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导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则

一、教学目标： 1．知识与技能

掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法

通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2

的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观

培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用

教学难点：导数四则运算法则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程

（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x

??（也叫函数的平均变化率）有极限即

??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

x x y =，即x

x f x x f x f x ?-?+=→?)

()(lim

)(000

2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为

)(()(00/0x x x f x f y -=-

3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，

4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率

x y ?=

?? （3）取极限，得导数/

y ＝()f x '=x y

x ??→?0lim

常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x

（二）、探析新课

两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即证明：令)()()(x v x u x f y ±==，

)]

()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([，

∴

x v x u x y ??±??=??，x

v x u x v x u x y x x x x ??±??=?

?? ????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['

x v x u x v x u ±=±．例1：求下列函数的导数：

（1）x

x y 22

+=；（2）x x y ln -=

；（3）)1)(1(2-+=x x y ；（4）

1x x

x y +-=

。解：（1）2ln 22)2()()2(2

x x x y +='+'='+='。

（2）x

x x x x y 121)(ln )()ln (-

'-'='-='。（3）

[]

123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='

-+='x x x x x x x x x x y 。

例2：求曲线x

x y

=上点（1，0）处的切线方程。

解：()

22331311x x x x x x y +='??

? ??-'='??? ??-='。将1=x 代入导函数得 41

13=+?。即曲线

x y 13-

=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，即44-=x y 。

设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。我们来求)()()(2

x f x x g x f y ==在

0x 处的导数。

令0→?x ，由于

0200

)(lim x x x x =?+→?

知)()()(2

x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。

因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22

x f x x f x

'+'。

一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有特别地，当k x g =)(时，有例3：求下列函数的导数：

（1）x

e x y 2

=；（2）x x y sin =

；（3）x x y ln =。

解：（1）x

e x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(2

+=+='+'='='；

（2）x x x

x x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+=

'='='；

（3）1ln 1

ln 1)(ln ln )()ln (+=?-?='-'='='x x

x x x x x x x x y 。例4：求下列函数的导数：

（1）x

y sin =；（2）x x y ln 2=。

解：（1）2

22sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=?-?='?-?'='

???

??='；（2）x

x x x

x x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1

ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=?

-?='

?-?='

???

? ??='

(三)、练习：课本44P 练习：1、2. 课本46P 练习1.

（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2

五、教后反思：

本节课成功之点：

（1）从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x ）=x+x 2

的导数，观察结果，发

掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明（2）由定义法求f(x)=x 2

g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求

导发则。

（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特

别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

不足之处：

学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。

(完整版)导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2 g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，

导数的运算法则

课题：导数的运算法则 1、求下列函数的导数（1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。例1 求下列函数的导数（1） )11)(1(x x y +- = ；（2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ；例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0'+'x g x f x g x f 且0)3(=-g ，求不等式0)()(

知识点一，直接求导例1，求下列函数的导数（1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导例2，求下列函数的导数（1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v

水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ???

(完整word版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-1 3、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分： 1、回顾公式、寻找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展示，汇报交流

4、归纳总结，提升拓展 5、反馈训练，巩固落实 6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程 1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：

简单复合函数的求导：函数其中和都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数 3、成果展示，汇报交流学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。 4、归纳总结，提升拓展总结反思： 1、先观察函数是由哪些子函数组成。 2、再观察有哪些运算法则。 3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员x x y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（) 32sin(8π+=x y ）（ )(x g u =x u x u f y '''?=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx

16导数公式及四则运算

16导数公式及四则运算 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

2 导数公式及四则运算【使用说明及学法指导】 1.自学课本P14-P21，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA 完成所有题目，BB 完成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目。 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 3.预习指导：理解幂函数导数的推导过程，熟记常用初等函数的导函数，并能应用导数的四则运算法则求导。【学习目标】 1．理解并记忆基本初等函数的导函数，掌握导数的运算法则; 2．自主学习、合作交流，归纳出求导公式应用的规律与方法； 3．激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质。一、课前预习问题1.结合函数3)(x x f =的求导过程总结求导导函数的步骤.. 设 3)(x x f y ==， △y= )()(x f x x f -?+=3)(x x ?+-3x =322 )()(33x x x x x ?+??+?? ∴x y ??=22)(33x x x x ?+??+ ∴x y x ??→?0lim =2 3x 即2'3)(x x f =. 问题2：什么样的函数是幂函数由2' 33)(x x =，x x 2)('2=， 2'1)(---=x x 归纳幂函数的导数表达式是怎样的问题3.结合课本p17“基本初等函数导数公式表”书写出这组导数公式并分析特点，这组公式可分为几类如何记忆秀秀你的高招. 问题4. 两个函数和、差、积、商的导数是否等于这两个函数导数的和、差、积、商写出函数求导的四则运算法则并分析这组公式的特点，看看谁记忆地既准又快！问题5.当 ()1≡x f 时，你能否运用商的求导法则确定函数 ()x g x f )(即() x g 1 的导数二、学始于疑---我思考、我收获 1.判断正误：(1))()(])()([x g x f x g x f ''='. (2)c 是常数，则)()]([''x f c x f c ?=? . 2.(1) 若x e x f =)(，则)('x f = . (2) 若 x x f ln )(=，则)('x f = . 3.求下列函数的导数： (1)=++-+='2223y e x x x y x （2）x y x lg 2-= ='y

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则 3.2.3 导数的四则运算法则教学目的: 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数( 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点: 用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点: 函数的积、商的求导法则的推导( 教学过程: 一、复习引入: 常见函数的导数公式: nn,1xxC',0;(k,b为常数) ; ()'kxbk，,()'ln(0,0)aaaaa,,,且(x)',nx 111xxxeaa,,,,且(ln)'x, (log)'log(0,0)()'ee,aaxxxaln ; (sinx)',cosx(cosx)',,sinx 二、讲解新课: 2引例求的导数. yxx,，法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即fxgxfxgx()()''()'(),,,,, cfxcfx()'()',法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数( ,,法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以 fxgxfxgxfxgx()()''()()()'(),，第二个函数的导数，即 ,,

证明:令yfxgx,()()，则 ,y,fxx()，,gxx()，,-fxgx()() ,，,fxx()gxx()，,fx()gxx()，,fx()gxx()，,fxgx()()-+-， - 1 - fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,y + ,gxx()，,fx(),x,x,x ,x,0因为在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当时，， gx()gxxgx()()，,, fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,ylimlimlim从而 + ,gxx()，,fx(),x,0,x,0,x,0,x,x,x ， ,，fxgxfxgx'()()()'() 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 ',,fxfxgxfxgx()'()()()'(),,,(()0)gx ,,2gxgx()(),, 三、讲解范例: 例1 求下列函数的导数: 5432(1)求多项式函数f(x)=2x+3x-4x+5x-6x+7的导数; 2 (2)求的导数. yxx,，,(23)(32) 2t，1例2 求下列函数的导数: ?st(), ? hxxx()sin,t 例3 求函数(1)y=sin2x;(2)y=tanx的导数。四、课堂练习:课本练习五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数

数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

§则教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析函数导数函数导数

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝ x x 4 ；（5）y ＝x x ln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'2 5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越

2017导数的四则运算法则教案2.doc

§4 导数的四则运算法则第二课时导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。二、教学重点：函数积、商导数公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?2）求平均变化率 x x y ?= ??

导数公式及四则运算

导数公式及四则运算【使用说明及学法指导】 1.自学课本P14-P21，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA 完成所有题目，BB 完成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目。 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 3.预习指导：理解幂函数导数的推导过程，熟记常用初等函数的导函数，并能应用导数的四则运算法则求导。【学习目标】 1．理解并记忆基本初等函数的导函数，掌握导数的运算法则; 2．自主学习、合作交流，归纳出求导公式应用的规律与方法； 3．激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质。一、课前预习问题1.结合函数3)(x x f =的求导过程总结求导导函数的步骤.. 设 3)(x x f y ==， △y= )()(x f x x f -?+=3)(x x ?+-3x =322 )()(33x x x x x ?+??+?? ∴x y ??=22)(33x x x x ?+??+ ∴x y x ??→?0lim =2 3x 即2'3)(x x f =. 问题2：什么样的函数是幂函数由2' 33)(x x =，x x 2)('2=， 2'1)(---=x x 归纳幂函数的导数表达式是怎样的问题3.结合课本p17“基本初等函数导数公式表”书写出这组导数公式并分析特点，这组公式可分为几类如何记忆秀秀你的高招. 问题4. 两个函数和、差、积、商的导数是否等于这两个函数导数的和、差、积、商写出函数求导的四则运算法则并分析这组公式的特点，看看谁记忆地既准又快！问题5.当 ()1≡x f 时，你能否运用商的求导法则确定函数 ()x g x f )(即() x g 1 的导数二、学始于疑---我思考、我收获 1.判断正误：(1))()(])()([x g x f x g x f ''='. (2)c 是常数，则)()]([''x f c x f c ?=? . 2.(1) 若x e x f =)(，则)('x f = . (2) 若 x x f ln )(=，则)('x f = . 3.求下列函数的导数： (1)=++-+='222 3 y e x x x y x （2）x y x lg 2-= ='y

导数的八个求导公式和四则运算求导

体验高考 1.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f′(1)= . 2.(09辽宁文15)若函数 2 () 1 x a f x x + = + 在1 x=处取极值，则 a= . 本题是导数部分的基础,考察的知识点是导数的求值,熟练掌握导数的基本求导公式和四则运算法则是求解这类题目的敲门砖.若单独出题，本部分题目以填空、选择的形式出现, 另外，本部分作为一切导数题的必备基础，贯穿出现在所有的导数题型中。解题基本思路：题1：用换元法求函数解析式——求) ('x f——求)1('f 题2：由题意知：)1('f=0，解a 知识铺垫一、大纲要求能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如) (b ax f+的复合函数）的导数。二、知识点回顾 1基本初等函数的导数公式：

2导数的四则运算法则： 3简单复合函数的求导：函数))((x g f 是复合函数,且)(x f 和)(x g 都可导,则='))((x g f ? 三、典型例题 4.(山东省实验中学2013届高三适应训练)已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 思路分析：先求)1('f ——则)1('2)0('f f = 解：)1('22)('f x x f +=Θ )1('22)1('f f +=∴ 即：2)1('=-f 2)1('-=f 4)1('2)0('-==∴f f 四、方法指导熟练掌握求导公式和四则运算法则，并会灵活运用即可 5、近几年热点

1．(2014·黄石模拟(文))已知x x x f ln )(=，若2)('0=x f ，则=0x ( ) A ．2e B ．e 1 D ．ln 2 2．（2011江西，5分）若x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 训练 1.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知1()cos ,f x x x =则()()2 f f ππ'+= A ．2π - B ．3π C ．1π- D ．3π- 2. (山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文) 函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，2)(/>x f ,则()24f x x >+的解集为 ( ) A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-l) D.(-∞,+∞) 3.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)已知 )1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 4．（山东省潍坊市寿光现代中学2012届高三12月段检测）已知 ()()2f x x 3xf 1'=+为 A.—2 B.—1 5．(山东潍坊诸城一中2012届高三10月阶段测试文）函数cosx x y 2=的导数为

导数四则运算说课稿

导数四则运算（1）加法与减法法则说课稿一、说教材（一）地位和作用 1. 导数的四则运算是本章的导数计算的一部分，是本章的重点，为后面的学习做铺垫。 2. 教材中对于导数计算及计算法则，均从导数定义出发进行相应的推到。导数的加法与减法法则均是通过具体实例的计算，归纳出相应的法则。 3. 通过计算法则的学习，要淡化导数计算的技巧，重视导数运算的意义，重视绘图识图的能力及识别导数的几何意义。（二）说学情分析 1. 学生理解导数的加减法则，掌握求导法则的应用。 2. 学生在已有的知识基础上，借助导数定义，对具体两个函数和的求导结果与两个函数导数的对比，归纳出结论。 3. 学生层次参差不齐，个体差异比较明显。（三）说教学目标 1. 知识与技能：了解两函数的和差求导法则，会用求导公式求含有和、差综合运算的函数的导数；能运用导数几何意义求过曲线上一点的切线。 2. 规程与方法：经历有两个函数和、炸运算法则的求导过程，注意培养学生的归纳、类比能力。 3. 情感、态度价值观：通过本节课的学习，提高学生对导数重要性的认识，体会导数在解决问题中的作用。（四）教学重点：函数和、差导数公式的应用（五）教学难点：函数和、差导数公式的应用（六）教学方法：问题探究、讲练结合二、说教法通过复习基本初等函数导数公式及倒数的定义，推到两个简单函数和的导数，对比结果和两个简单函数导数的关系，归纳出结论。重在学生发现规律，形成结论。通过例题学习，使学生更好的掌握加、减法求导法则，提高求导及应用导数公式的能力。三、说学法 1. 通过已学知识，推出具体两个简单函数和的导数，引出课题，激发学生学习的动机。 2. 通过推到导数的加法减法法则，归纳结论，在例、习题训练中巩固求导公式的应用。 3. 解决与切线和切点有关的问题时，要先根据题目要求画出简图，然后求解。四、说教学过程（一）复习回顾及问题引入 1. ()n x '= ()2x '= x '= 2.导数的定义：()f x '=0lim x y x →=()()0lim x f x x f x x →+-

导数的四则运算法则(教师版有答案)

第1页共11页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )． ③商的求导法则： ???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，特别地：??????1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)．思考：商的导数???? ??f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？

第2页共11页 [提示] 先对f (x )求导，即f′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )． 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1 2x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．] 2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x ) D [y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．] 3．已知函数f (x )＝ln x x ，则f′(1)＝________. 1 [∵f′(x )＝1 x ×x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2，∴f′(1)＝1.] 用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝2x 2＋1x －3x 3； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； (4)y ＝x 3＋lg x . [思路探究] 观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解． [解] (1)∵y ＝2x 2＋x －1－3·x －3， ∴y ′＝4x －x －2－3·(－3)x －4＝4x －1x 2＋9x 4. (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2 . (3)y ′＝(e x cos x ＋sin x )′＝(e x cos x )′ ＋(sin x )′

§4导数的四则运算法则

§4导数的四则运算法则教学目的： 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数． 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= 二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数. 法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=± 法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函

数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 三、讲解范例：例1 求下列函数的导数 (1)y =x 2+sin x (2) 323622 y x x x =--+ (3)2 (23)(32)y x x =+- (两种方法) 例2 求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += (3)tan y x = (4) y = x 1·cos x 四、课堂练习： 1.求下列函数的导数： (1)2cos y x x =+ (2)22ln x y x =- (3)y =232x x + (4)y =x a x a +- (5)y = x cos 11- (6)(21)(3)y x x =-+ 五.课堂小结六、课后作业：

(完整版)导数公式及四则运算

专题一导数公式及四则运算 1、下列结论不正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2、下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 3、已知,若,则的值为( ) A.-6 B.6 C.±6 D.不确定 4、已知函数的导函数为,且满足关系式, 则的值等于( ) A. B. C. D. 5、已知函数,则等于( ) A. B. C. D. 6、若,则的解集为( )

A. B. C. D. 7、函数的导函数是,则; 8、已知,则____________ 9、对任意实数,都有,,那么. 10、函数在处的导数是. 11、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 12、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3.. 13、设,求. 14、求下列函数的导数. 1.; 2.. 15、求下列函数的导数: 1.; 2.; 3..

参考答案 1.答案：B 解析：对于B,,故选项B不正确. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 解析：∵,∴, 令,则,即,∴.故选D. 5.答案：C 解析：∵,∴,应注意的是 ,不要忘记负号,故应选C. 6.答案：A 解析：∵, ∴函数的定义域为,则 ,由,得 ,即 7.答案：解析：首先对原函数,求导得:,所以:,所以答案为:. 8.答案：解析： ∵

∴ 令得: 解得: 故答案为:. 9.答案：解析：由可知,中最高次.结合,可设 ,又∵,∴,∴,∴. 10.答案：解析：, ∴. 11.答案：1. ; 2. ; 3.. 解析：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式,如可以写成,等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 12.答案：1. . 2. ∵.

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