1
()(<-=a 满足题意．
启示：此类题关键是转化，转化为求函数的最值问题，常见有下面四种形式，
(1)21,x x ??，)()(21x g x f
(4) 21,x x ??)()(21x g x f ，如果能证明max min )()(x g x f ≥，便可证)()(x g x f ≥。大家可以看到不等号左右两边都是相同的x ,而上一种题型不等号两边分别为21,x x 。由
max min )()(x g x f ≥?)()(x g x f ≥，但)()(x g x f ≥推不出max min )()(x g x f ≥。比如,1x e x +≥推不出
max min )1()(+≥x e x ,因为1+x 就没有最大值。max min )()(x g x f ≥比)()(x g x f ≥更严格。
例 （2014新课标1理）设函数1
()ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线方程为
(1)2y e x =-+
（I ）求,a b ； （II ）证明：()1f x > 解：（I ）1,2a b ==
(II)如果按题型一的方法构造函数求导，发现做不下去，只好半途而废。所以需要及时调整思路，改变思考方向。()1f x >等价于2ln x
x x xe
e ->-
，设()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，当1
(0,)x e
∈时，
()0g x '<，当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1
(,)e
+∞单调递增，从而()g x 在
(0,)+∞的最小值为11()g e e =-设2
()x h x xe e
-=-，则()(1)x h x e x -'=-
当(0,1)x ∈时，()0h x '>当(1,)x ∈+∞时，()0h x '< 从而()h x 在(0,)+∞最大值为1
(1)h e
=-，因()
g x 与()h x 极值点不相同。综上，当0x >时，()()g x h x >即()1f x >
启示：掌握下列八个函数的图像和性质，对我们解决不等式的证明问题很有帮助，八个函数分别为
(1)x
xe y =,(2)x x y ln =,(3)x e y x =,(4)x x y ln =(5)x e x y =,(6)x x y ln =,(7)2ln x
x
y =,(8)x x y ln 2=
要求会画它们的图像，以后见到这种类型的函数，就能想到它们的性质。
题型五 函数的极值点（最值点）不确定，可以先设出来，只设不解，把极值点代入求出最值的表达式而证明。
例 (2015新课标1卷文）设函数()2ln x
f x e
a x =-.
（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时，()22ln
f x a a a
≥+. 解析：（I ）()f x 的定义域为),0(+∞，)0(2)(2>-='x x
a
e x
f x
.当0≤a 时,0)(>'x f ，)(x f '没有零点；
当0a >时，因为2x
e 单调递增，x a
-
单调递增，所以)(x f '在),0(+∞单调递增.又0)(>'a f ,当b 满足04
a
b <<且14b <时，0)2(24
2221
212<-=-<-e a a e b a e b ，∴0)(<'b f 。
故当0a >时，)(x f '存在唯一零点,（关键是放缩技巧，对x 范围的限制）
（II ）由（I ）知，可设)(x f '在),0(+∞的唯一零点为0x ，当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增，所以当0x x =时，)(x f 取得最小值，
最小值为)(0x f ，由于02020=-x a e x
，得0
220x a e x =
， ∴,2ln ln 200x a x -=0000ln 2
ln ln 2ln 2ln ln 2x a a x a a x a a a ax --=-=-=，
a
a ax x 2
ln 2ln 00+=-，所以a a a a a ax x a x f 2ln 22ln 22)(000+≥++=，故当0>a 时，a
a a x f 2
ln 2)(+≥
启示：只设不解，整体代换是一种常用的方法，在解析几何中体现很多。在本例（2）中，只设出了零点而没有求出零点，这是多么好的一种方法啊，同学们一定认真体会，把这种方法拿来我用。
题型六 估值法,极值点不确定，先把极值点设出来，再估计极值点的取范范围（限制得越小越好），进行证明不等式
例.已知函数()(),ln x f x e g x x m ==+． （1）当1-=m 时，求函数()()()f x F x x g x x
=
+?在()0,+∞上的极值；
（2）若2=m ，求证：当()0,x ∈+∞时，10
1)()(+
>x g x f ．（参考数据：099.13ln ,693.02ln ==）
解：（1）极小值为1)1(-=e F ，无极大值；
（2）构造函数2ln )()()(--=-=x e x g x f x h x
，x
e x h x 1
)(-
='∴在),0(+∞单调增， 02)2
1(<-='e h ，02ln 12)2(ln >-='h ，（此处需要估计0x 的范围，根据零点存在定理，把0x 的
范围控制好，也可以限制为3
2
210<)(x h '∴在),0(+∞上有唯一零点)2ln ,2
1(0∈x ，0
01
x x e =∴，即00ln x x -=，
且当),0(0x x ∈时)(x h 单调递减，当),(0+∞∈x x 时)(x h 单调递增
故有212ln )()(00
000-+=--=≥x x x e x h x h x
， 构造函数21)(-+=t t t ?在（0,1）上单调减，)2ln ,21(0∈x ，（或者为3
2
210<10
1
13.022ln 12ln )2(ln )(0>≈-+=>∴??x ，即101)(0>x h ，101)()(+>∴x g x f
题型七 利用图象的特点，证明不等式
例 已知函数f (x )＝x －1
e
x －1(x ∈R )．
(1)已知函数y ＝g (x )对任意x 满足g (x )＝f (4－x )，证明：当x ＞2时，f (x )＞g (x )； (2)如果x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，证明x 1＋x 2＞4.
证明：(1)因为g (x )＝f (4－x )，所以g (x )＝3－x e 3－x .令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝x －1e x －1－3－x
e 3－x
则F ′(x )＝2－x e x －1－2－x e 3－x ＝－x 3－e
2x －1
e
x ＋2
. 当x ＞2时，2－x ＜0,2x －1＞3，从而e 3－e 2x －1
＜0，则函数F ′(x )＞0，F (x )在(2，＋∞)是增函数．
所以F (x )＞F (2)＝1e －1
e
＝0，故当x ＞2时，f (x )＞g (x )成立．
(2)因为f (x )在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，
所以x 1，x 2不可能在同一单调区间内，不妨设x 1＜2＜x 2，由(1)可知f (x 2)＞g (x 2)，又g (x 2)＝f (4－x 2)，所以f (x 2)＞f (4－x 2)，因为f (x 1)＝f (x 2)，所以f (x 1)＞f (4－x 2)，因为x 2＞2,4－x 2＜2，x 1＜2，f (x )在区间(－∞，2)内为增函数，故x 1＞4－x 2，即x 1＋x 2＞4.
启示：第（2）的证明也是一种常规方法，因为函数在两个单调区间上增减的速度不一样，导致出现了
x 1＋x 2＞4，如果是二次函数1)2()(2+-=x x f ，)()(21x f x f =，则可得到421=+x x ，21x x +正好是
对称轴的2倍。此题的证明思路是要证421>+x x ,需证：x 1＞4－x 2，需证：f (x 1)＞f (4－x 2)， 题型八 证明数列不等式
例：根据不等式)1
(21ln x x x -≤
，证明：1
2)12ln(211-2151311+++>++++n n n n 证明：由)1
(21ln x
x x -≤,可得x x x ln 21≥-，令11212>-+=
n n x ，*N n ∈ 得1212ln 212121212-+>+---+n n n n n n ，即1
21
2ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n 所以
)1
21
-1-21(211212ln 211-21++-+>n n n n n 上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得到
1
2)12ln(2112151311++
+>-++++n n
n n 题型九 放缩法证明不等式
例：设函数a x e x f x +=)((常数R a ∈)，在0=x 处取得极小值,2
2ln 1)(-+
-=e x x x g (e 为自然对数的底数)
（1）求)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程 （2）对任意),1(+∞∈x ，求证)()(x g x f >
解：（1）易得1=a ，)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为)1(4
+=
x e
y （2）用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数还不行，正当我一筹莫展时，忽然想到与第一问题的切线联系，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样不就证明了呢。心
里非常高兴，马上付诸行动。令)1(4
1)(+-+=
x e
x e x h x ， 4)1()(2e x xe x h x -+=',0)1()1()(32>++=''x e x x h x
,)(x h '递增,0)1()(='>'h x h ，)(x h 递增,0)1()(=>h x h ，
故)1(41+≥+x e x e x .再令2
2ln 1)1(4)(----+=e x x x e x t , 222)
(ln 4)11(ln 4)(ln )(ln 11ln 4)(x x x x e x x x e x t -+-=-+-=' 令)11(ln 4)(ln )(2-+-=x x x e x m ,则2
24
4ln 2)11(41ln 2)(x
x x ex x x x x e x m +-=--?='
令44ln 2)(+-=x x ex x n ，令042ln 24)1(ln 2)(>-+=-+='e x e x e x n 则)(x n 递增，0)1()(=>n x n ，∴0)(>'x m ，则)(x m 递增，0)1()(=>m x m
∴0)(>'x t ，则)(x t 递增， )1(t 不存在，由洛比达法则得，
111)(ln )1(ln 1lim lim lim 1
11==''-=-→→→x
x x x x x x x ∴ 0)1(→t
∴)1()(t x t >,∴0)(>x t ∴
2
2
ln 1)1(4-+
-≥+e x x x e 综上可知)()(x g x f > 启示：利用放缩法证明不等式是常用方法，要证b a ≥，若能证明,c a ≥且b c ≥便可得证。 本题还用到了洛比达法则，设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）0)(lim )(lim 0
==→→x g x f x x x x
（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)()(lim
（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)
()
(lim )()(lim 00（或为无穷大）．
把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．
以上给大家归纳了用导数证明不等式的类型及证明方法，经常有学生问我：“老师，您是怎么想到的这
种方法的”，通过本篇文章的学习，我想你也一定能够回答这个问题了。只要我们多思考，多积累。以后见到不等式的证明题就有思路了。
导数之数列型不等式证明
函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????
例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??
利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?
导数不等式证明
1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ，
利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型 山西大学附属中学 韩永权 邮箱：hyq616@https://www.docsj.com/doc/155249847.html, 不等式的证明是近几年高考的一个热点题型，它一般出现的压轴题的位置，解决起来比较困难。本文给出这一类问题常见的证明方法，给将要参加高考的学子一些启示和帮助。只要大家认真领会和掌握本文的内容，定会增强解决对这一类问题的办法。下面听我慢慢道来。 题型一 构造函数法，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 例1（人教版选修2-2第32页B 组1题）利用函数的单调性，证明不列不等式 （1）),0(,sinx π∈-x x x (3)0,1≠+>x x e x (4)0,ln ><x 时，求证：x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 证明：令x x x f -+=)1ln()(，则1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ,当0>x 时，0)(<'x f ，()f x 在),1(+∞-上的最大值为 0)0()(max ==f x f ，因此，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln(（右面得证）， 再证左面，令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为 0)0()(m i n ==g x g ，∴0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x （左面得证），综上，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 启示：证明分三个步骤，一是构造函数，二是对函数求导，判断函数的单调性，三是求此函数的最值，得 出结论。 题型二 通过对函数的变形，利用分析法，证明不等式 例.bx x x h +=ln )(有两个不同的零点21,x x ①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 解析：①()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ?=-，则2 l n 1 ()x x x ?-'=, 所以ln ()x x x ?=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当x e =时ln ()x x x ?=-取得最小值1e -. 又(1)0?=，所以(0,1)x ∈时()0x ?>，而(1,)x ∈+∞时()0x ?<,所以b 的取值范围是（1 e -，0）. ②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=, 所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,所以 12122121 ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设21x x <, 要证212x x e >,需证12122121 ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+， 设21(1)x t t x =>,则2(1)4()ln ln 211 t F t t t t t -=-=+-++, 所以2 22 14(1)()0(1)(1) t F t t t t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增， 而(1)0F =，所以()0F t >即2(1) ln 1 t t t ->+,所以212x x e >.
2021届高考数学(理)一轮复习学案：第3章导数及其应用第4节利用导数证明不等式
第四节 利用导数证明不等式 课堂考点探究 考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )； (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； (3)最值法：欲证f (x )＜g (x )，有时可以证明f (x )max ＜g (x )min . 直接将不等式转化为函数的最值问题 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－3 4a －2. [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝ x ＋1 2ax ＋1 x . 当a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0，则当x ∈? ????0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ????－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在? ????0，－12a 上单调递增，在? ?? ??－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ? ????－12a ＝ln ? ??? ?－12a －1－1 4a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ? ????－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ? ????－12a ＋1 2a ＋1≤0.设g (x ) ＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1 x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x ) ＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大 值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ? ????－12a ＋1 2a ＋1≤0， 即f (x )≤－3 4a －2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间
导数大题中不等式的证明题
导数大题中不等式的证明 1.使用前面结论求证（主要） 2.使用常用的不等关系证明，有三种：()ln 1x x +<，sin ,x x 时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由； （3）证明：()123222211e 2341n n g n ????????+++++< ? ? ? ? +???????? ≤L （* n ∈N ）． 2、已知函数2 901x f x a ax = >+()() ． （1）求f x ()在1 2 2[,]上的最大值； （2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值； （3）当2a =时，设1214122x x x ,?? ∈???? …,,, ，且121414x x x =…+++ ， 若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()
恒成立，求实数λ的最小值． 3、已知,ln 2)(),0()(bx x x g a x a x x f +=>- =且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对Λ71828.2](3,[=e e 是自然对数的底数）内的任意 k 个实数k x x x x ,,,,321Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤++-Λ成立； （3）求证：)12ln(1 4412 +>-∑ =n i i n i )(* ∈N n
【高中数学】利用导数证明不等式
第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． [解](1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0， 所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)＞0时，x＞e－2；当f′(x)＜0时，0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝x ln x－2x＋3(x＞0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)＞0，得x＞e；由g′(x)＜0，得0＜x＜e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
导数与不等式的证明(高考真题)【含答案】
导数与不等式的证明 1.【2013湖南文科】已知函数f （x ）= x e x 2 1x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解析】 (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('2 22 222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--?=+?--+?-+-=（（（ ; )(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴0时f(x) < f(-x)即可。 ]1)1[(11111)()(22 22x e x x e e x x e x x x f x f x x x x ---+=++-+-=----。 1)21()('0,1)1()(22--=?>---=x x e x x g x x e x x g 令。 ,04)21()('1)21()(222<-=-=?--=x x x xe e x x h e x x h 令 0)0()(0)(=0, 存在唯一的s , 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有. (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0 ，得x = 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 2 l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2 g t t <<
导数证明和不等式综合典型
用导数证明和式不等式-典型 （1）若护（工）=『J 上再減睛It求宾畫以杓取恒范 寵 (町证明车等式t 2n 1 L 1 I lii J J 1H^ In 4 hi(” +1) n , 1 1 1 < —+ l + - + —— 2 2 3 n 解析： :郭问圖利斛出 来看第二问? 1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？ 当然行? 2. 为什么不那样出呢？ 因为那样出的话，难度太大. 3. 为什么出在本题的第二问的位置？ 因为这样命题使得学生解题相对容易一些. 4. 为什么会容易一些呢？ 因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路. 5. 从第1问能得到什么结论呢？ '"|加 < 数特（打=—■—luz 在［人炖）上対城函
6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？ 第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式? 通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？ di 沿-1） 小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx 凶为卩（工）在仏是内诚函数， 所以貯（1）=山 即——-hi^ 0, ￡ > 0 ' * 建+】 不芳式网边同时戕讨数得： i i + i Qr I 1 1 .1】』2（r — I j lui 2 f - J 下面对x 进行赋值，以便于进一步靠近所证不等式 ?同时注意到, 需要采用累加的办法? 令雷■ n + 1. —」—r < - + - Itifn + 1J 2 T 将上述所右不等式相加御: 111 I hi2 Ind Ini UnZl 所证不等式的右半部分得证了，下面来看左半部分 观察这个不等式，不等号右边为和式的形式， 左边不是，为了有利于证明，我们把左边也变 为和式? 不等式为求和型的不等式 ,
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数 设， 证明：分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：，设 当时 ，当时 ， 即在上为减函数，在上为增函数 ∴，又 ∴， 即 设 当时，，因此在区间上为减函数； 因为，又 ∴， 即 故综上可知，当 时，本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此， 设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、 不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的 单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个 x x x g ln )(=b a <<02ln )(2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+<1ln )(+='x x g )2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+=2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-='a x <<00)(<'x F a x >0)(>'x F )(x F ),0(a x ∈),(+∞∈a x 0)()(min ==a F x F a b >0)()(=>a F b F 0)2 (2)()(>+-+b a g b g a g 2ln )(2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+=)ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴0>x 0)('0)()(=导数与不等式证明
导数与不等式证明 作差证明不等式 1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),， 由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间 为(0，+∞). (2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且 ∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令 ，则 ， ∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0 ∴≥ ，∴x ＞－1时， ≤≤x ． 2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = +
，其中．设两曲线，有公 共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相 同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍 去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即 时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，， 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ，1 3()e ∞,+()h t (0)+， ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>
(完整版)导数与不等式证明(绝对精华)
二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.
导数证明不等式的问题(练习答案)
“导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)
2.Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 解⑴证明：()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时， ()2e 0=12x x f x ->-+， ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()() 2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ，． 3.设函数． x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->（）()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=-
导数证明不等式题型全
导数题型一：证明不等式 不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。 一．构造形似函数型 例1．求证下列不等式 （1）) 1(2)1ln(22 2x x x x x x +-<+<-),0(∞+∈x （相减） （2）πx x 2sin >)2,0(π ∈x （相除两边同除以x 得π2 sin >x x ） （3）x x x x -<-tan sin )2, 0(π∈x （4）已知：)0(∞+∈x ，求证x x x x 11ln 11<+<+；（换元：设x x t 1+=） （5）已知函数()ln(1)f x x x =+-，1x >-，证明：11ln(1)1x x x - ≤+≤+ 巩固练习： 1.证明1>x 时，不等式x x 132- > 2.0≠x ，证明：x e x +>1 3.0>x 时，求证：)1ln(2 2 x x x +<-
4.证明: ).11(,3 2)1ln(3 2<<-+-≤+x x x x x 5.证明: 331an x x x t +>，)2 ,0(π∈x . 二、需要多次求导 例2.当)1,0(∈x 时,证明:22)1(ln )1(x x x <++ 例3.求证:x ＞0时,211x 2 x e x ->+ 例4.设函数f (x )＝ln x ＋ 2a x 2－(a ＋1)x (a >0，a 为常数)．若a ＝1，证明：当x >1 时，f (x )< 12x 2－21 x x +三、作辅助函数型 例5.已知：a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数f(x)的最大值； (ii)设0>b a ,证明b a b a b a b a ≤++)2 ( （3）若2021π << 四、同增与不同增
考前归纳总结：导数中的不等式证明问题
导数中的不等式证明问题 一、常见基本题型： （1） 结合问题之间的联系，利用函数的单调性证明； （2） 构造新的函数，求导，结合函数的单调性去证。 例1：已知函数()ln f x x =，21()22g x x x = -． （1）设/()(1)()h x f x g x =+-（其中/()g x 是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （2）证明: 当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-< ； 解:（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >- 所以 1()111 x h x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （2）当0b a <<时，102b a a --< <． 由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<． 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--??+-==+< ??? ． 例2：已知221()ln ,02 f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值； （II ）（i ）设0t a <<，证明：()()f a t f a t +<-； （ii ）若12()()f x f x =，且12,x x ≠证明：122.x x a +> 解：（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x ． 当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ． （Ⅱ）（ⅰ）设g (t )＝f (a ＋t )－f (a －t )，则 当0＜t ＜a 时，
高考素材复习素材：一题多解 专题三 利用导数证明不等式问题
一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数），曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0，0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明：当20<x 时，12 12111)1(2+< +?+=++利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 例1】已知函数f (x) =ln(x ? 1) -X ,求证：当x ? -1时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 1 g(x) = ln(x ? 1)1,从其导数入手即可证明。 x十1 1 x 绿色通道】f(X) 1 = x+1 x+1 ???当T：：：x”：0时，f(x)?0,即f (x)在x?(T,0)上为增函数 当x 0时，f (x) ：：：0,即f (x)在x ? (0/::)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间(0, 于是函数f (x)在(-1「：)上的最大值为f (x),因此，当X ? -1时， f (x) _ f (0) =0 ,即ln(x 1) -x _0 ???In(x 1) _ x (右面得证)， 1 1 1 现证左面，令g(x)二ln(x 1) 1, 则g (xp x+1 x+1 (x + 1) x 2 (x 1) 当x (-1,0)时,g(x) ：：0;当x (0,：：)时,g (x) 0 ,即g(x)在(-1,0)上为减函数，在X- (0, V)上为增函数， 故函数g(x)在(-1, ?：：)上的最小值为g(x)min二g(0) =0 , . 1 ???当x -1 时,g(x) - g(0) =0 ,即ln(x 1)
