高考数学百大经典例题——棱柱
典型例题一
例1 设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；
命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；
命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直．
命题④是真命题，如图所示，平行六面体
1111-D C B A A B C D 中所有对角线相等，对角面11BDD B 是
平行四边形，对角线D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是
矩形，即BD BB ⊥1，同理四边形11ACC A 是矩形，所以
AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ，即该平
行六面体是直平行六面体．
故选A ．
说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．
下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表
典型例题二
例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为
30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．
分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面
ABCD 、1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直
关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条
件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们
转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面
直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的
B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式．
解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11，
∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即
3011=∠BC D ．
∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ，
∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ， ⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角，
在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ， ∴2
2cos 11==∠BD BD BD D ，∴ 451=∠BD D ， 即1BD 与底面ABCD 所成角为 45．
（2）∵11//D A AD ，
∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角（或补角）．
∵⊥11A D 平面B B AA 11，∴ B A A D 111⊥，
Rt △B D A 11中，411=D A ，81=BD ， ∴2
1cos 11=∠B D A ，∴ 6011=∠B D A ， 即异面直线AD 与1BD 所成角为 60．
（3）Rt △11C BB 中，411=C B ，341=BC ．
∴ 241=BB ，
∴ ()()
12232244244442+=?+?+?=全S ．
说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是
灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件．
典型例题三
例3 如图，已知长方体1111-D C B A ABCD 中，棱长51=AA ，12=AB ，求直线11C B 与平面11BCD A 的距离．
分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平
面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面
内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中
有⊥CB 平面11BB AA ，这样，只要作B A H B 11⊥，又有
CB H B ⊥1，得到⊥H B 1平面11A BCD ．
解：长方体1AC 中，有⊥BC 平面11BB AA ，过1B 作B A H B 11⊥于H ，又有H B BC 1⊥，
∴ ⊥H B 1平11A BCD ，即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离．
在Rt △11A BB 中，由已知可得，51=BB ，1211=B A ，
∴ 131=B A ，∴13
601=H B ． 即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为
1360． 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体
1AC 中，11C A 与面BD C 1所成角．这
里，要找11C A 与BD C 1所成角，必须找1A 到平面BD C 1的垂线，
因为⊥BD 面C C AA 11，在对角面1AC 内，过1A 作11OC H A ⊥于
H ，则H A BD 1⊥，所以⊥H A 1面BD C 1，可以得到O C A 11∠为
11C A 与面BD C 1所成角，在对角面C C AA 11中可计算
2arctan 11=∠O C A ．
典型例题四
例4 如图，已知直三棱柱1111-D C B A ABCD 中，AC AB =，F 为侧棱1BB 上一点，
a BC BF 2==，a FB =1．
（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任一点，求证：1FC EF ⊥；（2）若a B A 311=，求1FC 与平面B B AA 11所成角的大小．
分析：E 点在AD 上变化，EF 为平面ADF 内变化的一组
相交直线（都过定点F ），要证明F C 1与EF 垂直，必有⊥
F C 1平面ADF ．求1FC 与平面11A ABB 所成角的关键是找1C 到面
11A ABB 的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱⊥
1AA 平面111C B A 给找点1C 到面1AB 的垂线创造了方便的条件．
解：（1）∵AC AB =，且D 是BC 的中点，∴BC AD ⊥，
又∵ 直三棱柱中⊥1BB 平面ABC ，∴1BB AD ⊥，
∴ ⊥AD 平面C C BB 11，∴F C AD 1⊥．
在矩形C C BB 11中，a BC BF 2==，a F B =1， ∴a DF 5=，a FC 51=，a DC 101=， ∴21212DC FC DF =+，∴ 901=∠DFC ，即DF FC ⊥1，
∴⊥1FC 平面ADF ，∴EF FC ⊥1．
（2）过1C 作111B A H C ⊥于H ，∵⊥1AA 平面C B A 11，∴H C AA 11⊥，
∴⊥H C 1平面B B AA 11，连接FH ，FH C 1∠是F C 1与平面1AB 所成角．
在等腰△ABC 中，a AC AB 3==，a BC 2=，∴a AD 22=，
在等腰△111C B A 中，由面积相等可得，a a H C 22231?=?， ∴a H C 3
241=，又a F C 51=， 在Rt △HF C 1中，15104sin 1=
∠FH C ，
∴15
104arcsin 1=∠FH C ， 即F C 1与平面1AB 所成角为15104arcsin
． 说明：由于点E 在AD 上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了1CF 与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然E 在AD 上变化，但是由于⊥AD 平面C C BB 11，所以E 点在平面1BC 上的射影是定点D ，EF 在平面
1BC 上射影为定直线DF ，使用三垂线定理，可由
DF F C ⊥1，直接证明EF F C ⊥1．三垂线定理是转化空间
线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，
正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，E 是11B A 上动点，
F 是1DD 中点，求AF 与OE 所成角．我们取AD 中点
G ，
虽然E 点变化，但OE 在面1AD 上射影为定直线G A 1，在正方形D D AA 11中，易证AF B A ⊥1，所以，OE AF ⊥，即AF 与OE 所成角为 90．
典型例题五
例5 如图，正三棱柱111-C B A ABC 的底面边长为4，侧棱长为a ，过BC 的截面与底
面成
30的二面角，分别就（1）3=a ；（2）1=a 计算截面的面积．
分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底
面成 30的二面角，如果a 较大，此时截面是三角形；但是如果a 较
小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形．
解：截面与侧棱1AA 所在直线交于D 点，取BC 中点E ，连AE 、DE ，
△ABC 是等边三角形，∴BC AE ⊥，
∵⊥1AA 平面ABC ，∴BC DE ⊥．
∴DEA ∠为截面与底面所成二面角的平面角，
∴
30=∠DEA ．
∵等边△ABC 边长为4，∴32=AE ．
在Rt △DAE 中，2tan =∠=DEA AE DA ．
（1）当3=a 时，D 点在侧棱1AA 上，截面为△BCD ，
在Rt △DAE 中，422=+=
AE AD DE ， ∴8442
121=??=?=?DE BC S BCD ． （2）当1=a 时，D 点在1AA 延长线上，截面为梯形BCMN ，
∵2=AD ，11=AA ∴MN 是△DBC 的中位线， ∴684
343=?==?DBC BCMN S S 梯形． 说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本
例通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而改变截面形状．
典型例题六
例6 斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面⊥C C AA 11底面ABC ，2=BC ，32=AC ，
90=∠ABC ，C A AA 11⊥，且C A AA 11=．
（1）求1AA 与平面ABC 所成角；
（2）求平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的大小；
（3）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离．
分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由
C A A A 11=，取AC 的中点
D ，连D A 1，则有AC D A ⊥1，从而有⊥D A 1平面ABC ，在此基础上，A A 1与底面所成角以及平面11ABB A 与底面所成二面角都能方便地找到，同时⊥D A 1底面ABC 也为寻找B 点到面C C AA 11的垂线创造了条件．
解：（1）取AC 的中点D ，连接D A 1，
∵C A A A 11=，∴AC D A ⊥1，∵平面⊥C C AA 11底面ABC ，
∴⊥D A 1底面ABC ，∴AC A 1∠为A A 1与底面ABC 所成角．
∵C A AA 11=且C A AA 11⊥，∴ 451=∠AC A ．
（2）取AB 中点E ，则BC DE //，
∵ 90=∠ABC ，∴AB CB ⊥，∴AB DE ⊥．
连E A 1，∵⊥D A 1底面ABC ，∴E A 1在平面ABC 上射影为DE ，
∴AB E A ⊥1，∴ED A 1∠为侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角．
在等腰Rt △AC A 1中，32=AC ，∴31=D A ．
在Rt △ABC 中，2=BC ，∴1=DE ．
在Rt △DE A 1中，3tan 11==
∠DE D A ED A ， ∴ 601=∠ED A ，即侧面B B AA 11与底面ABC 所成二面角的大小为 60．
（3）过B 作AC BH ⊥于H ，
∵⊥D A 1底面ABC ，∴BH D A ⊥1，∴⊥BH 平面C C AA 11，
在Rt △ABC 中，32=AC ，2=BC ，∴22=AB ， ∴632=?=AD BC AB BH ，即1BB 到平面C C AA 11的距离为63
2． 说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中
最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键．
典型例题七
例7 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，
90=∠C ，cm 2=BC ，1B 在底面上的射影D 恰好是BC 的中点，侧棱与底面成 60角，侧面B B AA 11与侧面C C BB 11所成角为 30，求斜棱柱的侧面积与体积．
分析：
1B 在底面ABC 上射影D 为BC 中点，提供了线面
垂直⊥D B 1平面ABC ，另外又有
90=∠C ，即BC AC ⊥，
又可以得到⊥AC 平面C C BB 11，利用这两个线面垂直关系，可
以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角．
解：∵1B 在底面ABC 上，射影D 为BC 中点．
∴⊥D B 1平面ABC ．
∴BD B 1∠为侧棱B B 1与底面ABC 所成角，即 601=∠BD B ，
∵ 90=∠C ，即BC AC ⊥，又D B AC 1⊥，
∴⊥AC 平面C C BB 11，过A 作B B AE 1⊥于E ，连接CE ，则B B CE 1⊥．
∴AEC ∠是侧面B B AA 11与侧面B B CC 11所成二面角的平面角，
∴ 30=∠AEC ，
在直角△CEB 中，∵ 60=∠CEB ，2=BC ，∴3=CE ，
在直角△ACE 中，∵ 30=∠CEA ，3=CE ，
∴130tan == EC AC ，22==AC AE ，
在直角△DB B 1中， 601=∠BD B ，121==
BC BD ， ∴221==BD BB ，360sin 11== BB D B ．
∴侧面积为111AA AC BB AE BB CE S ?+?+?=侧
()()()
2cm 3322332123+=?+=?++=． 体积为311cm 33212
121=???=??=?=?D B BC AC D B S V ABC ． 说明：本例中△ACE 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长．
典型例题八
例8 如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，已知a AD AB 2==，a AA =1，又?=∠=∠=∠6011AB A DAB AD A ．
(1)求证：1AA ⊥截面C D B 11；
(2)求对角面11ACC A 的面积．
分析：
(1)由题设易证111D B AA ⊥，再只需证C B AA 11⊥，即证11CD CC ⊥．而由对称性知，若C B CC 11⊥，则11CD CC ⊥，故不必证111D B AA ⊥．
(2)关键在于求对角面的高．
证明：(1)∵a AD C B 211==，a A A CC ==11，?=∠=∠60111AD A C C B ，
∴在C C B 11?中，由余弦定理，得2213a C B =．
再由勾股定理的逆定理，得C B C C 11⊥．
同理可证：11CD C C ⊥．∴C C 1⊥平面C D B 11．
又A A C C 11//，∴1AA ⊥平面C D B 11．
解：(2)∵AD AB =，∴平行四边形ABCD 为菱形．AC 为BAD ∠的平分线．
作O A 1∴⊥平面AC 于O ，
由AB A AD A 11∠=∠，知AC O ∈．作AB M A ⊥1于M ，连OM ，则AB OM ⊥． 在AM A Rt 1?中，a A A AM 2160cos 1=
??=， 在AOM Rt ?中，3
30sec a AM AO =??=． 在AO A Rt 1?中，a AO A A O A 322211=
-=． 又在ABC ?中，由余弦定理，得a AC 32=． ∴2
12211a O A AC S ACC A =?=．
说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线．如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线
所在的直线．
另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上．
典型例题九
例9 如图所示，已知：直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，?=∠30BAC ，1=BC ，61=AA ，M 是1CC 的中点．
求证：M A AB 11⊥．
分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M 点的位置都是确定的，故可通过计算求出M A 1与1AB 两异面直线所成的角．
因为C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，所以11C B ⊥侧面C C AA 11．1AC 是斜线1AB 在平面C C AA 11的射影，设1AC 与M A 1的交点为D ，只需证得?=∠901MDC 即可．
证明：∵C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，C C 1与11C A 交于点1C ，
∴11C B ⊥面C C AA 11．
∵M 为1CC 的中点，∴2
62111==C C MC ． 在111B C A Rt ?中，?=∠30111C A B ，
∴221111==C B B A ，311=
C A ．
在M C A Rt 11?中， ()22
332622211211=+
???? ??=+=C A MC M A ．
在11C AA Rt ?中，3362
2211211=+=+=C A AA AC ． 又1MDC ?∽DA A 1?且21=MC AA ∶， ∴22
122331311=?==M A MD ， 133
13111=?==AC D C ． 在1MDC ?中，23122122212=+??
? ??=+D C MD ， 23262
21=???
? ??=M C ， ∴?=∠901DM C ，11AC M A ⊥，∴11AB M A ⊥．
说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一．证明过程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视．本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧面C C AA 11的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移M A 1或1AB ，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明．
典型例题十
例10 长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长． 分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．
解：设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：
???=++=++②①24)(411)(2z y x zx yz xy
由②得：6=++z y x ，从而由长方体对角线性质得：
5116)(2)(22222=-=++-++=++=zx yz xy z y x z y x l ．
∴长方体一条对角线长为5．
说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把x 、y 、z 单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出2
22z y x ++，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性．
(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对
图形作出整体处理．
典型例题十一
例11 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．
分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．
解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图．
三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：
ab c b a c b a 2)(22222+++=++
bc c b a c b a 2)(22222+++=++
ac c b a b c a 2)(22222+++=++
∵0>>>c b a ，
∴0>>>bc ab ab ． 故最短线路的长为bc c b a 2222+++．
说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线2221c b a AC ++=是最短线路．
(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．
典型例题十二
例12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成?60的二面角，面积为Q ，求直平行六面体的全面积．
分析：如图，由于⊥'DD 面AC ．作出截面与底面所成的二面角的平面角HD D '∠后，因DH D Rt '?中?=∠60'HD D ，可分别求出D D '、DH 和H D '的值．又上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积．
解：设平行六面体为''''D C B A ABCD -，过D 作AB DH ⊥，H 为垂足，连结H D '． ∵⊥'DD 平面ABCD ，
∴AB H D ⊥'，?=∠60'HD D ， ∴H D D D ''23=，H D DH '2
1=． 又在菱形ABCD 中，有CD BC AB AD ===，
∴截面''D ABC 的面积为：Q AB H D S =?='
1． 侧面''DCC D 的面积为：Q AB H D AB D D DC D D S 2
323'''2=?=?=?= 底面ABCD 的面积为：Q AB H D AB DH S 2
121'3=?=
?=． 所以Q S S S )132(2432+=+=全． 典型例题十三
例13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数是（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；
乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；
丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形．
∴应选B ．
说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质．
典型例题十四
例14 如图，ABC C B A -111是直三棱柱，?=∠90BCA ，
点1D 、1F 分别是11B A 、11C A 的中点．若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）．
A ．1030
B ．2
1 C ．1530 D ．1015
解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC 的中点E ，并连结1EF 、EA ． ∵11F
D BC 2
1BE =， ∴11//BD EF ，∴A EF 1∠是1BD 与1AF 所成角．
设a BC 2=，则a CC 21=，a CA 2=． ∴a AB 22=，a AF 51=，a AE 5=，
a D B B B BD EF 62112111=+=
=． ∴1030652)5()6()5(2cos 2221122
1211=??-+=??-+=∠a a a a a EF AF AE EF AF A EF ∴应选A ．
说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求．
典型例题十五
例15 如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 的中点．
(1)证明：//1AB 平面1DBC ；
(2)假设11BC AB ⊥，求以1BC 为棱，1DBC 与1CBC 为面的二面角α的度数．
(1)证明：∵ABC C B A -111是正三棱柱，∴四边形11BCC B 是矩形．连结C B 1交1BC 于E ，则E 是C B 1的中点．连结DE ．
∵D 、E 分别是AC 、C B 1的中点，
∴1//AB DE ．又?1AB 平面1DBC ，?DE 平面1DBC ，．
∴//1AB 平面1DBC ．
(2)解：作BC DF ⊥于F ，则⊥DF 平面C C BB 11，连结EF 则EF 是ED 在平面C C BB 11上的射影．
∵11BC AB ⊥又ED AB //1．
∴1BC ED ⊥．
根据三垂线定理的逆定理，得1BC EF ⊥．
从而DEF ∠是二面角C BC D --1的平面角，
即α=∠DEF ，
设1=AC ，则2
1=DC ∵ABC ?是正三角形，∴在DCF Rt ?中，有 4360sin =
?=DC DF ，4160cos =?=DC CF 取BC 的中点G ，
∵EC EB =，∴BC EG ⊥．
在BEF Rt ?中，FG BF EF ?=2 而43=-=FC BC BF ，4
1=GF ，
∴4
1432?=EF ，∴43=EF ， ∴在DEF Rt ?中，14
3
43
tan ===∠EF DF DEF ． ∴?=∠45DEF ，即?=45α．
从而所求二面角的大小为?45．
说明：(1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻．今后要引以为戒．
(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查；在解答过程中，必须添加适当的辅助线，不仅考查了识图，而且考查了作图．本题是一道综合性试题，较深入和全面地考查了各种数学能力，正确解答本题，要求同学们有较高的数学素质．
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
小升初数学训练典型例题分析-找规律篇
名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。
(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。
高考数学大题经典习题
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
高考数学典型例题---数学归纳法解题
数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，
小升初数学测试题经典十套题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。
5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。 三、计算：（每小题5分，共10分）
[高考数学]高考数学函数典型例题
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③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式， 找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数 是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 小升初数学：应用题综合训练1 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 总棵数是900＋1250＝2150棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵 需要种的天数是2150÷86＝25天 甲25天完成24×25＝600棵 那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙 即做了300÷30＝10天之后即第11天从A地转到B地。 2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作1份。 因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份 因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份 所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份 所以，每亩面积每天长24÷15＝份 所以，每亩原有草量60－30×＝12份 第三块地面积是24亩，所以每天要长×24＝份，原有草就有24×12＝288份 新生长的每天就要用头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝头牛 所以，一共需要＋＝42头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=每亩原有草量为*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24**80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头） 解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--…… *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 升中典型题 1、一种商品按定价的75折出售，仍可获利20%，若按定价出售可获利（）%。 2、圆柱体和圆锥体的底面半径的比是2：3，高的比是4：3，则圆柱与圆锥的体积比是（）： （）。 3、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它是长、宽、高都是质数，那么 这个长方体的体积是（）。 4、小芳骑车从甲地到乙地每小时行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千 米，则返回时每小时应行（）千米。 5、一个半圆形，半径是r，它的周长是（）。 6﹑水结成冰后体积增了1 11 , 冰融化成水后,体积减少( ) 7.冰化成水后，体积比原来减少1 12，水结成冰后，体积比原来增加了（）. 8、甲数为a，比乙数的3 4多b，表示乙数的式子是（）。 9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等。已知圆柱的高是圆锥高的 2 3，圆柱的底面积和圆锥底 面积的比是（） .10、甲种商品降价20％后与乙商品涨价20％后的价格相等，甲乙两种商品的原价的比是（）。 11.甲数比乙数少20％，乙数比甲数多（）％。 12.甲乙两个数最大公因数是3，最小公倍数是45，若甲数是9，那么乙数是（）。 13. 相同的小正方形拼成一个大正方形，至少要（）个。相同的小正方体拼成一个大正方体，至少要（）个。 二、解决问题。 1﹑用同一种方砖铺一间长8米,宽6米的乒乓球室的地板,先用200块方砖就铺了32平方米,余下的还要多少方砖(用比例解) 2﹑小明读一本书,第一天读了这本书的1 4 多6页,第二天读了这本书的 2 5 少2页,第三天读完剩 下的17页,这本书共有多少页 3、一筐梨，先拿走30kg，又拿出余下的70%，这时剩下的梨正好是原来的1 10。这筐梨原来 多少kg 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)
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