曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分
内容要点
一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1 设α，β为常数，则
???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；
性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则
.),(),(),(2
1
2
1
???+=+L L L
L ds y x f ds y x f ds y x f
注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.
性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则
ds y x g ds y x f L
L
??≤),(),(
性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使
s f ds y x f L
?=?),(),(ηξ
其中s 是曲线L 的长度.
三、第一类曲线积分的计算：)(),
(),
(βα≤≤??
?==t t y y t x x
dt t y t x t y t x f ds y x f L
)()(])(),([),(22'+'=??β
α
如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则
dx x y x y x f ds y x f b
a L )(1])(,[),(2'+=??
如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则
dy y x y y x f ds y x f d
c
L )(1]),([),(2'+=??
如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则
θθθθθβ
αd r r r r f ds y x f L
)()()sin ,cos (),(22'+=??
例5（E03）计算
,||?
L
ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的
弧.
解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2
2θa r =
用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22
r
a r a r r θ
θ-
='-='
.2sin 2
2
242
2
2
θθθθd r a d r
a r d r r ds =+='+= 所以 .)22(2sin 4sin 4||2402402
a d a d r
a r ds y L -==?
=???π
πθθθθ 内容要点
一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力
j y x Q i y x P y x F ρ
ρρ),(),(),(+=
的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F ρ
所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：j y x Q i y x P y x A ρ
ρ?),(),(),(+=
??+=?L
L
ds Q P ds t A )cos cos (βα??
平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是
?+L dy y x Q dx y x P ),(),(??+=L L dy y x Q dx y x P ),(),(
性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则
??+-=+-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(；
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则
???+++=+2
1
L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .
三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =
?+L dy y x Q dx y x P ),(),(?'+'=β
α
dt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{.
如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则
.)}()](,[)](,[{??'+=+b
a L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx
如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则
.]}),([)(]),([{??+'=+d
c
L
dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx
内容要点
一、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
???+=????
?
???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
若在格林公式中，令,,x Q y P =-= 得
???-=L
D
ydx xdy dxdy 2，
上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 .21
?-=
L
ydx xdy A 二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分?+L
Qdy Pdx 在D 内与路径无关；
（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分； （3）
x
Q
y P ??=
??在D 内恒成立； （4）对D 内任一闭曲线L ，0=+?L
Qdy Pdx .
由定理的证明过程可见，若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数
?
+=),()
,(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u
满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.
C dy y x P dx y x P y x u y
y x
x ++=??00
),(),(),(0
或 C dy y x P dx y x P y x u y
y x
x ++=??0
),(),(),(0
例4 计算
,2
dxdy e D
y ??
- 其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形闭区域.
解 令,0=P ,2
y xe Q -=则 y
P
x Q ??-
??.2y e -= 应用格林公式,得
dxdy e D
y ??
-2
?
++-=
BO
AB OA y dy xe 2
?
-=
OA
dy xe y 2
?
-=
1
02dx xe x ).1(2
1
1--=e 例5（E03）计算
,2
2?+-L y x ydx xdy 其中L 为一条无重点)
1(, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.
解 记L 所围成的闭区域为,D 令,22y x y P +-=
,2
2y
x x
Q += 则当02
2
≠+y x 时，有 x Q
??22222)
(y x x y +-=.y P ??=
(1) 当D ?)0,0(时，由格林公式知
;02
2=+-?
L y x ydx
xdy
(2) 当D ∈)0,0(时，作位于D 内圆周
,:222r y x l =+记1D 由L 和l 所围成,应用格林公式，得
?
?
=+--+-L l y x ydx
xdy y x ydx xdy .02
222
故?+-L y x ydx xdy 2
2?
+-=
l y x ydx
xdy 2
2?
+=
π
θθ
θ20
2
2222sin cos d r
r r ?
=π
θ20
d .2π=
例6（E04）求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成图形的面积A . 解 所求面积
A ?
-=
L ydx xdy 2
1?
+=π
θθθ20
2
2
)sin cos (2
1
d ab ab ?
=π
θ20
2
1
d ab
.ab π=
例7 计算抛物线)0()(2
>=+a ax y x 与x 轴所围成的面积. 解 ONA 为直线.0=y 曲线AMO 为 ,x ax y -=].,0[a x ∈ ∴A ?-=
AMO
ydx xdy 21?
?
-+
-=
AMO
ONA
ydx xdy ydx xdy 2
121
?
-=AMO
ydx xdy 2
1?
--???
?
??-=
)(122
1a dx x ax dx ax a x ?
=a
dx x a
4
.6
12a =
例10（E06）计算
,)
8,6()
0,1(2
2
?
++y
x ydy xdx 积分沿不通过坐标原点的路径.
解 显然,当)0,0(),(≠y x 时， 2
2y x ydy xdx ++,22y x d +=
于是
?
++)
8,6()
0,1(2
2
y
x ydy xdx ?
+=
)
8,6()
0,1(22y x d )8,6()
0,1(2
2y x +=.9=
例 12 验证: 在整个xOy 面内, ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证2 利用原函数法求全微分函数).,(y x u 由2xy y u =??
),(2
222
y y x dx xy u ?+==?
其中)(y ?是y 的待定函数.由此得
).(2y y x y
u
?'+=?? 又u 必须满足 y x
y
u
2=??y x y y x 22)('=+? 0)('=y ? ,)(C y =? 所求函数为.2/22C y x u +=
例13（E07）设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有
,),(2),(2)
,1()
0,0()
1,()
0,0(?
?
+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx
求).,(y x Q
解 由曲线积分与路径无关的条件知
,2x x
Q
=?? 于是),(),(2y C x y x Q +=其中)(y C 为待定函数.
dy y x Q xydx t ),(2)
1,()0,0(+??+=1
02))((dy y C t ,)(1
02?+
=dy y C t
dy y x Q xydx t ),(2)
,1()0,0(+?
?
+=
t
dy y C 0
))(1(,)(0
?+
=t dy y C t
由题意可知?+
1
2)(dy y C t .)(0
?+=t
dy y C t
两边对t 求导,得
)(12t C t +=或.12)(-=t t C 所以.12),(2-+=y x y x Q
例14（E08）设曲线积分?+L
dy x y dx xy )(2?与路径无关, 其中?具有连续的导数, 且
,0)0(=?计算.)()
1,1()
0,0(2?
+dy x y dx xy ?
解 ),(y x P ,2xy =),(y x Q ),(x y ?= y P ??)(2xy y ??=,2xy =x Q ??)]([x y x
???=).('x y ?= 因积分与路径无关散,
x
Q
y P ??=?? 由xy x y 2)('=?.)(2C x x +=?
由,0)0(=?知0=C .)(2x x =?
故
?
+)
1,1()
0,0(2
)(dy x y dx xy ??
?
+
=
1
01
0ydy dx .2
1= 例15 选取b a ,使表达式
dy e y x be dx ae e y x y
x
y
y
])1([])1[(++-++++
为某一函数的全微分, 并求出这个函数.
解 y P ??])1[(y y ae e y x y +++??=,y y ae e +=x Q ??])1([y x e y x be x ++-??
=,y x e be -=
若表达式全微分式,则,x
Q
y P ??=??即 .y x y x e be ae e -=+
得,1-=a .1=b ),(y x u +
-+++=
?
x
x dx e e x 0
0])1()10[(?
+++-y
y x C dy e y x e 0
])1([
C dy e y x e dx e x y
y y x
x +++-+
-+=
?
?
])1([]1)1[(
C ye xe y e x xe y
y y x x x +--+-=00][][
.))((C e e y x y x +-+=
例16（E09）求方程0)3()3(2
323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解 ,6x
Q
xy y P ??=-=??原方程是全微分方程, ?
?
+
-=
y
x
dy y dx xy x y x u 0
3
2
3)3(),(,4
2344
224y y x x +-=
原方程的通解为
.4
2344
224C y y x x =+- 例19求微分方程0)1(222=---+dy y x dx y x x 的通解.
解 将题设方程改写为
,02222=---+dy y x dx y x x xdx 即,0)()(2222=---+dy y x x d y x x d 将方程左端重新组合,有
,0)()(222=--+y x d y x x d
故题设方程的通解为 .)(3
2
2/322C y x x =-+
内容要点
一、 第一类曲面积分的概念与性质
定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积
),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=??ζηξ
并作和,),,(1
∑=??n
i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,
则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
∑??=→∑
?=n
i i i i i S f dS z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξλ 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法
.),(),(1)]
,(,,[),,(22????++=∑
xy
D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f
例4计算
,dS xyz ??∑
其中∑
为抛物面).10(2
2≤≤+=z y x z
解 根据抛物面2
2
y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有
dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ??????'+++=∑=∑2
222)2()2(1)(441
????+=+?=20
1
251
2
2
2
20
412sin 241sin cos 4π
π
dr r r tdt rdr r r
t t r dt
.420151254141512
-=??
? ??-=?du u u 例5 计算
,??∑
xdS 其中∑
是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间
立体的表面.
解
，
＝????
??
??∑+
∑+
∑∑
3
2
1
∑∑
1
2
，在xOy 面上得投影域.1:2
2
≤+y x D xy
于是
????∑==1
,0xy
D xdxdy xdS ??
??∑=+=
2
,011xy
D dxdy x
xdS
将
)1:,(31
32
2
3
∑∑
∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域 .10,11:+≤≤≤≤-x y x D xy
dxdz y y x xdS xdS xdS zx D z x ????????++=∑+∑=∑2
21232
313
,121122
112
22π=-=-+=?
???+-x D dz x x
dxdz x x x xz
所以
.00ππ=++=∑
??xdS
例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球
自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).
解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面
∑
是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.
∑
的方程为
,222y x R z --=
它在xOy 面上的投影区域
.sin :2222αR y x D xy ≤+
于是通讯卫星的覆盖面积为
).cos 1(22απ-=R A
将h R R +=
αcos 代入上式得 .2122
2h R h R h R R R A +?=?
?
? ??+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
%.5.4242
≈R
A
π 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.
内容要点
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量
,cos cos cos k j i n ρρρρ
γβα++= 又设
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρ
ρ?),,(),,(),,(),,(++=
其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数
γβαcos cos cos R Q P n v ++=??
? 则∑上的第一类曲面积分
??∑
?dS n v ?
?.)cos cos cos (??∑
++=dS R Q P γβα
称为函数),,(z y x A ?
在有向曲面∑上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.
????±=∑
yz
D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(.
上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.
内容要点
一、高斯公式
定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式
?????∑
Ω++=???? ????+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. 式称为高斯公式.
若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为
.)cos cos cos (?????∑
Ω++=???? ????+??+??dS R Q P dv z R y Q x P γβα
二、通量与散度
一般地，设有向量场
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρ
ρρ),,(),,(),,(),,(++=,
其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορ
n 是曲面∑的单位法
向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分
??????∑
∑
∑
++=?=?=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρ
ρρρρο
称为向量场A ρ
通过曲面∑流向指定侧的通量. 而
z
R
y Q x P ??+
??+?? 称为向量场A ρ的散度，记为A div ?
，即
z
R y Q x P A div ??+??+??=?.
例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则
????????Ω∑
Ω
???? ?
?????+????+????-??=?dV z v z u y v y u x v x u dS n u
v
udV v
其中
n
u
??为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号22
2222z
y x ??+??+??=?称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.
证 因为
=
??n u γβαcos cos cos z u y u x
u
??+??+??n u ρ??=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是
??
??
??
∑
∑
∑
??=
??=??dS n u v dS n u v dS n
u v
)[()(ρρ
dS z u v y u v x u v ??
∑
?????????
????+???? ????+??? ????=
γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ???
Ω
???
?????? ??????+???? ??????+??? ??????=
.dv z v z u y v y u x v x u udv v ???
???
Ω
Ω
?
????
????+????+????+
?=
将上式右端移至左端即得所要证明的等式.
例5（E05）求向量场k z j y i x r ρρρρ++=的流量
(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ??
+
?=
S S d r ρ
ρ???
=
V
dv r div ρ
???=V
dv 3
.3
h π=
(1)
穿过底面向上的流量
1Q ??
+
?=S S d r ρ
ρ??
=≤+=
h
z z y x zdxdy 2
22??≤+=2
22z y x hdxdy .3
h π=
(2)
穿过侧表面向外的流量
2Q 1Q Q -=.0=
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ?
???-????∑.?++=L
Rdz Qdy Pdx
公式称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
???
Γ∑
++=??
????Rdz Qdy Pdx R
Q P z
y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
.cos cos cos ???
Γ∑
++=??
????
Rdz Qdy Pdx dS R
Q
P
z
y x γβα
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度 设向量场
,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρ
ρρ++= 则沿场A ρ
中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
?++=ΓC
Rdz Qdy Pdx
称为向量场A ρ
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
?
??
?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,
称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ
，即
.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
R
Q P z y x k j i A rot ??????=
ρρ
ρρ.
四、向量微分算子：,k z
j y i x ρρρ??+??+??=
? 例 2 计算曲线积分
,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-?
Γ
其中Γ是平面
2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看
法，取逆时针方向.
解 取
∑
为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}
3,1,1{=n ρ
即
,31cos cos cos ===λβα
原式dS y x x y z y z y x z
??
∑
---??
????=
2
222223
13131
??∑++-
=dS z y x )(34
.293322334
-=-=∑?
-
=????xy
D dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222?Γ
+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是
).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x
此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.
解 由斯托克斯公式，有 原式??∑
-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2
γβα
dS R z y x R y x z R x z y ??∑?????
?-+-+??? ??--=
)()(1)( ??∑-=dS y z )(2(利用对称性)????∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑
=
??
??≤+ 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ?
??
?????????=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=
div(gradu)?
??
????-?+??+??=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=
rot(gradu).,,222222?
??
??????-??????-??????-???=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故
rot(gradu).0=
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ?
=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ?
的势函数.
例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ????
ωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一
点M 的线速度v ?
的旋度.
解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρ
OM =,k z j y i x ρρρ++=
则点M 的线速度
v ρr ρ
ρ?=ωz
y
x k
j
i z y
x ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρ
ρωωωωωω-+-+-=
于是v ρrot x y z x y z z y x k
j i y x x z z y ωωωωωω---??
????=ρρ
ρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=
即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ
的 2 倍.
内容要点
点函数积分的概念 点函数积分的性质
点函数积分的分类及其关系
一、点函数积分的概念
定义1 设Ω为有界闭区域, 函数))((Ω∈=P P f u 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域,,,,21n ?Ω?Ω?ΩΛ其中i ?Ω表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在i ?Ω上任取一点i P , 作乘积
),,2,1()(n i P f i i Λ=?Ω
并作和
∑=?Ω
n
i i
i
P f 1
)(
如果当各子闭区域i ?Ω的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数)(P f 在Ω上的积分, 记为
?Ω
Ωd P f )(, 即
.)(lim )(1
∑?=→Ω
?Ω=Ωn
i i
i
P f d P f λ
其中Ω称为积分区域, )(P f 称为被积函数, P 称为积分变量, Ωd P f )(称为被积表达式,
Ωd 称为Ω的度量微元.
点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为),)((Ω∈=P P f ρ则该物体的质量
)0)((,
)(≥Ω=?Ω
P f d P f M
特别地, 当1)(≡P f 时, 有
).(lim 1
度量Ω=?Ω=Ω∑?=→Ω
n
i i
d λ
如果点函数)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则)(P f 在Ω上可积.
二、点函数积分的性质
设)(),(P g P f 在有界闭区域Ω上都可积, 则有 性质1 .)()()]()([???Ω
Ω
Ω
Ω±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f
性质2 )()()(为常数k d P f k d P kf ??ΩΩ
Ω
=Ω
性质3
,)()()(2
1
???ΩΩΩ
Ω+Ω=Ωd P f d P f d P f
其中,21Ω=ΩΩY 且1Ω与2Ω无公共内点. 性质4 若,,0)(Ω∈≥P P f 则
.0)(≥Ω?Ω
d P f
性质5 若,),()(Ω∈≤P P g P f 则
.)()(??Ω
Ω
Ω≤Ωd P g d P f
特别地, 有
.|)(|)(??Ω
Ω
Ω≤Ωd P f d P f
性质6 若)(P f 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则
.)(Ω≤Ω≤Ω?Ω
M d P f m
性质7 (中值定理)若)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点,*
Ω∈P 使得
.)()(*Ω=Ω?
Ω
P f d P f
其中Ω
Ω
=
?Ω
d P f P f )()(*称为函数)(P f 在Ω上的平均值.
三、点函数积分的分类及其关系
1.若,],[R b a ?=Ω这时],,[),()(b a x x f P f ∈=则
.)()(?
?=ΩΩ
b
a
dx x f d P f (1)
这是一元函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分. 当1)(=x f 时,
a b dx b
a
-=?
是区间长.
2.右,2
R L ?=Ω且L 是一平面曲线, 这时,),(),,()(L y x y x f P f ∈=于是
?
?=ΩΩ
L
ds y x f d P f ),()( (2)
当1)(≡P f 时,
s ds L =?是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.
3.若,3
R ?Γ=Ω且Γ是空间曲线, 这时,),,(),,,()(Γ∈=z y x z y x f P f 则
.),,()(?
?Γ
Ω
=Ωds z y x f d P f (3)
当1)(≡P f 时,
s ds =?Γ是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明
??
Γ
ds z y x f ds y x f L
),,(,),(可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.
4.若,2
R D ?=Ω且D 是平面区域, 这时,),(),,()(D y x y x f P f ∈= 则
???=ΩΩ
D
d y x f d P f σ),()( (4)
(4)式称为二重积分. 当1),(=y x f 时,
σσ=??D
d 是平面区域D 的面积.
5.若,3
R ?∑=Ω且∑是空间曲面, 这时,),,(),,,()(∑∈=z y x z y x f P f 则
???∑
Ω
=ΩdS z y x f d P f ),,()( (5)
(5)式称为第一类曲面积分. 当1)(≡P f 时,
S dS =??∑
是空间曲面∑的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.
6.若3
R ?Ω为空间立体, 这时,),,(),,,()(Ω∈=z y x z y x f P f 则
.),,()(????Ω
Ω
=Ωdv z y x f d P f (5)
(6)式称为三重积分. 当1)(≡P f , 则
V dv =???Ω
是空间立体Ω的体积.
更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.
第一型曲面积分.
例5? 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z* 炉,z"}, 。2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff = 4fJf xdv a \ 口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加 2 n 2 解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工? n. ?2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv □ 门2 3.含绝对值函数的二重积分的计算 例1计算血-兀2|db ?其中6-1 W0"" 解 先去掉绝对值符号，如图 川y_p|db D =jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2 )da Di 4-D J D 、 訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*? (B) |JJ ydv = 4jjj ydv
4、交换积分次序的方法 1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交 换积分次序， y \ /歹=x V D： O^x 第一型曲线积分与曲面积分的一些问题 第1型曲线积分与曲面积分的1些问 题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。 Some questions about curve integral and surface integral of the first kind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry 第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的 第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=?? ).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1 第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. 第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对 第8章 曲线积分与曲面积分 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分 概念与形式 恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则?+ += L Qdy Pdx W 。 平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质??- +=L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ?L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10 ? '+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 ~ 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价 （1）? +C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2） ?+L Qdy Pdx 积分与路径无关 （3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |==+??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分 , （1） 计算? -=L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上 设t x cos =，t y sin = ?? -= +=-0 2 222 )sin (cos 1 ππ dt t t ydx xdy L 于2L 上 设t x cos =，t y sin 2= ?? =?+?=-20 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上 以x 为参数，xdx dy 2-= 第二类曲面积分的计算 方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过 程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知 识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在 求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种 方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分， 并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重 积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第 二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在， 或者 龙源期刊网 https://www.docsj.com/doc/167909865.html, 第二型曲面积分的计算方法 作者：周三章赵大方 来源：《科教导刊》2014年第24期 摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。 关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法 中图分类号：O172.2 文献标识码：A Methods of Computing the Second Surface Integral ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2] （[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002； [2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002） Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example. Key words the second surface integral； Gauss formula； projection 高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。本文以几例具体来说明以上两种 计算方法。 1 利用高斯公式转化为三重积分计算 引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有 （ + + ） = + + ， 或 第二类曲线积分的计 算 第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是 弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方 向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等 于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的 极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 y x y P x Q y y x Q x y x P D C d d )( d ),(d ),(??-??=+??? 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件 y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-? y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(2 2 =-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(2 2=-+-y x 所围圆面积D 为：π?2 1，由格林公式得： ?? ?+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分? +l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有 y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?' l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分 0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=??? ),(,。 所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．? +C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ． ?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 33 2 解：因为选项A 中， 23323)(,3)3(x x x x Q x y yx y P =??=??=??=??，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0 第二类曲线积分的计算 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中， 必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二 型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌 握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题 型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说 明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第 一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系， 让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的 应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则 若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义 第二类曲线积分典型例 题解析 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=???),(,。 所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．?+C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 332 第一型曲面积分 简化计算 1．2222:(0)S x y z R R ++=>，则 （1）S xdS =òò （2 ）S = （3） 2S x dS =òò 利用二重积分计算 1．（BHP272）计算2()S I ax by cz d dS = +++òò，其中2222:(0)S x y z R R ++=> 2．设22 2:122 x y S z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ?，P 为S 在点P 处的切平面， (,,)x y z r 为点(0,0,0)O 到平面P 的距离，求(,,)S z I dS x y z r =òò。 第二型曲面积分 （一）积分曲面不封闭 方法一：直接化为二重积分 方法二：化为对面积的曲面积分（积分曲面为平面） 方法三：添加曲面使之封闭,用高斯公式 1．计算[(,,)][2(,,)][(,,)]S I f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy =+++++òò,其中f 为连续函数， S 为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧。 2．计算332223(1)S I x dydz y dzdx z dxdy =++-òò,其中S 是曲面221(0)z x y z =--3的上侧。[]p - (二)曲面积分封闭 方法一:直接化为二重积分计算(不能用高斯公式时) 方法二:借助高斯公式化为三重积分(注意高斯公式的条件) 1．[BHP275] 计算z S I = ，其中S 为锥面z =与平面1,2z z ==所围立体表面外侧。 2．计算32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++= ++òòò，其中S 为不穿过坐标原点的光滑闭曲面，方向取外侧。 练习： 计算:32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++= ++òòò，222:224S x y z ++=取外侧。 万方数据 万方数据 第二类曲面积分的五种求法 作者：吴燕 作者单位：东南大学,吴健雄学院,江苏,南京,210018 刊名： 考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)：2009，""(33) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.严子谦数学分析 2004 2.同济大学数学教研室高等数学 2001 相似文献(6条) 1.期刊论文甘泉第二型曲面积分的参数形式计算 -高等数学研究2010,13(1) 给出"第二型曲面积分"的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域上的一个二重积分,由此可使"第二型曲面积分"的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨<微积分学教程>所给"第二型曲面积分的参数形式计算"的一个改进. 2.期刊论文陈定元.王业庆.CHEN Ding-yuan.WANG Ye-qing一种有效计算第二型曲面积分的方法-安庆师范学院学报(自然科学版)2008,14(1) 第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点.利用二重积分和高斯公式计算第二型曲面积分不是很方便,借助第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系,得出了一种有效计算第二型曲面积分的方法:向量形式计算法,该方法避免了传统计算方法对曲面侧面的判定和高斯公式条件的限定,物理意义明确,计算过程简单. 3.学位论文邓乐斌黎曼积分中的问题和反例2007 20世纪初期，勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的．在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程一常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。 本文主要分析探究了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出现的错误，总结了正确解决这些问题所需要注意的问题，事实证明正确理解Riemann积分的相关概念和性质是关键。 本文具体由以下六章构成： 第一章介绍了相关背景和本文选题的动机和意义。 第二章述叙了不定积分、定积分、第二型曲面积分的有关定义、性质和计算方法。 第三章给出了现行的高等数学教材中出现的不定积分中的常见错误。 第四章总结了定积分证明或计算中出现的常见错误。 第五章分析了第二型曲面积分计算中的错误以及应该注意的问题。 第六章对Riemann积分中容易出现的错误进行了小结，并指出正确理解Riemann积分的概念是正确解题的基础。 4.期刊论文杨孝先.殷保群计算第二型曲面积分的实例分析-高等数学研究2001,4(1) 今以同济大学数学教研室编<高等数学>(第四版)下册,总习题十的第3题第(4)小题为例,介绍几种计算曲面积分的方法,并简单地给出了该小题的正确解答. 5.期刊论文尹水仿关于对称性在积分计算中的应用补遗-高等数学研究2002,5(1) <高等数学研究>杂志第4卷第1期介绍了对称性在二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分计算中的应用,其方法可参见该期杂志P24-27.除以上应用外,本文还要介绍对称性在第二型曲线积分和第二型曲面积分计算中的应用. 6.期刊论文梁存利高数考研中有关曲面积分问题的求解方法-考试周刊2009,""(46) 最近几年考研高等数学试题中所出现的有关曲面积分的问题主要有第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算,以及有关性质的考查.本文以考研高等数学试题为例探讨了曲面积分问题的主要的求解方法,即利用公式转化为二重积分的方法、利用对称性求曲面积分的方法、高斯公式法,以及利用两种曲面间的关系法等. 本文链接：https://www.docsj.com/doc/167909865.html,/Periodical_kszk200933061.aspx 授权使用：铁道学院(tdxy)，授权号：5e3ab8ec-76cb-4f51-a35f-9da5014bbc6f，下载时间：2010年6月30日第一型曲线积分与曲面积分的一些问题
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