高考数学大题经典习题
1. 对于函数()32
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-
+-+-。
（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过
2
2sin cos t t t -+
t 的取值范围；
（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。
1. （1）由()32
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-
+-+-，则
()2
'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-
因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22
1(2)121(2)02(2)323(2)0
a a
b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2
'43f x x x ∴=-+-
因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2
2sin cos t t t -+
所以()2
'2sin cos f x t t t x R ≤-+
∈恒成立，
而()()2
'21f x x =--+，其最大值为1．
故2
2sin cos 1t t t -+
≥
72sin 21,3412t k t k k Z πππππ?
??-≥?+≤≤+∈ ???
（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =
当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2
'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，
2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22
4a b +≤
从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为
4S π=
2. 函数cx bx ax x f ++=2
3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))
(,(ββf B
分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若m
m x f x 6)(],1,2[->-∈恒成立，求实数m 的取值范围.
2. （Ⅰ） b =0
（Ⅱ）3
'2
()()30,f x ax cx
f x ax c αβ
=+∴=+= 的两实根是 则 03c a αβαβ+=????=?
?
|AB|＝2222
()()()()4()2f f αβαβαβ?-+-=?-= 34232
c c a a
-?
=?=-
3
3
()()f f a c a c αββαααβββα-=-?+--=-
222
()1[()3]1a c a c ααββαβαβ?+++=-?+-+=-
2
33()11122
c a c c ac a a a
∴-
+=-?-+=-?
-
=-
又0
1a a >∴= 3
()32
x f x x =-
（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-5 6(6)(1)
50m m m m m
+-->-
?
<
106<<- 3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若 点B 的坐标为（2，0），且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4， 5]上有相反的单调性． （1）求c 的值； （2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由； 3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性， ∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ， 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0） ∴()a b d d b a 24,048+-==++即 令()0'=x f ，则a b x x bx ax 32,0,023212-===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性 ∴4322≤- ≤a b ， ∴36-≤≤ -a b 假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'= 即 0323020=-+b bx ax ∵ △=()()?? ? ??+=+=-??-94364334222 a b ab ab b b a b 又36-≤≤ -a b ， ∴△＜0 ∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为 4. 已知函数x x f ln )(= （1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证2 2 )(2)()(b a a b a a f b f +->-； 4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )( )1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11 1)(-+= 'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)( ∴ 当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0 （2）)1ln(ln ln ln ln )()(b b a b a a b a b a f b f -+ -=-==-=- 由（1）知b a b b b a a f b f x x -= -- ≥-≤+)()()1ln( 又2 2 2 2 2 2 )(2212,0b a a b b b a b b a a b ab b a b a +-> -∴ +> ∴ >+∴<< 2 2 )(2)()(b a a b a a f b f +-> -∴ 5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0 ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，2 12)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式； （2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，2 12)(x ax x f + -=-，)(x f 是奇函数，则 2 12)(x ax x f - =，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(3 3 x a x a x f + =+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113 ≥x ，013 >+ x a ， 即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的． （3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，2 5)1()(max - =?==a a f x f （不 含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，3 1a x - =，如下表)1()(3 max a f x f - = 0(2 2226∈= ?-=?-=x a ]1， 所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-． ． 6. 已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ?的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a +≥+222时，不等式[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成 立． （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围． 19. (1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ， )(x f 在R 上单调递增， ∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0k 且0124<-k ，∴3 1> k ， 当0=?，即3 1= k 时，22)1(123)(-=+-='x x kx x f ， ∴1 1=k 时，能使)(x f 在R 上单调递增， 3 1≥ ∴k ． (2) ac b c a +≥+2 22 ，由余弦定理：2 122cos 2 2 2 = ≥ -+= ac ac ac b c a B ，∴3 0π ≤ 分 (3) )(x f 在R 上单调递增，且[] )4 332()cos(sin 2 + <+++m f C A B m f ，所以 4 332)cos(sin 2 + <+++m C A B m =+ +=+ +-=++--429 cos cos 4 33cos sin 4 33)cos(sin 2 2 2 B B B B C A B 87)2 1(cos 2 ≥++B ，---10分 故82<-m m ，即9)1(2 <-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m 7. 已知函数36)2(2 3)(2 3 -++- =x x a ax x f （I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值 （II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。 7. （I ）)1)(2(36)2(33)(2--=++-='x a x a x a ax x f ,2>a 12<∴ a ∴当a x 2< 或1>x 时，0)(>'x f ；当 12< 时，0)(<'x f )(x f ∴在)2,(a -∞，（1，)∞+内单调递增，在)1,2 (a 内单调递减 故)(x f 的极小值为2 )1(a f - = （II ）①若,0=a 则2)1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点。……6分 ②若,0 12 ，∴当12>< x a x 或时，0)(<'x f ， 当12< 时，0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02)1(>-=a f )(x f 的极小值为0)2 ( ③若20< >a 。 ∴当a x x 21><或时，0)(>'x f ，当12 < 时，0)(<'x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ④若2=a ，则0)1(6)(2≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当2>a ，由（I ）知)(x f 的极大值为04 3)431( 4)2 (2 <- --=a a f 综上所述，若,0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点； 若0 1. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足 MQ PM PM CP 21,0= =? （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。 6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则),(),,3(t s PQ t CP -== 由0=?PQ CP 得3s —t 2 =0……………………………………………………① 又由MQ PM 2 1= 得),(2 1),(y x s t y x --= - ??? ????-=--=∴) (21)(2 1y t y x s x ， ?????==∴y t x s 233……………………………………② 把②代入①得2)2 3(9y x -=0，即y 2 =4x ，又x ≠0 ∴点M 的轨迹方程为：y 2 =4x （x ≠0） （2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则 0=?⊥OB OA OB OA 即 设),4 ( ),,4 ( 22 212 1y y B y y A ，则由0=?OB OA 可得 016 212 22 1=+y y y y 解得1621-=y y 又2 12 12 21244 4 y y y y y y k AB += - -= 则直线AB 的方程为：)4 (42 12 11y x y y y y - += - 即2 1212 1214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得 0)()164(1=+--y y y x 令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0） 答，存在点H （4，0），满足题意。 2. 设j i R y x ,,,∈为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量，若向量 8,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y i x a 且. (1)求点M （x,y ）的轨迹C 的方程； (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2. (1)8),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a 且 即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8, ∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为 112 16 2 2 =+ x y . (2)由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=， 由? ????==+=11216 322x y kx y 消去y 得：(4+3k)x 2 +18kx-21=0. 此时，△=(18k)2-4(4+3k 2 (-21)>0恒成立，且??? ???? +- =+-=+22122134213418k x x k k x x 由OB OA OP +=知：四边形OAPB 为平行四边形. 假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则00,=?⊥B OA OB OA 即 . 因为),(),,(2221y x OB y x OA ==，所以02121=+y y x x ， 而9)(3)3()3(212122121+++=+?+=x x k x x k kx kx y y ， 故09)3418(3)3421)(1(2 2 2=++- ++- +k k k k k ，即4 5,18 52 ± == k k 得. 所以，存在直线l ：34 5 +± =x y ，使得四边形OAPB 为矩形. 3. 一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点 )0,1(2F ． （Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； （Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标． 12. （Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则2 11 - =+m n 且032 2 12=+--?n m ． 解得5 2,59= - =n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5 2 ,59(- ． （Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22) 05 2( )15 9(2 2 =-+-- = ， 2= ∴ a ，112=-= b ． ∴所求椭圆方程为12 2 2 =+y x ． （Ⅲ）22 =c a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭 圆的右准线的距离． 则10105) 32()1(2 2 2 1++= ++-=t t t t d ，22-=t d ． 2 2 2 2 1) 2(2252 10 105-++? =-++= t t t t t t d d ， 令2 2 ) 2(22)(-++= t t t t f )22(<<-t ，则 3 4 2 2 ) 2()86() 2() 2(2)22()2()22()(-+-= --?++--?+= 't t t t t t t t t f ， 当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,23 4>'<<- t f t ， 3 4-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在3 4-=t 时取得最小值． 因此， 2 1d d 最小值＝2 2)34(5= -?f ，此时点Q 的坐标为)3 1 ,34(- ． 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 说明：求得的点Q )31 ,34(-即为切点P ， 2 1d d 的最小值即为椭圆的离心 4. 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为2 4 9-=y ，且离心率e 满足 3 2， e ， 3 4成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 4. （1）∵ 3 4, ,32e 成等比数列 ∴3 43 22? = e 23 2= e 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 99,3 222 4 9)22(2 22 2 =+= + ++y x y y x 化简得 即19 2 2 =+ y x 为所求的椭圆方程. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1- =x 相交，不可能垂直x 轴 因此可设l 的方程为：m kx y +=由 整理得得消去9)(9,9 9222 2=++???=++=m kx x y y x m kx y 0)9(2)9(2 22 =-+++m kmx x k ① 方程①有两个不等的实数根 ∴090)9)(9(44222222<-->-+-=?k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-=+k km x x ∵线段MN 恰被直线2 1-=x 平分 ∴19 222 12 2 1-=+- += - k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 29 2 += ③ 把③代入②得 0)9()29 (2 2 2 <+-+k k k ∵092 >+k ∴ 2 2 9 104k k +-< ∴32 >k 解得3>k 或3- ∴直线l 的倾斜角范围为)3 2, 2 ( )2 ,3 (ππ π π 5. 已知向量(),(1,0),()()a x b a a ==+⊥- 且. （Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当A M A N =时，求实数m 的取值范围。 5. 由题意得： （II ）由22 13 y kx m x y =+?? ?+=??得222(31)63(1)0k x m kx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴?>，即2231m k <+ ① （1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则 2 2 2 13312 31 313p M N p p p AP p y x x m k m m k x y kx m k k k x m k ++++= =- =+= = =- ++从而 又2 2 311,,2313m k AM AN AP M N m k mk k ++=∴⊥-=-=+则即 ②. 将②代入①得2 2m m >，解得02m <<, 由②得22110,3 2 m k m -= >> 解得 , 故所求的m 取值范围是1 (,2)2 （2）当0k =时，22 ,,31,11AM AN AP M N m k m =∴⊥<+-<<解得 6. 设直线) 1(:+=x k y l 与椭圆 )0(32 2 2 >=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点. （I ）证明：2 22 313k k a +> ； （II ）若OAB CB AC ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 6. 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-= +=y k x x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,3112 2 2=+-= ，得 .012)31(2 2 2 =-+- +a y k y k ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 3)31( , 0)1)(31 ( 442 2 2 2 2 >+>---= ?a k a k k 整理得， 即.3132 2 2 k k a +> （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得2 21312k k y y += + 因为212,2y y CB AC -==得，代入上式，得.3122 2k k y +-= 于是，△OAB 的面积 ||2 3 ||||21221y y y OC S =-?= .2 3| |32||331||32 = < += k k k k 其中，上式取等号的条件是.3 3 ,132±==k k 即 由.3 3,31222 2± =+-=y k k y 可得 将3 3,333 3,3 322= - =- == y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x 7. 如图，已知⊙O '：()2 228x y ++=及点A ()2,0，在 ⊙O '上任取一点A ′，连AA ′并作AA ′的中垂线l ，设l 与直线O 'A ′交于点P ，若点A ′取遍⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点,且O N O M λ''= ,则当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围. 7. (1) ∵l 是线段A A '的中垂线，∴PA PA '=, ∴||PA|－|P O '||=||P A '|－|P O '||=|O 'A '|=即点P 在以O '、A 为焦点，以4 为焦距，以C 的方程为 2 2 12 2 x y - =. (2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则直线m 的方程为(2)y k x =+,则由O N O M λ''= ,得 21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由2 2 (2)2 y k x x y =+?? -=?,得222(1)420k y ky k --+=.∴ 2 1241k k y y -+= ,22 1221k k y y -= ,22222168(1)8(1)0k k k k k ?=--=+>. 由21y y λ=,2 1241k k y y -+=,22 1221k k y y -= , 消去12,y y ,得 2 2 8(1) 1 12k λλ λ λ+-= =+ +.∵6λ≥,函数1 ()2g λ λλ=+ +在[6,)+∞上单调 递增. ∴ 2 814916 6 62k -≥+ += , 2 149 1k ≤ <，所以 17 1k -<≤- 或1 7 1k ≤<. 故斜率k 的取值范围为1 17 7 (1,][,1)-- . 8. 如图，已知⊙O ' ：()2 22 403x y m m ??++=> ? ???及点M 0,3?? ? ??? ，在 ⊙O '上任取一点M ′，连M M ′，并作M M ′的中垂线l ，设l 与O 'M ′交于点P ， 若点M ′取遍 ⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于 点D .若2,AD DB OAB =? 求的面积取得最大值时的椭圆方程． 8. (1) ∵l 是线段M M '的中垂线，∴PM PM '=, ∴|PM|+|P O '|=|P M '|+|P O '|=|O 'M '|=2m ()0m >.即点P 在以O '、M 3 为焦距，以2m 为长 轴长的椭圆上，故轨迹C 的方程为 222 2 13 y x m m + =，即 222 3x y m +=. （2）由 (1)y k x =+(0)k ≠得1 1.x y k =- 将11x y k = -代入22 2 3x y m +=消去x ，得 2 2 2 36(1)30.y y a k k +- +-= ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 2 2 2 3634(1)(3)0, m k k ?= -+->整理得22 3( 1)3m k +>，即22 2 3.3k m k >+ 设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122 63k y y k += +. ∵2,AD D B = 而点(1,0)D -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+，所以122y y =-， 代入上式，得22 6.3k y k -= + 于是，△OAB 的面积 12213||||||2 2S O D y y y = ?- = 2 9||32 k k = ≤ = + 其中，上式取等号的条件是2 3,k = 即k = 由22 6.3k y k -=+ 可得2y =. 将2k y == 2k y == 2 15.a = ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是2 2 315.x y += 第三组：数列不等式 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1< n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 12 12 224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数 列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1 211 21 ( 21) 12)(12(1 11 +- -=+-= = +n n n n a a b n n n ，所以 2 1) 12(212 1)1 211 215 13 13 11(2 1< +- = +- -- + - = n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 1 4n n n a a S ++< ； (2) < ???+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112 122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件 n n n S a a 22=+有112 12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-?+=)1(11，(1)2 n n n S += 所以42 ) 1(2 12 ) 1(2 1 2 2 2 ++= ++?<+= n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+ 12 ) 1(2 +< +< n n n n ，所以 2 )1(2 322 2121++ +?+ ?= ++ n n S S S n 2 12 32 2++ ++ < n 2 1 2 2312 -= += +n S n n ；2 2 2)1(22 22 121n n S n n n S S S = += + ++> ++ 2．放缩后成等比数列，再求和 例．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ?+≥--)1()(2； （2）等比数列{a n }中，112 a =- ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成 等差数列．设n n n a a b -= 12 ，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1 3 ． 解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2 ，于是 n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22． （2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比98 12 a q a = =- ． ∴ n n a )2 1(-=． n n n n n n b 2 31) 2(41) 2 1(14 1 ?≤ --=- -= ． ∴ n n b b b B ++=213 1)2 11(3 12 11)2 11(2 1 3 12 312 312 312 2 < - = - -? = ?+ +?+ ?≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2 1(1 =+ =+n a n a n n n ．求证： 1 12 13-++- ≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n a )2 1(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 22 1≥ =-+，累加得：1 2 12 12 221--+ ++ ≥-n n n a a ． 令1 2 2 12221--+++= n n n S ，所以 n n n S 2 12 22 1213 2 -+ ++= ，两式相减得： n n n n S 2 1 2 12 12 121211 3 2-- ++++= - ，所以1 2 12-+- =n n n S ，所以1 2 13-+- ≥n n n a ， 故得1 12 13-++- ≥>n n n n a a ． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数 63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11 +++ = ，证明32221+<++ 解（1）由已知得15,1054==a a ，2 )1(12)1(+= +++-+=n n n n a n . （2）因为 ,2,1,222 222 11 ==+?+>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,222222 =+- + =+++= n n n n n n n b n ， 所以)]2 11()4 121( )3 1 11[(2221+- ++-+-+=+++n n n b b b n =322 2 1 232+<+- +- +n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++ )2(11 1) 1(11) 1(11 112 ≥- -= -< <+= +- k k k k k k k k k k （2）．)2)(11 1( 21 211 2)1 11( 2≥- -=-+ < < ++ = +- k k k k k k k k k k 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论 2 232 n n +、 2 2)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数 列，再求和即可；如例3要证明的结论3 1)2 11(3 1 < - n 为等比数列求和结果的类型，则把通 项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论1 2 13-+-n n 为差比数列求和结果的类 型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论2 21 232+- +-+n n n 为 裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可． 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口． 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作 已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在 典型例题一 例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3 分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）： 答案：D ． 说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯． 典型例题二 例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面． 分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面α，另两条确定平面β，再证平面α，β重合． 已知：c b a ////，A a l = ，B b l = ，C c l = ． 求证：直线a ，b ，c ，l 共面． 证明： ∵ b a //， ∴ a ，b 确定一个平面α． ∵ A a l = ，B b l = ， ∴ α∈A ，α∈B ，故α?l ． 又 ∵ c a //， ∴ a ，c 确定一个平面β． 同理可证β?l ． ∴ a =βα ，且l =βα ． ∵ 过两条相交直线a ，l 有且只有一个平面，故α与β重合 即直线a ，b ，c ，l 共面． 说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明α?c 时，也可以用如下反证法证明： 假设直线α?c ，则c 一定与α相交，此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行，这显然 与c a //矛盾．故α?c ． 典型例题三 例3 已知ABC ?在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点， 证明P ，Q ，R 三点在同一条直线上． 分析：如图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ， Q ，R 在平面α和平面ABC ?的交线上，由P ，Q ，R 都是 两平面的公共点而得证． 证明：∵ P AB =α ，Q BC =α ， ∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线． 又 ∵ R AC =α ， ∴ α∈R 且∈R 平面ABC ， ∴ PQ R ∈， ∴ P ，Q ，R 三点共线． 说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上． 典型例题四 例4 如图所示，ABC ?与111C B A ?不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两 两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点． 分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可． 证明：由推论2，可设1BB 与1CC ，1CC 与1AA ，1 AA 与1BB 分别确定平面α，β，γ． 取P BB AA =11 ，则1AA P ∈，1BB P ∈． 又因1CC =βα ，则1CC P ∈（公理2）， 于是P CC BB AA =111 ， 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21< 例若＜＜，则不等式－－ ＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a [ ] A a x B x a ．＜＜． ＜＜11a a C x a D x x a ．＞或＜．＜ 或＞x a a 11 分析比较与 的大小后写出答案． a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜ ． 选． 0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2 --x 6 分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-???????b a a ()()121 1122 ×得 a b = =-12 12 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2 -+--+-3132 5113 12 2x x x x x x ＞＞ ()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤ 32 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞ 的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝ 0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－＞， 通分得 ＞，即 ＞， 1x 0001111 2 2 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 例与不等式 ≥同解的不等式是6 0x x --32 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ． ≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ． 解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”． 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ] 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A 解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 22 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--?? 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值． 49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2[数学]数学高考压轴题大全
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