高中数学放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
1
42
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++?+
?++<+n n n n Λ (5)
n
n n
n
2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)
n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10)
!)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(111 2 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 1112111111 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-? >-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ 解析:(1)因为 ?? ? ??+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(41)1211(4141361161412 22n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ΛΛ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21 ,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+Λ 再证 2 12121 21222)1212(21-++ = -++=--+ 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 )112(213 12 11-+<+ ++ + n n Λ 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面:因为??? ??+--=-=-<121121 2144 4 11 1 222 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k Λ 另一方面:1 111)1(143132111914112+= +-=+++?+?+>++++n n n n n n ΛΛ 当3≥n 时,) 12)(1(61 ++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ, 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++Λ,所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证 明:1k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln ,因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故 只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3422111111+?-?? =+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 31211217131311231321 T T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 1 4 1224 5 44 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+ ?+Λ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 24 4 1 22= ?=> -= +-= +,因为 12++ 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ 因为?? ? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 311212 1 9181716151413121313 1 21ΛΛΛ 6533323279189936365111n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n Λ 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22 ≥+--<+++≥n n n n n n α ααααααΛ 解析:构造函数 x x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤α α ,再进行裂项)1(1111ln 2 22 +-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 ) 1(1ln 5 4 ln 43ln 32ln >∈-<++ +++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令 0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 11 ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 43ln 32 ln >∈-<+++++ n N n n n n n Λ 例14. 已知112111,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路： ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(21?++++ ≤+n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 21 1ln ln 2 1++≤ -+， . 221122 11)21 (111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 )2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+-+ ≤+) 1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ? +-+ ≤++)1)() 1(1 1(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ Λ 解析:(I)0)()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111 2 1211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+< ?++< )()()()(212 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) ) ()()() (21211 121211 1n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ ΛΛΛΛ )()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ΛΛ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ 令 2 )1(1 n x n += ,有 ???? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ ???? ??+++?+?????? ??++++ 31121ln )1(1312122 2ΛΛ )2)(1(2212111++- =?? ? ??+-??? ??+- 所以). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ Λ (方法二)? ? ? ??+-+=++≥+++> ++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以) 2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2 1 22222222 +=??? ??+->++++++ n n n n n Λ 又1 114ln +>>n ,所以 ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥ ++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k = +-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令ΘΘ ∴函数k k x g ,2 [)(在）上单调递增，在 ]2 ,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为 )2(k g ，即总有).2 ()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n Λ和 1 21)21 1()611)(411)(211(+< +---n n Λ也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n ΛΛ和1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??1225 63412n n Λ =+??n n 212674523Λ) 12(2126 54321+?-??n n n Λ ?12)1 225 63412(2 +>-??n n n Λ 即.12)1211()511)(311)(11(+>-+ +++n n Λ 例20.证明:.13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-+++ +n n Λ 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n ΛΛ (加1) n n n n 3139 1067.342 3137 84512+????>--????ΛΛ (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n ΛΛΛ 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ 四、分类放缩 例21.求证:2 1213 12 11n n >-+ +++Λ 解析: +++++++++>-+ +++ΛΛ)2 1 212121()4141(2111213 12113333n 2)211(221)212121( n n n n n n n > -+=-+++Λ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线x y 2= （x ≥0）上的点 列{}n B 满足n OB OA n n 1==，直线 n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++Λ<2008-n . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )() 11000n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1210,2n n n n n b n b b n b =->+= Q 212n n n n a b n b ∴=+ 1n a 显然，对于1 101 n n > >+，有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明：设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 ( ) ()() 22222 11121121 2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ?()()()2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+Q 设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当() *221k n k N =->∈时， 2311111111111342123421 2212n k k k k S -??????>++++=+++++++ ? ? ?-++?????? L L L 212311112222222 k k k -->? +?++?=L 。 所以，取4009022n =-，对0n n ?>都有： 200821 4017111012312=->>=???? ??-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b Λ 故有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++Λ<2008-n 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3 N n n n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证 明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n n n n n n f b n 12)(3 23>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++>++++=ΛΛ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++, (2121221221121) 1 11=?>++++ +---k k k k k Λ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当222->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3, 0, 0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++ = ++Λ, 当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n Λ. 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证 36 11711112321+≥++++n a a a a n Λ只要证12 11721312112+≥++++ =n S n n Λ,因为 n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =--ΛΛ 12 117)1(12723211121222+=-+≥+++++ =-n n T T T n Λ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 212-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 !sin 2 !2sin 2 !1sin 21+++=Λ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=-Λ k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 12 12 1|2 )sin(||2 )!2sin(||2 )!1sin(|2121ΛΛ n k n k n 2 1)211(21)212121(212<-?=+++= Λ 又n C C C n n n n n n >+++=+=Λ10)11(2 所以n S S n n k n 121||< < -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642)12(5316 425314 2312 1-+ n ΛΛΛ 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????=ΛΛ则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n Λ 所以1222642)12(5316 425314 2312 1-+ n ΛΛΛ 例28. 求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+ n ΛΛΛ 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????=ΛΛ则 1 11)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n Λ 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证: )11(21 1121-+≥+++n a a a n Λ 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111 211211 21 -+=-≥--++=+++ ++n a a a a a a a a a a a n n n n n Λ 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数 4>m ，有 8 711154<+++m a a a Λ 解析:容易得到 [] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(2311 2 13 21 2121--++?=-++=+ -------+n n n n n n n n n a a ) 2 121(232 2 2 2 3123 21 2 -----+?= +? m 且m 为偶数时 = +++m a a a 11154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m Λ ②当4>m 且m 为奇数时<+++ m a a a 1 11 54 Λ1 541111+++++m m a a a a Λ（添项放缩）由①知 . 8 71111154<+++++m m a a a a Λ由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数2 21()2 x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知 1 (())((1)1)0 2 f x f +-≤ 即 1 ()12 f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12 - ，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133233a b a b ?-≤-+≤? ? ?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件3 3 1 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2 ) 1(2+< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+=++<+ 2 1(1 1 ∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2 ) 1(2 +<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成1)1(+<+k k k 则得 2)1(2)3)(1()1(21 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ 解析: ) 2211()()1()0(22114111414 )(?->++?≠?->+- =+=n f f x x f x x x x Λ . 2 121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n ΛΛ 例34.已知b a ,为正数，且1 1 1=+ b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得 b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则 )(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ， 而1211112422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ΛΛ， 则)(2n f =))(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?-≥)22 (n 1 2 +n ，所以)(n f ?-≥)22(n n 2，即对 每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C Λ3211 2 2 22112-++++=-n n Λn n n 1 22 221-?????>Λ=2 12 -?n n ， 原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+Λ 解析: 11)1()1()()(212112212 1221121+>?+++=+?+ =?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+Λ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ 解析: 2 )12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1Λ=,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1(+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>????Λ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ. 例38.若7>k ,求证:2 3 1121111>-++++++=nk n n n S n Λ. 解析:)1 11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+=Λ 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+≥+,所以 4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1 )1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n Λ 所以 231421)1(211)1(2> +-=+->-+->k k k n k k S n 所以 2 31121111>-++++++= nk n n n S n Λ 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16 )1()0(2a f f ≤ ?. 解析:16 )]1()][1([)1()0(2 2 2112a x x x x a f f ≤--=?. 例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x )]n －2n －1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(22)(>+='x x x x f ， (1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).11(22 1424221------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C Λ 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 < n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列， 所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以 12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = + .. 2011 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1) n 2 的值 ; (2) 求证 : n 1 5 . 求 k 1 4k 2 1 k 1 k 2 3 解析 :(1) 因为 2 2 1 1 , 所以 n 2 1 1 2n 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 k 1 4k 2 1 2n 1 2 n 1 (2) 因为 1 1 4 1 1 , 所以 1 1 2 1 1 1 1 5 2 n 1 2 2 1 4 n 2 2n 1 2n 1 k 1 k 2 3 5 2n 1 2n 1 3 3 2 1 n n 4 奇巧积累 :(1) 1 4 4 2 1 1 (2) 1 2 1 1 n 2 4n 2 4n 2 2n 1 C n 1 1 C n 2 ( n 1)n( n 1) n( n 1) n(n 1) 1 2n 1 (3) T r 1 r 1 n! 1 1 1 1 1 (r 2) C n r!( n r )! n r r! r ( r 1) r 1 r n r (4) (1 1 ) n 1 1 1 1 1 1 5 n 2 3 2 n(n 1) 2 (5) 1 1 1 (6) 1 n 2 n 2 n (2 n 1) 2n 1 2 n n 2 (7) 2( n 1 n ) 1 2( n n 1) (8) 2 1 1 1 1 n 2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2n (9) 1 1 1 1 , 1 1 1 1 k (n 1 k) n 1 k k n 1 1 k ) k 1 n n 1 k n(n (10) n 1 1 (11) 1 2 2 2 (n 1) ! n ! (n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n高中数列放缩法技巧大全
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