数学物理方法第十二章
第12章
第12.1节
一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。
前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。
二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程
1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。
2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。
3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。
三、三类典型的数学物理方程
1.双曲型方程（以波动方程为代表）
错误！未找到引用源。
2.抛物型方程（以热传导方程为代表）
错误！未找到引用源。
3.椭圆型方程（以泊松方程为代表）
错误！未找到引用源。当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。
四、三类数学物理方程的一种最常用解法
分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各
类特殊函数
第12.2节
一、振动方程
1.弦的横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．
确定弦的微分方程的方法：
1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t)
2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。
3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）
其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直
位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外
的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引
入适当假设才能使方程简化．
根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为：
错误！未找到引用源。
仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量，
cosθ1≈cosθ2≈1
Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2
?s≈ds≈?x=dx
注意到:错误！未找到引用源。
故对本题有
错误！未找到引用源。
这样，(12.2.1a)和(12.2.1b)简化为
错误！未找到引用源。
因此在微小横振动条件下，可得出T2=T1，弦中张力不随x 而变， （实质是有变化的）可记为T=T2=T1 故有错误！未找到引用源。 变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
错误！未找到引用源。
这样，弧ABC 段的运动方程就成为错误！未找到引用源。即g x u a t u
-??=??22222 其中 错误！未找到引用源。
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式右端的重力加速度项可以忽略．
（2）由此得到下列齐次偏微分方程：
错误！未找到引用源。☆称式☆为弦的自由振动方程
（3）如果在弦的单位长度上还有横向外力F( x, t )作用，则式 ※应该
改写为错误！未找到引用源。 ⊙式中 f(x,t)=F(x,t)/ρ称为力密度，为t
时刻作用于x 处单位质量上的横向外力式⊙称为弦的受迫振动方程.
2、杆的纵振动
假设E为弹性模量,ε为杆的相对伸长量?u/?x
由胡克定律f=kx 知
轴向张应力σ=Eε
杆的横截面上的轴向张应力F=σS=ES?u/?x
故对所研究的这一小段杆，其质量为ρ0S?x
其运动方程由牛顿第二定律可得：
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
把系数整理，并令a=错误！未找到引用源。，则得到杆的纵振动方程：
错误！未找到引用源。
讨论：
(1)对于均匀杆，E 和ρ是常数，方程错误！未找到引用源。
与弦的自由振动方程具有完全相同的形式．
（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中f( x, t )应是
（3）杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。
3. 传输线方程（电报方程）
一般的传输线方程:
错误！未找到引用源。
(1)无损耗线
错误！未找到引用源。
(2)无失真线
错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。
(3)无漏导，无电感线
错误！未找到引用源。
4.膜的横振动方程
错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。
二、热传导类型方程(推导一般固体的热传导方程时，需要利用能量
三、守恒定律和关于热传导的傅里叶定律。)一维热传导问题：一根长
四、为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为 k，
五、比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向
六、为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= ρdx，
七、热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度
八、分布为 u(x,t)，则由能量守恒定律
cdmdu=dQ
cρdx du =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt
于是有错误！未找到引用源。
由热传导定律q(x,t) = -ku x(x,t)
代入前面的式子，得到cρu t =ku xx
u t =a2u xx
推广1
这里直接由一维推广到三维的情况：此时温度u成为空间
变量x,y,z和时间t的函数方程：
cρu t(x,y,z,t)=k(u xx+u yy+u zz )
cρu t( 错误！未找到引用源。,t )=k ?2 u(r ,t )
? u t( r , t ) =a2?2u(r ,t ) 其中 a2=错误！未找到引用源。
推广2
情况：内部有热源(或侧面不绝热)
分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为
F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt
方程：cρu t= ku xx+F
u t= a2u xx+ f(x,t)，其中a2=k/cρ， f=F/cρ
推广3
情况：细杆不均匀
分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的
函数方程：
c( x )ρ( x )u t=错误！未找到引用源。[k(x)错误！未找到引用源。]
推广4
情况：扩散问题分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数 k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律
方程：u t = Du xx-----无外部影响
u t =a2u xx+ F ----有外部影响
三维扩散问题，类似三位热传导问题
错误！未找到引用源。
九、拉普拉斯方程（或泊松方程）------稳定场方程
1.概念
产生：在热传导或扩散过程中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，
对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。
2.分类
无外界作用情况
拉普拉斯方程： u t(r ,t )=a2?2u(错误！未找到引用源。 , t ) = 0
有外界作用情况
泊松方程：
u t(r ,t)=a2?2u(r ,t) -f(x,y,z)=0
3.静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为错误！未找到引用源。
若空间 V中无电荷，即电荷密度ρ=0，上式成为
错误！未找到引用源。称这个方程为拉普拉斯方程.
4.稳定温度分布
导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化
故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程即为下列
拉普拉斯方程和泊松方程.
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
第12.3节
一、初始条件
初始位置，用 u |t=0 = f(x)表示；
初始速度，用 u t|t=0 = g(x)表示。
典型例子
一根长为 l 的弦，两端固定于x=0 和x=l ,在距离坐标原点为b 的位
置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件
解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有u t (x,t)|t=0 =u t(x,0)=0
初始位移如图所示
错误！未找到引用源。
例一根长为l的杆以常速v沿x轴方向运动，在某时刻在杆的中点处被突然钳住停止运动，试求其振动。
解：这是杆的振动问题，其振动方程为：
错误！未找到引用源。
如果取杆中点突然停止运动的时刻为初始时刻，
则该问题的初始条件是：
u|t=0 =0 u t|t=0 = v
二、边界条件
1.振动问题的边界条件举例
对右端边界单元由牛顿第二定律错误！未找到引用源。
因此令?x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件
ESu x(l,t)+ku(l,t)=0
对左端边界单元由牛顿第二定律
错误！未找到引用源。
因此令?x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件
ESux(0,t)-ku(0,t)=0
显然，若杆的两端固定，则边界条件为：
u(0,t)=u(l,t)=0
若杆的两端按给定的规律移动，则边界条件为：
u(0,t)=f(t)
u(l,t)=g(t)
若杆的两端自由，则边界条件为：
u x (0,t)=u x(l,t)=0
若杆的两端弹性固结，则边界条件为：
ESu x(0,t)?ku(0,t)=0
ESu x(l,t)+ku(l,t)=0
例.考察一端固定，一端系有重物的竖直杆,在纵振动时的边界条件。
解：坐标系如图，考察x=l端的边界单元与重物W的情形。
对边界单元(l??x,l)有错误！未找到引用源。对于重物W有错误！未找到引用源。其
中W是重力，x c是重物质心的坐标当?x→0时，由两方程取极限，可得边界条件：
错误！未找到引用源。在x=0端的边界条件，显然为：u(0,t )=0 三、热传导方程的边界条件
ⅰ若杆的两端的温度按给给定规律变化时，边界条件为：
u(0,t)=f(t) u(l,t)=g(t)
ⅱ若杆的两端是绝热的时，边界条件为：
u x(0,t)=u x(l,t)=0
ⅲ若杆的两端表面与外界通过对流方式进行热交换时，边界条件为：U x+hu(l,t)=0 u x?hu(0,t)=0
其中错误！未找到引用源。,α是热交换系数，κ是传热系数ⅳ若杆的表面与外界通过辐射方式进行热交换时，边界条件为：u x(0,t)=c(u4?u04)|x=0
其中u表示表面温度，u0表示外界温度
四、稳恒问题
边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数u,即为第一类边界条件．
u|Σ=f1(Σ,t)
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
错误！未找到引用源。
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
错误！未找到引用源。
注、以上三类边界条件都是线性的，f=0时为齐次线性，否则为非齐次线性。
五、连接条件
边界条件的类型
除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之外，还有其它边界条件
，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件．衔接条件：所研究
的物体材质不同，在不同材质的区域建立的数学物理方程不同，为了将他们
联系起来所需要的一些条件就是连接条件。
第12.4节
定解问题的适定性
(1) 解的存在性看所归结出来的定解问题是否有解；
(2) 解的唯一性看是否只有一个解
(3) 解的稳定性当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否
相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为
定解问题的适定性.
数学物理方法第八章作业答案
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
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数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
《数学物理方法》各章节作业题
《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）
第5页（第三版）第6页（第四版）： 第1题中（1），（2），（4），（6），（10）； 第2题中（1），（2），（3），（7）； 第3题中（2），（3），（7），（8）； 第9页（第三版）第8页（第四版）： 第2题中（1），（3），（7），（9）； 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交） 第13页（第三版）第12页（第四版）：习题； 第18页（第三版）第16页（第四版）： 第1题； 第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）； 第23页（第三版）第20页（第四版）： 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交） 第38页（第三版）第31页（第四版）： 第1题，第2题； 补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分
?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换
数学专业参考书——学数学的必看
数学专业参考书——学数学的必看 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从《数学分析》开始讲起： 《数学分析》是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1.对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2.学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3.别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4.看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5.课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6.开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7.经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 《数学分析》书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。
数学物理方法填空题答案
1. 复数1i e -的模为 ，主辐角为 弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±±L 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln Λ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(， 则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(2 2 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =，则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=?? 0 。 13. 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=（， 求级数的收敛区域 。
15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2<
数学物理方法典型习题
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
大学几乎所有学科的课本答案
大学几乎所有学科的课本答案 ！ 任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）
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数学专业参考书整理推荐
学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
数学物理方法第08章习题
第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+
物理学要学习专业课程
力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年 电磁学 Electromagnetism 课程编号：22189903 总学时：72 学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程主要包括真空中的静电场，静电场中的导体和电介质，恒定电流，恒定磁场，磁介质，电磁感应，电磁场和电磁波，及电磁学与当代高新技术等内容。通 过学习本课程，使学生了解如何发现问题，分析和解决问题，建立理论及实验检 验这一过程，为学生在将来的技术创新和应用能力的培养上打下一定的基础。本 课程是后续课程比如量子力学和固体物理等的基础；电磁作用是一种基本的相互 作用，不仅对人类的生产生活影响极广，而且也与当代高科技密切相关，本课程 是学生将来发展高新技术的重要基础。 先修课程：高等数学，力学 参考书目：《电磁学》贾瑞皋，薛庆忠编高等教育出版社 2003年出版 《电磁学》《电磁学》贾起民，郑永令，陈暨耀编高等教育出版社2003年出版
数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法
数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
《高等数学》第四册(数学物理方法)
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
物理化学类课后习题答案大全
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