高等数学公式定理整理
高等数学公式定理整理
1.01版
本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式：
两角和差
tan αanα·ta
+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta
-(1tan βa +(tan α=
β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+
和差化积
]
2
β)
-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)
-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]
2β)
-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]
2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α
积化和差
β)]
-cos(α-β)+[cos(α2
1
-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21
=cos αosα·c β)]
-sin(α-β)+[sin(α21
=cos αosα·s β)]
-sin(α+β)+[sin(α21
=sin αinα·c
倍角公式（部分）：很重要！
α
tan -1α
tan 2=
tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2
=
2sin αsinα·=sin2α22222
一、函数 函数的特性： 1.有界性：
假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性
设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1
如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。
4.周期性
设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D 有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x，cos x，它们就是以2π为周期的周期函数。
反函数：
就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：
原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；复合函数和初等函数：
重要！：六个基本初等函数是：幂函数（x a）,指数函数（a x），对数函数（log a x，lg x【log10x】，ln x【log e x】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）
复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。
二、极限与连续
极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x→x0 f（x）=A
如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右
极限相等。 极限运算法则
lim x →x0 [f （x ）±g(x)]=lim x →x0 f （x ）±lim x →x0 g （x ）=A ±B
lim x →x0 [cf （x ）]=clim x →x0 f （x ）=cA
lim x →x0 f （x ）·lim x →x0 g （x ）=lim x →x0 f （x ）·g （x ）=A ·B
)(lim )
(lim
)
()(lim 0
00
x g x x x f x x x g x f x x →→=
→=B
A （
B ≠0）
n 0
0)](lim [)]([lim A x f x x x f x x n n
=→=→ n n n A x f x x n f x x =→=→)(lim
)(lim 0
重要！：两个重要极限 1.夹逼准则
如果x n ，y n ，z n 满足x n ≤y n ≤z n
那么a x n lim z n lim y n lim n n n =∞
→=∞→=∞→这就是夹逼准则。
2.1x
1x
1
sin x lim x sin x 0x lim =∞→→或者
图 1
如图1，∠AOC=x （0 x x x tan 2 1 21sin 21<< 化简x x tan sinx << 两边同时除以sinx 1sin cosx cos sin 1sin tan sin 1<<<<<< x x x x x x x x x 即即 根据夹逼准则得出10 lim sin 0lim cos 0lim =→=→=→x x x x x x 所以 1x sinx 0x lim =→ 3.e x 11x lim e x 10x lim x x 1 =+∞→=+→）（或）（（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可） 4.无穷大量和无穷小量 （1）性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 （2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量 （3）性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。 定理2，b 与a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o （a ） 定理3,设a~a ’,b~b ’，且limb ’/a ’存在，则lima/b=lima ’/b ’。 无穷小量的比较： 高阶无穷小0a b lim =低阶无穷小∞=a b lim 同阶无穷小0a b lim ≠=C 等价无穷小1a b lim = 其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x 趋于0） 等价公式：当x →0时，sinx~x ，tanx~x ， arcsinx~x ， arctanx~x ， 1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1， （a^x ）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)， （e^x ）-1~x ，ln(1+x)~x ，(1+Bx)a-1~aBx ，[(1+x)1/n ]-1~（1/n ）*x ，loga(1+x)~x/lna ，（1+x)a-1~ax(a ≠0)， 5.连续 定义 设函数f （x ）在x 0的某个去心邻域内有定义，若lim （△x →0）△y=0，则称函数f （x ）在x0这个点连续。 条件：（1）f （x0）有定义，有数值；（2）lim （x →x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。 左右连续和左右极限相同，如图： ) ()(x x lim ) ()(x x lim 00x f x f x f x f + -=+ →=- → 就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。 （1）间断点 根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。 可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。 跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。 震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。 无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。 闭区间连续函数的性质： 1、[a,b]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值； 2、函数f （x ）在[a,b]区间连续，则在[a,b]必定有界； 3、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,又A ≠B ，C 是介于A ，B 的一个值，则必定存在一个点ξ，使得f （ξ）=C ； 4、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a ，b ），使得f （x0）=0； 三、导数 导数的几何意义就是f(x)在x 点函数的切线的斜率； 求某一点的导数 00) ()(lim )('x x x f x f x x x f --→= 连续不一定可导，可导一定连续； 导数的求导公式： 1.y=c(c 为常数) y'=0 2.y=x n y'=nx (n-1) 3.y=a x y'=a xlna y=e x y'=e x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos 2 x 8.y=cotx y'=-1/sin 2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x 2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x 2 11.y=arctanx y'=1/1+x 2 12.y=arccotx y'=-1/1+x 2 函数的求导法则： 2)] ([)]()[()()]'([]')()([)]()[()()]'([)]'()([)]'([)]'([)]'()([x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=+=±=± 复合函数求导法则： 链式法则：依次循环dx du ·du dy dx dy = 例： 1 11)(')' 1()(')(+++=+?==x x x e x f x e x f e x f 隐函数求导法： （1）两端同时求导 y x dx dy x dx dy y dx dy y x y dx d x dx d dx d y x dx d y x -=-==+=+=+=+220222525)(25 2 22 222求导 整理 （2）等式两端取对数 1.先将等式两边取自然对数； 2.对等式两边求导； 参数方程求导法： 罗尔定理：[a,b]连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b),则有一个数ξ，使得f ’(ξ)=0。 拉格朗日定理：[a,b]连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点ξ，使得f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a) 即 )ξ(') ()(f a b a f b f =-- 罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如0 0或者∞ ∞的未定 式，可以直接对分子分母求导运算。如果是 0·∞时可通过 ∞=∞=∞·0 1 1·0·0来求。如果是 0-0或∞-∞可以通分来求。 函数的单调性和极值： 四步走：1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减 函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。二阶导为正数则是凹，为负数则是凸； 四、不定积分 不定积分和导数是逆运算关系； 不定积分求法分三种： 直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用一 个字母代替变量，如：c x x xd +-=??2sin 22cos xdx 2cos ）；第二类换元积分法（当 被积函数中有诸如bx ax -这样的根式，可令根式为u ，然后依次往下，带入原式）；分部积分法：?? -=du v uv udv 五、定积分 1.求定积分上限函数和下限函数 分； 符号倒过来变成上限积就是求下限积分时，把下限函数 ）（上限函数 )] '(2[2tdt ' x x 22tdt 1 x 1 x x x ?-=?=?? 2.牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数 c ） 3.广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分） （1）积分区间的无穷区间 即求广义积分的敛散性，如果 ； 所以这个积分是收敛的则是发散；如例题： 可以称为收敛，反之，如果他们极限存在，则1 ]1[][lim e lim e xdx xdx xdx xdx xdx 00 a x a x a a lim lim =+-=-==+=+=--+∞ →∞ +-+∞→∞+-∞ -+∞ →∞ --∞ →+∞ ∞ -+∞ ∞ -? ? ? ? ???x x x x x x x e e dx dx （2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分） 的敛散性；讨论广义积分? -1 12 x 1dx 这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f （0）外连续，在f （0）处无定义∞=→20 1 lim x x ，所以x=0是被积函数的无穷间断点；于是： ；所以，该函数是发散的是偶函数因为函数∞=-=-==+→--+→--+→--???]11[lim ]x 1[lim x 1lim )x 1(x 1x 10x 10x 0120x 2012 1 12εεεdx dx dx 六、微分方程 1.可分离变量的通解，直接计算 2.齐次方程通解，用u 代替x y 3.一阶线性非齐次方程的通解 形如0)(q )()('≠=+x x q y x p y 备注 ])([e y )()(?+??? =-c e x q dx x p dx x p 附：一阶线性齐次方程的通解 c dx x p +? =-)(e y 4.可降解二阶微分方程通解 ，依次计算 ，）令（依次降阶计算，令，要有两个常数连续积分两次，注意，dx du u ''y u 'y ,'y 'y',u''y'u y' x),(y''y'c2c1)(''=======y x y 5.二阶线性齐次方程通解 形如0)(')(''=++y x q y x p y 参数方程求法;r21r 0 )()(2，解一元二次方程组，得 =++x q r x p r 如果r1，r2是不相同的两个实数根（单根），那么 x r x r e C e C y 2121+= 如果r1，r2是两个相同的实数根（重根），那么 rx e x C C )21(y += 如果r1，r2是两个非实数根（共轭复数根），那么 ) sin 2cos 1(bx C bx C e y bi a r ax +=±= 二阶线性非齐次微分方程的通解 二阶线性非齐次方程的通解等于对应二阶线性齐次方程的通解加上二阶线性废非弃次方程的特解 * y Y + =y 二阶线性非齐次方程的特解： 自由项)( f x =的特解 (x P ) n P n*(x)=x k Q(x)eλx Q（x）：看他是多少次的，例如二次就是Ax2+Bx+C，一次就是Ax+B； Λ的数值和参数方程的根r对应，如果只有一个数对应（单根），那么k取1，,如果是重根（两个数都对应，即r1=r2），则k取2；如果没有相同的，则k取1； 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 公式篇 目录 一、 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x→0时) 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n阶导数公式 特别地,若n λ = 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x?很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 () a连续,) a可导 ) (b , [b f在] (x , 罗尔定理 ( 端点值相等) a f f= ) ( (b ) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0 ) x g≠0 ) ('≠ 2.高阶中值定理 () (+ a上有直到)1 n阶导数 ) (x f在) , (b 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 21212 1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ? ??? ????????????? ?? ?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-= = （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ?? 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 高等数学公式定理整理 1.01 版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 cos(a ? cos a ?cos B sin a ?sin B COS (a - [3 ) cos a os a +°s C a in a*s sin( a±3 ) sin a in a ±cos a os a ?s tan( a + 、(tan a +tan 3 a 3) (1-tan a an a ? ta tan( a - | 和差化积 3 ) (tan a -tan 3 an 3tan a an a ? ta a^icosg sin a -sin 3= 2cos[ cos a -cos 3= -2sin[(a + 3)in[( a - 3) 2 2 (a + 2 3)in [号) cos a + cos 3= 2cos[ (a + 2 积化和差 1 ? sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )] 1 cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )] 1 sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )] 倍角公式(部分)：很重要！ sin2 a = 2 2sin a sin a= ? (tan a+ cot ao cos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2a tan2 a= 2ta n a 1-tan2a 、函数 函数的特性： 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C 11．x ?＝22(3215ax b C a - 12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22(23ax b C a - 14． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -+ 15 ． ＝(0)(0)C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b 18 ．x ＝2a x -+? （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+? 高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α 积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1 高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M < 高等数学公式汇总(大 全) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π 高等数学重要定理及公式 作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ? ? ??? ?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：? ? ? ???????==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。 同济高等数学公式大全 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1 lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C 初中数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a ．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a ＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n ＝1 n a，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3- )3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或 高数中的重要定理与公式及其证明(二) 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 6) 定积分比较定理 … b 如果在区间［a,b］上恒有f(x)^O，则有［f(x)dxAO b b 推论：i如果在区间［a,b］上恒有f(x)Ag(x)，则有f f (x)dx A j g(x)dx ; ii设M和m是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值与最小值，则有： b m(b-a)岂 f (x)dx 岂 M (b-a) '■ a 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7) 定积分中值定理 设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则在积分区间［a,b］上至少存在一点?使得下式成立： b a f (x)dx 二 f ( )( b -a) 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。 8) 变上限积分求导定理 x 如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则积分上限的函数 ①(x)=［ f(x)dx 在［a,b ］上 ■■a 可导，并且它的导数是 设函数 F (x) f (t)dt ，则有 F (x) = f (u(x))u (x) - f (v(x))v (x)。 t(x) 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材 9) 牛顿-莱布尼兹公式 b 如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则有f f(x)dx = F(b)-F(a)，其中F(x)是 y a f (x)的原函数。 【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。 10) 费马引理： 设函数f (x)在点x 0的某领域U (x 0)内有定义，并且在x 0处可导，如果对任意的 X U(x °)，有 f(x °) _ f (x)或 f(xj 一 f (x)，那么 f (X 。)=0 【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11) 罗尔定理： 如果函数f(x)满足 (1) 在闭区间［a,b ］上连续； (2) 在开区间(a,b)上可导 (3) 在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b) 那么在(a, b)内至少存在一点 (a 「：：： b)，使得f'( ) = 0。 【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中 值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。 "(X ) dx a f (x)dx 二 f (x),a 乞x 岂b高等数学常用公式大全
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