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第二型曲线积分

§2 第二型曲线积分

教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．

(2)了解两类曲线积分的联系．

教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．

（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题

教学程序：

一. 第二型曲线积分的定义:

1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:

一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.

大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ

其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角

现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).

为此,我们对有向曲线C 作分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内

插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ? 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ?=λ

设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j

由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x 和i

i m C 1-=(),(y x ??)

从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功

i W ),(i F ηξ≈i

i m C 1-= P(j i ηξ,)i x ?+Q (j i ηξ,)i y ?

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似

i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1

),()),((ηη

当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得

(,)AB

W F dx dy →

=?? , 即 ds F W L

?=?.

2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).

设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ??-=AB

dx y x Q dy y x P dE ),(),(.

3. 第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ?,}max{Si ?=λ,11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.

又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1

. ),(ηξxi ?+lim ∑=n

i i i Q 1

. ),(ηξyi ?

存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为?c

Qdy Pds + or

Qdy Pds +

or ??+c

Qdy Pdx or

Qdy Pds AB

注(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)

则上述记号可写成向量形式:?c

fds

(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds c

),,(),,(),,(++=?

按这一定义 , 有

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ?+=AB

Qdy Pdx W .

流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量

E 为 ?-=AB

Qdx Pdy E .

第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ?

?-=BA

因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.

可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线

AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 ?++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

4. 第二型曲线积分的性质:

第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,

除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.

(1)线性性设C 为有向曲线,?c

fds ,?c

gds 存在, 则

,,R ∈?βα则ds f f c

)(?+βα存在,且???+=+c

gds fds ds f f βαβα)(

(2)可加性:设?c

fds 存在,,21C C C ?=

???2

,c c fds fds 存在,且???+=2

c c c

fds fds fds

(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点””终点”,若为封闭有向线段,则记为?c

fds

(2)设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反),则?c

fds =-?c

fds

即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机,它与曲线C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别. 二. 第二型曲线积分的计算:

曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.

设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψ?≤≤==t t y t x , )( , )(.

A ())( , )(αψα?,

B ())( , )(βψβ?; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向)有

()()[]??'+'=+L

dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P β

αψψ??ψ?)()( , )()()( , )(),(),(.

(证略)

注：起点参数值作下限，终点参数值作上限．

例1计算()?-+L

dy x y xydx ，其中L 分别沿以下路线从点()1,1A 到点()3,2B ⅰ）直线AB

ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ⅲ）三角形周界ADBA

解

ⅰ）直线AB :[]??

?∈+=+=1,0,21,

1t t y t x 故()?-+AB

dy x y xydx =

()()[]dt t t t ?

+++1

2211=6

25 ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ，21≤≤x

()?-+ACB

dy x y xydx =

()[]()

[](){}

dx x x x x x ?--+-++-1

14112112=

ⅲ）三角形周界ADBA ：

()?-+ADBA

dy x y xydx =()?-+AD

dy x y xydx +()?-+DB

dy x y xydx +()?-+Ba

dy x y xydx

=?21xdx +()?-312dy y +()()[]dt t t t ?+++0

2211=625023-++=38- 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0．例2计算?+L

ydx xdy ，这里L ：ⅰ）沿抛物线从O 到B ⅱ）沿直线段O B ：x y 2= ⅲ）沿封闭曲线OABO

解

ⅰ）沿抛物线从O 到B ：?+L

ydx xdy =()[]

dx x x x ?

224=2

ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=，?+L

ydx xdy =()dx x x ?

22=2

注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线OABO ：

?+L

ydx xdy =?+OA

ydx xdy +?+AB

ydx xdy +?+BO

ydx xdy =()0220=-++

注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0 空间曲线时有：

设有空间光滑曲线L ：()()()[]βα,,,

∈??

???===t t z z t y y t x x 起点为()()()()αααz y x ,,，终点为()()()()βββz y x ,,则

有：

?++L Rzy Qdy Pdx =

()()()()()()()()()()()()()()()[]?'+'+'β

dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ,,,,,, 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限．

例3计算第二型曲线积分()?+++L

dz x dy y x xydx 2

，L 是螺旋线：t a x cos =，t a y sin =，

bt z =从0=t 到π=t 上的一段

解 ()?+++L

dz x dy y x xydx 2

=()

+-+-π

2222223cos cos sin cos sin cos dt t b a t t a t a t t a

=()πb a +12

12 例4求力F ()z y x x y ++-,,作用下ⅰ）质点由A 沿螺旋线 1L 到B 所做的功，其中1L ：t a x cos =，t a y sin =，bt z =，π20≤≤t ,ⅱ）质点由A 沿直线 2L 到B 所做的功解 ⅰ）W =()?+++-L

dz z y x xdy ydx

()?+++--π

222

sin cos cos sin dt t b t ab t ab t a t a

=()2

2a b -ππ

ⅱ）W =()?+++-L

dz z y x xdy ydx

()?+π

dt t a =()b a b ππ+2

注：这里不同路径积分值不同．

第二十章习题课1

§1第一型曲线积分

例1 求?++L

ds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.

解法1 ?++L

ds zx yz xy )(?++=

ds zx yz xy )(221

?++-++=

ds z y x z y x )]()[(212

222 ?++-=L ds z y x )(21222?-=-=L

a ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程.由2222a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得

2222)(a z z x x =+++

即 )231(2)2(222

2z a

a z x -=+ 令t a z sin 3

2=，则

)

231(22222z a

a z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±= t a

t a z x y sin 6

cos 2)(-=+-=

于是得到两组参数方程

?????????=--=-=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2???

???

?=-=--=t a z t a t a y t a t a x sin 32

sin 6cos 2sin 6cos 2 我们可任选一组，例如第一组.显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则

?++L

ds zx yz xy )(?=L

zxds 3

?=π

202

sin 3t a dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-

?=π

sin 3t a

dt t t )sin 31

(cos -

320

sin a dt t a

ππ

-=-=?

解法 3 作坐标旋转.就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为

θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=

因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{31=n ，则它与z 轴的夹角余弦为3

cos =

φ.下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转4

π，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转φ，得新坐

标系Ouvw .即

Oxyz → vz u O ' → Ouvw 由旋转公式得

???

????+'=-'=)(21)(21v u y v u x ???+='-=φφφφcos sin sin cos u w u u w z 于是得 ???

?-=++=+-=φφφφφφsin cos )sin cos (21)sin cos (21u w z w v u y w v u x 在这组变换下，曲线L ：2222a z y x =++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，故

?++L ds zx yz xy )(?=L xyds 3?+-=L

ds v u v u )cos )(cos (23φφ ?-=L ds v u )cos (23222φds v u L

)3(21

22-=? ds v v u L

]4)([212

22-+=?320

233sin 2a tdt a a πππ-=-=? 注1 三种解法各具特点：

解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分. 解法2常规的方法，即

写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分

这里主要难在第一步，写参数方程.通过解法2，给出了一种求参数方程的方法.

解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算.

Oxyz 坐标系下的线积分 → Ouvw 坐标系下的线积分 → 写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分

在新的坐标下，曲线有简单的参数方程.这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程.

第二十章习题课2

§2 第二型曲线积分

例1 计算曲线积分

?-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I )()()(222222，

（1）L 是球面三角形1222=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，L 的

方向为逆时针方向；

（2）L 是球面2222a z y x =++和柱面)0(22>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部分，从

x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向.

解（1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段

1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）

则 ?-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I )()()(2

22222

?-+-+-=1

)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y

?-=1

23L dy x dx y 4)1(3)1(31

2012-=---=?

?dy y dx x

或 ?-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I )()()(2

22222

?-=L

dx z y )(322???-++=3

12))((32

2L L L dx z y

??-+=1

233L L dx z dx y 4)1(3)1(31

2012

-=---=?

?dx x dx x

注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于

第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍.

第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍.

问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即

?-+-+-=L

dz y x dy x z dx z y I )()()(222222?-=1

)(92

2L dx z y

（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反

?-L

dx z y )(2

≥-=0

,22)(y L dx z y ?

≤=-+0

20)(y L dx z y 同理 ?-L

dz y x )(2

≥-=

2)(y L dz y x 0)(0

2=-=?

≤y L dz y x 故 ?-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I )()()(222222?-=L

dy x z )(2

下面求曲线L 的参数方程. 方法1 利用球面的参数方程

φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，

代入柱面方程ax y x =+22得θφcos sin =，于是得L 的参数方程

θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从2π

到2

π-

方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=，θsin 2

a y =，代入球面方程

2222a z y x =++，得L 的参数方程 θcos 22a a x +=， θsin 2a y =， |2

sin |θ

a z =， θ从π2到0

不妨取方法1中的参数方程进行计算， ?-=L

dy x z I )(2

---=

/22422)sin (cos ]cos [sin ππθθθθθd a a ?

---=0

423

)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a

?--+--=2

)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a

332

]224635222434321[2a a ππ=?????-??-+--=

注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于y是偶函数（不是奇函数），则

?-L

dx z

≥-

2 2)

( y L

≤

)

(

上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的. [作业] 教材P203:1;2;3.

第二型曲线积分

§2 第二型曲线积分教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． (2)了解两类曲线积分的联系．教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题教学程序：一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功: 一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W. 大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此,我们对有向曲线C 作分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ? 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ?=λ 设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j 由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x 和i i m C 1-=(),(y x ??) 从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i W ),(i F ηξ≈i i m C 1-= P(j i ηξ,)i x ?+Q (j i ηξ,)i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),()),((ηη 当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词：曲面积分；曲线积分 1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0）的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

积分对称性定理

关于积分对称性定理 1、定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。（2）如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分

()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.（二重积分的轮换对称性） (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

数学分析第二型曲线积分

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§2 第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式难点：第二型曲线积分的计算公式教学内容：第二型曲线积分一第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。为此在曲线B A ) 内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A ) 分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为 i s ?，则分割T 的细度为 i n i s T ?=≤≤1max 。设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么 )),(),,((),(y x Q y x P y x F =。又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=?i i i x x x 与1--=?i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记 ),(1i i M M y x L i i ??=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ?+?=?≈-),(),(),(1ηξηξηξ, 其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。因而力),(y x F 沿曲线B A ) 所作的功近似的等于 ∑∑∑===?+?≈=n i i i i n i i i i n i i y Q x p W W 1 1 1 ),(),(ηξηξ 当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

第二型曲线积分论文

目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1国内外研究现状 (1) 2.2国内外研究现状评价 (1) 2.3提出问题 (2) 3预备知识 (2) 3.1第二型曲线积分的定义 (2) 3.2第二型曲线积分的性质 (3) 4第二型曲线积分的计算 (4) 4.1直接计算 (4) 4.2利用格林公式计算 (12) 4.3利用曲线与路径无关计算 (14) 4.4利用奇偶对称性计算 (16) 4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16) 5结论 (19) 5.1主要观点 (19) 5.2启示 (19) 5.3局限性 (19) 5.4努力方向 (19) 参考文献 (20)

1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算. 2 文献综述 2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化. 2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.

积分中的对称性

积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。

曲面积分对称性

2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有： ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds 若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有：结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用

第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲线积分典型例题解析 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析例1 若对任意的x ，y 有y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ．解：由格林公式将其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（）． A ．在域D 内恒有y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?' l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=???),(,。所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（）是与路径无关的． A ．?+C y x x yx d d 332 B ．?-C y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 332

积分对称性定理

关于积分对称性定理 1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则 2、二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数，即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶

数，即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx：y 2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。 3、三重积分： (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有

对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数，即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具

高等数学-积分对称性

二重积分的对称性： ??=D d y x f I σ),( ⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1 ),(2D d y x f I σ，1 D ：0≥x ⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=2 ),(2D d y x f I σ，2 D ：0≥y 三重积分的对称性： ???Ω =dv z y x f I ),,( ⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1 ,),,(21 Ω=???Ωdv z y x f I ：0≥z ⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2 ,),,(22 Ω =???Ωdv z y x f I ：0≥x ⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2 3 Ω =???Ωdv z y x f I ： 0≥y 轮换对称性：设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ，则将 z y x ,,任意互换后的点也属于Ω)，则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值： ???Ω dv z y x f ),,(???Ω =dv x z y f ),,(???Ω =dv x y z f ),,( 特别：???Ω dv x f )(???Ω =dv y f )(???Ω =dv z f )( 从而 3)]()()([=++???Ω dv z f y f x f ???Ω dv x f )(

对称性在积分中的应用

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称

目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献谢词

一、引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）. 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称. 注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3：(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,

第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析例 1 若对任意的x ，y 有 y P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则 ? +C y Q x P d d = ．解：由格林公式将 y x y P x Q y y x Q x y x P D C d d )( d ),(d ),(??-??=+??? 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件 y P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2 例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（）． A ．在域D 内恒有 y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y P x Q ??=??

C ．在 D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?'l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则 ?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y P x Q ∈??=??? ),(,。所以选择：B 例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（）是与路径无关的． A ．?+C y x x yx d d 332 B ．?- C y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C y y x yx d d 332 解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x x x x Q x y yx y P =??=??=??= ??，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A 例5 设积分路径? ? ?==)() (:t y t x l ψ?，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(=（）．

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(), ,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为

有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

北方民族大学学士学位论文论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究院(部)名称: 数学与信息科学学院学生姓名: 陈敏专业: 数学与应用数学学号: 20110536 指导教师姓名: 杨莉论文提交时间: 2015.5.18 论文答辩时间: 2015.5.24 学位授予时间: 北方民族大学教务处制

有关曲线积分、曲面积分的对称性研究摘要积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果. 本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性. 关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性

The study of symmetry related surface integral、curve integral Abstract Integral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect. This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral. Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x , ),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 10 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .

曲线积分曲面积分的对称性

一、曲线积分的对称性 ① 关于弧长的曲线积分。有奇偶对称性和轮换对称性。奇偎对称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则 r hf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1 L b, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分. 若L 关于R 轴对称，则有类似结论? 轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则了)d$ = J/(>,兀〉山. ② 关于地标的乎面曲线积分?有奇偶对称性? 奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2 〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏 J J L h, 其中轴右侧的部分. 若L 夬于文轴对称，则 f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2 L b, 其中乙2为L 在文轴上侧的部分? 关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论. ③ 关二坐标的空间曲线积分?有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心面对称，则 2 z ）dx, Jr i 0, 其中巧为I*在垃y 面上方的部分. 若厂关于.：Qz 面对称，则 2| z ）dLr ? 符别有 ^/( X )ds 二 5 )ds. 当PG Q 〉关于工为偶函数当关于力为奇函数当关于夕为奇函数当PR”）关于y 为偶画数￡(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效当Pg*关于2为偶函数当PQ,""）关于工为偶西数当FQ”, z ）关于，为奇函数

Jr2 0, 其中&为尸在妙面前方的部分?

若厂关于25面射称，则 f M P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3 r b 当P(^.y^)关于?为偶函数其中C 为F 在以直面右方的部分. 关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论? 二、曲面积分的对称性 ?关于面积的曲面积分奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则 |‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE , y,z)dS = y 莒 S 0? 当V, X)为Z 的奇函数. ②关于坐标的曲面积分奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则 Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论? 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有 JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d?dac = T P ( ?)dxdj. 2 15 0, x f y,z)dydz = 当P(x, “黑)为当 z)为乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS 于对 ,z, x)d^djr.