数学物理方法第七章 (2)

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

《数学物理方法》各章节作业题

《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）

第5页（第三版）第6页（第四版）： 第1题中（1），（2），（4），（6），（10）； 第2题中（1），（2），（3），（7）； 第3题中（2），（3），（7），（8）； 第9页（第三版）第8页（第四版）： 第2题中（1），（3），（7），（9）； 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交） 第13页（第三版）第12页（第四版）：习题； 第18页（第三版）第16页（第四版）： 第1题； 第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）； 第23页（第三版）第20页（第四版）： 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交） 第38页（第三版）第31页（第四版）： 第1题，第2题； 补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分

?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换

第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼

第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一

数学物理方法第二次作业答案

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u

数学物理方法123章作业解答

另：()y x u u ,=，()y x v v ,=，?? ?==? ρ?ρsin ,cos y x ? ?ρ ρ ρ sin cos y u x u y y u x x u u ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??= ??+ ??= ??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??u x u y u y v x v y v x v y y v x x v v cos sin cos sin cos )sin (111 ? ?ρ ρ ρ sin cos y v x v y y v x x v v ??+ ??= ????+ ????= ?? ρ ?????ρ?ρρ??ρ? ρ??- =??- ??- =??+ ??- =??? ? ????+-??=???? ??????+????= ??v x v y v y u x u y u x u y y u x x u u cos sin cos sin cos )sin (111 所以，有 ?????? ???-=????=??ρ?ρ?ρρv u v u 11 第18页 第2题

第27页 指出下列多值函数的支点及其阶。 （1） ) (a z - 解：根式的可能支点是∞点和根式内多项式的零点，现在来逐个考察这些点的性质。 ① a z =：在此点的邻域内任取一点 1 11φρi e a z +=（11 <<ρ），则有 2 11)(φ φ ρρi i e e a z = = - 当保持 1ρ不变 π φφ211+→（绕 a z =一周）时，有

第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?

稳态方程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从 而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<

数学物理方法第十二章

第12章 第12.1节 一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。 正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。 前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。 二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程 1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。 2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。 3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。 三、三类典型的数学物理方程 1.双曲型方程（以波动方程为代表） 错误！未找到引用源。 2.抛物型方程（以热传导方程为代表） 错误！未找到引用源。 3.椭圆型方程（以泊松方程为代表） 错误！未找到引用源。当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。 四、三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各

类特殊函数 第12.2节 一、振动方程 1.弦的横振动 考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 确定弦的微分方程的方法： 1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t) 2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。 3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程） 其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直 位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外 的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引 入适当假设才能使方程简化． 根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为： 错误！未找到引用源。 仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量， cosθ1≈cosθ2≈1 Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2 ?s≈ds≈?x=dx

数学物理方法

数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数

第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

(整理)数学物理方法

《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。

2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题

数学物理方法第二章习题及答案整理

第二章答案 一、 简述 1． 简述状态空间描述与输入/输出描述的不同。 解：输入/输出描述是系统的外部描述，是对系统的不完全描述，用微分方程及其对应传递函数表征；状态空间描述是系统的内部描述，是对系统的完全描述，用状态空间表达式表征。 2． 线性定常系统经非奇异线性变换哪些量和性质不变？（至少列举3项） 解：特征值不变，传递矩阵不变，可控性及可观测性不变。 二、 多选题 1.对于n 阶线性定常系统 x Ax Bu =+&，下列论述正确的是（ ABD ） A 当系统矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n υυυL 时，则矩阵A 可化为对角线规范形； B 系统矩阵A 的n 个特征值12,,,n λλλL 两两互异，则矩阵A 可化为对角 线规范形； C 系统矩阵A 有重特征值，则矩阵A 不能化为对角线规范形； D 系统矩阵A 有重特征值，但重特征值的几何重数等于其代数重数，则 矩阵A 可以化为对角线规范形。 三、 求状态空间描述 1、 给定系统的传递函数为 1 ()(4)(8)G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：由传递函数 32 11 ()(4)(8)1232g s s s s s s s ==++++ 可写出原系统的能控标准形 01000010032121u ???????????? ????--????x =x +& 2．已知系统的传递函数为 2325 ()1510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：

能控标准型： 01000010101501[521]x x u y x ???? ????=+????????--????=& （2分） 能观标准型： 00105101520101[0 01]x x u y x -???? ????=-+????????????=& 3．已知系统的传递函数为 2323 ()510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：能控标准型： 0100001010501[321]x x u y x ???? ????=+????????--???? =& （2分） 能观标准型： 010*********[0 01]x x u y x -???? ????=-+???????????? =& 3．已知系统的传递函数为 32 20 ()43G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：（1）由传递函数 3220 ()43G s s s s =++可写出原系统的可控标准型 []01 00001003412000u y x ???? ????????????--????=&x =x + 4．已知系统的传递函数为 210 ()1 G s s = +

《高等数学》第四册(数学物理方法)

第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

第七章 Green 函数法 - 数学物理方法

数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全

第七章Green函数法 Green Function method 引言 前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。 本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。 从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。 本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类： 1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??，xx u 表示22x u ??；二维波动方程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（二维的），22 2222z y x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要

的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα，D ?表示区域D 的边界，n 是D ?的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题. 例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)

数学物理方法第十章作业答案

分离变量法(驻波法)求一维有界区域的自由振动问题(第二类齐次边界条件)： 2000(,)(,) (0)0 , 0 () , () tt xx x x x l t t t u x t a u x t x l u u u x u x ?ψ====?=≤≤?? ==??==?? 其中()x ?，()x ψ，为已知函数． 解：依题意设定解问题的解为 (,)()()u x t X x T t = 其中()X x 只是x 的函数，与t 无关，()T t 只是t 的函数，与x 无关．代入方程得 2 2 ()()()()()()() () T''t X''x T''t X x a X''x T t a T t X x =? = 等式两边分别是t 和x 两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ- 即 2 ()()()() T ''t X ''x a T t X x λ==- 则得到两个常微分方程 2 ()()0 (1)()()0 (2) T''t a T t X''x X x λλ+=+= 由边界条件有(0)0 ()0 (3)X'X l == 当0λ<或0λ=方程(2)都只有平凡解(,)0u x t = 当0λ>时(2) 的解为12()cos sin (4)X x C C =+ (12,C C 为任意常数) 将(4)代入(3) 的第一式得2(0)=0X'C C =?，而1C 不可能为0，再将(4)代入(3)的第二式得 1(21)(21)()cos 0cos 02 2n n X l C l π π --==?=?=?= （1,2,3,n =???） ∴ λ只能取相应的一系列值

数学物理方法第一章作业答案

第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 0 x 2 2 + +( y y 2 + ? 1 1) 2 > 所以 ，即x <0,x2 +y2 ?1+2x >0 x 0

z -1 ≤（7）1, z +1

2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1

数学物理方法(刘连寿第二版)第07章习题

第七章 习题答案 7.1-1将Helmholtz 方程0=+?u u λ在柱坐标系中分离变量。 解：0112 2 22 2=+??+??+???? ??????=+?u z u u u u u λ?ρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ?φρ?ρ=代入上面的方程有: 0d d d d d d d d 2 2 22 2=Φ+Φ+Φ+???? ??ΦZ R z Z R RZ R Z λ?ρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得： λ?ρρρρρ--=ΦΦ+???? ??2 2 22 2d d 1d d 1d d d d 1 z Z Z R R 上式左边与z 无关，右边与?ρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12 2 22 =-+? -=-- Z u z Z z Z z λμλ ① 而左边有：μ? ρρρρρ-=ΦΦ+???? ??2 2 2d d 1d d d d 1 R R 两边同时除以2ρ，并移项得: 2 2 2 2 d d 1d d d d m R R =ΦΦ- =+??? ? ?? ? μρρρρρ 0d d d d 12 2 2 2 2 2 =Φ+Φ? =ΦΦ- m m ? ? ② 和： 2 2 d d d d m R R =+??? ? ?? μρρ ρρρ 2 2 2 2 d d d d m R R R =+??? ? ??+ μρρρρρ 0d d 1d d 2 2 22 =??? ? ??-++R m R R ρ μρρρ ③ Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。 7.1-2 将三维热传导方程 02 =?-??u a t u 在球坐标系中分离变量。

数学物理方法课件 第七章

第二篇数学物理方程 第七章 数学物理定解问题 一、数理方程的概念 凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。 二、二阶偏微分方程的分类 ——P162 二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为 G Fu y u E x u D y u C y x u B x u A =+??+??+??+???+??22222 式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。 二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042 >-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程） 三、定解条件 在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。 这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。——P135

? ?? ? ? ????? ??衔接条件边界条件 初始条件定解条件数学物理方程 泛定方程定解问题)( §7.1 数学物理方程的导出 数学物理方程的导出步骤如下：——P135 一、波动方程 02=-xx tt u a u （一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动 在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程： (1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。 (2)、轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力的影响。 (3)、柔软：弦中的张力只能是沿着弦线的切线方向。 (4)、微小振动： 1<

数学物理方法第14章.

第14章 第14.1节 一、二阶线性偏微分方程的通解 例题14.1.1求偏微分方程 X 2u xx +2xyu xy +y 2u yy =0 )0(≠y 的通解 解：判别式?=B 2?4AC=4x 2y 2-4x 2y 2=0,所以方程为抛物型的，其 特征方程为（xdy-ydx ）2=0因此，特征曲线为)(常数c x y =若令 y x y == ηξ,，做自变量变换，原方程化为如下标准形式： ） 即（或0y 00 2≠≠==ηηηηηηu u 将上式对η积分两次，得u(ζ,η)=ηf(ζ)+g （ζ) 其中，f(ζ)和g(ζ)是两个任意连续二次可微函数。 恢复到原来x 、y,就得到原方程的通解 u(x,y)=yf(y/x)+g(y/x) 例题14.1.2求偏微分方程x 2u xx -y 2u yy =0 (x>0,y>0)的通解。 解：因为方程的判别式?=B 2?4AC=x 2y 2>0,所以方程为双曲型的， 其特征方程为（xdy+ydx ）(xdy-ydx)=0因此特征曲线是如下两族曲线： Xy=c 1)（常数），y/x=c 2(常数) 做自变量变换 x y xy = =ηξ, 则题设方程可化为如下标准形式：)0,0(21>>= ηξξ ηξηu u

再作代换v=u η,将上述方程化简为v u ξ ξη21= 这个方程经过分离变量很容易积分。对ζ积分后，我们有)(ηξf v = 再将上式对η积分，即得u(ζ,η)=G(ζ)+)(ηξf 其中f(η),F(η),G(ζ)是三个任意二次连续可微函数。 恢复到原来变量x,y,就得到原方程的通解 u(x,y)=G(x,y)+)(x y F xy (14.1.2) 再求上述方程适合如下条件的解： )3.1.14() (),(), () ,(1 1x y y x u x y x u y y ψ?=??=== 将式(14.1.2)代入式(14.1.3) ) 5.1.14() ()1 (1)1(2)() 4.1.14() ()1 ()(''x x F x x F x x xG x x F x x G ψ?=++=+ 微分式(14.1.4),得 )()1(1)1(21 )('''x x F x x x F x x G ?=-+ （14.1.6） 式（14.1.5）与式（14.1.6），解出 因此） （为常数） （为常数8.1.14)() (2 ) (2)()(G 7.1.14)c () (21)(21)1(0 002 /3'2/3'c x c dz z z x dz z z x x x c dz z z dz z z x F x x x x x x x x -+ -=+-=? ? ??????? 于是