为：
由于n 下降，这会导致k g 变为正数（在平衡增长路径上，k g
为0，即资
本存量处于最佳水平）。在*k 处，每个工人平均实际投资()*sf k 超过了每个
工人平均持平投资()*NEW n k δ+，因而，*k 会增加，移向*NEW k ，如图1-8所示。
图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的
影响
随着每个工人平均资本的增加，由()y f k =可以知道每工人平均产出会上升。又因为()1c s y =-，由于s 不变，而y 上升，因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。
其中，图1-9（1）为每个工人平均资本的变化图，图1-9（2）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（3）为每个工人平均消费的变化图。
图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化
（b ）由定义Y Ly =，则Y 的增长率为///Y L Y L y y =+g g g 。在开始的平衡增长路径上，
y g /0y =，因此，//Y Y L L n ==g g ，在最终的平衡增长路径上，//NEW Y Y L L n n == 图1-10所示。 图1-10 总产出增长率的下降 找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出y *关于人口增长率n 的弹性。如果()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=，n 由2％下降至1％将会y *使提高多少？ 解：由于()y f k **=，所以对该式两边对n 求导数，有下式的结果： ()()//y n f k k n ***'??=?? （1） 而/k n *??值可以从资本的动态方程式()()k sf k n g k δ=-++g 中寻找。在平衡增长路径上，0k =g ，k k *=，因此有：()()**sf k n g k δ=++，对两边关于n 求导， 得到下式： 求解可得： （2） 将方程（2）代入（1）式，得： （3） 由()()**sf k n g k δ=++求解s ，可得： ()()**/s n g d k f k =++ （4） 将方程（4）代入（3）式，可得： 求*y 关于n 的弹性形式： （5） 产出的资本弹性为()()()****/K k f k k f k α'=，代入（5）式： （6） 将()*1/3K k α=、2%g =以及3%δ=，n 由2％下降至1％代入，其中n 取中值，为，有下式的结果： 因此，n 由2％下降至1％，下降了50%，则产出会上升6%（12%50%6%?=）。可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。 上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人 类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距。在索洛模型看来，导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。本题则从劳动数量的角度解释增长，发现效果并不明显。 设在美国，投资所占产出的份额永久性地由上升至，并设资本份额为1/3。 （a ）相对于投资不上升的情形，产出最终大约上升多少？ （b ）相对于投资不上升的情形，消费大约上升多少？ （c ）投资增加对消费的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需要花费多长时间？ 解：（a ）投资所占产出的份额永久性地由上升至，上升20%，表明储蓄率上升了20%。由教材（）可以知道产出关于储蓄的弹性公式为： ()*K k α为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞争的，不存在市场扭曲，资本取其边际产品，即产出的资本弹性近似等于资本份额。将()*1/3K k α=代入上述公式，得： 可以看出，产出关于储蓄的弹性为1/2，则储蓄率上升20%，产出会上升10%。 （b ）由于储蓄率上升，因此尽管产出上升了10%，但消费并不会上升10%，而会更小一些。在此需要求出消费的储蓄弹性。 由于()**1c s y =-，对此式两边关于s 求导数，得： 等式两边都乘以*s c ，得到弹性形式如下： 在等式右边，将()**1c s y =-替代，化简得： 该式第二项为产出的储蓄弹性，由（a ）可知为1/2，投资所占产出的 份额永久性地由上升至，即储蓄s 份额也由上升至，取中值为，代入上述公式，得： 因此，消费关于储蓄的弹性为，投资所占产出的份额永久性上升20%，可以使消费上升6%（0.30.20.06?=）。 （c ）投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。原因在于，()**1c s y =-，在初始平衡增长路径上，*y 保持不变，而s 则由上升到，即1s -由下降到，下降了。因此，投资增加会立刻导致消费下降。 下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。 s 在发生一次性上升后便保持不变，因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。在教材上第17页讨论了k 和y 的收敛速度。首先定义k 的动态方程式： ()()k sf k n g k δ=-++g ，在平衡增长路径上，k g 为0，取()k k g 在*k k =上的一阶泰勒展开： 令()/k k k k k λ*==-??g ，有下式： ()*k t k -的平衡增长路径为： 在*k k =求解λ： 因为()n g δ++为6%，而1/3K α=，可以得出λ为4%。这意味着k 和y 每年向平衡增长路径移动4%。由于()1c s y *=-，因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。可以推出下式： 再次简化为： 由题目可知，消费先下降%，而后再上升6%，因此它将移动%。消费必须移动%（3.5%/9.5%36.8%=）才能到达新的平衡增长路径。这意味着到达新 平衡增长路径的距离是原距离的%。为了决定收敛的速度，有下面的式子： 两边取对数，有：()*ln 0.632t λ-=。 求得下面的结果： *0.459/0.04011.5t ==（年） 因此，消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需花费年。 索洛模型中的要素支付。假设劳动与资本均按其边际产品支付。令w 表示()/F K AL L ? ?，，且r 表示()F K AL /K δ? ?-????，。 （a ）证明劳动的边际产品w 是()()A f k kf k '-????。 （b ）证明如果资本与劳动均按其边际产品支付，那么不变的规模报酬意味着生产要素的总支付量等于总的净产出，即证明在不变的规模报酬条件下，()wL rK F K AL K δ+= -，。 （c ）随着产出份额被支付给资本与劳动，资本报酬（r ）大致也不随时间而变化。处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特征吗？处在均衡增长路径上的w 与r 的增长率是多少？ （d ）假设经济由一个数量为*k k <的水平开始。随着k 移向*k ，w 是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长？r 会怎样呢？ 答：（a ）劳动的边际产品为：()/W =F K AL L ? ?， 生产函数为： 两边关于L 取导数： ()()()()()()()2///W Y L ALf K K AL Af k A K AL f k f k A f k kf k '''??=??=-+=-+=-? ?????????（1） 即： （b ）资本的边际产品为： 生产函数为：()()Y=/ALf k ALf K AL =，两边关于K 取导数： ()()[]()/1/r Y K ALf k AL f k δδδ''=??-=-=- （2） 将方程（1）和（2）代入wL rK +，得： 简化为： 因为不变的规模报酬条件下，()()ALF K/AL =F K AL 1 ， ，，所以有下式： ()()/wL rL F ALK AL AL K F K AL K δδ+= -= -，， （3） （c ）（2）式中()r f k δ='-，因为δ保持不变，而k 在平衡增长路径上也保持不变，因此()f k '不变，r 也将保持不变。这意味着0r r =g ，从而资本回报率在索洛模型中保持不变。 资本的产出份额为rK Y ，求其增长率如下： 在平衡增长路径上，资本的产出份额保持不变。因为资本的产出份额与劳动的产出份额之和为1，因此，劳动的产出份额也保持不变。 下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。 劳动的边际产品是： 两边取对数求劳动的增长率： 在平衡增长路径上，0k =g ，因此w g w =g ，即劳动的边际产品的增长率为 有效劳动增长率。 （d ）由（c ）知()()()kf k k g f k kf k w w ''-=-'+g g 。因为()0f k ''<，如果0k >g ，则式中第二项为正，当*k k <时，0k >g ，w g w >g ，因此劳动的边际产品增长率比平衡 增长路径时更快。 资本的边际产品的增长率为： 当k 向*k 移动时，0k >g ，而()0f k ''<，因此0r r ，从而资本的边际产品的增长率下降。 假设像习题中的一样，资本与劳动按其边际产品获得收益。此外，假设一切资本收入被储蓄且所有劳动收入被消费。因此，()/F K AL K K K K δ? ?????=-g ，。 （a ）证明这种经济收敛于平衡增长路径。 （b ）处在平衡增长路径上的k 大于、小于或等于k 的黄金律水平吗？关于这个结论的直觉是什么？ 答：（a ）下面证明该经济可以收敛于平衡增长路径。 由/k K AL =，对其两边关于时间求导，可得： （1） 将()/=K F K AL K K K δ? ?-????g ，，=L n L g 和A g A =g 代入方程（1），可得： （2） 将()()/F K AL K f k '? ?=，代入方程（2），可得： ()()k f k n g k δ'=-++????g （3） 当=0k g 时，每单位有效劳动保持不变。即()()=0f k n g δ'-++????，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由()()=0f k n g δ'-++????潜在地决定。 /k K AL =，由于在平衡增长路径上k 保持不变，因此，K 必须与AL 保持同样的增长速度。AL 的增长速度为n g +，所以K 的增长速度为n g +。由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是n g +。 综合上述，可以发现所有变量增长速度均不变。 下面证明经济收敛于平衡增长路径。 在*k k =时，()()=0f k n g δ'-++，此时经济处于平衡增长路径上。如果*k k >，由于 ()0f k ''<，所以0k （b ）满足黄金规则的资本水平是指每单位有效劳动的消费的最大化资本水平，即()()GR f k n g δ'=++。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛到均衡增长路径时k 的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。 在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即()()kf k n g k δ'++＞，则k 上升；反 之，如果()()kf k n g k δ'<++，则k 下降。因此，经济收敛于()()kf k n g k δ'=++，或者()()f k n g δ'=++这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。 利用与式（）～（）中相类似的步骤分析，在平衡增长路径附近，y 如何快速地收敛于*y 。[提示：由于()y f k =，可以写出()k g y =，其中()()1g f -=g g 。] 答：首先，由()y f k =求反函数可得，()1k f y -=，令()()-1k g y f y ==，即k 可以表示成y 的函数；又由于在索洛模型中，y g 是由k 的值所决定的，因而 y g 可以表示为k 的函数， 从而可以表示为y 的函数，即有：()y y y =g g 。特别地，当*k k =时，()0y y y *==g g 。 函数()y y y =g g 在*y y =处的一阶泰勒展式为： （1） 令()/y y y y y λ*==-??g ，则上式可以简化为： ()()*Y t y t y λ??--??g （2） 方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y 移向*y 的速度几乎与y 和*y 之间的距离成比例。也就是说，()*y t y -的增长率近似于一个固定的常数λ，这意味着 ()()**0y t y e t y y λ??+--?? （3） 其中，()0y 是y 的初始值。 其次，确定λ的值。对生产函数()y f k =两端关于时间t 求导数可得： ()y f k k '=g g （4） 而教材中资本积累的方程为： ()()k sf k n g k δ=-++g （5） 由方程（4）和（5）可得： ()()()'y f k sf k n g k δ=-++????g （6） 方程（6）两端对k 求导可得： ()()()()()()y f k sf k n g k f k sf k n g k δδ?''''=-+++-++?????????g （7） 在平衡增长路径上，()()**sf k n g k δ=++，因而方程（7）可以表示为： （8） 由于()k g y =，其中()()1g f -=g g ，从而有： （9） 由方程（8）和（9）可得： 综上可得： （10） 因为在平衡增长路径上，()()**/s n g k f k δ=++，从而方程（10）可以表示为： （11） 又由于()()/kf k f k αK ≡'，所以方程（11）可以简化为： 综上所述，在平衡增长路径附近，y 以近似于()()*1K k n g αδ??-++??的不变 速度收敛于平衡增长路径值。 物化（embodied ）的技术进步（索洛，1960；萨托，1966）。有关技术进步的一种观点是，在t 时刻建立的资本品的生产力依存于t 时刻的技术状态，并且不受后续技术进步的影响。这便是众所共知的物化的技术进步（技术进步在其可提高产出之前，必须“物化”在新资本中）。这个习题要求去探讨其效应。 （a ）作为一个前提，把基本的索洛模型修改为技术进步是资本增加型的而非劳动增加型的，使得一个平衡增长路径存在。假设生产函数是柯布—道格拉斯型的， ()()()()1Y t A t K t L t αα-=????。假设A 以如下的速率μ增长：()()A t A t μ=g 。 证明经济收敛于平衡增长路径，并且求出平衡增长路径上的Y 与K 的增长率。（提示：证明可把()/Y A L φ写成()/K A L φ的函数，这里 ()/1φαα=-，然后分析()/K A L φ的动态学。） （b ）现在考虑物化的技术进步。特别地，设生产函数为()()()1Y t J t L t αα-=，式中()J t 是有效资本存量，()J t 的动态学为 ()()()()J t sA t Y t J t δ=-g 。在这个表达式中()A t 的出现意味着在t 时刻，投资的生产力依存t 时刻的技术。 证明经济收敛于平衡增长路径。在平衡增长路径上，Y 与J 的增长率是多少？（提示：令()()()/J t J t A t =。然后利用像（a ）一样的分析方法，主要集中于用()/J A L φ替代()/K A L φ。 （c ）在平衡增长路径上，产出关于s 的弹性是什么？ （d ）在平衡增长路径邻近区域，经济怎样快速地收敛于平衡增长路径？ （e ）将（c ）与（d ）中得出的结论与课文中基本的索洛模型得出的相应结论进行比较。 答：（a ）A 以()Y F K AL =，的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；A 以()Y F AK L =，的形式进入，则技术进步为资本增加型的；A 以()Y AF K L =，的形式进入，则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。 资本增进型的技术进步的生产函数的形式为： ()()()()1Y t A t K t L t αα-=???? （1） 在方程（1）左右两边同时除以()()()/1A t L t αα-，可得： 上式再简化为： 定义：()/1φαα=-，()()()()/k t K t A t L t φ=及()()()()/y t Y t A t L t φ=，代入上式，可得： ()() y t k t α = （2） 为求k 的动态学，将()()()()/k t K t A t L t φ=）两边求导数得： 即： 索洛经济增长模型（Solow Growth Model） 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] 索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资 索洛模型的数学公式 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 关于“新古典经济增长理论（索洛模型）”的理解 1/ 哈罗德与多马两位经济学者假定生产过程中的资本－产出比保持不变，从而得出经济系统不能自行趋于稳定的结论。但在二十世纪五十年代，托宾、索洛、斯旺和米德等人则分别证明，如果放弃资本－产出比保持不变的假定，也即假定资本与劳动之间完全可替代，则经济系统会自行趋于充分就业的均衡。这一结论与凯恩斯学派之前的古典学派的观点一致，所以西方经济学将这几位经济学家的相似论证统称为新 古 典经济增长理论。 我们用Y表示某经济系统的产出量，L表示该经济系统的劳动投入量，K表示该经济系统的资本投入 量，A表示该经济系统的技术水平，则经由柯布道格拉斯生产函数，我们有： 产出的增量（△Y）=资本的边际产量×资本投入的增量（△K）+劳动的边际产量×劳动投入的增量（△L）+技术水平的边际产量×技术进步的增量（△A） 在上式两边同除以产量Y，并在等号右边第一项的分子分母同乘以K、第二项的分子分母同乘以L，从而有： 经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 技术进 步率. 根据经济理论，当生产要素市场实现均衡的时候，生产要素的价格应该等于它的边际产量，因此，“资本投入的产出弹性”和“劳动投入的产出弹性”分别相当于资本和劳动这两种生产要素的所有者在国民收入中所享 有的份额。 例如，具体地假定某经济系统的（C－D）生产函数为Y=A(K^a)(L^(1-a))，其中，a为正参数（资本投入的产出弹性或资本生产要素在国民收入中所享有的份额）。显然，这是一个线性齐次生产函数，这意味着我们隐含地假定该经济系统正处于规模报酬不变的状态。我们对这个具体形式的生产函数先求自然对数、再求微分，最终可得：人均产出的增长率=人均资本存量的增长率×a+技术进步率。可见，人均经济增长率的高低取决于人均资本存量的增长率和技术进步的速度。现在假定经济系统已经处于均衡状态，即投资需求（I）=储蓄（S）。再假定储蓄函数为S=sY，并且假定不存在设备更新问题，则有S =I=△K=sY。 如果再假定技术水平不变，则根据“经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 科学技术进步率”，有：经济增长率=a×资本投入的增长率+(1-a)×劳动投入的增长率。进而有：经济增长率=a(△K/K)+(1-a)×劳动投入的增长率；经济增长率=a(sY/K)+(1-a)×劳动投入的增长率。再考虑到资本投入的产出弹性a=(△Y/Y)/(△K/K)，因而有：经济增长率=s(△Y/△K)+(1-a)×劳动投入的增长率。上式中，(△Y/△K)相当于哈罗德模型中的资本－产出比（v）的倒数。可见，若再假定劳动投入的数量既定，则有：经济增长率=s(△Y/△K)=s/v。这一结果与哈罗德－多马模型的结论一致。 2/ 不过，新古典经济增长模型认为，产量与资本投入之间的技术关系，进而劳动投入的数量不会固定不变。这样一来，如果“经济增长率＞资本投入的增长率”，即产量的增长速度快于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较高，这会刺激企业以资本替代劳动。这一过程的结果会导致资本的边际产量递减，伴随着劳动投入增长率的下降，最终经济增长的速度会趋于减缓。反之，如果“经济增长率<资本投入的增长率”，即产量的增长速度低于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较低，这会刺激企业以劳动替代资本。这一过程的结果会导致资本的边际产量随着劳动投入增长率的提高而递增，最终经济增长的速度会趋于加速。可见，只有在“经济增长率=资本投入的增长率” 的时候，企业才不存在调整资本存量的意愿，从而劳动投入也会固定，从而生产要素投入的比例也就稳定下来。因此，当经济系统实现均衡的 目录 摘要·····················错误!未定义书签。Abstract···················错误!未定义书签。 一、经济增长理论的发展············错误!未定义书签。 （一）经济增长的定义···········错误!未定义书签。 （二）经济增长理论············错误!未定义书签。 （三）经济增长理论的三次革命·······错误!未定义书签。 （1）经济增长理论的第一次革命—哈罗德—多马模型错误!未定义书签。 （2）经济增长理论第二次革命—新古典经济增长理论错误!未定义书签。 （3）经济增长的第三次革命—内生经济增长理论错误!未定义书签。 二、基于索洛模型的实证分析··········错误!未定义书签。 （一）索洛模型··············错误!未定义书签。 （二）我国经济增长的实证分析·······错误!未定义书签。 （三）我国经济增长的源泉·········错误!未定义书签。 三、结论···················错误!未定义书签。参考文献···················错误!未定义书签。 利用索洛模型分析我国经济增长 摘要：本文首先通过介绍经济增长理论中的基本概念和经济增长理论的发展演变,然后利用索洛模型选取1978年—2009年数据建立了我国经济增长的生产函数模型，利用E-views软件对数据进行处理得到技术进步、资金投入、劳动投入对经济增长的贡献率，反映了资本、劳动和技术进步对我国经济增长的不同影响，得出技术进步是我国经济保持长期稳定增长的重要源泉，而且为了提高我国的人均收入必需控制人口增长。 关键词：索洛模型，经济增长，经济增长理论，科技进步. Abstract: The paper first introduces the basic concepts and the evolvement of the economic growth theory. Then the Solow Model and the data from 1978 to 2009 are used in the paper by which the influence of capital, labor and technique progress on the country’s economic growth is analyzed, and the contribution rate of economic growth brought about by technique progress, capital and labor input is calculated. Then analyze the reasons of constant economic growth，and the population growth should be controlled strictly. Key words: Solow Model, economic growth, asset price inflation，Scientific and technological progress. 网游中的索洛增长模型 摘要 网游是游戏的一种，但其仍有极其符合科学的经济学系统，或者说正是由于网游有着科学的经济体系，游戏才能毫无差错的运营下去，虽然其中参杂了运营商盈利的目的。有人说：生活是一面镜子。有了现实中的经济学这门镜子，我们才能认清网游中打怪升级的本质，才能不一昧沉迷于它。理性的看待任何问题，我想这是经济学给我们带来的启示。 关键词：网游，索洛增长模型 引言 自从2001年的“传奇”以来，网游行业迅速发展。直至如今，已经形成了可谓之百花齐放的盛况。而网游的本质，是玩家与玩家之间的互动。常言道：有人的地方就有经济学。网游作为一个人与人之间的社交平台，必定也存在着各类的经济学现象。现象虽然各不相同，但究其本质，却毫无例外。现在，我将来探讨一下网络游戏中的索洛增长模型。 网游中的索洛增长模型 首先来讨论一个较为简单的情况，假设有一个网游，名字为A。在我们的假设中，我们先将其设定为一个封闭且固定的游戏，即玩家或其他外部力量不能对其进行经济上干预（如点卡充值等）且玩家不会升级且没有新玩家加入的游戏（类似于课本中的封闭模型）。 其次，定义网络游戏中的几个行为。众所周知，网游中没有类似于工作的行为，玩家获得金币（即货币）的手段暂定为刷怪，即收入源自于刷怪。而刷怪中所获得的收益又可以分为两部分，其一，玩家刷怪时付出的肉体和精神上的劳动，与我们所学公式中的L相对应；其二，玩家刷怪所持装备和自身技能对于刷怪所付出的劳动，对应我们所学公式中的K。 当玩家刷怪完后，玩家会获得自己金币上的收入，对应我们所学公式中的Y。对于这部分收入，玩家将有两个选择，储蓄与消费，分别对应我们所学公式中的S与C。储蓄即为将所得金币购买装备或暂时不用，消费即为将金币用于购买消耗性物品或者用于其他娱乐项目，这其中，用于购买装备所花费的资金我们称之为投资，用于对应公式中的I。 在大部分网游中，对于装备都有一个耐久度的设定，即装备在用到一定次数之后就会损毁，此时只能对其进行维修或者购置新的装备，总之得花钱。而耐久度这一参数衍生出来的折损率我们对应公式中的&。 在介绍完了各个参数之后，对他们进行分析。由于我们分析的是该网游总体的经济状况，因此我们将以上参数全部转化为人均值，即y,k,s,c,i.于是依照书上的公式，我们最后可以得出结论，在 sf(k)=&k 时，玩家的k达到最大。 上面的公式得出的结论：当玩家刷怪刷到一定程度，装备发展到一个适当的阶段时，玩家将不再能进行装备更新。因为根据公式，在L不变时，这个阶段的I与&k是相等的。 第一章 索洛增长模型 一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件 该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。 ()((),()())Y t F K t A t L t = 假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =?≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。 规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析： 当11/,(,)(,)( ,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==?=，其中， K AL 是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。 定义K k AL =，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ?=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。 [人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==] 紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，' ()0f k >，'' ()0f k <。因为： '(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =???='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资 本量的增加而下降。另()f ?被假设满足稻田条件：'' 0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=， 其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。 （举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述 资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长： ()()L t nL t ?=，()()A t gA t ? =（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一 个导数，()()/L t dL t dt ? =，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其 自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()() d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t ? == =。ln ()ln (0)L t L nt ?=+ 中国经济增长特征分析与发展战略探究(一) 摘要：改革开放以来，我国经济以前所未有的速度向前发展，这在我国甚至世界历史上都极为罕见。在经济学界，这种现象被称为“中国之谜”〔1〕。通过对中国经济增长特点了解，进一步用索洛（Solow）模型来解析中国经济增长的原因，寻找到适合我国经济发展的战略措施，为我国经济平稳、快速发展出谋划策。中国当前的经济增长与过去的二十多年相比，经济体制的逐步完善，市场经济的建立以及与全球经济的联系逐渐紧密等。关键词：中国；经济增长；Solow模型；战略 一、中国经济增长的特征 回顾改革开放以来，我国经济发展的历程，我们不难发现我国的经济增长呈现出以下的特点。 （一）无论从经济总量还是从经济的增速上看，我国的经济在经历一个快速的发展过程 从经济总量上看，我国的经济总量从原来的一位数到两位数，仅仅用了几年的时间，这不能不说明我国的经济已经发生了质的变化。2003年我国的经济总量已经达到11.67万亿元人民币，人均GDP首次突破了1000亿美元大关，这又无可争辩地说明我国的经济已经步入了“快车道〔〕。其次，我国的经济也在以平均每年8%的增长速度 向前发展，这个速度持续的时间之长让许多经济学家都感到迷惑。（二）中国的市场经济体制正在逐步完善，支撑中国经济增长的制度 体制逐步建立 首先，政府经济建设理念的逐步成熟，我国企业的市场准入门槛越来越低，这无疑会极大地促进我国企业的发展，在这个过程中，政府部门也在进一步地放松对这些企业的管制，由原来的“指挥者”转变成为“裁判者”；其次，我国的法律体制正在逐步完善，社会主义法治国家的建设正在稳步推进，各项具有中国特色的社会主义法律正在制定，经济在发展的过程中会极大地受到法律的保护，各个企业也将会在法律的规制下公平地进行竞争，这将会使市场要素的使用更加有效，市场要素的流转更加快速，市场要素的配置更加合理。 （三）中国经济增长的支撑体——企业群体、产业结构和布局以及地区布局已经形成 首先，支撑中国经济增长的企业群体已经形成了以国有企业为主体，多种所有制企业共同发展的“百花齐放，百家争鸣”的战略格局，非国有企业、特别是不断进入中国的海外投资和民营企业正在成为中国经济增长的一股主要力量，它们也给中国的经济体系中注入了新鲜血液；其次，中国产业结构和布局也随着经济的发展逐步地完备。如今，中国的企业已经不再是单纯地依靠劳动密集型的产业，已经完全摆脱了以前的“人有多大胆，地有多大产”的错误思想。如今资本和技术密集型的企业正在中国的经济增长中扮演着越来越重要的角色，电子信息产业、房地产业和汽车产业已成为我国的经济增长的主要助推器；再次，从区域经济的发展来看，我国的经济产业带正在逐步的形成，以珠江 第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3） 本次授课框架： 总结波动理论，引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余） （1） 增长方程推导（总量形式），假设条件 （2） 人均形式生产函数 （3） 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 （1） 索洛稳态定义 （2） 根据均衡条件的推导 （3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件） （4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 （1） 储蓄率增加情况 （2） 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论） 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数： N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y Y N K AF Y ???*+???* +?=?=),(),(),(),() ,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。根据欧拉定理： 1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。 总量表达式2 N N K K A A Y Y N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ?-+?+?=?-=??*=??* )1(1),(),() ,() ,(θθθθ 总量与人均量的关系 N N k k K K N N y y Y Y ?+?=??+?=? 人均量表达式 k k A A y y ?+?=?θ 索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（A A ?）带来的增长。A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明： 技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资 本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A ?+?--?=?θθ 二、稳态分析 2 在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。 3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。 4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步 类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。 第一章索洛经济增长模型 The Solow Growth Model 基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型 5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长 7带技术进步的索洛模型 8比较动态分析 1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间，t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示. 家庭与生产II ● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为 (1) Y T F K t L t A t ()[(),(),()] ●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多 的产品. ●() A t可以理解为技术. ●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性. 关键假设1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规 模报酬不变) 生产函数3 :F R R + +→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足 22 22()()(,,)0 (,,)0()() (,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ????≡ >≡>??????≡<≡ 基于索洛模型的我国经济增长实证分析 摘要：我国自改革开放以来经济增长迅速，研究我国经济增长的源泉就显得格外重要。基于索洛模型利用新古典增长理论对我国1982-2009年的数据进行收集，实证分析了资本，劳动，技术进步对经济增长的贡献率。 关键词：经济增长；索洛模型；贡献率；技术进步 经济增长的的话题一直以来都是众多学者热议的对象，学者们可以从多个视角来对经济增长研究，比如从外贸角度，消费角度，投资角度，人力资本角度等等来探究经济增长的来源。而本文主要是从新古典增长理论的索洛模型出发研究经济增长的来源，利用计量经济学分析了资本，劳动，技术对经济增长的影响。不少学者也从对此进行了实证分析，俞林（2011）利用索洛模型选取1978-2009年数据建立了我国经济增长的生产函数模型，得到技术进步、资金投入、劳动投入对经济增长的贡献率，得出技术进步是我国经济保持长期稳定增长的重要源泉。鑫（2008）基于索罗模型，收集了1988-2005年省的数据，根据索罗模型，对影响省经济增长的因素进行了实证分析表明，制约省经济增长的首要因素是国外投资，劳动和资本在现实中不能完全相互替换。立杰、于海滨、喜波（2007）利用索洛模型选取1978-2004年数据，实证研究了资本、劳动和技术进步对我国经济增长的影响，说明资金投入在我国经济增长中占据主要地位，其次是技术进步，劳动投入相对较小。本文主要不同 于以往学者的地方在于在计量经济学模型中加进了技术数据，以研究与试验发展（r&d）经费指代技术进步，对我国经济增长的源泉进行分析，探究资本、劳动、技术进步对经济增长的贡献率，最后得出结论。 1 经济增长的概述 经济增长通常是指在一个较长的时间跨度上，一个国家人均产出（或人均收入）水平的持续增加。较早的文献中是指一个国家或地区在一定时期的总产出与前期相比实现的增长。总产出通常用国生产总值（gdp）来衡量。对一国经济增长速度的度量，通常用经济增长率来表示。现代经济增长理论认为，促进经济增长的主要因素是要素供给的增加和全要素生产率的提高，要素供给投入的增加包括资本和劳动供给的增加，全要素生产率的提高则包括要素组织和要素配置效率的改善、产业结构优化升级、规模经济、制度和技术创新等。但是资源配置的改善、制度创新和规模经济只能看作是集约式经济增长的过渡性因素，唯有技术进步能持续对经济增长做出贡献。 2 对经济增长的来源分析 在这里，我们使用生产函数来研究经济增长的来源。生产函数提供了投入与产出之间的数量联系，作为一种简化，我们假定劳动（l）和资本（k）是仅有的重要投入，则：假定规模报酬不变，要素市场完全竞争的基础上，总量生产函数为：yaf（k，l）。 从上面这个公式我们得出：总产出的增长率来源于三个部分，劳 索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] [编辑] 索洛模型变量 ?外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 ?内生变量：投资 [编辑] 索洛模型的数学公式 [编辑] 模型的基本假定[1] 索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。 2.产出是一种资本折旧后的净产出，即该模型考虑资本折旧。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.劳动力与资本可相互替代。 8.存在技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向（图一，k1与k2逐渐趋向ko），即，当人均资本量大于其均衡状态时（k2），人均资本量会有逐渐减小的趋势，即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是人均资本量入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。 [编辑] 模型的基本框架[1] 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用Y(t)表示，代表社会的实际收入，其中一部分被消费掉，其余部分用于储蓄和投资。用于储蓄的占总产品比例s固定 基于索洛模型的外资对中国经济增长的技术贡献率测算研究 摘要：外资的引入对于弥补经济建设国内资金短缺，提升产业结构，增加就业和促进进出口等起到了重要的作用，但是其对我国经济增长的技术贡献率却十分有限。本文借助于“索洛余值”模型，对于外资在我国经济增长的技术贡献率进行了测算研究，分析得出了同现实一致的结论。因此，中国要进一步推动利用外资从“量”到“质”的根本转变，使利用外资的重点从弥补资金、外汇不足切实转到引进先进技术、管理经验和高素质人才上来，全面提高引资的技术水平。 关键词：外资；索洛余值法；经济增长；技术贡献率 一、问题的提出 20世纪90年代以来，我国吸收外商直接投资的总规模多年来位居世界前列和发展中国家第一。根据商务部统计，2010年中国实际吸收的外国直接投资达到1057亿美元。这是改革开放以来年度吸收外商直接投资的最大金额，相当于1983年水平的113倍，其间的年均增长速度高达22％。高于同期我国对外贸易的年均增长水平。作为改革开放的成果之一，外商投资企业已经成为我国经济建设的一支重要力量。 但是，随着外商投资规模的不断扩大，利用外资中的一些问题也逐渐显现并有所积累。一是跨国公司技术转让的现实状况与以市场换技术的期望之间尚存在较大差距，利用外资的质量和技术水平有待于进一步提高；二是投资项目主要集中在工业领域，涉及农业新技术应用开发、农业产业化和生产型服务业等国内亟待发展领域的投资十分有限，即使在制造业领域，投资项目主要集中在劳动密集型加工环节，有利于延伸国内产业链条和提高产品附加值的高新技术产业投资需要进一步加强引导。因此，中国要进一步推动利用外资从“量”到“质”的根本转变，使利用外资的重点从弥补资金、外汇不足切实转到引进先进技术、管理经验和高素质人才上来。 二、“索洛余值法”技术贡献率测算模型 长期以来，关于经济增长的源泉一直众说纷纭。尽管对于经济增长的决定因素是什么这个复杂的问题还没有找到全部答案，但是经济学家已经有了一些进步，找到了一些关键因素，如投资、消费、进出口、人力资本、技术等。许多学者都曾就投资、消费、进出口、人力资本等因素对经济增长贡献率进行过测算分析，但关于技术进步对经济增长贡献率的测算却不多。事实上，有关技术对经济增长贡献率模型早在20世纪50年代就由西方经济学家建立过，如索洛的有关经济增长的解释就是其中的重要代表。尽管这一解释框架本身有许多的不足，但它仍被大致用来分析技术对经济增长的贡献率。 （一） 生产函数 生产函数是指投入与产出之间的技术关系。它表示一定时期内，在技术水平不变条件下，生产中所使用的各种生产要素数量与它们所能生产的最大产量之间的关系。 生产函数的一般形式可表达为：n a n a a X X AX Y (2) 1 21 式中：Y 为产出总值；X 1，X 2， …X n 为各种生产要素的投入量；A,a l ,a 2，…，a n 为模型参数。 参数a 1，a 2…，a n 的经济含义是：当a 1+a 2+…+a n =1 时，a1，a 2…，a n 表示各生产要素在生产过程中的相对重要性，a 1为生产要素X 1的所得在总产值中所占的份额，a 2为生产要素X 2的所得在总产值中所占的份额，其他以此类推。 如果假定规模报酬不变，则当遇到a 1+a2+…+a n ≠1 时，需要对这些弹性系数进行调整, 调整后的弹性系数用r 表示。其方法是：令r i =a i /Σa i （i=1，2，3…n ），经调整后，r 1+r 2+…+r n =1，即各要素新的弹性系数之和必等于1。 1928年，美国经济学家柯布和道格拉斯根据历史资料，研究了1899~1922 年期间美国资本和劳动力生产要素对产出的影响，提出了柯布—道格拉斯生产函数： 目录 摘要 (1) Abstract (1) 一、经济增长理论的发展 (1) （一）经济增长的定义 (1) （二）经济增长理论 (1) （三）经济增长理论的三次革命 (2) （1）经济增长理论的第一次革命—哈罗德—多马模型 (2) （2）经济增长理论第二次革命—新古典经济增长理论 (3) （3）经济增长的第三次革命—内生经济增长理论 (3) 二、基于索洛模型的实证分析 (4) （一）索洛模型 (4) （二）我国经济增长的实证分析 (5) （三）我国经济增长的源泉 (9) 三、结论 (10) 参考文献 (11) 利用索洛模型分析我国经济增长 摘要：本文首先通过介绍经济增长理论中的基本概念和经济增长理论的发展演变,然后利用索洛模型选取1978年—2009年数据建立了我国经济增长的生产函数模型，利用E-views软件对数据进行处理得到技术进步、资金投入、劳动投入对经济增长的贡献率，反映了资本、劳动和技术进步对我国经济增长的不同影响，得出技术进步是我国经济保持长期稳定增长的重要源泉，而且为了提高我国的人均收入必需控制人口增长。 关键词：索洛模型，经济增长，经济增长理论，科技进步. Abstract:The paper first introduces the basic concepts and the evolvement of the economic growth theory. Then the Solow Model and the data from 1978 to 2009 are used in the paper by which the influence of capital, labor and technique progress on the country’s economic growth is analyzed,and the contribution rate of economic growth brought about by technique progress, capital and labor input is calculated. Then analyze the reasons of constant economic growth，and the population growth should be controlled strictly. Key words: Solow Model, economic growth, asset price inflation，Scientific and technological progress. 罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则 （c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导， 那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=?? ，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降 为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的 目录 摘要 .................................................................. 1???? Abstract ............................................................................................................ 1???一、经济增长理论的发展 ............................................... 1???? （一）............................................... 经济增长的定义1 - ??? （二）................................................. 经济增长理论1 - ? ? ? （三）经济增长理论的三次革命2 （1 ）经济增长理论的第一次革命—哈罗德—多马模型2 （2 ）经济增长理论第二次革命—新古典经济增长理论3 （3）经济增长的第三次革命—内生经济增长理论3 二、基于索洛模型的实证分析4 （一）索洛模型4 （二）我国经济增长的实证分析5 （三）我国经济增长的源泉9 三、结论10 参考文献11 利用索洛模型分析我国经济增长 摘要：本文首先通过介绍经济增长理论中的基本概念和经济增长理论的发展演变，然后利 用索洛模型选取1978年一2009年数据建立了我国经济增长的生产函数模型，利用E-views软件对数据进行处理得到技术进步、资金投入、劳动投入对经济增长的贡献率，反映了资本、劳动和技术进步对我国经济增长的不同影响，得出技术进步是我国经济保 持长期稳定增长的重要源泉，而且为了提高我国的人均收入必需控制人口增长。 关键词：索洛模型，经济增长，经济增长理论，科技进步? Abstract: The paper first introduces the basic concepts and the evolvement of the econo mic growth theory. Then the Solow Model and the data from 1978 to 2009 are used in the paper by which the in flue nee of capital, labor and tech nique progress on the country ' economic growth is analyzed, and the contribution rate of economic growth brought about by tech nique progress, capital and labor in put is calculated. Then analyze the reasons of constant economic growth ，and the population growth should be con trolled strictly. Key words: Solow Model, economic growth, asset price inflation ，Scientific and tech no logical progress. 索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。 生产函数： ),(L K F A Y ?= (1) Y=实际GDP 产出 A=技术水平 K=资本存量 L=劳动力 总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP 的增长率： )()(L L K K A A Y Y ?+?+?=?βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为： )()1()(L L K K Y Y ???+??=?αα (3) 现在来推导索洛模型。索洛模型研究的是每个工人的实际GDP （L Y y =）和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。 将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式： L L Y Y y y ???=? (4) 即：每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率 同理可得： L L K K k k ???=? (5) 即：每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率 由(3)式可得： )(L L K K L L Y Y ???=???α (6) 把(4)式、（5）代入得： )(k k y y ?=?α (7) 至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。 下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ?和劳动增长率L L ?。 我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C 和实际储蓄。写成方程即： 利用索洛模型分析我国投资对GDP 的贡献率 一、索洛模型 1928年美国数学家Charles Cobb 和经济学家Paul Dauglas 提出了生产函数的数学模型： Y = A(t)αK L β (βα+=1,0≤α≤1,0≤β≤1) 1937年，Durand 提出新的生产函数，取消了βα+=1的条件；1942年为了测定技术进步，Tinbergen 提出在生产函数中加入时间指数趋势项；1957年，Solow 提出如下改进的C-D 生产函数模型： Y = A(t)? K L β ………………………………………………………………………（1） 假设A(t) = A 0e t λ，其中Y 、K 、L 分别表示产出、资金投入量和劳动力的投入量，t 变量 代表时间，βα,分别代表资金的产出弹性系数和劳动的产出弹性系数，这里α=Y K K Y ??， β=Y L L Y ??且βα+值可以大于1、小于1、等于1,即规模报酬递增、规模报酬递减或规模 报酬不变。 通过转换将(1)式记为： Y = A(t)),(l k f 上式左右两边对t 求导得: dt dL L Y dt dK K Y f dt dA dt dY ??+??+=…………………………………………(2) 将（2）式两边乘以Y dt 得: Y dL L Y Y dK K Y dt Af f dt dA Y dY ??+??+= 即可表示为α+=A dA Y dY L dL K dK β+ 以差分代替微分,当Δt →1时有: L L K K A A Y Y ?+?+?=?βα 令 Y Y y ?=，a=A A ?,K K k ?=,L L l ?= 则上式可表示为l k a y βα++=索洛经济增长模型
关于索洛模型的深度解析
索洛模型分析中国经济
索洛模型应用
《索洛增长模型》
中国经济增长特征分析与发展战略探究(一)
第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)
索罗增长模型
基于索洛模型的我国经济增长实证分析报告
索洛经济增长模型概述
基于索洛模型的外资对中国经济增长的技术贡献率测算研究
索洛模型分析中国经济
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
索洛模型分析中国经济
索洛模型推导
利用索洛模型分析我国投资对GDP的贡献率