高考数学大题经典习题资料
1. 对于函数()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-。
（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过
22sin cos t t t -+t 的取值范围；
（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。
1. （1）由()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-，则
()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-
因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根
22
1(2)121(2)02
(2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2
'43f x x x ∴=-+-
因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2
2sin cos t t t -+
所以()2
'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，
而()()2
'21f x x =--+，其最大值为1．
故2
2sin cos 1t t t -≥
72sin 21,3412t k t k k Z πππππ?
??-≥?+≤≤+∈ ??
?
（2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b =
当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2
'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-，
2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤
从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为
4S π=
2. 函数cx bx ax x f ++=2
3
)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、))
(,(ββf B
分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若m
m x f x 6
)(],1,2[->-∈恒成立，求实数m 的取值范围. 2. （Ⅰ） b =0
（Ⅱ）
3'2()()30,f x ax cx
f x ax c αβ
=+∴=+=Q 的两实根是
则 03c a αβαβ+=????=??
|AB|＝22
2
2
()()()()4()2f f αβαβαβ?-+-=?-= 3
4232
c c a a -?
=?=- 33()()f f a c a c αββαααβββα-=-?+--=-Q
222()1[()3]1a c a c ααββαβαβ?+++=-?+-+=-
233
()11122
c a c c ac a a a ∴-+=-?-+=-?-=-
又0
1a a >∴= 3()3
2
x f x x =-
（Ⅲ） [2,1]x ∈-时，求()f x 的最小值是-5
6(6)(1)50m m m m m
+-->-?< 106<<- 3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若 点B 的坐标为（2，0），且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4， 5]上有相反的单调性． （1）求c 的值； （2）在函数()x f 的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？ 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由； 3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性， ∴ x=0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ， 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B （2，0） ∴()a b d d b a 24,048+-==++即 令()0'=x f ，则a b x x bx ax 32,0,023212- ===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性 ∴4322≤-≤a b ， ∴36-≤≤-a b 假设存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，则()b x f 30'= 即 032302 =-+b bx ax ∵ △=()()?? ? ??+=+=-??-94364334222a b ab ab b b a b 又36-≤≤-a b ， ∴△＜0 ∴不存在点M （x 0，y 0），使得()x f 在点M 的切线斜率为 4. 已知函数x x f ln )(= （1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证2 2) (2)()(b a a b a a f b f +->-； 4. （1）x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(Θ )1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11 1 )(-+= 'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时，0)(>'x g 当0>x 时0)( ∴ 当且仅当0=x 时，)(x g 取得最大值0 （2）)1ln(ln ln ln ln )()(b b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由（1）知b a b b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln( 又2 2222 2)(2212,0b a a b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<<Θ 2 2) (2)()(b a a b a a f b f +-> -∴ 5. 已知)(x f 是定义在1[-，0()0Y ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，2 1 2)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式； （2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-． 5. （1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，2 1 2)(x ax x f + -=-，)(x f 是奇函数，则21 2)(x ax x f - =，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x ，01 3>+x a ， 即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的． （3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，2 5 )1()(max - =?==a a f x f （不含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，3 1a x -=，如下表)1 ()(3 max a f x f -= 0(2 2 226∈= ?-=?-=x a ]1， 所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-． ． 6. 已知5)(2 3 -+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ?的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a +≥+2 22时，不等式[] )4 33 2()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立． （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围． 19. (1)由5)(2 3 -+-=x x kx x f 知123)(2 +-='x kx x f ，Θ)(x f 在R 上单调递增， ∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0k 且0124<-k ，∴3 1 >k ， 当0=?，即3 1=k 时，2 2)1(123)(-=+-='x x kx x f ， ∴1 1 =k 时，能使)(x f 在R 上单调递增， 3 1≥∴k ． (2)Θac b c a +≥+2 2 2 ，由余弦定理：2122cos 222=≥-+= ac ac ac b c a B ，∴3 0π ≤ (3) Θ)(x f 在R 上单调递增，且[ ] )4 33 2()cos(sin 2 + <+++m f C A B m f ，所以 4 332)cos(sin 2+<+++m C A B m =++=++-=+ +--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)2 1 (cos 2≥++B ， ---10分 故82<-m m ，即9)1(2 <-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m 7. 已知函数36)2(2 3 )(23 -++- =x x a ax x f （I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值 （II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。 7. （I ）)1)(2 (36)2(33)(2 --=++-='x a x a x a ax x f ,2>a Θ 12<∴ a ∴当a x 2<或1>x 时，0)(>'x f ；当12 < (a 内单调递减 故)(x f 的极小值为2 )1(a f -= （II ）①若,0=a 则2 )1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点。……6分 ②若,0 12 ∴当12> < 时，0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02)1(>-=a f )(x f Θ的极小值为0)2 ( ③若20< >a 。 ∴当a x x 21><或时，0)(>'x f ，当12 < 时，0)(<'x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ④若2=a ，则0)1(6)(2 ≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当2>a ，由（I ）知)(x f 的极大值为04 3 )431( 4)2 (2<---=a a f 综上所述，若,0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点； 若0 1. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足 MQ PM PM CP 2 1 ,0= =? （1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。 6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则),(),,3(t s PQ t CP -== 由0=?得3s —t 2 =0……………………………………………………① 又由21= 得),(2 1 ),(y x s t y x --=- ??? ????-=--=∴)(21)(21y t y x s x ， ?????==∴y t x s 233……………………………………② 把②代入①得2)2 3(9y x -=0，即y 2 =4x ，又x ≠0 ∴点M 的轨迹方程为：y 2 =4x （x ≠0） （2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则 0=?⊥OB OA OB OA 即 设),4(),,4(22 2121y y B y y A ，则由0=?OB OA 可得 016 2122 21=+y y y y 解得1621-=y y 又2 12122124 4 4y y y y y y k AB +=--= 则直线AB 的方程为：)4 (42 1 211y x y y y y -+=- 即2 1212 1214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得 0)()164(1=+--y y y x 令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0） 答，存在点H （4，0） ，满足题意。 2. 设j i R y x ??,,,∈为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量，若向量 8,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y i x a ??????? ?且. (1)求点M （x,y ）的轨迹C 的方程； (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2. (1)8),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a ? ???Θ且 即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8, ∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为112 162 2=+x y . (2)由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=， 由? ????==+=112 1632 2x y kx y 消去y 得：(4+3k)x 2 +18kx-21=0. 此时，△=(18k)2-4(4+3k 2 (-21)>0恒成立，且??? ???? +- =+-=+22122134213418k x x k k x x 由OB OA OP +=知：四边形OAPB 为平行四边形. 假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则00,=?⊥B OA OB OA 即 . 因为),(),,(2221y x OB y x OA ==，所以02121=+y y x x ， 而9)(3)3()3(21212 2121+++=+?+=x x k x x k kx kx y y ， 故09)3418(3)3421)(1(2 22 =++-++- +k k k k k ，即45,1852 ±==k k 得. 所以，存在直线l ：34 5 +±=x y ，使得四边形OAPB 为矩形. 3. 一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ． （Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； （Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标． 12. （Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032 212=+--?n m ． 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)5 2 ,59(-． （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05 2 ()159(22=-+--= ， 2=∴a ，112=-=b ． ∴所求椭圆方程为12 22 =+y x ． （Ⅲ）22 =c a Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭 圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-= t t t t d ，22-=t d ． 2 2221)2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， 令2 2)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则 3 422) 2() 86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--?++--?+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34 -=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在3 4 -=t 时取得最小值． 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3 1,34(-． 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 说明：求得的点Q )3 1 ,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心 4. 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ， 3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 4. （1）∵ 34,,32e 成等比数列 ∴34322?=e 23 2 =e 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 99,3222 4 9)22(2222=+=+++y x y y x 化简得 即1922 =+y x 为所求的椭圆方程. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 -=x 相交，不可能垂直x 轴 因此可设l 的方程为：m kx y +=由 整理得得消去9)(9,9 92 22 2=++???=++=m kx x y y x m kx y 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ① 方程①有两个不等的实数根 ∴090)9)(9(442 2 2 2 2 2 <-->-+-=?k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 2221+-=+k km x x ∵线段MN 恰被直线21 - =x 平分 ∴19 2221221 -=+-+=-k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29( 22 2<+-+k k k ∵092 >+k ∴22 9104k k +-< ∴32>k 解得3>k 或3- 2,2()2,3(π πππY 5. 已知向量( ,3),(1,0),(3)(3)a x y b a b a b ==+⊥-r r r r r r 且. （Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当AM AN =时，求实数m 的取值范围。 5. 由题意得： （II ）由22 13 y kx m x y =+???+=??得222 (31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴?>，即22 31m k <+ ① （1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则 2221331 231313p M N p p p AP p y x x mk m m k x y kx m k k k x mk ++++==-=+===- ++从而 又22311 ,,2313m k AM AN AP MN m k mk k ++=∴⊥- =-=+则即 ②. 将②代入①得22m m >，解得02m <<, 由②得2 2110,32 m k m -=>>解得 , 故所求的m 取值范围是1 (,2)2 （2）当0k =时，22 ,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得 6. 设直线) 1(:+=x k y l 与椭圆 )0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点. （I ）证明：2 2 2 313k k a +>； （II ）若OAB CB AC ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 6. 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11 )1(-=+=y k x x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311 222=+-= ，得 .012 )31(222=-+-+a y k y k ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 3)31( ,0)1)(31(442 22 22>+>---= ?a k a k k 整理得， 即.3132 22 k k a +> （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得2 21312k k y y += + 因为212,2y y CB AC -==得，代入上式，得.3122 2k k y +-= 于是，△OAB 的面积 ||23 ||||21221y y y OC S =-?= .23 | |32||331||32 =<+=k k k k 其中，上式取等号的条件是.3 3,132 ±==k k 即 由.33 ,3122 2 2±=+-= y k k y 可得 将3 3,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.532 2=+y x 7. 如图，已知⊙O '：()2 228x y ++=及点A ()2,0，在 ⊙O '上任取一点A ′，连AA ′并作AA ′的中垂线l ，设l 与直线O 'A ′交于点P ，若点A ′取遍⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点,且O N O M λ''=u u u u r u u u u u r ,则当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围. 7. (1) ∵l 是线段A A '的中垂线，∴PA PA '=, ∴||PA|－|P O '||=||P A '|－|P O '||=|O 'A '|=即点P 在以O '、A 为焦点，以4 为焦距，以C 的方程为22 122x y -=. (2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则直线m 的方程为(2)y k x =+,则由O N O M λ''=u u u u r u u u u u r ,得 21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由2 2 (2)2 y k x x y =+?? -=?,得222(1)420k y ky k --+=.∴ 2 1241k k y y -+= ,22 1221k k y y -= ,22222168(1)8(1)0k k k k k ?=--=+>. 由21y y λ=,2 1241k k y y -+=,22 1221k k y y -= , 消去12,y y ,得 2 2 8(1) 1 12k λλ λ λ+-= =+ +.∵6λ≥,函数1 ()2g λ λλ=+ +在[6,)+∞上单调 递增. ∴ 2 814916 6 62k -≥++= , 2 149 1k ≤<，所以 17 1k -<≤-或1 7 1k ≤<. 故斜率k 的取值范围为1 17 7 (1,][,1)--U . 8. 如图，已知⊙O '：()2 22 640x y m m m ??++=> ? ???及点M 60,m ?? ? ??? ，在 ⊙O '上任取一点M ′，连M M ′，并作M M ′的中垂线l ，设l 与O 'M ′交于点P ， 若点M ′取遍⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点D .若2,AD DB OAB =?u u u r u u u r 求的面积取得最大值时的椭圆方程． 8. (1) ∵l 是线段MM '的中垂线，∴PM PM '=, ∴|PM|+|P O '|=|P M '|+|P O '|=|O 'M '|=2m ()0m >. 即点P 在以O '、M 为焦点，以 26 m 为焦距，以2m 为长轴长的椭圆上，故轨迹C 的方程为22 2213 y x m m +=，即 222 3x y m +=. （2）由 (1)y k x =+(0)k ≠得1 1.x y k =- 将1 1x y k = -代入2223x y m +=消去x ，得 22236 (1)30.y y a k k +-+-= ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 222363 4(1)(3)0, m k k ?=-+->整理得2 23(1)3m k +>，即2223.3k m k > + 设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122 63k y y k +=+. ∵2,AD DB =u u u r u u u r 而点(1,0)D -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+，所以122y y =-， 代入上式，得22 6.3k y k -=+ 于是，△OAB 的面积 12213 ||||||22S OD y y y =?-=2 9||33.3223|| k k k =≤=+ 其中，上式取等号的条件是2 3,k =即 3.k =± 由22 6.3k y k -= +可得23y =±. 将23,3k y ==-及23,3k y =-=这两组值分别代入①，均可解出2 15.a = ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是2 2 315.x y += 第三组：数列不等式 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，2 11)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ， 所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 2 1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-= n n n B n Λ 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2 2n n n a a S +=. (1) 求证：22 14 n n n a a S ++<； (2) 122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ，又由条件 n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得 0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-?+=)1(11，(1) 2 n n n S += 所以4 2)1(212)1(2 1 2 22++=++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+< n n n n ，所以 2 1 2)1(2 +< +< n n n n ，所以 2)1(23222121+++?+?= ++n n S S S n ΛΛ2 1 2322++++ 12 2312-= +=+n S n n ；2 2 2)1(2 2 22 121n n S n n n S S S = += + ++ > ++ΛΛ 2．放缩后成等比数列，再求和 例．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ?+≥--)1()(2； （2）等比数列{a n }中，11 2 a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成 等差数列．设n n n a a b -=12 ，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1 3． 解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是 n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22． （2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981 2 a q a = =-． ∴n n a )2 1 (-=． n n n n n n b 231 )2(41)2 1(141?≤ --= --= ． ∴n n b b b B Λ++=2131)211(312 11) 211(213123123123122<-=--? =?++?+?≤n n Λ． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2 1(1Λ=+ =+n a n a n n n ．求证： 1 121 3-++- ≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n a )2 1(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>= -+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1212 1 2221--+++≥-n n n a a Λ． 令12212221--+++=n n n S Λ，所以n n n S 21 22212132-+++=Λ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以12 13-+-≥n n n a ， 故得112 1 3-++-≥>n n n n a a ． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数 63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++= ，证明32221+<++ ) 1(12)1(+= +++-+=n n n n a n Λ. （2）因为Λ,2,1,22 222211==+?+>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++Λ. 又因为Λ,2,1,2 22222=+-+=+++= n n n n n n n b n ， 所以)]2 1 1()4121()3111[(2221+- ++-+-+=+++n n n b b b n ΛΛ =322 21232+<+-+- +n n n n . 综上，ΛΛ,2,1,32221=+<++ 11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k （2）．)2)(11 1( 21 211 2)1 11( 2≥- -=-+< < ++= +- k k k k k k k k k k 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论 2 232n n +、 2 2)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数 列，再求和即可；如例3要证明的结论31 )211(3 1<- n 为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论12 1 3-+-n n 为差比数列求和结果的类 型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论2 2 1232+- +-+n n n 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可． 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口． 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10< 3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作 已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在 ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S 5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21< 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A 解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 22 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ 2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-< ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 高考数学七大必考专题 专题1：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点 函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。 不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题2：数列 以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。 专题3：三角函数，平面向量，解三角形 三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题4：立体几何 立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。 另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。 专题5：解析几何高考数学大题经典习题
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