不等式性质的两个重要应用
不等式性质的两个重要应用
一．利用不等式性质证明不等式
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
例1：若0>>b a ，0< b e c a e ->-. 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件. 解：∵0<< d c ，0>->-d c ，又0>>b a ∴0>->-d b c a ，故 d b c a -<-11。 而0< e ，∴d b e c a e ->-. 二．利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径. 三．利用不等式性质，探求不等式成立的条件 不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用. 例2：已知三个不等式：①0>ab ；②b d a c >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题. 解：对命题②作等价变形：0>-?>ab ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③?②； 若0>ab ，0>-ab ad bc ，则ad bc >，故①②?③； 若ad bc >， 0>-ab ad bc ，则0>ab ，故②③?①。 ∴可组成3个正确命题. 例3：已知b a >，b b a a 11->- 同时成立，则ab 应满足的条件是__________. 解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知0)1(>+ab ab ， 从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1- 不等式性质的两个重要应用 一．利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 例1：若0>>b a ，0< 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.0 专题15 不等式性质，线性规划及基本不等式 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中 的不等关系,了解不等式 (组)的实际背景 理解 2017山 东,7; 2016北 京,5; 2013陕 西,10 选择题★★☆ 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题. 考点内容解读要求高考示例常考题 型 预测热 度 1.平面区 域 问题①会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组; ②了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山 东,4; 2015课标Ⅰ,15;2014 课标Ⅰ,9 选择题 填空题 ★★★ 2.线性规 划 问题会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5; 2017课标全国Ⅰ,14; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,13 选择题 填空题 ★★★ 分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查及平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题. 分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分. 1 专题2.1 等式性质与不等式性质 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m) B.?? ?≥≤) (10) /(120m d h km v C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m) 【答案】B 【解析】最大限速与车距是同时的，故选B. 2．已知0N C ．M ＝N D ．M ≥N 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式 一、知识结构思维导图 二、学法指导与考点梳理 知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b 的解的情况： （1）当a>0时，a b x > ； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 x y O x 1 x 2 x y O x 0 x y O 知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 1、表中a ac b b x 2421---=，a ac b b x 2422-+-= 2、)0(02 ≠>++a c bx ax 恒成立???<-=?>?0 40 2 ac b a )0(02 ≠<++a c bx ax 恒成立???<-=?0时， ①a x a a x a x <<-??>2 2 ||或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 |()|()f x g x ≥?()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤?()()()g x f x g x -≤≤． 知识点5 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 ab b a ≥+2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+； (2)若R b a ∈,,则22 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． (3)若00a ,b >>,则 ab b a ≥+2 ； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）； (5)若00a ,b >>,则2 2? ? ? ??+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x + ≥（当且仅当1x =时取“=”） ；若0x <,则1 2x x +≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或1 2x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a 不等式的性质及其应用 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据，不等式性质的应用也是历年高考的重点。因此掌握不等式的性质及其应用是非常必要的，本文就不等式的性质及其应用加以探讨。 一、不等式最基本的性质 对称性：a b b a >?< 传递性：,a b b c a c >>?> 加法性： ,a b c R a c b c >∈?+>+ 乘法性： 00 a b ac bd c d >≥??>? >≥? 除法性： 110a b ab a b >??? 乘方性： 0()n n a b a b n N *>≥?>∈ 开方性： 0)a b n N *>≥>∈ 倒数法则：011ab a b a b >??? 二、不等式性质的应用 （1）比较实数的大小 因为“0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -≠且的大小 分析：对于1(1)log a a +和(1)log a a +这两个对数，由于式中含有参数a ，故我们不能直接确定它 们之间的大小关系，于是可用上面的不等式的最基本的性质，让它们作差从而比较大小。 解：∵1 111(1)(1)1log log log log 10a a a a a a a a a ++++-===-<，∴1(1)(1)log log a a a a ++< 点评：通过让两个式子作差，并经过恒等变形，从而确定了两式差的符号，即确定了两式的大小。 例2、（2006年上海卷）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A. 11a b < 22a b < D.||||a b > 解：对于A ：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，由不等式的传递性知 11a b <，故选A 点评：在运用不等式性质时，不要忽略性质成立的条件 （2）求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，求解步骤：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”。 例2、若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。 专题05 等式与不等式的性质 知识梳理 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b 2 －4ac 称为一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{2a ，2a }； (2)当Δ＝0时，方程的解集为??? ? ?? －b 2a ； (3)当Δ<0时，方程的解集为?． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x 1，x 2是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ． 一、不等式的性质： （1）;a b b a （2） （3）;c b c a b a +>+?> （4）;,d b c a d c b a +>+?>> （5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （6）;0,0bd ac d c b a >?>>>> （7）;0n n b a b a >?>>、 （8）;0n n b a b a >? >> （9）;11,0,b a b a ab b a ≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤- 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； ;,c a c b b a >?>> 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 不等式的基本性质 1、不等式的基本性质1：如果a>b，那么 a+c____b+c， a－c____b－c． 不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc． 不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc． 2、设a 1、已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x< 2 1-a，则1－a是____数． 2、已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是 A．3b 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππβπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππ βπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ） A ．1 2 B ．22a b + C ．2ab D ．b 【例2】 将23 2，12 23?? ??? ，1 22按从大到小的顺序排列应该是 ． 【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ） A ．x y > B ．x y ≥ C ．x y < D ．x y = 【例4】 若 11 0a b <<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号） 典例分析 比较大小 【例5】已知,a b∈R，那么“|| a b >”是“22 a b >”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0 b a <<，则下列不等式中正确的是（） A．11 a b >B．a b >C．2 b a a b +>D．a b ab +> 【例7】比较下列代数式的大小： ⑴23 x x +与2 x-； ⑵61 x+与42 x x +； 【例8】比较下列代数式的大小： ⑴43 x x y -与34 xy y -； ⑵（其中0 xy>，且x y >） ⑶x y x y与y x x y（其中0,0, x y x y >>≠）． 【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列． 【例10】 比较大小：log a a b 、log a b 与log b a （其中21a b a >>>） 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d a b - <-， 则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d < 【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ac > B ．a c b c > C ．ab bc > D ．()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->， 0c d a b ->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 九年级一元一次不等式（组）复习 一、知识点回顾及典型例题 (一)、不等式的定义： （二）、不等式的基本性质： 1.（2012广州市）已知a ＞b,c 为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ） A. a+c ＜b+c B. a －c ＞b －c C. ac ＜bc D. ac ＞bc 2.①若3＜x ，则x 3； ②若-2＜x ，则0 x +2； ③若－2a ≥8，则a 4； ④若x ＞y ，则m 2 x m 2 y 。 （三）、不等式的解和不等式的解集的定义： ⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。 ⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 1.（2014衢州）不等式2x －1＞1 2 x 的解集是 . 2：不等式53-x ＜x +3的正整数解有( ) 3. （2014攀枝花）下列说法中，错误．． 的是（ ） A. 不等式2 ⑵解一元一次不等式的一般步骤： 例：13 132 1≤---x x 解不等式： 4 12 33523+>-- x x ； 3252132x x x -≤-- （五）、一元一次不等式组： ⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。 ⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。 可以利用数轴来找。 例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．23112.2x x x - 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1 x ＜a 等价于( ) A ．－1 b ＜x ＜0或0＜x ＜1a B ．－1a ＜x ＜1 b C ．x ＜－1a 或x ＞1 b D ．x ＜－1b 或x ＞1 a 解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ?x ＞1a ； (2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ?x ＜－1 b . 综上所述，不等式－b ＜1 x ＜a ?x ＜－1 b 或x ＞1 a . 答案：D 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12 a ＜0 C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1 答案：C 3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是() A．[－7，26] B．[－1，20] C．[4，15] D．[1，15] 答案：B 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是() A．a3＜b3B．a2＜b2 C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2 解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A. 答案：A 5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利() A．x＞a B．x＜a C．x≥a D．0≤x≤a 解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A. 答案：A 二、填空题 全 国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的 性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>? >>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，不等式性质的两个重要应用
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