同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答

1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。

解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}；

A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}；

B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）}

2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}．

(1)叙述事件ABC的含义．

(2)在什么条件下，ABC＝C成立？

(3)在什么条件下，C?B成立？

解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．

(2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生．

(3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立．

3.将下列事件用A，B，C表示出来：

（1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生；

（4）三个事件至少有一个不发生；

（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设

A ，

B ，

C 是三个随机事件，且

=====)()(,4

1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81

)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有

一个发生的概率．

解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是

P (D )＝P (A ＋B ＋C )

＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以

5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．

解 设A ＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况： (Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n 1＝2．

(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n 2＝3． (Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n 3＝4．

于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m 1＝1，于是有

而对于(Ⅱ)来说，m 2＝1，于是有 而对于(Ⅲ)来说，m 3＝1，于是有

6.口袋中装有4个白球，5个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

解 试验的基本事件（样本点）总数29n C =，设A=“取得两个白球”，则A 包含的基本事件数24m C =，有古典概型有

7.两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。

解 （1）设事件A 表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意

投入4个邮筒，共有42种等可能投法，组成事件A 的不同投法有11

2

323C C =?种，于是

（2）设B 表示“有两个邮筒各有一封信”，则

8.在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。

解 设事件A ，B 分别表示产品为一、二等品，显然事件A 与B 互补相容，并且事件A B U 表示产品为合格品，于是

可见 ()()()P A B P A P B =+U

9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率．

分析 设D 1＝{都取到自己的笔}，D 2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有

n ＝3!＝6．

因此?==3

)(,6)(21D P D P

10.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求

P (B |A )．

解 因为B ?A ，所以P (B )＝P (AB )，因此

11.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一

次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？

解 设事件

A ＝{第一次取到正品}，

B ＝{第二次取到次品}．

用古典概型方法求出

由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以

由公式(1－4)，

12.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．

解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有

所以

13.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．

解 设{},1,2,3,4i A i i ==第道工序加工的零件是次品，且i A 相互独立，

{}A =加工的零件是次品，由题意得，

从而

14.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．

解 设{},1,2,3i A i i ==第次取到的是次品，由题意得， 从而

15.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？

分析 设

B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，

则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且

由全概率公式可知

由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是 由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．

16. 袋中有15个小球，其中7个是白球，8个是黑球．现在从中任取4个球，发现它们颜色相同，问它们都是黑色的概率为多少？

解 设A 1＝“4个球全是黑的”，A 2＝“4个球全是白的”，A ＝“4个球颜色相同”．

使用古典概型，有P (A 1)＝41548/C C ，P (A 2)＝4

1547/C C ．而A ＝A 1∪A 2且A 1A 2

＝?，得

所以概率是在4个球的颜色相同的条件下它们都是黑球的条件概率，即P (A 1|A )．注意到A 1?A ，A 1A ＝A 1，有

17.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事

件

A ＝{取出的球涂有白色}，

B ＝{取出的球涂有红色}，

C ＝{取出的球涂

有蓝色}．

试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立． 此题从现实情况分析是不合理的，故不要深究。

证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而

同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而

因此，有 ,4

1212

1

)()(=?

=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )， 即事件A ，B 相互独立．

类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于

而 ,4

18

12

12

12

1)()()(=/=??=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．

18.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝?，P (A )＝P (B )＝P (C )＜2

1

,并且16

9

)(=

++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝?，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两．．独立．．

情况下的加法公式，有 P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )

－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )，

即 ,16

90332=+-p p 亦即 ,016

3

2=+-p p 解得 4

1=

p 或43

(由题意舍去)．

于是 ?=4

1

)(A P

19设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，

)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．

分析 由公式

由题设 ),|()|(A B P A B P = 即 ,)

(1)

()()(A P B A P A P AB P -=

于是，有

即A 、B 相互独立．

20.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为4

1，仅有B 发生的概率为4

1

，求 P (A )，P (B )．

分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以

AB ≠?(想一想为什么)．一方面

P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)

另一方面

).()(2

1)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=

++=+ (1－7)

由于)()(B A P B A P =，有 于是由式(1－6)，式(1－7)有

即 ?===-2

1)(,2

1)(,4

1))(()(2B P A P A P A P

方法 2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于

)()(B A P B A P =，有

P (A )＝P (B )，

于是

因此 ?=

=2

1)()(B P A P 21.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？

解 (1)令

B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．

在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有

P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P

方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有

P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)

＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84． 方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有

于是 .84.0)(1)(=-=A P A P

(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，

99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，

亦即

因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．

22.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机

来的概率分别是

31110510

、、及52

，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、

轮船或汽车来迟到的概率分别为41、 12

1

31、

试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？

解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，

B ＝{迟到}．按题意有：

(1)由全概率公式，有 (2)由贝叶斯公式 得到

由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．

23.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．

.解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有

P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．

又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，

B 3＝{三人同时射中}，

C ＝{飞机坠毁}．由题设可知

并且

同理

＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7

＝0.29；

P(B2)＝0.44；

P(B3)＝0.21．

利用全概率公式便得到

＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1

＝0.532．

24.两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．

答案是：0.973；0.25．

习题二

1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}，求X的分布．

解概率空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），

（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），

（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），

（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}

点数和等于2 （1，1），

点数和等于3 （1，2），（2，1），

点数和等于4 （1，3），（2，2），（3，1）

点数和等于5 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

点数和等于6 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）

点数和等于7 （1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（6，1），（5，2）点数和等于8 （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）

点数和等于9 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）

点数和等于10 （4，6），（5，5），（6，4）

点数和等于11 （5，6），（6，5）

点数和等于12 （6，6）}

答案是：

2．设一个盒子中装有5个球，标号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用X表示取出的球的最大号码数，求随机变量X的分布律．

解X的可能取值为3，4，5．从5个球中任取3个的取法有3

510

C=种．则事件{X=3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，3）”，1

{3}

10

P X==．事件{X=4}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）”，3

{4}

10

P X==．

事件{X=5}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）”，63

{5}

105

P X===．故X的

分布律为

3．已知离散型随机变量

X 的可能取值为-2，0，2为1a

，

32a ，5

4a

，78a ，试求概率{||2|0}P X X ≤≥．

解 4

1

{}i

i P X x ==∑=1a +32a +5

4a +78a 3718a == 解得 8

37

a =

故X 的分布律为

4．设某电子产品正品率为0.75，次品率为0.25．现对该批电子产品进行测试，以随机变量X 表示首次测得正品，，求随机变量X 的分布律． 提示，参考例2．6．答1{}0.750.25k P X k -==?，k =1，2，…

5. 设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中有放回的取10次，每次任取一件．求：（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少有2件次品的概率．

解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的，每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验．

（1）设所取的19件产品中所含有的次品数为X ，则~(10,0.05)X B ，其概率分布为

1010{}(0.05)(0.95)k k k P X k C -==?，k =1，2， (10)

（2）所求的概率为

（3）所求的概率为

6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X表示取出的3只球中的最小号码数，求X的分布函数．

解X的可能取值为3，2，1．

即X的分布阵为

从而X的分布函数为

7．设离散型随机变量X的分布函数为

试求：（1）X的概率分布；（2）{2|1}

<≠．

P X X

解X的可能取值为-1，1，3．

8.设随机变量X的分布为

求Y＝X2＋1的概率分布．

解由y i＝2

x＋1(i＝1，2，…，5)及X的分布，得到

i

把f(x i)＝2

x＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y的分

i

布，即 所以

9.某店内有4名售货员，据经验每名售货员平均在1 h 内只用秤15 min ，问该店通常情况下应配制几台秤？

解 设X i ＝{第i 个售货员使用秤}，则X i ～B (1，0.25)．令4

1i i S X ==∑，于是

S ～B (4，0.25)．考虑到

P (S ≤2)＝1－P (S ＞2)＝1－P (S ＝3)－P (S ＝4)

＝1－0.0469－0.0039≈0.95

故该商店通常情况下应配制2台秤．

10.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，求(X ，Y )的联合分布

解 由于6个点取得的概率相同，均为16

，而6个16

的和为1，因此其余概率为0．

11．设二维随机变量(,)X Y 的分布率如下表

试求：（1)13{,04}2

2

P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤． 解：（1)1

3{,04}2

2

P X Y <<<< （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤

12．设二维随机向量(X ，Y )的联合分布为

求 (1)X 与Y 的边缘分布．

(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解 (1)由公式

(2)计算下面各条件概率：

因此，X关于Y取值y1＝0.4的条件分布为

(3)同样方法求出Y关于X取值x2＝5的条件分布为

13.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．

分析应注意到X与Y相互独立．

解由于

P(X＝x1，Y＝y1)＝P(Y＝y1)－P(X＝x2，Y＝y1)

考虑到X与Y相互独立，有

P(X＝x1)P(Y＝y1)＝P(X＝x1，Y＝y1)，

所以

同理，可以导出其他数值．故XY的联合分布律为

14.设二维随机向量(X ，Y )联合分布如下表

求二维随机向量的函数Z 的分布：（1）Z =X +Y ;(2)Z =

XY ． 解 有（X ，Y ）的概率分布可得

合并Z 值相同的概率可得 （1）Z =X +Y 的概率分布为

（2）Z=XY的概率分布为

15．已知X和Y的概率分布为

而且{0}1

P XY==．

（1）求X和Y的联合分布；（2）问X与Y是否相互独立？为什么？

解（1）由{0}1

P XY==，即{00}1

或，所以

===

P X Y

因此X与Y的联合分布和边缘分布有如下形式

根据联合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出，于是，得到X与Y的联合分布为

（2）因1{1,0}4P X Y =-==，而111

{1}{0}424

P X P Y =-==?≠

所以X 与Y 不独立． 习题3

1．设2

1

0()10

x f x x

x ?>?=+??≤?当当 f (x )是否为分布密度函数？如何改造？

解 由于

所以f (x )不是分布密度函数．令 则p (x )是分布密度函数．

2.设随机变量X 的分布密度函数为

求(１)常数C ；(２)P (0.3≤X ≤0.7)；(３)P (－0.5≤X ＜0.5)． 解 (1)由p (x )的性质，有 所以C ＝2．

(2)0.7

20.70.30.3(0.30.7)2d |0.4.P X x x x ≤≤===?

(3)0

0.5

20.500.50(0.50.5)0d 2d |0.25.P X x x x x --≤≤=+==?? 3．设连续型随机变量X 的分布函数为

求：（1）A ，B ，C 的值；（2）X 的概率密度函数；（3）{12}P X ≤≤． 解 （1）由连续型随机变量的性质，可知，()F x 是一个连续函数．考察()

F x

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学同济课后答案

总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-1

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案9-1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q . 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分 ??=D d y x Q σμ),(. 2. 设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2}; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)??=D d σσ (其中σ为D 的面积);

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 证明 由二重积分的定义可知, ??∑=→?=D n i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以, σσσσλλ==?=→=→??∑0 10lim lim D n i i d . (2)????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数); 证明 ∑??∑=→=→?=?=n i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ??∑=?==→D n i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)??????+=2 1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 ∑∑∑===?+?=?2 222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有 ∑=→?n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→?+?=2222221111111 010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转 是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=) ()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 000000t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内, 温度的改变量为 ?T =T (t +?t )-T (t ), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??) ()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )() ()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义. 解 f (x +?x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x .

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

同济版 高等数学 课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

同济版高数课后习题答案.doc

习题 1 9 1. 求函数 f ( x) x3 3x 2 x 3 的连续区间 , 并求极限 lim f ( x) , lim f ( x) 及 lim f (x) . x2 x 6 x 0 x 3 x 2 解 f ( x) x 3 3x 2 x 3 (x 3)( x 1)( x 1) 函数在 ( , ) 内除点x 2 和x3 x 2 x 6 ( x 3)( x 2) , 外是连续的 , 所以函数 f ( x)的连续区间为( , 3) 、( 3, 2) 、 (2, ). 在函数的连续点x 0 处, lim f ( x) f (0) 1 . x 0 2 在函数的间断点x 2 和x 3 处, lim f (x) lim (x 3)( x 1)( x 1) , lim f ( x) lim ( x 1)( x 1) 8 . x 2 x 2 ( x 3)(x 2) x 3 x 3 x 2 5 2.设函数 f ( x)与 g( x)在点 x0连续,证明函数 ( x) max{f ( x),g( x)},( x) min{ f ( x),g( x)} 在点 x0也连续. 证明已知 lim f ( x) f ( x0 ) , lim g (x) g( x0 ) . x x0 x x0 可以验证 ( x) ( x) 1 [ f ( x) 2 1 [ f (x) 2 g( x) | f (x)g( x) |] , g( x) | f (x)g ( x)|] . 因此( x0 ) 1 [ f ( x0 ) g (x0 ) 2 ( x ) 1 [ f ( x ) g (x ) 0 0 2 因为| f ( x0 )g (x0 ) | ] , | f ( x ) g (x )|] . lim ( x) lim 1 [ f (x) g( x) | f (x) g (x)| ] x x0 x x0 2 1 f ( x) lim g( x) | lim f ( x) lim g (x)|] [ lim 2 x x0 x x0 x x0 x x0 1 [ f ( x0 ) g ( x0 ) | f ( x0 ) g ( x0 )| ] 0 2 ( x ), 所以( x) 在点x0也连续 . 同理可证明( x) 在点x0也连续 . 3.求下列极限 : (1) lim x 2 2x 5 ; x 0

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

微积分习题答案上海同济大学数学

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 2 00000()12()lim lim lim .2t t t t s t t t t t v v g v gt t t t ?→?→?→???+?==-=-??? (2)由 00t v v gt =-=有0;v t g = (3)由0t v v gt =-有01(2).2 T v g t v ==。 3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。 解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。 5．解：(1) 220000(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00 -+-+→→---'''====?=--x x x x y y y x x (2)11000000(0)lim lim ,(0)lim lim ,00 αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x x x y x y x x x 因此，只有当α为有理数且2α≠n m 时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。 6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此 (1) 00(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+?=x x x f f x a a 即 (2) 111sin(1)11(1)(1),lim lim 1.11 - +-+→→--+-''==?=--x x x b x f f b x x 即 7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim 1x f x x →-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？ 解：由于得f (x )在x =0点连续，则0 lim ()(0).→=x f x f 由0()1lim 1x f x x →-=-有： (1) []00000()1()1lim lim lim 0lim ()10lim ()1→→→→→--?=?=?-=?=x x x x x f x f x x x f x f x x x ，即f (0)=1; (2) 00()1()(0)lim lim 1(0) 1.0 →→--'==?=-x x f x f x f f x x 8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。 因此 000()(0)()sin (0)sin0()sin (0)lim lim lim (0).0→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x f g x x x 9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求 (1)00cos ()(cos 1)(()1)lim lim →→----=x x x f x x f x x x

同济版高等数学新编课后习题解析完整版

同济版高等数学新编课 后习题解析 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 2 11)1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 1 2 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。