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带电粒子在磁场中的边界问题

第3课时 (小专题)带电粒子在匀强磁场中运动的临界及多解问题

基本技能练

1. (多选)如图1所示，虚线MN 将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb 为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP 与弧Pb 的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是

( )

图1

A ．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1

B ．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1

C ．粒子通过aP 、Pb 两段弧的时间之比为2∶1

D ．弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比为2∶1

解析粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A 错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B 正确；已知粒子通过aP 、Pb 两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C 正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T ＝2πm Bq

也不等，粒子通过弧aP 与弧Pb 的运动时间之比并不等

于弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比，选项D 错误。

答案 BC

2. (多选)如图2所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T

2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的

时间可能为

( )

图2

A.T 3

B.T 4

C.T 6

D.T

解析粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为T

，沿

SA 方向射出的粒子在磁场中运动时间最长，如图所示，

作出粒子运动轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界OC 时，粒子在磁

场中运动时间最短，由于SD ⊥OC ，则SD ＝1

ES ，即弦SD 等于半径O ′D 、O ′S ，相应

∠DO ′S ＝60°，即最短时间为t ＝60°360°T ＝T

6。

答案 ABC

3. (多选)在xOy 平面上以O 为圆心，半径为r 的圆形区域，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面。一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图3所示。不计重力的影响，则下列关系一定成立的是

( )

图3

A ．若r ＜2mv

，则0°＜θ＜90°

B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πm qB

C ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qB

D ．若r ＝2mv qB ，则r ＝πm qB

解析带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径

R ＝

mv qB

。当r ≥2mv

时，P 点在磁场，粒子不能射出磁场

区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间

为半个周期，即t ＝πm qB ；当r ＜2mv qB

时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏

转角φ在大于0°、小于180°围，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ＞90°，所以过x 轴时0°＜θ＜90°，A 对，B 错；同理，若t ＝πm qB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv

，则

t ＝πm qB

，C 错，D 对。

答案 AD

▲(多选)如图所示，MN 、PQ 之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域水平方向足够长，MN 、PQ 间距为L ，现用电子枪将电子从O 点垂直边界MN 射入磁场区域，调整电子枪中的加速电压可使电子从磁场边界不同位置射出。a 、b 、c 为磁场边界上的三点，下列分析正确的是

( )

A ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v b ＜v c

B ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v c ＜v b

C ．若从边界MN 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2L

D ．若从边界PQ 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有L ＜s ＜2L

解析画出轨迹圆可知，从a 、b 、c 三点射出的电子的半径关系为R a ＜R b ＜R c ，由R ＝

mv Bq

，知v a ＜v b ＜v c ，A 对，B 错；电子垂直于边界MN 射入磁场，能从边界MN 射

出，其轨迹的最大圆与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2L ，C 对；若电子从边界PQ 射出，其轨迹的最小圆也与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有L ＜s ＜

2L ，D 错。

答案AC

能力提高练

4.如图4所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域存在垂直纸面向里

的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。

图4

(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子

经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？

(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？

解析

甲

(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝3r 3

又qv1B＝m v21

得v 1＝3Bqr

。

(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有

乙

(2r －R 2)2＝R 22

＋r 2 可得R 2＝3r

又qv 2B ＝m

v 22

R 2

可得v 2＝3Bqr

故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过

3Bqr

。答案 (1)

3Bqr 3m (2)3Bqr

5．(2014·卷，36)如图5所示，足够大的平行挡板A 1、A 2竖直放置，间距6 L ，两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN 为理想分界面。Ⅰ区的磁感应强度为B 0，方向垂直纸面向外。A 1、A 2上各有位置正对的小孔S 1、S 2，两孔与分界面MN 的距离为L 、质量为m 、电量为＋q 的粒子经宽度为d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S 1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN 上的P 点，再进入Ⅱ区、P 点与A 1板的距离是L 的k 倍。不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。

图5

(1)若k ＝1，求匀强电场的电场强度E;

(2)若2

①

即该情况粒子的轨迹半径为R ＝L ，

②

粒子做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供：

qvB 0＝m v 2

③

v ＝

qB 0R m

④

粒子在匀强电场中，据动能定理有：

qEd ＝1

mv 2

⑤

解得：E ＝

qB 20L

22dm

⑥

(2)由于P 距离A 1为kL ，且2

R ′2－(kL )2＝(R ′－L )2

⑦

又由qvB 0＝m v 2

R ′

⑧

则整理得v ＝

qB 0L 1＋k 2

⑨

又由题意及轨迹图得6L －2kL ＝PQ

⑩

据几何关系，由相似三角形得

＝R ′r

又有qvB ＝m v 2

解得Ⅱ区磁场与k 关系为B ＝kB 0

3－k

答案 (1)

qB 20L

22dm

(2)v ＝

qB 0L ＋k 2L

B ＝kB 0

3－k

▲如图甲所示，一个质量为m 、电荷量为＋q 的微粒(不计重力)，初速度为零，经两金属板间电场加速后，沿y 轴射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。磁场的四条边界分别是y ＝0，y ＝a ，x ＝－1.5a ，x ＝1.5a 。两金属板间电压随时间均匀增加，如图乙所示。由于两金属板间距很小，微粒在电场中运动，时间极短，可认为微粒加速运动过程中电场恒定。

(1)求微粒分别从磁场上、下边界射出时对应的电压围；

(2)微粒从磁场左侧边界射出时，求微粒的射出速度相对进入磁场时初速度偏转角度的围，并确定在左边界上出射围的宽度d 。

解析 (1)当微粒运动轨迹与上边界相切时，由图甲中几何关系可知R 1＝a 微粒做圆周运动，有qv 1B ＝

mv 21

R 1

微粒在电场中加速qU 1＝1

2mv 21

由以上各式可得U 1＝qB 2a 2

所以微粒从上边界射出的电压围为U 1′＞

qB 2a 2

当微粒由磁场区域左下角射出时，由图乙中几何关系可知R 2＝0.75a 微粒做圆周运动，有qv 2B ＝

mv 22

R 2

微粒在电场中加速qU 2＝1

2mv 22

由以上各式可得U 2＝9qB 2a 2

32m

所以微粒从下边界射出的电压围为0＜U 2′≤9qB 2a 2

32m

(2)

当微粒运动轨迹与上边界相切时，如图丙所示， sin ∠AO 1C ＝AC

AO 1＝0.5a a ＝1

，所以∠AO 1C ＝30°

由图丙中几何关系可知此时速度方向偏转120°，微粒由左下角射出磁场时，速度方向偏转180°，所以微粒的速度偏转角度围为120°～180°，左边界上出射围宽度d ＝R 1cos 30°＝

a 。

答案 (1)从上边界射出的电压围为U 1′＞qB 2a 2

从下边界射出的电压围为0＜U 2′≤

9qB2a2 32m

(2)120°～180°

3 2 a

(精典)磁场中各种边界问题

V 0 θ θ V 0 A B θ V 0 A V 0 图1 图2 图3 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法一．找圆心、画轨迹、找角度。数学模型：（1）已知圆的两条切线，作它们垂线，交点为O ，即为圆心。（2）已知圆的一条切线，和过圆上的另一点B ，作过圆切线的垂线，再作弦的中垂线。交点即为圆心O 。（3）偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点直线边界磁场例1.找到下面题中粒子的圆心，画出轨迹。求从左边界或右边界射出时与竖直方向夹角φ以及粒子在磁场中经历的时间。(第3图作出粒子刚好不从右侧穿出磁场) 练1：已知B 、＋q 、m 、θ、d 、a 、V 0。求从左边界穿出时经历的时间。（1）刚好不从上边界穿出（2）刚好不从下边界穿出（3）能从左边界穿出。练3.如图所示，在水平直线MN 上方有一匀强磁场，磁感强度为B ，方向垂直向里。一带电粒子质量为m 、电量为q ，从a 点以与水平线MN 成θ角度射入匀强磁场中，从右侧b 点离开磁场。问：（1）带电粒子带何种电荷？（2）带电粒子在磁场中运动的时间为多少？ A B C O V 0 V 0 φ

练习.1.AB、CD、EF为三条平行的边界线，AB、CD、相距L1，CD、EF相距L2，如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B1，CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，磁惹感强度为B2。现从A点沿A方向垂直磁场射入一带负电的粒子，该粒子质量为m，带电量为-q，重力不计，求：（1）若粒子运动到CD边时速度方向恰好与CD边垂直，则它从A点射入时速度V0为多少？（2）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0），则粒子运动到CD边界时，速度方向与CD边的夹角θ为多少？（3）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0）粒子运动到EF边界时恰好不穿出磁场，则CD、EF之间磁场的磁感强度B2为多少？ 2.如图所示，M、N、P是三个足够长的互相平行的边界，M、N与N、P间距离分别为L1、L2，其间分别有磁感强度为B1、B2的匀强磁场区Ⅰ与区Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里。已知B1≠B2。一个带正电的粒子，质量为m，电量为q，以大小为V0的速度垂直于边界面M射入MN间的磁场区，讨论粒子速度V0应满足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面P射出（不计重力）？ 3.（2005江苏）如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里。磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴，M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。 (1)当两金属板电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子速度V0 (2)求金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域。 (3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在图上定性画出电子运动的轨迹。 (4)求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。

带电粒子在单边界磁场中的运动

B v 高二物理带电粒子在匀强磁场中的运动（一）班级：姓名：一、带电粒子在单边界磁场中的运动 1．如图所示，一正离子沿与匀强磁场边界成30o角的方向，以速度v0射入磁场，已知其电量为q，质量为m，若磁场足够大，磁感应强度为B，则此正离子在磁场中的运动半径多大？在磁场中运动的时间是多少？离开磁场时速度方向偏转了多少？ 2．一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中.磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是

3．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN 成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m,电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ B ． 4．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的?

5．水平线MN 的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，在MN 线上某点O 的正下方与O 点相距为L 的质子源S ，可在纸面内1800范围内发射质量为m 、电量为e 、速度为v=BeL/m 的质子，质子的重力不计，试说明在MN 线上多大范围内有质子穿出。 6．如图，电子源S 能在图示纸面360°范围内发射速率相同的电子（质量为m ，电量为e ），M 、N 是足够大的竖直挡板，与S 的水平距离OS ＝L ，挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。（1）要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大？（2）若S 发射的电子速率为eBL/m 时，挡板被电子击中的范围有多大？ O

圆形磁场中的几个典型问题

圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长 1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与 Oa 的夹角表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大． 2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

专题3.16 圆形边界磁场问题(提高篇)(解析版)

2021年高考物理100考点最新模拟题千题精练（选修3-1）第三部分磁场专题3.16 圆形边界磁场问题（提高篇）一．选择题 1、（2020高考精优预测山东卷2）如图所示，半径为r 的圆刚好与正方形abcd 的四个边相切，在圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，一带负电粒子从ad 边的中点以某一初速度沿纸面且垂直ad 边方向射入磁场，一段时间后粒子从圆形磁场区域飞出并恰好通过正方形的d 点.设该粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ，运动时间为t ，若粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ，粒子重力不计.下列关系正确的是( ) A.2R r = B.(21)R r =- C.1 8t T = D.38 t T = 【参考答案】 BD 【名师解析】本题考查带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的基本规律.由题意可知粒子从Bd 方向射出磁场，由下图可知在OBd 中，2R r R =-，得(21)R r =-，A 错误，B 正确；粒子轨迹圆心角为3π 4 ，所以运动时间3 π 342π8 T t T ==，C 错误，D 正确.

2.（2020安徽阜阳期末）如图所示，一带电粒子从y轴上的a点以某一速度平行于x轴射入圆形匀强磁场区域，该区域内的磁场方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B0，粒子从x轴上b点射出磁场时，速度方向与x轴正方向夹角为60°，坐标原点O在圆形匀强磁场区域的边界上，不计粒子重力，若只把匀强磁场的磁感应强度大小改为某一确定值，使粒子经过Ob的中点后射出磁场，则改变后的磁感应强度大小为（） A. B0 B. B0 C. 2B0 D. 4B0 【参考答案】B 【名师解析】设Ob长度为2L。粒子从x轴上b点射出磁场时，画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识：R==，由洛伦兹力提供向心力，得：qB0v=m 所以：B0=；根据图中几何关系可得Oa=R-R cos60°= 若只把匀强磁场的磁感应强度大小改为某一确定值，使粒子经过Ob的中点后射出磁场，如图所示；根据几何关系可得r2=（Oa-r）2+L2，解得：r= 由洛伦兹力提供向心力，得：qBv=m，所以：B= 由=，得B=B0，故B正确、ACD错误。【关键点拨】画出运动的轨迹，根据几何关系求解半径，粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，即可求得磁感应强度的大小。该题考查带电粒子在磁场中的运动，正确地画出粒子运动的轨迹，根据几何关系找

几种典“形”的边界磁场问题

几种典“形”的边界磁场问题山东省费县第一中学（273400）孙广阔带电粒子在有界磁场中的运动问题，是学生学习的难点，也是历年来高考考查的重点，综合性较强，解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用数学中的几何知识，体现着数理有机结合的思想。下面以有界磁场的形状为依据，对此类问题进行归类解析，以探究其求解规律。一、带电粒子在单边界磁场中的运动例题1：如图1所示，直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直直面向外。正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 沿纸面射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，向心力由洛仑兹力提供。由qB m v R =和qB m T π2=可知，它们运动的半径和周期是相同的，只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径、轨迹如图。利用几何关系和对称性可得：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形，所以两个射出点相距2R ，经历的时间相差2T/3。即射出点相距Be mv s 2=，时间差为Be m t 34π=?。二、带电粒子在双边界磁场中的运动例题2：如图2所示，一束电子(电量为e )以速度v 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则：（1）电子的质量是，穿过磁场的时间是。（2）要使电子能从磁场的右边界射出，电子的速度v 必须满足什么条件？解析：（1）电子在磁场中运动，只受洛仑兹力f 作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f ⊥v ，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向的交点上，如图2中的O 点，OB 为半径。由几何知识知，粒子运动的轨道半径 r=d/sin30°=2d 。又由r =mv /Be 可得m =2dBe/v 圆弧AB 所对的圆心角是30°，所以粒子穿过磁场的时间t =T /12，即t =πd /3v 。（2）电子进入磁场的速度越小，其运动的轨道半径越小，粒子可能从磁场的左边界射出。当电子刚好从右边界射出时，速度与右边界相切，轨迹如图中圆弧AB /所示。此时电子的轨道半径M 图1 图2

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。 2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点： ①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。 ②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。 3．粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。 4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 ①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标） b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标） c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。 ②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

带电粒子在圆形磁场中运动的规律

带电粒子在磁场中的运动例1.如图所示，在宽度为d 磁感应强度为B 、水平向外的匀强磁场矩形区域内，一带电粒子以初速度v 入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的哪几个 A.带电粒子的比荷 B.带电粒子在磁场中运动的周期 C.带电粒子的质量 D.带电粒子在磁场中运动的半径变式.若带电粒子以初速度v 从A 点沿直径入射至磁感应强度为B ，半径为R 的圆形磁场，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的哪几个应用1、如图所示，长方形 abcd 长 ad = 0.6m ，宽 ab = 0.3m , O 、e 分别是 ad 、bc 的中点，以 ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度 B ＝0.25T 。一群不计重力、质量 m ＝3 ×10-7 kg 、电荷量 q ＝＋2×10－ 3C 的带电粒子以速度v ＝5×l02m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域 ( ) A ．从 Od 边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa 边 B ．从 aO 边射入的粒子，出射点全部分布在 ab 边 C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和 ab 边 D ．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和bc 边应用2.在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿-x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿+y 方向飞出。（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？例2.如图所示，一束电子流以不同速率，由边界为圆形的匀强磁场的边界上一点A ，沿直径方向射入磁场，已知磁感应强度方向垂直圆平面，则电子在磁场中运动时：（） A 轨迹长的运动时间长 B 速率大的运动时间长 C 偏转角大的运动时间长 D 速率为某一值时不能穿出该磁场变式.如右图所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则 A.从P 射出的粒子速度大 B.从Q 射出的粒子速度大 C.从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D.两粒子在磁场中运动的时间一样长例3.如右图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q 、质量为m 、速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是 A.只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上 B.对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D.只要速度满足m qBR v / ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上（出射速度有什么关系？）若相同速率平行经过p 点的直径进入磁场，出射点又有什么规律？

以三角形为背景构造几何关系的磁场问题

以三角形为背景构造几何关系的磁场问题贵州省黔西第一中学陈海类型一带电粒子从三角形磁场的某一边的中点垂直射入，运动到与另一边相切，然后再离开磁场。设带电粒子进入磁场的边的边长为L，此边与和运动轨迹相切的边的夹角为θ，则带电粒子运动的半径满足方程。现对此关系试作简单证明。如图1所示，令边长为L，是的中点，，。由几何关系可知，由于，故有。下面来看看这一结论的应用：【例1】（2012高考题改编）图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设有一电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。已知这些离子到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，不计重力。求离子的质量。

解析：在粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动，设粒子的速度为v，电场的场强为E0，根据平衡条件得 ① ② 由①②化简得 ③ 如图3由几何关系知 ④ 将④化简得 ⑤ 在磁场中粒子所需向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得 ⑥ 联立③⑥化简得。【例2】如图4所示，在一底边长为2L，θ＝45°的等腰三角形区域内（O为底边中点）有垂直纸面向外的匀强磁场。现有一质量为m、电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势

差为U的电场加速后，从O点垂直于AB进入磁场，不计重力与空气阻力的影响。当磁感应强度B为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板？解析：粒子经电场加速射入磁场时的速度为v qU＝mv2 ① 要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC边相切，设圆周半径为R。由图5中几何关系： R＋＝L ② 在磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力，则有 qvB＝m③ 由①②③得联立得 B＝。类型二带电粒子从三角形磁场中某一边的端点射入，然后从这一边的另一个端点离开磁场，设这条边的边长为L，入射方向与这一边的夹角为，则带电粒子运动的半径满足方程 =R sinθ。

带电粒子在有界磁场中运动(超经典)..

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 “临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？

分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆 ──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】 1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上 B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D ．只要速度满足qBR v m ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。一群不计重力、质量m=3× 10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（） A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边 D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点 3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总

有界磁场问题及磁场中的临界问题

有界磁场问题直线边界磁场 1、如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面向里，磁感强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求： (1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子所受重力不计) 2、如图所示直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？圆形边界磁场 1、如图所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。 2、如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。

磁场中的临界问题放缩法找临界 1、在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：（）Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ）Ｃ.v＞eBd/msinθＤ.v＜eBd/mcosθ 2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。平移法找临界 1、如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离L=16cm处,有一个点状的放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=4.8x106 m/s,已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度.

带电粒子在磁场中的边界问题

第3课时 (小专题)带电粒子在匀强磁场中运动的临界及多解问题基本技能练 1. (多选)如图1所示，虚线MN 将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb 为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP 与弧Pb 的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是 ( ) 图1 A ．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1 B ．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1 C ．粒子通过aP 、Pb 两段弧的时间之比为2∶1 D ．弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比为2∶1 解析粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A 错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B 正确；已知粒子通过aP 、Pb 两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C 正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T ＝2πm Bq 也不等，粒子通过弧aP 与弧Pb 的运动时间之比并不等于弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比，选项D 错误。答案 BC 2. (多选)如图2所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T 2 (T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间

磁场几何规律

带电粒子在复合场运动的几何技巧一、对称法由直线边界射入又射出——则其轨迹对称，且入射方向与出射方向与边界的夹角相等（如图1）；由圆形边界的射入——径向射入则径向射出（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON 子以速度v ＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。二、旋转圆法向各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 mv /qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

例4．如图10所示，一电子源在匀强磁场B中，以速度沿各个方向发射电子。所有电子均在磁场中运动且并未射 v 出磁场。已知电子电荷为e，质量为m。求：匀强磁场面积的最小值。三、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

高考物理二轮复习考点第九章磁场专题扇形边界磁场问题

专题9.7 扇形边界磁场问题一．选择题 1．（2020衡水六调）如图所示，纸面内有宽为L ，水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m 、电荷量为-q 、速率为v 0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种(其中B 0=qL mv 0 ，A 、C 、D 选项中曲线均为半径是L 的 41圆弧，B 选项中曲线为半径是2 L 的圆) 【参考答案】A 【命题意图】本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动、磁聚焦现象及其相关的知识点。 2.（2020·福建模拟）如图所示，半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在-R≤y≤R 的区间内各处均沿x 轴正方向同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m 、电荷量均为q 、初速度均为v ，重力忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，其中最后到达y 轴的粒子比最先到达y 轴的粒子晚△t 时间，则（）

A．粒子到达y轴的位置一定各不相同 B．磁场区域半径R应满足R≤mv qB C．从x轴入射的粒子最先到达y轴 D．△t= m qB -R/v，其中角度θ为最后到达y轴的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角，满足 sinθ=BqR mv 【参考答案】BD 其中角度θ为从x轴入射的粒子运动轨迹对应的圆心角，满足sinθ=R/r=BqR mv ，选项D正确．【点评】此题是相同速率的带电粒子从圆弧形边界进入磁场的情景，从不同位置进入磁场的粒子轨迹半径相同，轨迹所对的圆心角、圆心、弧长不同。 3. 如图所示，长方形abcd长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T．一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带电粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域（）

高考物理二轮复习考点第九章磁场专题三角形边界磁场问题

专题9.8 三角形边界磁场问题一．选择题 1、（2020金考卷）如图所示，在一个边长为a 的正六边形区域内存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同带正电的粒子比荷为 m q ，先后从A 点沿AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号为①的粒子恰好从F 点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E 点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域。则下列说法正确的是（） A. 编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小为m Bqa 33 B. 编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间qB m t 6π= C. 编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离() a 332- D. 三个粒子在磁场内运动的时间依次减少并且为4：2：1 【参考答案】ACD 【命题意图】本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动、洛伦兹力、牛顿运动定律及其相关的知识点。编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域，画出粒子运动轨迹如图所示，带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为30°，偏转角为30°在磁场中运动时间为t 3=T/12；由几何关系可得编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离a/2，选项C 错误；三个粒子在磁场内运动的时间依次减少，并且为t 1∶t 2∶t 3=4：2：1，选项D 正确。

2．(2020河南漯河五模)如图所示，在一个直角三角形区域ABC内，存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，AC边长为3l，∠C=90°，∠A=53°．一质量为m、电荷量为+q的粒子从AB边上距A 点为l的D点垂直于磁场边界AB射入匀强磁场，要使粒子从BC边射出磁场区域（sin53°=0.8， cos53°=0.6），则（） A．粒子速率应大于 B．粒子速率应小于 C．粒子速率应小于 D．粒子在磁场中最短的运动时间为【参考答案】AC．【名师解析】由几何知识知BC=4l，BD=4l，粒子运动轨迹与BC边相切为一临界，由几何知识知： r+r=4l 得：r=1.5l 根据牛顿第二定律：qvB=m 得：v==，即为粒子从BC边射出的最小速率；粒子恰能从BC边射出的另一边界为与AC边相切，由几何知识恰为C点，

磁场边界问题

(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等．因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题． (2)模型分类 Ⅰ.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8－2－11(甲)中带负电粒子的运动为例．图8－2－11 规律要点 ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于1 2圆周且与边界相切时(如图中a 点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)． ②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于1 2圆周时，直径与边界相交的点(如图8－2－11(甲)中的b 点)为带电粒子射出边界的最远点(距O 最远)． Ⅱ.双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8－2－11(乙)中带负电粒子的运动为例．规律要点 ①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切．如图8－2－11(乙)所示． ②对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线．在如图(乙)中，a 、b 之间有带电粒子射出，可求得ab ＝22dr －d 2 最值相切规律可推广到矩形区域磁场中． Ⅲ.圆形边界 (1)圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8－2－12(甲)． ②直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小．如图8－2－12(乙)所示． (2)环状磁场区域规律要点 ①径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场． ②最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度v m 而磁场有最小磁感应强度B .如图8－2－12(丙)．

【2019-2020】高考物理100考点千题精练专题9-8三角形边界磁场问题

【2019-2020】高考物理100考点千题精练专题9-8三角形边界磁场问题一．选择题 1．如图所示，直角三角形ABC内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于△ABC平面向里的匀强磁场，O点为AB边的中点，。一对正、负电子（不计重力）自O点沿ABC平面垂直AB边射入磁场，结果均从AB 边射出磁场且均恰好不从两直角边射出磁场。下列说法正确的是( ) A. 正电子从AB边的O、B两点间射出磁场 B. 正、负电子在磁场中运动的时间相等 C. 正电子在磁场中运动的轨道半径较大 D. 正、负电子在磁场中运动的速率之比为【参考答案】ABD 正、负电子在磁场中做匀速圆周运动，对正电子，根据几何关系可得，解得正电子在磁场中运动的轨道半径；对负电子，根据几何关系可得，解得正电子在磁场中运动的轨道半径，故C错误；根据可知，正、负电子在磁场中运动的速率之比为，故D 正确；【点睛】根据左手定则可知，正电子从AB边的O、B两点间射出磁场，正、负电子在磁场中运动的圆心角为，正、负电子在磁场中运动的时间相等；正、负电子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系解得在磁场中运动的轨道半径，根据可知，正、负电子在磁场中运动的速率之比。 2．如图所示，在平行板电容器极板间有场强为E、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度为B1、方向水平

向里的匀强磁场。左右两挡板中间分别开有小孔S1、S2，在其右侧有一边长为L的正三角形磁场，磁感应强度为B2，磁场边界ac中点S3与小孔S1、S2正对。现有大量的带电荷量均为+q、而质量和速率均可能不同的粒子从小孔S1水平射入电容器，其中速率为v0的粒子刚好能沿直线通过小孔S1、S2．粒子的重力及各粒子间的相互作用均可忽略不计。下列有关说法中正确的是（） A. v0一定等于 B. 在电容器极板中向上偏转的粒子的速度一定满足v0＞ C. 质量的粒子都能从ac边射出 D. 能打在ac边的所有粒子在磁场B2中运动的时间一定都相同【参考答案】AB 设质量为m0的粒子的轨迹刚好与bc边相切，如图所示由几何关系得：R+R=，而R=，

2.9 电磁场的边界条件

2.9 电磁场的边界条件
自强●弘毅●求是●拓新

实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。

边界条件：即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。

由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以Maxwell方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件

把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。根据Gauss定理，让h→0，场在扁平圆盘壁上的通量为零，得到： ? ? ? n ? ? D ? ds ? D ? ( ? n ) ? S ? D ? ( n ? S ) D 1 2 ?S 2
? ( D2 n ? D1n )?S ? ? s ?S
? ? ?s (D2 ? D1 ) ? n ? ?0 (B 2 ? B1 ) ? n
h
?r2
D1
? ? r1

在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积分公式： ? ? ? ? ? ? ? ?D H ? dl ? H ? ? l ? H ? ( ? ? l ) ? ( H ? H ) ? t ? l ? ? ( J ? ) ? ds 1 2 1 2 ?l ??S ?t ?
? ? t ? N ?n
? ? ? ( H 2 ? H1 ) ? t ? ( H 2 ? H1 ) ? ( N ? n ) ? ? ? J ?N ? ? ? (H ? H ) ? N n
2 1 s
? ? ( H 2 ? H1 ) ? J s ?n
? ? ( E 2 ? E1 ) ? 0 n

带电粒子在三角形磁场中的运动例析(精品)

带电粒子在三角形磁场中的运动例析河南省信阳高级中学陈庆威 2017.12.21 带电粒子在有界磁场中运动，该类题型主要考查带电粒子磁场中的运动规律。带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式mv R Bq = ，周期公式2m T Bq π=，运动时间公式2t T θ π=，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，并结合几何知识分析解题。题型一：等腰直角三角形例题1：如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以不同的速度v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、 t 2、 t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶1.直角边bc 的长度为L ，不计粒子的重力，下列说法正确的是( ) A. 三个速度的大小关系可能是v 1＞v 2＞v 3 B. 三个速度的大小关系可能是v 2＜v 1＜v 3 C. 粒子的比荷32v q m BL = D. 粒子的比荷1 2q m Bt π = 【答案】BCD 【解析】因为三个粒子在磁场中运动的时间之比为t 1：t 2：t 3=3：3：1，显然它们在磁场中的偏转角度之比为3：3：1．即粒子1、2打在ab 上，而粒子3打在ac 上，轨迹大致如图所示．粒子轨迹如图所示：

速度为v 1 、v 2 的粒子从ab 边穿出，则偏转角为90°，但两者的速度大小关系不定，但其半径一定比速度为v 3的粒子半径小，由半径公式： mv r qB = ，可知v 3一定大于v 1和v 2，故A 错误，B 正确；对粒子3，其偏转角为6 π ，由几何关系得到半径r 3=2L ，则飞行时间为： 126212 m t T qB π ππ =?=?，从运动学公式可得： 333 21123r L t v v ππ= ?= ，联立可得： 32v q m BL =，故C 正确；由于速度为v 1的粒子偏转90°，则11242m m t qB qB ππ=?=，则有： 1 2q m Bt π =，故 D 正确。所以BCD 正确，A 错误。题型二：含300 角的直角三角形例题2：如图，xOy 坐标轴上有A （L,0）C （）两点．在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场B ．一群质量为m 、电荷量为q （q>0）的同种粒子（粒子间相互作用不计），同一时刻从OC 边以平行于x 轴方向射入磁场．粒子射入磁场前间距均匀（极小）、速度相同．从OC 边射出的粒子占粒子总数75%．不计重力．下列说法正确的是( ) A. 粒子在磁场中按顺时针方向运动 B. 粒子在磁场中运动时间最长为 m qB π