求函数值域的方法总结

2.2函数的值域与最值

求值域的常用方法

1、观察法

2、反函数法

3、分离常数法

4、配方法

5、判别式法

6、单调性法

7、基本不等式法

8、数形结合法

9、换元法

例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 求函数的值域（1）y = x 1

（2）y = 3 -x

2 、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析，

特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a ≠0)

的函数的值域与最值

例2 、求函数的值域（1）y=2

x -2x+5，x ∈[-1，2] （2）y = sin 2x - 6sinx + 2（3）y=cos2x-6sinx+2 3 、判别式法一般地，求形如 y = 22ax bx c

Ax Bx C ++++的有理分式函数的值域，可把原函数化

成关于x 的一元二次方程： f(y)x 2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g 2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0

求出y 的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：

⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；

⑵由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为R ；

⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。

例3 求函数y = 2211x x

x +++的值域。

4、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4 求函数y=654

3++x x 值域。

5 、函数有界性法:直接求函数的值域困难，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例5求函数y = 11

+-x x e e 的值域

例6 求函数的值域。(1)2sin sin -=x x

y (2) y = 3sin cos -x x

6 、函数单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函

数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。

例7 求函数y = +-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域

例8 求函数y= 1+x -1-x 的值域。

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换

元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例9 求函数y = x + 1-x 的值域。

例10 求函数y =21||x x -的值域

例11 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x ∈[]π20，的值域

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题

目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例12 求函数y=

)2(2-x +)8(2+x 的值域。 例13 求函数y=1362+-x x + 542++x x 的值域

9 、不等式法 利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型

特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例14 求函数y=

32++x x 的值域

10、导数法

例15求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。 例16求函数)13(4)(-≤≤-+=x x

x x f 的值域

求下列函数的值域：

（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）31

2x y x +=-；

（4）y x =+ （5）y x =+ （6）|1||4|y x x =-++；

（7）2222

1

x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x -=-． 2．函数2

21

x x y =+的值域为 ．

3．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a = ． 4、已知32

()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是

5、函数231()23f x x x =-

在区间[－1，5]上的最大值是______ 6、已知函数21

ax b

y x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。 7、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则

a= ．

8、函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a=

函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号整体的取值围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用，从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时，g(x)的取值围。 定义域是X的取值围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ →

()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

求函数值域的几种方法

高中数学中求函数值域的几种方法 汝南双语学校赵保刚 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。 若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用 下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。 题型一定义法 要深刻领会映射与函数值域的定义。 例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。 A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B C．M＝A，N B D．M A，N B 说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。 故：应有M＝A，N B，选C。 例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得 f(x)∈[-1，1]，，解之得，

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ]

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].

2017最新函数解析式求法和值域求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++ 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴???=+=342b ab a ， ∴??????=-===3 212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原 复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．

解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． Q x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ． 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得：x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--=． 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 求)(x f ．

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

函数定义域、值域求法的总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f

高一数学函数解析式的七种求法

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函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得672---=x x y

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题

函数专题之值域与最值问题 一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨：根据算术平方根的性质，先求出) -的值域. 3 2(x 解：由算术平方根的性质，知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0，故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。 此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

函数值域求法总结及练习题

函 数 值 域 求 法 1．重难点归纳． (1)求函数的值域． 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． (2)函数的综合性题目． 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． (3)运用函数的值域解决实际问题． 2．值域的概念和常见函数的值域． 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域． 常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ， 当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 3．求函数值域（最值）的常用方法． 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域．

二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数224 1 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域． 解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原 函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足 032)(2≠++=x x x f ，即R x ∈此时方程有实根即△0≥， △[2 92(2)]4(2)(37)0[,2]2 y y y y =---+≥?∈-． 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2 9 ,2- ==y y ）代回方程检验． 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2 9 [-∈y ．

高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题

函数专题之值域与最值问题 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。