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第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第二类曲线积分的计算

作者:钟家伟 指导老师:张伟伟

摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词:第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言

本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。 第二类曲线积分的概念

介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 第二类曲线积分的计算方法

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 第二类曲线积分的物理学背景

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功

一质点受变力()y x F ,

的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,

所做功W .

大家知道,如果质点受常力F

的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F

所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所

走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n

i S T ?=≤≤.

设力()y x F ,

在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P

),(),(+=由于

),,(),

,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴

方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i

i M M

L 1-

=),(i i y x ??从而

力()y x F ,

在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- =

()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ?

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,

沿L 所作的功可近

似等于 i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1

1

),(),(ηη当0→T 时,右端积分

和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.

第二型曲线积分的定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中

A =n M

B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为

}{max 1i n

i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记

11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

∑=→?n

i i

i

i

T x

P 1

),(lim

ηξ∑=→?+n

i i

i

i

T y

Q 1

),(lim

ηξ

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

??+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注:(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=

则上述记号可写成向量

形式:??L

s d F

.

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿

空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L

),,(),,(),,(++?

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB

Qdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方

向性 . 对二型曲线积分有 ?

?

-=BA

AB

,定积分是第二型曲线积分中当曲

线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场

()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空

间曲线AB L 上的第二型曲线积分

?++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

对坐标的第二类曲线积分的概念

设函数在平面P(x ,y)上的一条光滑(或分段光滑)曲线上有定义且有界,用分点(,)(0,1,2)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向

小弧的长度(,)i i i l ξη?∈?,作和式 1(,)()

n

i i i i i i

P X X X ξη-?-∑。记

{}1max i

i n

l λ≤≤=?,若极限1

lim ()n

i

i i i P X I

λξ

η→∞

=-?=∑存在,且对曲线L 的分点及

点 的选取方式无关,则称此极限为函数P(x,y)按从A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分,记作的曲线积分 记作

1

(,)lim ()n

i

i i

i L

P x y dx P X λξ

η→∞

==-?∑?,其中P (x ,y )称为被积函数,L 称为被

积路径,对

坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。

类似的,设函数Q (x ,y )在xy 平面上的一条光滑(或分段光滑)曲线L (AB )上有定义且有界。若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法,极

限都存在且唯一,则称此极限值

1lim ()n

i i i

i Q Y λξη→∞

=-?∑为函数Q (x ,y )按从

A 到

B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分,记作(,)L

Q x y dy

?

2. 2 第二类曲线积分的参数计算法

首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是

20

1

(,)lim (,)n

i i i

l

i f x y ds s λξη→==?∑?

(,)

i i ξη(,)L

P x y dx

?

第二类曲线积分就是

1

(,)(,)lim (,)(,)n

i

i

i

i

i

i

l

i P x y dx Q x y dy P x Q y λ

ξηξη→=+=?+?∑?

(1)

这两种曲线积分的主要区别就在于,第一型曲线积分的积分和中是乘的

i s ?,i s ?是一小段弧的弧长,i s ?总是正值;而第二类曲线积分和积分和

中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量11,i i i i i i x x x y y y --?=-?=-,i x ?与i y ?是可正可负的。当积分的路径反向时,i s ?不变,而i x ?,i y ?反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。 设曲线l 的参数方程为

(),

(),x x t t y y t αβ=?≤≤?

=?

则第一类曲线积分的计算公式为

ds ===

这里要注意αβ≤,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有0dt >,也就有

dt dt

=,这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。

沿l 上的点由A 变到B ,即t 的下限α对应曲线积分的起点A ,他的上限β对应曲线积分的起点A ,t 的上限β对应终点B 。

在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为

(sin ),

02(cos ),x a t t t y a t t π=-?≤≤?

=-?

有些较简单的曲线可取x 或y 为参数,即可由直角坐标方程。 例如,直线

y ax b =+,取可由直角坐标方程得出参数方程。例如,直角

y ax b =+,取x 为参数,参数方程即为

,

,x x x y ax b =?-∞<<+∞?

=+?

又如,抛物线y x =,取y 为参数,参数方程为

2,

0,x y y y y ?=≤<+∞?

=?

例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界,计算

(1)22

()l

x y ds +?

(2)

2222()()l

x y dx x y dy +++?,沿逆时针方向。

解:(1)这是第一类曲线积分。

22

2

2

2222()()()()l

OA

AB

OB

x y ds x y ds x y ds x y ds

+=

+++++???

?

线段OA 的参数方程为

,

010,x x x y =?≤≤?

=?

1

22

20

1()3OA

x y ds x dx +==

?

?

线段AB 的参数方程为

,

011,x x x y x =?≤≤?

=-?

1

22220

22

()((1))2AB

x y ds x x dx +=+-=

?

?.

线段OB 的参数方程为

0,

01,x y y y =?≤≤?

=?

1

2220

1

3i OB

x y ds y dy +==

?

?

所以22

12212(12)()33L x y ds ++=++=?

(2)这是第二类曲线积分。

22

()(2)l

x y dx x dy +++?

2222()(2)()(2)OA

BO

x y dx x dy x y dx x dy

=+++++++??

111

2220

(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy

=++-++-+???

12011(132)236x x dx =

++--=?

在这个例子中,必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法,尤其是方向性 问题。

利用格林公式计算第二类曲线积分

设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域,函数(,)P x y ,

(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数,则有格林公式

(,)(,)(

)l

D

Q P

P x y dx Q x y dy dxdy x y

??+=-???

??

其中l 取正向。

格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的,格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中,在许多公式的推导中,在曲线积分的计算中,格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。

例2. 用格林公式计算例1中(2)的第二类曲线积分。 解: 显然,这个积分满足格林公式的条件。用格林公式,

22()(2)l

x y dx x dy +++?

1

10

(12)(12)y

D

y dxdy dy y dx

-=-=-????

1

1

(12)(12)6y y d y =--=

?

这比例1中的解法简单一些。 例3. 计算第二类曲线积分

22

()(),l

y x dx x y dy +-+?

其中l 为从A (-2,0)到B (2,0)沿椭圆2

214x y +=

的上半部分的曲线。

解:l 不是一条封闭曲线,不能直接用格林公式。增加沿x 轴的线段

BA 而成为封闭曲线。

22

22()()()()l

BA

y x dx x y

dy y x dx x y dy

+-+++-+?

?

(11)224D

dxdy ππ

=---==??

22

()()l

y x dx x y dy +-+?

224()()AB

y x dx x y dy

π=++-+? 224()()BA y x dx x y dy

π=-+-+?

2

22

16

443x dx ππ-=+=+

?

此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。

利用对称性计算第二类曲线积分

定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为(),()y y x a x b =±≤≤。记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分,12,L L 分别在上的投影方向相反,函数(,)P x y 在L 上连续,那么

1)当(,)P x y 关于y 为偶函数时,则

(,)0

L

P x y dx =?

2)当(,)P x y 关于为奇函数时,则

1

(,)2(,)L

L P x y dx P x y dx

=??

证明:依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点a 变到点b 2:()L y y x =-从点b 变到点a

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

1

2

(,)(,)(,)L

L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=

?

??

[][],(),()b

b

a a

P x y x dx P x y x dx +-=

?

?

[]{}[,()],()b

a

P x y x P x y x dx --=?

[][]{},(),()b

a

P x y x P x y x dx --?

故1)当(,)P x y 关于为偶函数时,有

[]{}(,)[,()],()b L

a

P x y dx P x y x P x y x dx =-?

?00

b

a

dx ==?

2)当(,)P x y 位于为奇函数时,有 []{}(,)[,()],()b

L a

P x y dx P x y x P x y x dx =+=

??

[]2,()2(,)b

a

L

P x y x dx P x y dx

=??

注1 对于(,)L

Q x y dy

?有定理1的结论

注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反对偶零”“与反对奇倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反;“对”指关于轴对称;“偶”指被积函数在上关于为偶函数;“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍”涵义类似解释。 关于曲线积(,)L

P x y dx

?分还有另一个对称性的结论是

定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程为

(),()y y x a x a =-≤≤,记12,L L 分别L 为位于y 轴的右半部分,12,L L 分别在x

轴上的投影方向相同,函数(,)P x y 在L 上连续,那么

1)当(,)P x y 关于x 为奇函数时,则

(,)0

L

P x y dx =?

2)当(,)P x y 关于x 为偶函数时,则

1

(,)2(,)L

L P x y dx P x y dx

=?

?

证明: 依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点0变到a

2:()L y y x =从点a -变到0(0)a >.

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

1

2

(,)(,)(,)L L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=

?

??

[][]0

,(),()a

a

P x y x dx P x y x dx

-+-??

对右端第2个积分,令x t =-,有

[]0

(,)()a

P x y x dx --=

?

[][]0

(,(),()a a

P t y t dt P x y x dx -=-??

因此有

(,)L

P x y dx =?

[][]0

,(),()a a

P x y x dx P x y x dx

+-??

[][]{}0

,(),()a

P x y x P x y x dx

=+-?

故1)当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时,有

(,)L

P x y dx =?

[][]{}0

,(),()a

P x y x P x y x dx --=

?0

00

a

dx =?

2)当(,)P x y 在L 上关于x 为偶函数时,有

[]{}0

(,)[,()],()a

L

P x y dx P x y x P x y x dx =+=

?

?

[][]1

2,()2,()a

L P x y x dx P x y x dx

=??

注1 对于(,)L

Q x y dy ?有类似2的结论。

注2 定理1与定理2虽然都是对坐标x 的曲线积分,但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x 轴而言的,而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y 轴和x 轴而言的。另外,被积函数(,)P x y 的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的,故定理2的结论恰好与定理1相反,定理2用口诀简言之是:“同对奇零倍”。其中“同”指12,L L 分别在x 轴的投影方向相同,“对”指L 关于y 轴对称“奇”指被积函数

(,)P x y 关于x 为奇函数,“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”

的涵义类似解释。

例4 计算L

I xydx

=?.其中L 为抛物线 2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一

段弧。

解:以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论,

故有

1

04

225L

I xydx ===

??,

其中,1:L y =,x 从点0变到1. 例5 计算

222()(sin )L

I x y dx x y y dy

=+-+?其L 为

222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周。 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和,即

2222()2(sin )L

L

L

I x y dx xydx x y y dy

=+--+???,

依题设条件分析知,等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论,故有

22()L

I x y dx

=+?

1

222()L

x y dx =+?02223

2()2a

x a x dx a =+-=-?

其中,

1:L y =,x 从点a 变到0.

利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分

斯托克斯(Stokes )公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系。在介绍下述定理之前,先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定:设有人站在S 上指定的一侧,若沿L 行

走,指定的侧总在人的左方,则人的前进方向为边界L正向;若沿L行走,指定的侧总在人的右方,则人的前进方向为边界线L的负向,这个规定方法也称为右手法则,如下图所示。

定理3 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线,若函数P,Q,R在S(连同L)上连续,

且有一阶连续偏导数,则

()()()

S

R R P R Q P

dydz dzdx dxdy

y z z y x y

??????

-+-+-

??????

??

L

Pdx Qdy Rdz

=++

?(2)

其中S的侧面与L的方向按右手法则确定。

公式(2)称之此公式为斯托克斯公式。

证明:先证

,

L

S

P P

dzdx dxdy Pdx

z y

??

-=

??

???

(3)

其中曲面S由方程(,)

z z x y

=确定,它的正侧法线方向数为

{}

,,1

x y

z z

''

--

,方向余弦为

{}

cos,cos,cos

αβγ,所以

cos cos

,,

cos cos

Z Z

x y

αβ

γγ

??

==-

??

若S 在xy 平面上投影区为

xy

D ,L 在xy 平面上的投影曲线记为Γ,现

由第二类曲线积分定义及格林公式有

(,,)(,,())(,,(,))xy

L

D P x y z dx P x y z x dx P x y z x y dxdy

Γ

=

=-?

?

??

因为(,,(,)),

P P z P x y z x y y

y z y ????=???? 所以

(,,(,))()xy xy

D D P P z

P x y z x y dxdy dxdy y y z y ????-=-+??????

??

由于cos ,

cos z y

βγ?=-?从而 cos =(

)(())cos S

S

P P z P P dxdy dxdy y z y y z βγ?????-+=--?????????原式

(

cos cos )cos S

P P dxdy y z γβγ

??=--????

cos cos )S

P P dS y z

γβ??=--????

S

P P dzdx dxdy z y

??=-????

综合上述结果,便得所要证明的(3)式。

同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时,可得

L

S

Q Q dxdy dydz Qdy

x z ??-=?????

(4)

L

S

Q R dydz dydz Rds

x z ??-=?????

(5)

将(3)、(4)、(5)三式相加即得斯托克斯公式(2)。

如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出,则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块,使每一小块能和这种形式表示,因而这时斯托克斯公式也能成立。

为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:

S

L

dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz

x y z P Q R

???

=

++?????

?

例1,()()(),

C

y z dx z x dy x y dz -+-+-?

其中C 为椭圆

若从轴ox 正向看去,此椭圆是依次反时针方向进行的。

解:椭圆如图所示,把平面1x z

a h +=上C 所包围的区域记为S ,则S 的法

线方向为{

}

,,h o a ,

注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的,可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角,因此,

022

22,0,

,n h a

h a ??

=??++??

于是由斯托克斯公式知

()()()2C

S

y z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy

-+-+-=-++?

??

2(cos cos cos )S

dS

αβγ=-++??

2

2

2

2

2

2

2(

)2

S

S

ds dS

a h

a h

a h

=-+

=-+++????

222

222

2222

22

2

122()x y a h h a a h d a a h a a a

a h a h σππ+≤++=-+=-=-+++??

例2 222222()()()C

y z dx x z dy x y dz

+++++?

,式中C 是曲线

222222,2(0,0)x y z Rx x y rx r R z ++=+=<<>

此曲线是如下进行的:由它所包围在球

2222x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示。

解: 注意到球面的法线的方向余弦为

cos ,cos ,cos ,x R y z

R R R αβγ-=

==

由斯托克斯公式有

[]=2)cos ()cos ()cos S

y z z x x y dS

αβγ-+-+-??原式(

2()(

1)()()S

x y z

y z z x x y dS R R R

=--+-+-??

2()S

z y dS

=-??

由于曲面S 关于oxz 平面对称,y 关于y 是奇函数,有

S

ydS =??

于是

222

2=cos S

S

S

x y rx

zdS R rdS Rdxdy R

d R r σπ+≤====????????

原式

结束语

第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法,是多元函数积分重要分支。本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算,而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系,对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者:钟家伟 指导老师:张伟伟 摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称 性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词:第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下: (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L L f x ds f y ds . (3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. (4)若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ,则 [ (,)(),()()β α αβ=

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算,其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界,若从轴正向看去,定向为逆时针方向.方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程,即可将曲线方程代入被积函数.解法一:设,则,,,则.由曲线积分的定义,有.同理可得: .所以.方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系.解法二:设,,则,是围成的区域.代入原积分由格林公式得原式.化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值,但比格林公式要复杂得多.用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件,其次可用对称性简化计算.方法三根据对称性求曲线积分. 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时,积分的值不变.当被积函数和积分域都具有轮换对称性,这种情形称为双轮换对称性;当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性.双轮换对称性把原题变成了原题,所以对我们解题没有任何帮

助.我们主要在讨论单轮换对称的情形.解法三:由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性,因此由对称性知原式.同样由对称性知原式.方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系,从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来. 解法四: 设,方向为上侧,曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式.为解法一中所设的点组成的三角形.另解: 根据上面解法中所设,并设为在面上的投影.用公式化为第二型曲面积分得原式 .用公式将曲线积分化为曲面积分时,若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单.

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021

第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注:(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的

曲线积分的计算法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=??

).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1

第二十章曲线积分

第二十章曲线积分 教学目的:1.理解第一、二型曲线积分的有关概念;2.掌握两种类型曲线积分的计算方法,同时明确它们的联系。 教学重点难点:本章的重点是曲线积分的概念、计算;难点是曲线积分的计算。 教学时数:6学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则 .

的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此 , . 由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法,参数法,单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式,Stokes 公式,积 分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分,在曲面积分的计算中,综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧,在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时,掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解,计算方法灵活多变,而且涉及的数学知识面广,掌握起来有一定的难度,而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难,因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用,力图使学生能计算第二型曲面积分,并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系,让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2.1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面,求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域,而流速v 是常向量,∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面,流速v 不是常向量,则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 :设L 为平面上可求长度的曲线段,)y ,x (f 为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ,i L 的弧长记为i s ,分割T 的细度为i n i 1s max T ,在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关,则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分,记作 .ds )y ,x (f L (1) 定义2: 若L 为空间可求长曲线段,)y ,x (f 为定义在L 上的函数,则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T , (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f (2) 2、物理意义 (1)设某物体的密度函数f (P )是定义在 上的连续函数.当 是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i (i=1,2,…,n),并在每一个i 上任取一点P i 由于f (P )为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时,每一小段i 的质量可近似地等于f (P i ) i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020

第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注:(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要: 本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词: 曲面积分;曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度,给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析,并结合具体实例以及教材总结出其特点,得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?,其中a ,b 为正的常数,L 为从点A (2a ,0)沿曲线y=22ax x -到点o (0,0) 的弧. 方法一:利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????,P(x ,y),Q (x ,y )以及它们的一阶偏导数在D 上连续,L 是域D 的边界曲线,L 是按正向取定的. 解:添加从点o (0,0)沿y=0到点A (2a,0)的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- , 则由格林公式得:()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域,直接计算2I ,因为在1L 时,0y =,所以dy =0

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?,其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界,若从x 轴正向看去,定向为逆时针方向. 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程,即可将曲线方程代入被积函数. 解法一:设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ,则0,1:==+z y x ,:1,0BD y z x +==,:1,0DA x z y +==,则:C AB BD DA ++.由曲线积分的定义,有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x . 同理可得: 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?. 所以 2AB BD DA I =++=-???. 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系. 解法二:设)0,0,0(O ,OA BO AB L ++:1,则dy dx dz y x z --=--=,1,D 是1L 围成的区域.代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24. 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值,但比格林公式要复杂得多.用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件,其次可用对称性简化计算. 方法三 根据对称性求曲线积分. 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时,积分的值不变.当被积函数和积分域都具有轮换对称性,这种情形称为双轮换对称性;当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性.双轮换对称性把原题变成了原题,所以对我们解题没有任何帮助.我们主要在讨论单轮换对称的情形. 解法三:由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性,因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

第一类曲线积分

§1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续,l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。 特别地,如果曲线l 为一条光滑的平面曲线,它的方程为()y x ?=,()a x b ≤≤,那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例:设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。 例:设l 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段,计算第一类曲线积分l yds ?。 例:计算积分2l x ds ? ,其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。 例:求()l I x y ds =+?,此处l 为连接三点()0,0O ,()1,0A ,()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 (1)设有一曲面块S ,它的方程为 (),z f x y =。 (),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该 曲面块的面积为 xy S σ=。 (2)若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?

令 222u u u E x y z =++,u v u v u v F x x y y z z =++,222 v v v G x y z =++, 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例:求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 例:求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 (1)设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=??????。 (2)设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =? 令 222u u u E x y z =++,u v u v u v F x x y y z z =++,222 v v v G x y z =++, 则 ()()()( ),,,,,,,S x y z dS x u v y u v z u v φφ∑ =??????。 例:计算 ()S x y z dS ++?? ,S 是球面2222 x y z a ++=,0z ≥。 例:计算 S zdS ??,其中S 为螺旋面的一部分:

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例:设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时,可以对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n),并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知,当Ωi 的弧长都很小时,每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时,上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1:设L 为平面上可求长度的曲线段,f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n),L i 的弧长记为△s i ,分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ,在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ,且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关,则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分,记作:?L ds y x f ),(. 注:若L 为空间可求长曲线段,f(x,y,z)为定义在L 上的函数,则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质:1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成,且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在,则?L ds y x f ),(也存在,且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在,且f(x,y)≤g(x,y),则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在,则?L ds y x f ),(也存在,且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义:(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线,f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义,以L 为准线,母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1:设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β],函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数,则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证:由弧长公式知,L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理,有

第二类曲线积分的计算教案资料

第二类曲线积分的计 算

第二类曲线积分的计算 作者:钟家伟 指导老师:张伟伟 摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称 性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词:第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是 弯弯曲曲.怎么办呢?

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方 向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等 于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的 极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

第二类曲线积分典型例题解析

高等数学(2)第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ,y 有y P x Q ??≡??,设C 是有向闭曲线,则?+C y Q x P d d = . 解:由格林公式将 y x y P x Q y y x Q x y x P D C d d )( d ),(d ),(??-??=+??? 其中D 为C l 围成的平面区域,及条件 y P x Q ??≡??知,应该填写:0 例2._______d d =+-? y x x y l ,其中l 是延圆周1)1()1(2 2 =-+-y x 正向一周. 解:因为圆周1)1()1(2 2=-+-y x 所围圆面积D 为:π?2 1,由格林公式得: ?? ?+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2,应该填写:π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数,则在D 内,曲线积分? +l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是( ). A .在域D 内恒有 y Q x P ??=?? B .在域D 内恒有y P x Q ??=?? C .在D 内任一条闭曲线l '上,曲线积分0d d ≠+?' l y Q x P D .在D 内任一条闭曲线l '上,曲线积分 0d d =+?' l y Q x P 解:若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=??? ),(,。 所以选择:B 例4 设C 是平面上有向曲线,下列曲线积分中,( )是与路径无关的. A .? +C y x x yx d d 332 B .?-C y x x y d d C . ?-C y x x xy d d 22 D .?+C y y x yx d d 33 2 解:因为选项A 中, 23323)(,3)3(x x x x Q x y yx y P =??=??=??=??,由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道,正确选择:A

第二类曲线积分的计算修订版

第二类曲线积分的计算 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注:(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲线积分典型例 题解析 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

高等数学(2)第12章第二类曲线积分典型例题解析 例1 若对任意的x ,y 有y P x Q ??≡??,设C 是有向闭曲线,则?+C y Q x P d d = . 解:由格林公式将 其中D 为C l 围成的平面区域,及条件y P x Q ??≡??知,应该填写:0 例2._______d d =+-?y x x y l ,其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周. 解:因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为:π?21,由格林公式得:???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2,应该填写:π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数,则在D 内,曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是( ). A .在域D 内恒有y Q x P ??=?? B .在域D 内恒有y P x Q ??=?? C .在D 内任一条闭曲线l '上,曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D .在D 内任一条闭曲线l '上,曲线积分0d d =+?' l y Q x P 解:若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=???),(,。 所以选择:B 例4 设C 是平面上有向曲线,下列曲线积分中,( )是与路径无关的. A .?+C y x x yx d d 332 B .?-C y x x y d d C .?-C y x x xy d d 22 D .?+C y y x yx d d 332

第一型曲线积分

第一型曲线积分 标准式: dt t r t r f ds f ??'=Γ β α )()( 算法:参数法 1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r = 2.计算弧元dt t r ds )( '= 3.计算定积分dt t r t r f ?'β α )()( 特别地: 显示方程 )(x y ?= xoy 平面的圆的参数方程???==θ θ cos sin a y a x 为参数θ 第二型曲线积分 标准式: dt t r t r F p d p F ?? '?= ?Γ β α )()()(

其中),,(R Q P F = 符号按参数增加的方向积分为正 算法: 一.参数法 dt t z t y t x t r R t r Q t r P dz R Qdy Pdx p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''?= ++= ???? Γ Γ β α 二.Green 公式(二维) (封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分) dxdy y P x Q Qdy Pdx ???Ω ?Ω ??- ??= +)( (定向:一个人沿着Ω?走的正方向行进时,区域Ω总在这个人的左边) 三.Stokes 公式(三维) (封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和) ?? ?∑ ∑ ??????= ++R Q P z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx 应用:求曲面面积 ??????= - =-= D D D xdy dx y ydx xdy D 2 1)(σ 第一型曲面积分 标准式:(1)dudv r r r f fd v u ? ?? ∑ ? ?= σ

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