高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)
九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用
一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】
求函数1y =的值域。
0≥
11≥,
∴函数1y 的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数
x 1
y =
的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0
x 1≠ 显然函数的值域是:
),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112
--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。
【例1】 求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:
∵
由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,
,当
时, 故函数的值域是:[4,8]
【变式】已知
,求函数
的最值。
【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配
方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐
标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。
图2
【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t
(2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。(说明:二次函数在闭区间上的值域二点二分法,三点三分法) 【解析】(1)函数
,其对称轴方程为
,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。
图1
图2
图3
①如图1所示,若顶点横坐标在区间
左侧时,有
,此时,当
时,函数取得最小值
。
②如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有
,即
。当时,函数取得最小
值
。
③如图3所示,若顶点横坐标在区间
右侧时,有
,即
。当
时,函数取得最小值
综上讨论,g(t)=??
?
??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min
t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<?-+≥?
(,0]t ∈-∞时,2
()1g t t =+为减函数
∴
在[3,2]--上,2
()1g t t =+也为减函数
∴
min ()(2)5g t g =-=, max ()(3)10g t g =-=
【例3】 已知2()22f x x x =-+,当[1]()x t t t ∈+∈R ,时,求()f x 的最大值.
【解析】由已知可求对称轴为1x =.
(1)当1t >时,
2
min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+,. (2)当11t t +≤≤,即01t ≤≤时,.
根据对称性,若
2
1
21≤++t t 即1
02t ≤≤
时,2
max ()()23f x f t t t ==-+.
若2121>++t t 即1
12t <≤时,
2
max ()(1)2f x f t t =+=+. (3)当11t +<即0t <时,
2max ()()23f x f t t t ==-+. 综上,???
????≤
+->+=21,3221,2)(22
max
t t t t t x f
【例4】 (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-, 当1a 2-<
即1
a 2
>-时,max f (x )f (2)4a 5==+; 当1a 2-≥
即1
a 2
≤-时,max f (x )f (1)2a 2=-=+。 综上所述:max 12a 2,a 2f (x )
14a 5,a 2
?
-+≤-??=??+>-
??。
(2)函数4
)2(2
2a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =,应分121≤≤-a ,12-a 即22≤≤-a ,
2-a 这三种情形讨论,下列三图分别为 (1)2- a f x f = (3) 2>a 时;由图可知max ()(1)f x f = ∴???? ???>≤≤--<-=2,)1(22,)2 (2 ,)1(a f a a f a f y 最大 ;即???????>-≤≤--<+-=2 ,122,42,)1(2a a a a a a y 最大 【例5】 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22?? - ???? 上的最大值为3,求实数a 的值。 【分析】这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了。具体解法为: (1)令2a 1f ()32a -- =,得1 a 2 =- 此时抛物线开口向下,对称轴方程为x 2=-,且32,22?? -?-???? ,故12-不合题意; (2)令f (2)3=,得1 a 2 = 此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故1 a 2 =符合题意; (3)若3f ()32- =,得2a 3 =- 此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故2 a 3 =-符合题意。 综上,1a = 或2a =- 【变式】 已知函数()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4,求实数a 的值。 【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- (1)若0,()1,a f x ==,不符合题意。 (2)若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=,得3 8 a = (3)若0a <时,则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=,得3a =- 综上知3 8 a =或3a =- 【例6】 已知函数2 ()2 x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ,求m ,n 的值。 【解法1】讨论对称轴中1与,,2 m n m n +的位置关系。 ①若,则max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==?? ==? 解得 ②若12m n n +≤<,则max min ()(1)3()()3f x f n f x f m m ==??==?,无解 ③若12m n m +≤<,则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m ==??==?,无解 ④若 ,则max min ()()3()()3f x f m n f x f n m ==?? ==?,无解 综上,4,0m n =-= 【解法2】由211()(1)22f x x =- -+,知11 3,,26 n n ≤≤,则[,](,1]m n ?-∞, 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==??== 解得4,0 m n =-= 【例7】 求函数y = . 【解法1】 2 2)4(122)5)(3(253--+=--+-+-=x x x x x y 显然 ] 4,2[)4(12222∈--+=x y 故函数的值域是:]2,2[∈y 【 解 法 2 】 显 然 3 ≤ x ≤ 5, 2 232sin ([0, ])52cos 2 x x π θθθ -=∈?-=, cos )2sin()2]4 y π θθθ==+=+∈ 三、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法(分母少,分子多),通过 该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。 【例1】 求函数1 2 ++= x x y 的值域 【解析】利用恒等变形,得到:1 1 1++ =x y ,容易观察知x ≠-1,y ≠1,得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。 【例2】 求函数1 22+--=x x x x y 的值域。 【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项,可利用部分分式法;则有 4 3)21(11111122 222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令:)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+???∈,43)(x f 注意:在本题中应排除0)(=x f ,因为)(x f 作为分母。所以 ???? ?∈43,0)(x g 故)1,31 ???-∈y 【变式】求下列函数的值域: (1) 2 31 --= x x y (2) 1 1 22+-=x x y . 答案:(1)值域) ,(),(31 31+∞?-∞∈y (2)值域y ∈[-1,1] 四、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。 【例1】求函数1212x x y -=+的值域。 【解析】由1212x x y -=+解得121x y y -=+, ∵20x >,∴ 101y y ->+, ∴11y -<< ∴函数1212x x y -=+的值域为(1,1)y ∈-。 【例2】求函数34 56 x y x += +值域。 【解析】由原函数式可得:则其反函数为:,其定义域为: 故所求函数的值域为:33(,)(,)55 -∞∞ 【例3】 求函数1 1 +-=x x e e y 的值域。 解答:先证明1 1 +-=x x e e y 有反函数,为此,设21x x <且R x x ∈21,, 0) 1)(1(21111212 1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。 所以y 为减函数,存在反函数。可以求得其反函数为:x x y -+-=111ln 。此函数的定义域为)1,1(-∈x ,故原函数的值域为)1,1(-∈y 。 【例4】 求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+= x b a b a bx a bx a y 的值域。 【解法1】-1≤x ≤1 a- b ≤a-bx ≤a+b b a a bx a a b a a +≥-≥-222 b a a bx a a y b a a ++-≥-+-=≥--212112, b a b a y b a b a -+≤≤+- 【解法2】(反函数法):)1(2+-= y b a b a x ,由-1≤x ≤1得:1) 1(21≤+-= ≤-y b a b a x ,b a b a y b a b a -+≤≤+- 五、判别式法:把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0?≥,从 而求得原函数的值域,形如2111 2 222 a x b x c y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。(解析式中含有分式和根式。) 【例1】求函数2 2 11x x y x ++=+的值域。 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程 ,由于x 取一切实数,故有 (1)当时, 解得: (2)当y=1时,,而 故函数的值域为 【例2】 求函数y x = 【解析】两边平方整理得:(1) ∵ ∴ 解得: 但此时的函数的定义域由,得 由,仅保证关于x 的方程: 在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2] 上,即不能确保方程(1)有实根,由 求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 代入方程(1) 解得: 即当时, 原函数的值域为: 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 解法二:y x x =+ =+]2 ,2[sin 1π πθθ- ∈=-x )4 sin(21cos sin 1π θθθ+ +=++=y 4 34 4 ππ θπ ≤ + ≤- 1)4 sin(22≤+≤- π θ 原函数的值域为: 【例3】 已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 【解析】22 21 x ax b y x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ?--+-=??=---≥ 2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。 由于22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y ≤3} 12212213 28234 y y b a b a b y y +=+=+?=±??????-== =??? 【例4】求函数2 21 2+++= x x x y 的值域。 【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得:012)12(2=-+-+y x y yx ,(1) 这是一个关于x 的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式 0)12(4)12(2≥---=?y y y ,解得:21 21≤≤-y 。 故原函数的值域为:],[2121-∈y 。 【解法2】当x ≠-1时 1 1 )1(12 21 2 ++ += = +++x x y x x x 由于 当x+1< 0时,21 1 )1(-≤++ +x x ,即)0,[21 -∈y 当x+1> 0时,21 1 )1(≥++ +x x ,即],0(21 ∈y 考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为:],[21 21-∈y 【例5】已知函数21 mx n y x += +的最大值为4,最小值为 —1 ,则m = ,n = 【解析】2 1 mx n y x += +2204y(y n)0y x mx n y m ??-+-=??=--≥ 2244y 0y n m --≤………………○ 1。 由于22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[-1,4],故不等式○1的解集为{y|-1≤y ≤4} 122123 4344 y y n m m m y y +==?=±??????-== =-??? 4m =± 3n = 【例6】求函数22 23 x y x x += +-的值域。 【解析】2 (y 1)320y x x y ?+---= ○1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点; ○220(y 1)4y(3y 2)0y ≠??=-++≥ 21641)0480y y y y R ?++≥? ?∈??=-? , 由○1○2得函数的值域为R. 六、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域, 形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法求解。 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的 熟悉的基本函数。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。 【例1】 求函数2y x = 【解析】令t =0t ≥),则2 12 t x -=, ∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =,即38x =时,max 5 4 y =,无最小值。 ∴函数2y x =5 (,]4 -∞。 【例2】求函数)10x 2(1x log 2 y 35 x ≤≤-+=-的值域。 【解析】令1x log y ,2 y 325 x 1-==- 则21y ,y 在[2,10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2,10]上是增函数 当x=2时, 8112log 2y 33min = -+=- 当x=10时,339log 2y 35 max =+= 故所求函数的值域为:? ???? ?33,81 【例3】求函数1x 1x y --+=的值域。 【解析】原函数可化为: 1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数 所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值2 22 = 显然0y >,故原函数的值域为]2,0( 【例4】求函数2 )1x (12x y +-++=的值域。 【解析】因0)1x (12 ≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴ 1cos sin cos 11cos y 2 +β+β=β-++β= 1 )4sin(2+π+β= ∵ π≤π+ β≤π≤β≤45 40,0 2 11)4sin(201)4 sin(22+≤+π +β≤∴≤π+β≤- ∴ 故所求函数的值域为]21,0[+ 【例5】求函数 1x 2x x x y 24 3++-=的值域。 【解析】原函数可变形为: 22 2 x 1x 1x 1x 221y +-?+?= 可令β=tg x ,则有β=+-β=+2 222cos x 1x 1,2sin x 1x 2 β -=β?β-=∴4sin 41 2cos 2sin 21y 当 82k π-π= β时, 41y max = 当 82k π+π= β时,41 y min -= 而此时βtan 有意义。 故所求函数的值域为? ?? ?? ?-41,41 【例6】求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=, ? ?????ππ-∈2,12x 的值域。 【解析】)1x )(cos 1x (sin y ++= 1x cos x sin x cos x sin +++= 令t x cos x sin =+,则) 1t (21 x cos x sin 2-= 2 2)1t (21 1t )1t (21y +=++-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且??????ππ-∈2,12x 可得: 2t 22≤≤ ∴当2t =时, 2 23 y max += ,当 22t =时,2243y += 故所求函数的值域为??????? ?++223 ,2243。 【例7】 求函数2 x 54x y -++=的值域。 【解析】由0x 52 ≥-,可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ= 4 )4sin(10sin 54cos 5y +π +β=β++β= ∵π≤β≤0 4544 π ≤ π+β≤π∴ 当4/π=β时,104y max += 当π=β时,54y min -= 故所求函数的值域为:]104,54[+- 【例8】求函数21)45)(125(22++-+-=x x x x y 的值域。 【解析】令4925452 2-??? ? ? -=+-=x x x t ,则49-≥t 。 ()()542182182 2++=++=++=t t t t t y , 当49-≥t 时,161854492 min =+?? ? ??+-=y ,值域为??????≥1618|y y 【例9】求函数x x y --=12的值域。 【解析】令x t -=1,则21t x -=,0≥t ,()21212 2++-=--=t t t y 当0≥t 时,102012max =?--=t 所以值域为]1,(-∞。 【例10】.求函数23102--+=x x x y 的值域。 【解析】由23102--+=x x x y =()2 52--+x x , 令θcos 25=-x , 因为()1cos 10cos 2205222 ≤≤-?≥-?≥--θθx ,],0[πθ∈, 则()2 52--x =θsin 2, 于是:54sin 25cos 2sin 2+??? ? ? +=++= πθθθy ,]45,4[4πππθ∈+, 14sin 22≤??? ? ? +≤- πθ,所以:725≤≤-y 。 七、函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 【例1】 求函数221 1 x y x -=+的值域。 【解析】由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R ,对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+, ∵1y ≠,∴21 1 y x y +=- -(x R ∈,1y ≠), ∴101 y y +-≥-,∴11y -≤<, ∴函数221 1x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 【例2】求函数 1e 1 e y x x +-=的值域。 【解析】由原函数式可得: 1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴0 1y 1 y >-+ 解得: 1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 【例3】求函数 3x sin x cos y -= 的值域。 【解析】由原函数式可得:y 3x cos x sin y =-,可化为: y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即 1y y 3)x (x sin 2+= β+ ∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即 1 1 y y 312 ≤+≤ - 解得: 42 y 42≤≤- 故函数的值域为???? ??? ?-42,42 【例4】 x x y cos 24sin 3--= 【解法1】2 4143)sin(y y x +-= -φ,14143)sin(2 ≤+-= -y y x φ, 解得331331+≤≤- y 即函数值域为:]3 3 1,331[+-∈y 【解法2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率.即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线,其斜率取值 范围就是x x y cos 24sin 3--=聚会取值范围.设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程1 422=+y x 得 0)82416(4)43(8)14(2 22=+-+-++k k kx k x k ,由Δ=0得答案. 【例5】 已知a>0,x 1,x 2是方程ax 2+bx-a 2 =0的二个实根,并且|x 1|+|x 2|=2,求 a 的取值范围以及b 的最大值 。 【解析】由韦达定理知:x 1x 2 =-a<0,故两根必一正一负, |x 1 |+|x 2 |=2 从而|x 1-x 2|=2 由韦达定理知:4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2 从而4a 2-4a 3=b 2≥0 即4a 2(1-a) ≥ 0 即a ≤1,注意到a>0,从而a 的取值范围是0< a ≤1 从而 27 16 )322(2)22(2)1(4322=-++?≤-???=-=a a a a a a a a b 即b 的最大值为 9 3 4,当且仅当a=2/3时“=”成立。 八、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 【例1】求函数y x = 【解析】∵当x 增大时,12x -随x 的增大而减少,x 的增大而增大, ∴函数y x =1 (,]2 -∞上是增函数。 ∴11 22 y ≤=,∴函数y x =1(,]2-∞。 【例2】求函数x x y 1 + =在区间()+∞∈,0x 上的值域。 【解析】任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则 ()()()()2 12121211x x x x x x x f x f --= -,因为21 0x x <<,所以:0,02121><-x x x x , 当211x x <≤时,0121>-x x ,则()()21x f x f >; 当1021<< x y 1 + =在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 【例4】求函数()x x x f -++=11的值域。 【解析】因为110 10 1≤≤-??? ?≥-≥+x x x ,而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数 ()x x x g --+=11,易知)(x g 在定义域内单调增。()21max ==g g ,()21min -=-=g g , ()2≤?x g ,()202≤≤x g , 又()()422 =+x g x f ,所以:()422≤≤x f ,()22≤≤x f 。 【例5】 求函数y = 【解析】此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数,显然函数63+=x u 为单调递增函数,易验证x v --=8亦是单调递增函数,故函数x x y --+=863也是单调递增函数。而此函数的定义域为]8,2[-。 当2-=x 时,y 取得最小值10-。当8=x 时,y 取得最大值30。 故而原函数的值域为]30,10[-。 九. 图像法(数型结合法):函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可 求出其值域。 【例1】求函数|3||5|y x x =++-的值域。 【解析】∵22|3||5|822x y x x x -+?? =++-=??-? (3)(35)(5)x x x <--≤<≥, ∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示, 由图像知:函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 【例2】求函数2 2)8x ()2x (y ++-=的值域。 【解析】原函数可化简得:|8x ||2x |y ++-= 上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),)8(B -间的距离之和。 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为:],10[+∞ 【例3】求函数5x 4x 13x 6x y 2 2++++-=的值域。 【解析】原函数可变形为: 2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-= 上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时, 43)12()23(|AB |y 2 2min =+++==, 故所求函数的值域为],43[+∞ 十、 基本不等式法:利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征 解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【例1】求下列函数的值域:(1) 3k y x x =++(k>0);(2) 2y = 【解析】(1)若x>0时,则3++ =x k x y k x k x 2332+=+?≥,等号仅当x=k/x ,即k x =时成立; 若x<0时,则3++ =x k x y k x k x 233)(2-=+-?--≤,等号仅当-x=-k/x ,即k x -=时成立; 故, ),23[]23,(+∞+?--∞∈k k y (2) 解法一:1 22 2++= x x y =21 112 2≥++ +=x x ,故),2[+∞∈y 解法二:令12+=x t ,则)1(1 ≥+ =t t t y .即方程01)(2=+-=ty t t f 在[1,+∞)上有解. 所以121=t t .从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根,另一根在(0,1)内,从而f(1)≤0,即y ≥2. 【例2】若14<<-x ,求2 22 22-+-x x x 的最小值 【解析】]) 1(1 )1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-?=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴3)1(0<-- 1 )1(1>--> ∞+x 从而2])1(1)1([≥--+ --x x 1]) 1(1 )1([21-≤--+---x x , 当且仅当) 1(1 )1(--= --x x ,即x=-2时”=”成立 即1)2 22 2( min 2-=-+-x x x 【例3】求函数)0(,3 22 >+ =x x x y 的最小值 【解析】333222362 32932323232323232==??≥++=+ =x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322 =即2 6 3=x 时3min 3623=y 【例4】求y= x x sin 4cos 1+(x ∈)2 ,0(π)的最小值。 【解析】y>0,y 2=(sec x+4csc x)2= sec 2 x+16csc 2 x+ 8sec xcsc x =(tan 2 x+1)+16(cot 2 x+1)+8??? ? ? ?+x x x x sin cos sin cos 2 2 =17+(tan 2x+4cot x+4cot x)+ (16cot 2 x+ 4tan x+4tan x) 323233tan 4tan 4cot 163cot 4cot 4tan 3)16(1x x x x x x ??+??++≥ =() 3 3161+ 当且仅当???====x x x x x x tan 4tan 4cot 16cot 4cot 4tan 22即???==1 cot 44 tan 3 3x x (这是两个相同的方程), 即当x=arctan 34∈)2 , 0(π 时,“=”成立(达到最小值)。 【例5】若函数y=f(X)的值域为]3,21[,则函数) (1 )()(x f x f x F + =的值域是 ]310,2[ 。 解析:f(x)>0, 2) (1 )()(≥+ =x f x f x F ,并且当f(x)=1时等号成立。 而t t t g 1)(+=在t ∈]1,21[时单调递减, t t t g 1)(+=在t ∈[1,3]时单调递增。从而 t t t g 1)(+ =在区间]1,21 [上的值域为]25,2[)]21(),1([=g g ;t t t g 1)(+=在区间[1,3]上的值域为[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知F(x)的值域为]3 10,2[ 【例6】求函数y = 的值域。 【解析】令 ,则 (1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以 (2)当t=0时,y=0。 综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法 十一、利用向量不等式 性质1 若 ,则 当且仅当时等式成立 性质2 ,当且仅当a , 同向平行时右边等式成立,a ,反向平行时左边等式成立。 性质3 ,当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。 类型(1) 型( 同号) 【例1】 求函数y = 【解析】构造向量 由性质1,得 当且仅当 ,即 时, 解2:显然1≤x ≤3sin ([0,])3cos 4π θθθ==∈?== 15sin 3cos )y θθθ?=+=+(其中1 arctan 5 ?=) min (sin())min{sin ,sin()}22ππ?θ??θ???≤+≤+?+=+== 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 第 二章 函数 一.函数 1、函数的概念: (1)定义:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中 的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y =)(x f ,x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域: (1)定义域定义:函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若)(x f 是整式,则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2. 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1)求)31(x f -的定义域 3、值域 : (1)值域的定义:与x 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切) 最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3,5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域; 2的表达式,f(a),记∈[0,1]f(a)为其最小值,求-练习已知函数y=-3x+2ax1,x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域;例 ,的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法:形如;常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值.在区间例4求函数[2,1x? 2)的取值范围是(在R上单调递增,且f(m )>f(-m),则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为,最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈,则函数3.若函数y=f(x)的值域是[-2,3],则函数y=∣f(x)∣的值域是() A.[-2,3] B.[2,3] C.[0,2] D.[0,3] 2ax?bx?c;判别式法:形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?,a 212ax?bx?c2221的值域;求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法:形如的函数也可用此法求值域;bax?13x??y 例5求函数的值域;2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数(方法一可用到图象法)例 2xxxy( ) ,3],的最大值、最小值分别为1.函数∈=4[0-当堂检测3 0 (D)4,0 (B)2,0 (C)3,(A)4,1( ) .函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??)〕上的最大值、最小值分别是( 3、函数在区间〔0,52?x33333,,0,0 B.,无最小值。 D. A. C. 最大值72727)(ff(x)的值域为[a,b],则(x+a)的值域为.定义域为4R的函数y = ] ba+[-a,a[0,b-a] C.[,b] D.[2A.a,a+b] B.) (-.函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤.y.{y|y≤} C.{|y≥0} D{yB|A.{yy≥} 22252]?[?4,,则m,值域为的定义域为[0,m]的取值范围是()6.若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27.函数=4--1 ∈-.______3)2,的值域为2.______8.函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8.函数11 .的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。;.函数的值域是12.函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。.若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1),求b22 15.求下列函数的值域:2x?x?y x?2?x?1y)(2)1 (21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根,求.已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211 求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ,当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? ., 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 课题7:函数的概念(一) 一、复习准备: 1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y 是x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的定义: 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作: (),y f x x A =∈其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range )。显然,值域是集合B 的子集。 (1)一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R,值域也是R; (2)二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R,值域是B;当a>0时,值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ;当a﹤0时,值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。(3)反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠,值域是{}0y y ≠。(二)区间及写法: 设a 、b 是两个实数,且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习:用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} (三)例题讲解: 例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 变式:求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2.已知函数1()2f x x =+,(1)求()()2 (3),(),33f f f f --的值;(2) 当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。(四)课堂练习: 1.用区间表示下列集合: {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2.已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值; 3.课本P 19练习2。 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法: 例1:求函数y = 例2:求函数1y 的值域。 2、配方法: 例1:求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 例2:求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3:求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法: 例1:求函数125 x y x -=+的值域。 例2:求函数1 22+--=x x x x y 的值域. 例3:求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法: 例1:求函数2y x = 例2: 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例1:求函数y x = 例2:求函数()x x x f -++=11的值域。 例3:求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1:求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1:已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 例2:若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域. 例3:求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-= x x f ; ② 23)(+=x x f ; ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4:求下列函数的定义域: ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1:已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x); 高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤? 2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b x a =- 与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2b f a -是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中 较大者;当0a <时,()2b f a -是函数的最大值,最大值为 (),()f m f n 中较小者。 (2)若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d y ax b +=+的值域: 一. 教学内容: 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念; 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式; 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值; 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用; 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题; 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 (一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g (x),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y >1}) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可 高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2 君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也;仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也;得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域(最值)的常用方法 姓名: 一、基本函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R . 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????, 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?. 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R . 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R . 二、其它函数值域 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域. 2 、求函数y = 的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域. 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制. 2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。 三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域. 2、求函数2241x y x +=-的值域. 四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断) 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域. 2、求函数2122 x y x x += ++的值域. 3、 五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用 三角代换)等) 1、求函数x x y 41332-+-=的值域. 六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域) 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值.(如:ab b a ab b a 2,222≥+≥+), 利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取""=成立的条件.) 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域. 求函数值域的解题方法总结(16种) 在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 ()x 3-2的值域。 解:由算术平方根的性质知()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例:求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2 x 1x y ++=的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。 例:求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++= 前言: 总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” :教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。 三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。 数学思想举例:数形结合的思想等。 数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体:教、学、练。 老师教什么:数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。 如何做练习: 01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用,多做类型才有用。典型习题,做一顶 百。 02,做题:一题多解。对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。 03,总结:针对错题。大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结,避免两次踏入同一条水沟。 由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出?有思路才怪! 言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” (高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题) 方法一:配方法 用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020 函数值域(最值)的常用方法 姓名: 一、基本函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R . 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????, 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?. 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R . 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R . 二、其它函数值域 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域. 2、求函数 y =的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域. 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制. 2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。 三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域. 2、求函数2241 x y x +=-的值域. 四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断) 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域. 2、求函数2122 x y x x +=++的值域. 五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等) 1、求函数x x y 41332-+-=的值域. 六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域) 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值.(如: ab b a ab b a 2,222≥+≥+),利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取""=成立的条件.) 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域. 注意:在使用此法时一定要注意 a b +≥a >0,b >0,且能取到a =b . 八、部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式) 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域. 九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域) 函数值域求法十一种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得: 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y m i n =,当1x -=时,8y m a x = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得:2 3y 2 1≤≤ (2)当y=1时,0x =,而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222 =++-(1) ∵R x ∈ 函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解: 变式训练1:下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 ( ) A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解: 变式训练2:下列是映射的是………………………………………( ) (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3:下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………( ) (A) (B) (C) (D) 变式训练4:如果(x ,y )在映射f 下的象为(x +y ,x -y ),那么(1,2)的原象是…………( ) (A )(-23,21) (B) (23,-21) (C) (-23,-21) (D) (23,2 1 ) 例2.给出下列两个条件:(1)f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解:(1)令t=x +1,∴t≥1,x=(t-1) 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈[1, (2)设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)- ∴?? ?=+=2244 4b a a , ?? ?-==1 1b a ,又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2:(1)已知f (12+x )=lgx ,求f (x ); (2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,求f (x ) ; (3)已知f (x )满足2f (x )+f (x 1 )=3x ,求f (x ) 解:(1)令 x 2+1=t ,则x=12 -t , ∴f(t )=lg 12 -t ,∴f(x )=lg 1 2- x (2)设f (x )=ax+b ,则 3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,故f (x )=2x+7. (3)2f (x )+f ( x 1 )=3x , ① 把①中的x 换成 x 1,得2f (x 1)+f (x )=x 3 ①×2-②得3f (x )=6x- x 3,∴f(x )=2x-x 1 . 变式训练3:求满足下列条件的函数解析式: ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x (1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f [])1(-f 的值. 解:(1)分别作出f(x)在x >0,x=0,x <0段上的图象,如图所示,作法略. (2)f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练:?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ,那么f (f (-2))= ;如果f (a)=3,那么实数 a= .高中数学-函数定义域、值域求法总结
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