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FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用_张东波

第27卷 第12期2006年12月仪器仪表学报

Chinese Jo ur nal of Scientific Instr ument

V ol 27N o 12

Dec 2006

FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用*

张东波1,2 王耀南1

1(湖南大学电气与信息工程学院 长沙 410082)

2(湘潭大学信息工程学院 湘潭 411105)

摘要 本文通过结合FCM聚类算法和粗糙集,提出了一种新的图像分割方法。首先,以不同聚类数情况下FCM的分割结果为依据构建属性值表,基于属性构成的不可分辨关系将图像分成多个小区域;然后,通过值约简获得各属性权值并以此为依据,计算各区域之间的差异度,进而通过差异度定义的等价关系,实现各区域相似度评价;最后,通过相似度定义的最终等价关系实现区域合并,完成图像分割。该方法在人工生成图像和大脑CT图像及M R I图像的分割中得到验证,实验结果表明,本文方法和FCM方法相比,可以降低错分率,且对模糊边界区域的分割效果较好。

关键词 FCM聚类 粗糙集 图像分割

中图分类号 T P391.4 文献标识码 A 国家标准学科分类代码 520.6040

Medical image segmentation based on FCM clustering and rough set

Zhang Dongbo1,2 Wang Yaonan1

1(Col lege of Electr ical and I nf o rmation Engineer ing,H unan Univers ity,Chang sha410082,China)

2(I nstitute of I nf or mation E ngineer ing,X iangtan Univer sity,X iangtan411105,China)

Abstract A new image segmentation m ethod is introduced,w hich integrates FCM clustering and r oug h set theory.First,using FCM clustering results w ith different cluster number s,an attr ibute value table is con structed;and the im ag e is divided into m any small regions based on the indiscernibility relations of the at tributes structure.T hen,using'value reductio n',the w eights of the attributes are obtained,and the dissimi larities of the reg ions are calculated.The equivalent relations defined by the dissimilarities are used to ev alu ate the similarities o f the reg io ns.Lastly,the final equiv alent relatio ns based on the similarities are used to implement the com bination of the similar r eg ions and the im ag e segm entation is accomplished.The method w as applied to an artificial generated image,a human brain CT imag e and a M RI imag e.The ex perimental results indicate that,com paring w ith FCM method,the pro posed m ethod decreases the er ror rate o f classifi cation and has better segmentation per for mance fo r v ag ue boundary regions.

Key words FCM cluster ing rough set image segmentation

1 引 言

在以往的图像分割技术中,基于阈值的分割是一种基础性的方法,该方法算法简单,在处理速度上有优势,但不适合于图像中模糊边界区域的分割。对模糊边界区域的分割,通常采用无监督聚类方法,常用的有K均值聚类方法[1]、模糊C均值方法FCM[2]、ISO DA TA方法[3]等。其中FCM方法是一种具有模糊决策能力的聚类算法,它对模糊边界区域的分割非常有效,得到了广泛应用。

最早由波兰数学家Z.Pawlak提出来的粗糙集理

*本文于2005年10月收到,系国家自然科学基金(60375001)、高等学校博士点基金(20030532004)、湖南省教育厅资助科研(05C093)资助项目。

1684

仪 器 仪 表 学 报第27卷论[4],是处理不确定、不完整、不精确知识的有力工具,该

理论已成为不确定性计算领域的一个重要分支。粗糙集

基于不可分辨关系、上下近似、约简等概念将知识颗粒

化,直接模拟了人类的逻辑思维能力,成为人工智能和认

知科学的基础,效的处理技

术。由于图像信息具有较强的复杂性和相关性,处理过

程中经常会遇到不完整性和不确定性问题,因此将粗糙

集理论应用到图像处理中,有时会具有比一般的硬计算

方法更好的性能。目前,粗糙集已经应用于图像增

强[5 6]、图像分割[7 8]、图像滤波[9 10]等,从文献[5 10]中可

以得知,基于粗糙集的图像处理均能获得较好的效果,尽

管如此,粗糙集在图像领域的应用仍处在探索阶段,新的

方法、新的技术仍有待深入研究和探讨。

本文结合FCM聚类算法和粗糙集理论给出一种新

的图像分割方法,用不同FCM聚类数条件下的聚类结果

来构成待处理图像的属性值表,根据不可分辨等价关系,

可以将图像数据分割成多个小的区域,然后通过粗糙集

的值约简概念计算各属性的权重,并以此计算各区域之

间的差异度,通过差异度构成初始等价关系。由基于差

异度的初始等价关系对区域的划分,可以进一步计算各

区域之间的相似度,最终以相似度描述作为最终的等价

关系,实现相似区域的合并,完成最终的图像分割。该方

法在人工生成图像和医疗诊断中的大脑CT图像及M RI

图像的分割中得到应用和验证,获得了良好的分割效果。

2 FC M聚类算法

设有限集X={x1,x2, ,x n}是n个样本组成的集

合,c为预定的类别数,m i(i=1,2, ,c)是每一个聚类的

中心, j(x i)是第i个样本关于第j类的隶属度,聚类准

则函数由隶属函数定义为:

J(M,V)= c j=1 n i=1[ j(x i)]b x i-m j 2(1)

式中: x i-m j 是x i到m j之间的欧氏距离;b是模糊

加权幂指数,是可以控制聚类结果模糊程度的参数;M

是X的模糊C划分矩阵,V是X的聚类中心集合,FCM

聚类算法的结果就是要获得使准则函数达到最小的M

和V。在模糊C均值聚类方法中,要求样本对各个聚类

的隶属度之和为1,即:

c j=1

j

(x i)=1, i=1,2, ,n(2)

在式(2)的条件下求式(1)的极小值,令J(M,V)对m j和 j(x i)偏导数为0,可得极小值的必要条件为:

m j= n i=1[ j(x i)]b x i

n

i=1

[ j(x i)]b

, j=1,2, ,c(3)

j

(x i)=(1/ x i-m j

2)1/(b-1)

c k=1(1/ x i-m k 2)1/(b-1)

,

i=1,2, ,n;j=1,2, ,c(4)

FCM算法可以按照以下迭代步骤完成:

(1)设定聚类数目c和参数b,算法终止阈值 ,迭代

次数t=1,允许最大迭代数为t max;

(2)初始化各个聚类中心m i;

(3)用当前聚类中心根据式(4)计算隶属函数;

(4)用当前隶属函数按式(3)更新各类聚类中心;

(5)选取合适的矩阵范数,如果 V(t+1)-V(t)

或t t max,停止运算;否则,t=t+1,返回步骤(3)。

当算法收敛时,得到各类的聚类中心和各个样本对

于各类的隶属度,完成模糊聚类划分。最后将模糊聚类

结果进行去模糊化,将模糊聚类转变为确定性分类,实现

最终的聚类分割。

3 粗糙集基本理论

3.1 等价关系与粗糙集

粗糙集从模式分类的观点来描述知识,通过不可分

辨的等价关系,将知识空间划分为不同的模式等价类,从

而将知识空间表示为粒状结构。正是因为知识的这种粒

状结构,造成知识表示的粗糙性。令子集X U,R是对

论域U进行划分的一个等价关系,则划分U/R定义为:

定义:划分U/R={X1,X2, ,X n};X i U,X i

X i X j= ; n

i=1

X i=U;其中i j,i,j=1,2, ,n。

3.2 不可分辨关系

若R是一个等价关系,任意的X i U/R称之为R

等价类,其中包含的等价类记作[x]R。论域的所有等价

关系族R={R},构成信息系统K=(U,R)。若P R,且

P ,则 P(P中所有等价关系的交集)也是一个等价

关系,称为P上的不可分辨关系,记为ind(P),且有:

[x]ind(P)=

R P

[x]R(5)

3.3 值约简

粗糙集进行数据分析时,通常会进行属性约简、规则

提取、值约简、决策规则的极小化等一系列处理,由于后

续进行区域差异度计算时要用到值约简的概念,因此有必

要对它做简要的介绍。类似于属性约简(针对全体论域),

对某一对象来说,并非所有的属性都是必要的,因此有值

约简问题,有的文献称为规则约简。对于信息系统K=

(U,R),如R是等价关系族,另有P R,Q P,定义对象

x i的值约简r i:

r i={A i(P)|[x i]p [x i]R,[x i]Q [x i]R}(6)

式中: P R,Q P。

A i(P)是与关系P相关的对象x i的属性值。如某

第12期张东波等:FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用1685

属性是不可约去的,则称该属性对x i是必要的,否则,是

不必要的。

4 基于FC M和粗糙集的图像分割算法

4.1 基于FCM的信息表构造和区域划分

为实现图像分割,首先要构造能进行图像分割的信息

表。通过改变FCM聚类数进行多次聚类计算,不同的聚

类数作为待分割像素的属性,聚类分割结果作为属性值,

可以构造出一个反映图像分割关系的信息表。以全部聚

类属性作为不可分辨等价关系,将数据分割成等价类{z1,

z2, ,z n},每一个基本类z i,表示图像的一个小基本区域。

4.2 基于值约简的属性权值和基本区域差异度计算

信息表中的每一个属性对分类的作用是不一样的,

因此必须考虑到不同属性的重要性,给予不同的权重,以

便进行合理的决策。在对象的值约简处理中,对每一个

对象来说,可能有一个或多个属性是不必要的,而对整个

论域的值约简进行统计,在所有的值约简中,出现频率越

高的属性对分类来说越重要,因此,可以此为基础定义属

性的权值。

若z i(i=1, ,n)是分割出来的图像基本区域,a k是

第k个属性,v i是区域z i的值约简,v i(a k)是属性a k关

于值约简v i的取值,l是所有基本区域的值约简数,则属

性w k的权值定义如下:

w k=1-

z

i

v i(a k)

l

(7)

式中:v i(a k)=1,如果a k是v i中必要的

0,如果a k是v i中不必要的

在获得各属性的权值后,基本区域间的差异度定义如下:

d(z i,z j)= m k=1(w k k ij)(8)

式中: k ij=0,如果a k(z i)=a k(z j) 1,如果a k(z i) a k(z j)

a k(z i)是基本区域z i的属性a k取值,根据定义,差异度满足d(z i,z j)=d(z j,z i),d(z i,z i)=0。

4.3 基于差异度的初始等价关系及相似域划分

设定一个差异度指数 d,可以定义基于差异度的初始等价关系{R i},i=1, ,n,将论域划分为相似域[z i]R

i 和非相似域[z i]R i:

U/R i={[z i]R i,[z i]R i},i=1, ,n(9)

式中:

[z i]R i={z j|d(z i,z j) d}

[z i]R i={z j|d(z i,z j)> d},j=1, ,n

(10)

4.4 基于相似度的最终等价关系及分割

最终为实现图像的分割,必须对基本区域的相似性进行度量,设相似性指数为 s,从而构造如下的最终等价关系{r i},i=1, ,n,将论域进行如下的划分:

U/r i={{z j|s(z i,z j) s},{z j|s(z i,z j)< s}},

i,j=1, ,n(11)式中:[z i]r i={z j|s(z i,z j) s},s(z i,z j)是基本区域z i 和z j之间的相似度,定义如下:

s(z i,z j)=

n

k=1

in k(z i,z j)

n,i j

1, i=j

(12)式中:i n k(z i,z j)=

1,z i [z i]r k且z j [z i]r k

0,否则

,相似度满足s(z i,z j)=s(z j,z i),s(z i,z i)=1。

在确定最终等价关系并进行区域划分后,以全部等价关系{r i},i=1, ,n构成不可分辨关系ind(r),定义如下:

[z]ind(r)=

r

i

r

[z]r i(13)通过最终的不可分辨关系,实现最后的图像分割。

5 图像分割实验

为验证方法的有效性,本文选择了

FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用_张东波

1幅人工生成图像及2幅大脑医疗图像(一为CT图像,一为M RI图像)进行实验。

5.1 人工生成图像分割

图1(a)是88 88的原图像,对原图像采用5 5窗口,进行60次平滑操作,得到图1(b);图1(c)是采用FCM聚类算法,聚类数为4时的分割结果;图1(d)是本文方法分割结果。

在采用本文方法对人工图像进行分割时,为对上述算法有一个更清晰的认识,对各步骤做了简要阐述。

图1 人工生成图像分割实验

5.1.1 基于FCM的信息表构造和区域划分

分别取聚类数K=2,3,4(分别对应属性a1、a2、a3)

1686

仪 器 仪 表 学 报第27卷对图1(b)进行聚类分割,以相应的分割结果作为属性值

(其中,a1={1,2}、a2={1,2,3}、a3={1,2,3,4})构造属

性值表,根据全部属性定义的等价关系进行划分,可以得

到信息表,列于表1。其中,每一个对象代表一个基本

区域。

表1 信息表

对象像素数

属性

a1(K=2)a2(K=3)a3(K=4)

z11617112

z22336131

z3332132

z4151212

z5972213

z6592223

z71744224

5.1.2 值约简、属性权值、区域差异度计算

根据式(6)值约简的定义,计算值约简,并根据权值的定义式(7)计算各属性的权值,列于表2。

表2 值约简表及权值

对象区域

属性

a1a2a3

z111*

z2**1

z3*32

z42*2

z5*13

z6*23

z7**4

权值0.7140.4290.143

注: * 表示可约的不必要的属性。

根据差异度定义,得到各基本区域之间的差异度矩阵d ij,i,j=1, ,7,根据定义d ij是一个对角元素全为0的对称矩阵。

d ij=00.5710.4290.7140.8571.2861.286 0.57100.1431.2861.2861.2861.286 0.5711.2861.14300.1430.5710.571

0.8571.2861.2860.5710.42900.143

1.2861.2861.2860.5710.5710.1430

5.1.3 基于区域差异度的区域划分

取差异度指数,根据差异度定义的初始等价关系,将基本区域做如下相似域和非相似域的划分:

U/R1={{z1,z2,z3,z4,z5},{z6,z7}}

U/R2={{z1,z2,z3},{z4,z5,z6,z7}}

U/R3={{z1,z2,z3},{z4,z5,z6,z7}}

U/R4={{z1,z4,z5,z6,z7},{z2,z3}}

U/R5={{z1,z4,z5,z6,z7},{z2,z3}}

U/R6={{z4,z5,z6,z7},{z1,z2,z3}}

U/R7={{z4,z5,z6,z7},{z1,z2,z3}}

5.1.4 基于相似度的最终等价关系及分割

根据相似度定义及基于差异度的初始等价关系对基本区域的划分情况,可以计算反映各区域之间相似性的矩阵s ij,i,j=1, ,7,s ij是一个对角元素全为1的对称矩阵。

s ij=

10.4290.4290.4290.4290.4290.286

0.42910.4290.1430.14300

0.4290.42910.1430.14300

0.4290.1430.14310.7140.5710.571

0.4290.1430.1430.71410.5710.571

0.286000.5710.57110.571

0.286000.5710.5710.5711

取相似度指数 s=0.429,根据相似度定义的最终等价关系,做如下的区域划分:

U/r1={{z1,z2,z3,z4,z5},{z6,z7}}

U/r2={{z1,z2,z3},{z4,z5,z6,z7}}

U/r3={{z1,z2,z3},{z4,z5,z6,z7}}

U/r4={{z1,z4,z5,z6,z7},{z2,z3}}

U/r5={{z1,z4,z5,z6,z7},{z2,z3}}

U/r6={{z4,z5,z6,z7},{z1,z2,z3}}

U/r7={{z4,z5,z6,z7},{z1,z2,z3}}

最后由式(13)实现基本区域的合并完成图像分割,总共分割为4类,结果如下:

C1={z1},C2={z2,z3},C3={z4,z5},C4={z6,z7}。

图像分割结果如图1(d)所示,与具有同等聚类数的FCM方法对图像的分割结果进行比较,显然,本文方法对边界域的分割更细致。

5.2 CT图像分割

CT图像具有较高的密度分辨率,通过由黑到白不同的灰度等级来表示成像区的组织密度,偏黑色区域表示低吸收区,即低密度区,如软组织;白色区域表示高吸收区,即高密度区,如骨骼,因此其对骨骼和软组织有较强的分辨能力。大脑CT图像在临床上,经常用于颅脑放射治疗、颅脑手术的医疗诊断。

图2(a)是大脑CT图像,整个图像大致分3类:背景、骨骼、软组织。图2(b)是FCM算法分割结果,部分软组织区域被错分为背景,见图中白色方框区域。取属性a1(K=2)、a2(K=3)建立信息表,取 d=0.857、 s= 0.286,使用本文算法的分割结果如图2(c)所示。FCM 算法中被错分的软组织得到了准确的分割,骨骼、软组织、背景的划分很清晰。

5.3 MRI图像分割

MRI成像主要是利用人体中最多的氢质子在磁场中产生的共振效应,通过计算机处理后得到图像。M RI 图像的优势在于对软组织有较高的对比分辨率,有利于

第12期张东波等:FCM 聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用1687

FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用_张东波

图2 大脑CT 图像分割实验

区分各种软组织和对病变组织进行定位,因此在医疗诊

断中得到广泛应用。

图3(a)是大脑M RI 图像,整个图像大致分5大类:背景、头骨、灰质、白质、其他组织。其中,大脑内白质和灰质的区分对病变组织的定位非常重要,图3(b)是FCM 算法分割结果,关键区域即灰质和白质的分割不清晰,白质被分割成多个非连续的区域,而采用本文算法,白质可以被分割成一个连通的整体区域,使得白质和灰质有较为清晰的分割边界。分割结果如图3(c)所示。其中建立信息表的属性有a 1(k =2)、a 2(K =3)、a 3(K =4)、a 4(K =5),阈值指数 d =2、 s =0.375

FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用_张东波

图3 大脑M R I 图像分割实验

6 结 论

FCM聚类算法和粗糙集在医疗图像分割中的应用_张东波

本文以FCM 分割算法为基础,结合粗糙集理论介绍了一种新的图像分割方法,该方法在人工生成图像、大脑CT 图像及MRI 图像的分割中得到应用和验证,具有良好的分割效果。与FCM 方法相比,该法可以降低错分

率,对模糊边界区域的分割效果较好。

由于图像信息具有较为复杂的空间相关性和不确定性,而粗糙集理论处理不确定性信息的独特方式、相关信息提取能力,以及和其他智能方法的易融合性使得粗糙集在图像处理领域具有良好的应用前景,但目前这方面的研究成果还很少。因此,有必要对粗糙集在图像处理领域的应用进行积极的理论研究和探寻新的方法。 参考文献

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作者简介

张东波,男,1973年出生,博士研究生,讲师,主要研究方向为粗糙集、图像处理和模式识别等。

E mail:zhadonbo@y aho o.co m.cn

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