高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n

k k

1

2

142

的值; (2)求证:

351

1

2

<

∑=n

k k

.

解析:(1)因为121121)12)(12(21

42

2

+--=+-=

-n n n n n

,所以122121114212

+=+-=-∑=n n n k n k

(2)因为?

?

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4

111

2

2

2

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+

n

k

奇巧积累:(1)??

? ??+--=-<=121121

2144441222n n n n n (2)

)

1(1

)1(1)1()1(212

11

+--=-+=+n n n n n n n C C n n

(3))2(1

11)1(1!11)!(!!11≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n C T r r

r

n r

(4)25

)1(123112111)11(<

-++?+?++<+n n n

n

(5)n

n n

n

2

1

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+221

(7))

1(21)1(2--<<

-+n n n

n n (8)

n n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221

?+-?+=???? ??+-+-

(9)

?

??

??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !

)1(1

!1!)1(+-

=+n n n n (11)

2

1

2121

21222)1212(21

-++

=

-++=

--+

(11) )2(121

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+????? ??+-

-=+-<

?=

n n n n n n n n n n n n

1

1

112111111

+--<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221n

n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+

(14)

!

)2(1

!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15)

)

2(1)

1(1

≥--<+n n n n n

(15) 1

1

1)

11)((1122222

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:

)2()12(2167)12(1513112

22≥-->-++++

n n n

(2)求证:n n 41

214136

1161412-

<++++

(3)求证:1122642)

12(531642531423121-+

(4) 求证：

)

112(213

12

11)11(2-+<+

++

+

<-+n n

n

解析:(1)因为?

?

?

??+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以

)

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))

1

11(41)1211(414136

116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出

1

212642)

12(531+<

????-????n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最

后就可以得到答案

(4)首先

n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到

n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证2

12121

2122

2)1212(21

-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以)

112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例

3.求证:35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为?

?

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4

1112

2

2

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+

n

k

另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++?+?+>++++

n n

n n n n

当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n

n n ,当1=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++<++ ,

所以综上有35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n

a 满足1

01a <<.1

()

n n a

f a +=.

设1

(1)

b a ∈，，整数

11ln a b

k a b

-≥

.证明:1

k a

b

+>.

解析: 由数学归纳法可以证明{}n

a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b

a m

≥, 则b

a a

k k ≥>+1

,

若)

(k m b a

m

≤<,则由1

01

<<≤

m 知0

ln ln ln 11<<≤b a a a a a

m m m

,

∑=+-=-=k

m m

m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,

因为)

ln (ln 11

b a k a a

k

m m m

<∑=,于是b

a b a b a k a a

k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m

m m m m n S x N

m n ++++=->∈+

321,1,,,求证:

1

)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .

解析:首先可以证明:nx

x n

+≥+1)

1(

∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1

11111111]

)1([01)2()1()1( 所以要证

1

)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-

++--+-+=-+<+<--n

k m m m m m m m m m n

k m n

k m m k k n n

n

n n k m k k

1

111

11

1

1

1

1

1

1

11

1

]

)1[(2

)

1()

1(1)

1()1(])

1([

故只要证

∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n

k m

n

k m m k k k m k k

1

111

1

1

1

]

)1[()1(])

1([,

即等价于m

m m m m k k k m k k -+<+<--+++111

)1()1()1(,

即等价于11)1

1(11,)11(11++-<+-+<++

m m k

k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知n

n n

a 2

4-=,

n

n

n a a a T +++=

212,求证:

2

3321<

++++n T T T T .

解析:)

21(2)14(3

421)21(241)41(4)222(444421321n n

n n n n n T -+-=-----=

+++-++++=

所以

1

23)2(222322342323

23422234342)21(2)14(3

422111111+?-??

=+?-?=-+=-+-=

-+-=

++++++n n n

n n n n n n n n n n n

n

n T

??

? ??---=--??=

+12112123)12)(122(2231n n n

n n 从而2

3

1211217131311231321<

??? ??---++-+-=

+++++n n n T T T T

例7.已知

11=x ,???∈=-∈-==)

,2(1)

,12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:

*)

)(11(21

1

1

4

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

因为 1

2++

)

1(21

2

22

1

4

1

22n n n n n x x n n -+=++>

>

+

所以

*)

)(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

二、函数放缩 例

8.求证：)

(66

5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .

解析:先构造函数有x

x x x x 1

1ln 1ln -≤?

-≤,从而

)3

1

3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++

cause

??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212

1

9181716151413121313121 6533323279189936365111n

n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>

---

所以66

53651333ln 4

4ln 33ln 22ln +-

=--<++++n n n n n n 例

9.求证:(1))

2()1(21

2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα

解析:构造函数x

x

x f ln )(=

,得到

2

2

ln ln n

n n n ≤αα,再进行裂项

)1(1

111ln 22

2+-<-≤n n n

n n ,求和后可以得到答

案

函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αα

αn n

例

10.求证:n n n 1211)1ln(113

121+

++<+<++++ 解析:提示:

2ln 1ln 1ln 1211ln

)1ln(++-++=??-?+=+ n n

n n n n n n n

函数构造形式:

x

x x x 1

1ln ,ln -

><

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数x

x f 1

)(=

,

首先:

?-

i

n ABCF

x S 1,从而,)ln(ln |ln 1

1i n n x x i n n i n n

i

n --==

F

E D C B

A

n-i

n

y

x

O

取1=i 有,)1ln(ln 1

--

,

所以有

2ln 2

1

<,

2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--

,

n n n ln )1ln(11

-+<+,相加后可以得到:

)1ln(1

1

3121+<++++n n 另一方面?->n

i n ABDE

x S 1

,从而有

)ln(ln |ln 1

1i n n x x

i i n n i n n

i n --==>?---?

取1=i 有,)1ln(ln 1

1

-->-n n n ,

所以有n

n 1211)1ln(+++

<+ ,所以综上有n

n n 1

211)1ln(113121+++<+<++++

例11.求证:e n <+??++

)!

1

1()!311)(!211( 和

e

n <+??++)3

1

1()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明

例

12.求证:3

2)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n

解析:

1

)1(3

2]1)1(ln[++-

>++n n n n ,叠加之后就可

以得到答案 函数构造形式:)0(1

3

)1ln(1)0(132)1ln(>+>++?>+-

>+x x x x x x x (加强命题)

例13.证明:

)1*,(4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n

解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:

1

2111)('--=--=

x x x x f ,令0)('>x f 有21<

x ,

所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12

+=n x 有,1ln 22-≤n n

所以2

1

1ln -≤+n n n ,所以

)1*,(4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n

例14. 已知112

11

1,(1).2

n n n a a a n n +==+

++证明2

n

a

e <.

解析:

n

n n n n a n n a n n a )21

)1(11(2

1))1(11(1+++<+++

=+,

然后两边取自然对数,可以得到

n

n n a n n a ln )2

1

)1(11ln(ln 1++++

<+

然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)

放缩思路：

?+++

≤+n n

n a n n a )21

11(2

1?++++

≤+n n n a n n a ln )2

1

11ln(ln 2

1 n

n n n a 2

1

1ln 2

+++

≤。于是

n

n n n n a a 21

1ln ln 21++≤

-+，

.

221122

11)21

(111ln ln )211()ln (ln 1

1211

111

<--=--+

-≤-?++≤---=+-=∑

∑n n n i

n i i i n i n n a a i i a a

即.

2ln ln 21e a a a n n

注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n

来放缩：

?-+-+

≤+)

1(1

))1(11(1n n a n n a n n ?

+-+

≤++)1)()

1(1

1(11n n a n n a

.

)

1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n

11

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

11

2

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ，

即.133ln 1)1ln(2

e e a a

n n

<-

例

16.(2008年福州市质

检)已知函数

.

ln )(x x x f =若

).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->

()ln ,()ln ()ln(),

0.

()ln 1ln()1ln

,2()0,10.2f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x

x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--令则有

∴函数

k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]

2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有

).

2()(k

g x g ≥

而,

2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k k

k k k f k f k g -=-==-+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴

即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+

令,,b x k a x =-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴

).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数

),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数；

(II)当)

()()(:,0,0212121

x x f x f x f x x

+<+>>证明时；

(III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：

).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>++++++

解析:(I)

)

()(')('2

>-=

x x f x x f x g ,所以函数

),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数

(II)因为),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数,所以

)()()()(212

11

1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

)()()()(212

12

2212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

两式相加后可以得到)()()(21

21

x x

f x f x f +<+

(3)

)()()()(21211

1212111n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

2212122n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

)()()()(21212121n n

n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

)

()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++

所以)

ln()(ln ln ln ln 2121332211

n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++

令

2

)1(1n x n +=

,有

? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n

???? ??+++?+?????? ??++++

31121ln )1(1312122

2 )2)(1(2212111++-=??? ??+-??? ??+-

所以).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n

n n ∈++>++++++

(方法二)

??

? ??+-+=++≥+++>++2111

4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22

2n n n n n n n n n

所以)

2(24ln 2121

4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n

又1

1

14ln +>

>n ,所以

).

()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>

++++++

三、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m

b a b 和)

0,0(>>>++

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:1

2)1

21

1()511)(311)(11(+>-++++n n 和

1

21)211()611)(411)(211(+<

+---n n

也可以表示

成为

1

2)

12(5312642+>-???????n n n

和

1

212642)

12(531+<

????-????n n

n

解析: 利用假分数的一个性质

)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a b 可得

>-??122563412n n

=+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n

?1

2)122563412(2

+>-??n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n

例

20.证明:.

13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n

解析: 运用两次次分式放缩:

1

338956.232313784512-????>--????n n n n (加1)

n

n n n 31391067.342313784512+????>--???? (加2)

相乘,可以得到:

)13(1323875421131381057.2423137

8

45122

+?--????=-+?

???>??? ??--????n n n n n n n

所以有

.

13)2

311()711)(411)(11(3+>-++++n n

四、分类放缩 例21.求证:2

12131211n

n >-++++

解析:

+++++++++>-++++

)21212121()4141(211121312113333n

2)2

11(221)212121(

n

n n n n n n

>-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n

A 与曲线x

y 2=

（x ≥0）上的点列{}n

B 满足

n

OB OA n n 1

=

=，直线n n B A 在x 轴

上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*

∈N n .

(1)证明n a >1

+n a >4，*

∈N n ; (2)证明有*

∈N n

，使得对0

n n >?都有

n

n n n b b b b b b b b 1123

12+-++++ <2008-n .

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

数列放缩法高考专题

高考专题—数列求和放缩法 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 n n n n a a 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明32221+<++

数列放缩法

数列放缩法 1. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，且1a =2，*1,4N n a a s n n n ∈?=+，（1）求数列{}n a 的 通项公式；（2）设数列? ?????21n a 的前n 项和为n T ，求证：21＜＜T 44n +n n 。 2. 已知数列{}n a 和{}n b 满足()()* 3212N n a a a a n b n ∈=Λ。若{}n a 为等比数列，且21 =a ，236b b +=。 （1）求数列n a 和n b 。

（2）设数列() *11N n b a c n n n ∈-=。记数列{}n c 的前n 项和n s 。 （1）求n s ；（2）求正整数k ，使得对任意实数*N n ∈均有n k s s ≥。 3. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，满足：() *22N n n a s n n ∈-=。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}()n n n T a b ,2log 2+=为数列??????+2n n a b 的前n 项和，求证21≥n T 。

4.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为s n ，且n s 满足()() *222,033N n n n s n n s n n ∈=+--+-。（1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有 ()()()3 1＜1111112211++++++n n a a a a a a Λ。

练习：1.设数列{}()Λ,3,2,1=n a n 的前n 项和满足,21a a s n n -=且321,1,a a a +成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列? ?????n a 1的前n 项和为n T ，求使得10001＜1-n T 成立的n 的最小值。

高三数学必做题--数列放缩法

(1) 求数列 4的通项公式； 1 a a 1 (2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式； (2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由. 3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1 ，求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L

(1)求 a 2 ； (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式； (n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n

(1)求a i 的值; (2)求｛a .｝的通项公式; 1 (1)求证：数列｛」｝是等差数列; a n 1 2 (2)求证：丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2，a n 1a n 细1 1 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

最新高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

数列难题放缩法的技巧

数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)

数列综合题 1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a = --，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <． 2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵对一切正整数n ，设1 )1(+?-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3 n =． （1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设n n n n S S a b 11++= ,求证：2121<+++n b b b ． 5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足 1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ) 求证：对于n≥2，23 1222112n n a a a ++++<-

6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+． （1）求1a 的值； （2）求{}n a 的通项公式； （3）求证： *222121111,2n n N a a a ++???+<∈。 7、已知数列{}n a 满足112a = ，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1 n a -是等差数列； （2）求证：2 3 12234 1 1n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.

高三数学数列放缩法

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<