直线与圆知识点及经典例题(含答案)
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直线与圆知识点及经典例题(含答案)
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圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
（一）圆的标准方程
这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程
将圆的标准方程,展开可得。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :
问题：形如的方程的曲线是不是圆？
将方程左边配方得：
（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆
心，以为半径的圆。,
（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：
当＞0时，方程称为圆的一般方程.
圆的一般方程的特点：
（1）和的系数相同，不等于零；
（2）没有xy这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系
1、直线与圆位置关系的种类
（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：
几何方法主要步骤：
（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径
（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d 代数方法主要步骤： （1）把直线方程与圆的方程联立成方程组 （2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 （3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小： （4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。 【典型例题】 类型一：圆的方程 例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．变式1：求过两点、且被直线平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点、且圆上所有的点均关于直线对称的圆的标准方程. 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为． 又∵该圆过、两点．∴ 解之得：，． 所以所求圆的方程为． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即． 又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径． 故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为 ．∴点在圆外． 例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。 解：设圆的方程为：x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程 Þ F ＝ 0， D ＝ -8， E ＝ 6 Þ 圆方程为：x2 ＋ y2 -8x ＋ 6y ＝ 0 配方：（ x -4 ）2 ＋（ y ＋ 3 ）2 ＝25 Þ圆心：（ 4， -3 ）， 半径r ＝ 5 例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 解：∵圆和直线与相切，∴圆心在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线和的距离相等．∴．∴两直线交角的平分线方程是或．又∵圆过点，∴圆心只能在直线上． 设圆心∵到直线的距离等于，∴． 化简整理得．解得：或∴圆心是，半径为或圆心是，半径为． ∴所求圆的方程为或． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例4 已知圆，求过点与圆相切的切线． 解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为 根据∴.解得，所以，即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解． 例5 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程． 分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆、的任一交点坐标为，则有： ① ② ①－②得：． ∵、的坐标满足方程． ∴方程是过、两点的直线方程．又过、两点的直线是唯一的． ∴两圆、的公共弦所在直线的方程为． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲 线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例6、求过点，且与圆相切的直线的方程． 解：设切线方程为，即，∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得，∴切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或． 类型三：弦长、弧问题 例7、求直线被圆截得的弦的长. 例8、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为. 例9、求两圆和的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 例10、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系. 例11、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或. 例12、圆上到直线的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆的圆心为，半径．设圆心到直线的距离为，则．如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又．∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即 ，或． 设圆的圆心到直线、的距离为、， 则，． ∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个． 类型五：圆与圆的位置关系 例13、判断圆与圆的位置关系， 例14：圆和圆的公切线共有条。 解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.共有2条公切线。 类型六：圆中的最值问题 例15：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是. 例16 (1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值． (2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值． 分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以．．所以．． (2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由，得．所以的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为． 例17：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 . 解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为. 直线与圆的位置关系 一、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： 例1、下列判断正确的是（ ） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切； ③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③ 例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______． 例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 例4、下列直线是圆的切线的是（ ） A ．与圆有公共点的直线 B ．到圆心的距离等于半径的直线 C ．垂直于圆的半径的直线 D ．过圆直径外端点的直线 例5．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时， ⊙C 与AB 相切？ 2、切线的判定： （1）根据切线的定义判定：即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线. （2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 判定切线时常用的辅助线作法： （1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直. （2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线” 再证明圆心到直线的距离等于圆的半径. 例6、判断下列命题是否正确 （1）经过半径的外端的直线是圆的切线 （2）垂直于半径的直线是圆的切线； （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线； （5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切. 例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______． 例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线； （2）如果CD=6，tan∠BCD=1 2 ，求⊙O的直径． 例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=1 2 ，∠D=30°． （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长． 例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若 ∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线． 3、切线的性质： 1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论 4、切线长定理： 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； d r d=r r d 二、切线的判定定理与性质 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图） ①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1、 在 中，BC=6cm ，∠B=30° ，∠C=45°，以A 为圆心， 当半径r 多长时所作的⊙A 与直线BC 相切？相交？相离？ 解题思路： 作AD ⊥BC 于D 在中，∠B=30° ∴ 在 中，∠C=45° ∴ CD=AD ∵ BC=6cm ∴ ∴ N M A O P B A O B A C D O ∴ 当时，⊙ A 与BC 相切；当时，⊙ A 与BC 相交；当 时，⊙ A 与BC 相离。 例2．如图，A B 为⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点， D 在AB 的延长线上，且∠DCB= ∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， P O D C B A P B A O 圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。- ____ 2 2 2 说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以， 只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 -确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二) 圆的一般方程 2 2 2 2 2 2 2 2 将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r 。可见，任何一个 2 圆的方程都可以写成 ：X 2 y Dx Ey F 0 2 2 问题：形如x y Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？ 2 2 F D 2 E 2 J D ‘ E 4F 将方程X y Dx Ey 左边配方得： 2) 2) 2 D E 0表示以 2 2为圆 2 2 (1)当 D E 4F >° 时， 方程(1 )与标准方程比较，方程x y Dx Ey F D 2 E 2 4F 心，以 2 为半径的圆。 DE DE ⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計 2 2 (3)当D 2 E 2 4F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 2 2 当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： 2 2 (1) X 和y 的系数相同，不等于零； (2) 没有xy 这样的二次项。 (三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。 2、 直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： (1) 把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 (2) 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3) 作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当 d = r 时，直线与圆相切；当d 一. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ? 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线与圆的位置关系 教学目标:1.了解直线与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。 2.了解切线与割线的概念。 3.了解圆与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与 圆的三种位置关系的方法。 重点：理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 难点：直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用； 【知识精要】 知识点1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念 （1）圆的割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 （3）直线和圆相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 例题1 下列说法正确的有（） ①圆的切线只有一条；②若直线与圆不相切，则直线与圆相交； ③若直线与圆有公共点，则直线与圆相交；④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）0个 例题2 如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，点C在⊙O上。如果∠P=500，那么∠ACB 等于（） （A）400 （B）500 （C）650 （D）1300 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：(1）定义：在平面直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线，如果 把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾 斜角。当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1)直线 023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____(答:5[0][)66 ，，πππ）； 倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是 ______(答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率，即＝tan （≠90°）；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系?（4)应用:证明三点共线：AB BC k k =。如（1） 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必 要)；（2）实数,x y 满足3250x y --= （31≤≤x ）,则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为,则直线方程为 00()y y k x x -=-，它不包括垂直于轴的直线.直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =； 当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =。(2)斜截 式:已知直线在轴上的截距为和斜率,则直线方程为y kx b =+，它不包括垂直于轴的直线。 （3)两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为或的直线，两点式应变为 ))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式。（4)截距式：已知直线在轴和轴上的截距为 ,a b ，则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0)的形式。如（1)经过点（2,1) 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果 把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66 ，，π ππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ 答：42≥-≤m m 或 2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、 222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满 足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1 直线与圆的位置关系知识点及 例题(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 直线与圆的位置关系 一、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： 图形 名称相离相切相交 判定d>r d=r d 直线与圆的位置关系知识 点及例题 Prepared on 22 November 2020 直线与圆的位置关系 一、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： 图形 名称相离相切相交 判定d>r d=r d 判定切线时常用的辅助线作法： （1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直. （2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线 作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径. 例6、判断下列命题是否正确 （1）经过半径的外端的直线是圆的切线 （2）垂直于半径的直线是圆的切线； （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线； （5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切. 例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系 是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______． 例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线 于点E，连结BC． （1）求证：BE为⊙O的切线； （2）如果CD=6，tan∠BCD=1 2，求⊙O的直径． 例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=1 2，∠D=30°． （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长． 例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线． 3、切线的性质： 高中数学必修2 直线与圆的位置关系 【一】、圆的定义及其方程． （1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定 长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a 圆的一般方程：)04(02 222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径 为 ； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理） 设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系： 设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下： 相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法； 利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 【四】、两圆的位置关系： （1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解， 则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆 相离。 （2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ； （五） 已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=0 《直线与圆的位置关系》典型例题 例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？ （1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm． 例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值． 例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？ 例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切. 例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离. 参考答案 例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可． 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离； （2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切； （3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交． 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系． 例2 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r 直线与圆的位置关系 、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： r为了半径,d为了圆心到直线的距离 例1、以下判断正确的选项是( ) ①直线上一点到圆心的距离大于半径,那么直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径,那么直线与圆相切；③直 线上一点到圆心的距离小于半径, ？那么直线与圆相交. A .①②③ B .①② C .②③ D .③ 例2、过圆上一点可以作圆的条切线；过圆外一点可以作圆的条切线；？过圆内一点的圆的切线 . 例3、以三角形一边为了直径的圆恰好与另一边相切,那么此三角形是 . 刊 例4、以下直线是圆的切线的是( ) A .与圆有公共点的直线 B .至ij圆心的距离等于半径的直线| \ C .垂直于圆的半径的直线 D .过圆直径外端点的直线例5 .如下图,Rt△ ABC^, / ACB=90 , CA=@ CB=&以C为了圆心,r为了半径作O C,当r为了多少时,O C与AB相切 2、切线的判定： (1) 根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线. (2) 根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是「圆的切线. (3) 根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 判定切线时常用的辅助线作法： (1) 假设直线与圆有公共点时,辅助线的作法是“连结圆心和公共点〞,再证明直线和半径垂直. (2) 当直线与圆并没有明确有公共点时,辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线〞再证明圆心到直线的距离等于圆的半径. 例6、判断以下命题是否正确 (1) 经过半径的外端的直线是圆的切线 (2) 垂直于半径的直线是圆的切线； (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； (4) 和圆有一个公共点的直线是圆的切线； (5) 以等腰三角形的顶点为 了圆心,底边上的高为了半径的圆与底边相切^ 例7 . OA平分/ BOG P是OA上任一点(O除外),假设以P为了圆心的Q P与05目离,？那么 OP与OB的位置关系是() A .相离 B .相切 C .相交 D .相交或相切 例8、如下图,在直角坐标系中,O M的圆心坐标为了(m, 0),半径为了2, ?如果.M与直线相切,那么 m= 如果.M与y轴所在直线相交,那么m?的取值范围是 . 例9、如图,AB为了..的直径,弦Cd AB 于点M过点B作BE// CD,交AC?的延长线于 结BC. (1) 求证：BE为了..的切线； (1) (2) 如果CD=6 tan / BCD」,求..的直径. 2 例10、如图,：△ ABC内接于O.,点D在OC的延长线上,sinB= 1 , / D=30° 2 (1)求证：AD是..的切线；(2)假设AC=@求AD的长. 例11、如图,P为了O.外一点,PO交CD O于C,过.O上一点A作弦ABLPO于E,假设 UT[2领航教育秋季班课程•数学(第2页共5页二＞点E,连y轴所在 [熟悉知识网络] 综合复习和应用直线和圆的基础知识,解决对称问题、轨迹问题、最值问题,以及直线与圆和其他数学知识的综合问题,提高分析问题和解决问题能力． [典型例题] [例1]〔1直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0没有公共点,则a 的取值范围是 〔 A ．〔0,错误!－1 B ．〔错误!－1,错误!＋1 C ．〔－错误!－1,错误!－1 D ．〔0,错误!＋1 〔2圆〔x －1>2＋ 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，πππ）； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是 ______（答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不 充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =. （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.（4）截距式：已知直 直线和圆的方程 一、选择题 1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ） A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A.95 B.91 C.88 D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=0 4.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠ 2 π ＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1 6.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y = 3 3 x 的距离是（ ） A. 2 1 B. 2 3 C.1 D.3 7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ） A.2 1 B.2 2 C.2 3 D.1 8.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.)3 ,6[π π B.)2 ,6(π π C.)2 ,3(π π D.]2 ,6[π π 直线与圆、圆与圆位置关系 【考纲说明】 1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 【知识梳理】 一、直线与圆的位置关系 1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 （1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式 24b ac ∆=- 0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点 0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 （2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系： r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 2、圆的切线方程 若圆的方程为2 2 2 x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆2 2 2 x y r +=相切的切线方程为 2o o x x y y r +=. 经过圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22 o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交 直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2 2 2 4 l r d =+，即l =弦长求其他量的值时，一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。 2、判断圆与圆的位置关系常用方法 （1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则 圆与直线 知识点 圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程： （） 圆心（-，-）半径 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d直线与圆的位置关系知识点及例题
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