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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》
第一课时平面向量知识复习
一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量作准备
二、教学重点:平面向量的基础知识。教学难点:运用向量知识解决具体问题
三、教学方法:探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
(二)、基本运算
1、向量的运算及其性质
运算类型几何方法坐标方法运算性质
向
量
的加法1平行四边形法则
2三角形法则)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
+
+
=
+
a
b
b
a+
=
+
)
(
)
(c
b
a
c
b
a+
+
=
+
+
AC
BC
AB=
+
向量
的减法三角形法则
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
-
-
=
-
)
(b
a
b
a-
+
=
-
-
=
=
-
向
量的乘法1a是一个向量,满足:
2>0时,aλ与a同向;
λ<0时,aλ与a异向;
λ=0时, aλ=0
)
,
(y
x
aλ
λ
λ=
a
a)
(
)
(λμ
μ
λ=
a
a
aμ
λ
μ
λ+
=
+)
(
b
a
b
aλ
λ
λ+
=
+)
(
a∥b
a
bλ
=
?
向量的
b
a?是一个数
10
=或0
=
b时,
b
a?=0
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
+
=
?a
b
b
a?
=
?
)
(
)
(
)
(b
a
b
a
b
a?
=
?
=
?λ
λ
λ
数 量 积
20≠且0≠b 时,
),cos(||||b a b a b a =?
c b c a c b a ?+?=?+)( 22||a a =22||y x a +=
||||||b a b a ≤?
2、平面向量基本定理:
如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a
,有且只有一对实数
21,λλ,使a = ;
注意)(2
1
+=
,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件: ⑴ //a b 的充要条件是: ;(向量表示)
⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==
,则//a b 的充要条件是: ;(坐标表示)
4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a b ⊥的充要条件是: ;(向量表示)
⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==
,则a b ⊥的充要条件是: ;(坐标表示)
(三)、课堂练习
1.O 为平面上的定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点,若( OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0,则?ABC 是( )
A .以A
B 为底边的等腰三角形 B .以B
C 为底边的等腰三角形 C .以AB 为斜边的直角三角形
D .以BC 为斜边的直角三角形
2.P 是△ABC 所在平面上一点,若?=?=?,则P 是△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心
3.在四边形ABCD 中,?→
?AB =?→
?DC ,且?→
?AC ·?→
?BD =0,则四边形ABCD 是( ) A . 矩形 B . 菱形 C .直角梯形 D .等腰梯形
4.已知||22p =||3q =,p 、q 的夹角为45?,则以52a p q =+,3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为( ) A .15
B
. 14 D .16
5.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =+
+λ,
),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心 (四)、作业布置
1.设平面向量a =(-2,1),b =(λ,-1),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A .),2()2,21
(+∞- B .),2(+∞ C .),21(+∞- D .)2
1,(--∞ 2.若()(),0,7,4,
3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。
3.向量(,1),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A ,B ,C 三点共线,则k = .
4.在直角坐标系xoy 中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = 5.在ABC ?中,O 为中线AM 上一个动点,若AM =2,则)(OC OB OA +?的最小值是__________。 (五)、教后反思:
第二课时 空间向量及其运算(一)
一、教学目标:1、知识目标:⒈空间向量;⒉相等的向量;⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律;2、能力目标:(1)理解空间向量的概念,掌握其表示方法;(2)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;(3)能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.3、德育目标:学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物. 二、教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律.教学难点:应用向量解决立体几何问题. 三、教学方法:讨论式. 四、教学过程
(Ⅰ)、复习引入[师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫做向量?向量是怎样表示的呢?
[生]既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:①用有向线段表示;②用字母a 、b 等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB .
[师]数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移,由此我们可以得出向量相等的概念,请同学们回忆一下.
[生]长度相等且方向相同的向量叫相等向量. [师]学习了向量的有关概念以后,我们学习了向量的加减以及数乘向量运算: ⒈向量的加法:
⒉向量的减法:
⒊实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,其长度和方向规定如下:(1)|λa |=|λ||a |;(2)当λ>0时,λa 与a 同向;当λ<0时,λa 与a 反向; 当λ=0时,λa =0. [师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢?
[生]向量加法和数乘向量满足以下运算律:加法交换律:a +b =b +a ;加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c );数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb
[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单的应用.请同学们阅读课本P 26~P 27.
(Ⅱ)新课探究:[师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量.例如空间的一个平移就是一个向量.那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢?
[生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
[师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的.
[师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? [生]空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向
量的运算一样:
AB OA OB +==a +b ,
OA OB AB -=(指向被减向量),
=OP λa )(R ∈λ
[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. [生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律: ⑴加法交换律:a + b = b + a ;
⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c );(课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b ) =λa +λb .
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点:
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:
011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n .⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成
立.因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则.
例1已知平行六面体''''D C B A ABCD -(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
;
⑴BC AB +
;
⑵'AA AD AB ++ '
2
1CC AD AB ++⑶
.⑷)'(3
1
AA AD AB ++ 说明:平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记作
ABCD —A’B’C’D’.平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱.解:(见
课本P 27)说明:由第2小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.
(Ⅲ)、课堂练习:课本P27练习
(Ⅳ)、课时小结:平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移.关于向量算式的化简,要注意解题格式、步骤和方法. (Ⅴ)、课后作业:⒈课本习题2-1A 组中 3、4;B 组中1
⒉预习课本P 92~P 96,预习提纲: ⑴怎样的向量叫做共线向量?⑵两个向量共线的充要
条件是什么?⑶空间中点在直线上的充要条件是什么?⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式?⑸怎样的向量叫做共面向量?⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么?⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么? 五、教后反思:
第三课时 空间向量及其运算(二)
一、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.
二、教学重、难点:共线、共面定理及其应用.
三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习:
1.空间向量的概念及表示;2、加减与数乘向量及运算律。 (二)新课探析
1.共线(平行)向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作:a 平行于b ,记作://a b . 2.共线向量定理:
对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ,使a b λ=(λ唯一).
推论:如果l 为经过已知点A ,且平行于已知向量a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP OA t AB =+①,其中向量a 叫做直线l 的方向向量。在l 上取AB a =,则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②
当12t =时,点P 是线段AB 的中点,此时1
()2
OP OA OB =+③
①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段AB 的中点公式.
3.向量与平面平行:
已知平面α和向量a ,作OA a =,如果直线OA 平行于α或在α内,那么我们说向量a 平行于平面
α,记作://a α.
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:
如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+. 推论:空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ,有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式. (三)例题分析:
a
l
P
B
A
O
a a
α
例1.已知,,A B C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件122
555
OP OA OB OC =
++,试判断:点P 与,,A B C 是否一定共面?
解:由题意:522OP OA OB OC =++,∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-, ∴22AP PB PC =+,即22PA PB PC =--,所以,点P 与,,A B C 共面.
说明:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.
【练习】:对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ (其中
1x y z ++=)的四点,,,P A B C 是否共面?
解:∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++,
∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-, ∴AP y AB z AC =+,∴点P 与点,,A B C 共面.
例2.已知
ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量
,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====,
(1)求证:四点,,,E F G H 共面; (2)平面AC //平面EG .
解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC AB AD =+, ∵EG OG OE =-,
()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH
=?-?=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面;
(2)∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=?,又∵EG k AC =?, ∴//,//EF AB EG AC 所以,平面//AC 平面EG . (四)、课堂练习:课本第31页练习第2、3、4题.
(五)、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论;
2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式.
(六)、作业1.已知两个非零向量21,e e 不共线,如果21AB e e =+,2128AC e e =+,2133AD e e =-
,
E
F 1
F 2
F 3
求证:,,,A B C D 共面.
2.已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++,0a ≠,若//a b ,求实数,x y 的值。 3.如图,,,,E F G H 分别为正方体1AC 的棱11111111,,,A B A D B C D C 的中点,求证:(1),,,E F D B 四点共面;(2)平面AEF //平面BDHG .
4.已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB BC CD DA 的中点,
(1)用向量法证明:,,,E F G H 四点共面; (2)用向量法证明://BD 平面EFGH . 五、教后反思:
第四课时 空间向量及其线性运算
一、教学目标:1.运用类比方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线的充要条件
二、教学重点:空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质; 教学难点:空间向量的线性运算及其性质。
三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则;
2、物体的受力情况分析 (二)、探究新课 1.空间向量的概念:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量
注:⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2.空间向量的运算
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图)
b a AB OA OB
+=+=
C B A
O
b b b
a
a D 1
C 1
B 1
A 1
H G F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
F
E
G H
O
b a
-=-= )(R a ∈=λλ
运算律:
⑴加法交换律:a b b a
+=+
⑵加法结合律:)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律:b a b a
λλλ+=+)(
3.平行六面体:
平行四边形ABCD 平移向量a
到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体,并记作:ABCD -D C B A '''',它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱。
4.共线向量
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向
量或平行向量.a 平行于b 记作b a
//.
当我们说向量a 、b 共线(或a //b )时,表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可
能是平行直线.
5.共线向量定理及其推论:
共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a
=λb .
推论:如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a
的直线,那么对于任意一点O ,点P 在直线l 上
的充要条件是存在实数t 满足等式 t OP +=a .其中向量a
叫做直线l 的方向向量.
(三)、知识运用 1、例1 如图,在三棱柱111C B A ABC -中,M 是1BB 的中点,
化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1)1BA CB +; (2)12
1
AA +
+; (3)AA --1
解:(1)11CA BA =+
(2)AA =++12
1
/
B (3)
1
1
BA
CB
AC
AA=
-
-
2、如图,在长方体/
/
/B
D
CA
OADB-中,1
,2
,4
,3=
=
=
=
=
=OK
OJ
OI
OC
OB
OA,点E,F分别是/
/
,B
D
DB的中点,设=
=
=,
,,试用向量,
,表示和
解:4
2
3
+
=
2
4
2
3
+
+
=
3、如图,在空间四边形ABCD中,,E F分别是AD与BC
求证:
1
()
2
EF AB DC
=+.
证明:
11
22
EF ED DC CF AD DC CB
=++=++
11
()
22
AB BD DC CB
=+++
11
()
22
AB DC CB BD
=+++
11
22
AB DC CD
=++
1
()
2
AB DC
=+
4、已知2334
x y a b c
+=-++,385
x y a b c
--=-+,把向量,x y用向量,,
a b c表示
解:∵2334
x y a b c
+=-++,385
x y a b c
--=-+
∴32
x a b c
=-+-,2
y a b c
=-+
5、如图,在平行六面体ABCD A B C D
''''
-中,设AB a
=,
,
AD b AA c
'
==,,E F 分别是,
AD BD
'中点,
(1)用向量,,
a b c表示,
D B EF
';
(2)化简:2
AB BB BC C D D E
''''
++++;
解: (1)D B D A A B B B b a c
''''''
=++=-+-
11
22
EF EA AB BF D A a BD
'
=++=++
111
()()()
222
b c a a b a c
=--++-+=-
(四)、课堂练习:已知空间四边形ABCD,连结,
AC BD,设,
M G分别是,
BC CD的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:
(1)AB BC CD
++;
(2)
1
()
2
AB BD BC
++;(3)
1
()
2
AG AB AC
-+.
B
C
D
M G
A
B
C
D
E
F
A
A'
B
B'
C
C'
D
D'
E
F
A
C
(四)、回顾总结:空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法;平行六面体的概念; 向量加法、减法和数乘运算
(五)、布置作业:课本习题2-2 A 组中2、3、4 B 组题 五、教后反思:
第五课时 共面向量定理
一、教学目标:1.了解共面向量的含义,理解共面向量定理;2.利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题;
二、教学重点:共面向量的含义,理解共面向量定理;教学难点:利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
三、教学方法:探究讨论法 四、教学过程 (一)、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量,只要图形封闭,其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。从平面几何到立体几何,类比是常用的推理方法。 (二)、探究新课 1、 共面向量的定义
一般地,能平移到同一个平面内的向量叫共面向量;
理解:若,为不共线且同在平面α内,则与,共面的意义是在α内或// 2、共面向量的判定
平面向量中,向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=,类比到空间向量,即有
共面向量定理 如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在有序实数组
),(y x ,使得b y x p +=这就是说,向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。
D
(三)、知识运用
1,例 1 如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M,N 分别在对角线BD,AE 上,且
AE AN BD BM 3
1
,31==.求证:MN//平面CDE
证明:AN BA MB MN ++==3
1
32+
又CD 与DE 不共线
根据共面向量定理,可知DE CD MN ,,共面。 由于MN 不在平面CDE 中,所以MN//平面CDE.
2、例2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=(其中x+y+z=1)试问:P 、A 、B 、C 四点是否共面?
解:由OC z OB y OA x OP ++= 可以得到 AC z AB y AP +=
由A,B,C 三点不共线,可知与不共线,所以,,共面且具有公共起点A. 从而P,A,B,C 四点共面。
解题总结:推论:空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y 使得:y x +=,或对空间任意一点O 有:y x ++=。 (四)、课堂练习
(1)已知非零向量21e ,e 不共线,如果2121213382e e ,e e ,e e -=+=+=,求证:A 、B 、C 、D 共面。
(2)已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量k ,k ,
k ===,k OH =。求证:(1)四点E 、F 、G 、H 共面;(2)平面AC//平面EG 。 (3)课本练习
(五)、回顾总结1、共面向量定理; 2、类比方法的运用。 (六)、布置作业:练习册P45中3、4、6、7 五、教后反思:
第六课时 空间向量的基本定理
一、教学目标:1.知识目标:掌握空间向量基底的概念;了解空间向量的基本定理及其推论;了解空间向量基本定理的证明。2.能力目标:理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示,会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底,表示其它向量。会作空间任一向量
1
A P
的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理,培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3.情感目标:创设适当的问题情境,从生活中的常见现象引入课题,开始就引起学生极大的学习兴趣,让学生容易切入课题,培养学生用数学的意识,体现新课程改革的理念之一,加强数学与生活实践的联系。
二、教学难点:空间向量的分解作图,用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。教学重点: 运用空间向量基本定理表示空间任一向量,并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学方法:在多媒体和实物模型的环境下,学生分组自主与合作学习相结合,老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。 四、教学过程
(一)、引入:对比平面向量的基本定理,生活实际需要向三维空间发展(播放美伊战争画面,地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面),推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述:若空间三个向量不共面,那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。(提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示)
学生:1e 、2e 是平面内两个不共线的向量,则该平面内的任一向量都可以表示为=λ11e +λ22e ,其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
(二)、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何?
学生:空间向量的基本定理:如果空间三个向量、、不共面,则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c 。
师:若猜想正确,则给出证明,若猜想不正确,先给出定理,再证明。 老师板演证明:设空间三个不共面的向量=,
=,=,=是空间任一向量,过P
作PD ∥OC 交平面OAB 于D ,则=+, 由空间两直线平行的充要条件知= z ,由平面
向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面,则OD = x a +y b ,所以,存在x,y,z 使得OP = x +y + z 。这样的实数x,y,z 是否唯一呢?
用反证法证明:若另有不同于x,y,z 的实数x 1,y 1,z 1满足= x 1+y 1+ z 1,则x +y + z = x 1+y 1+
z1,即(x-x1) +(y-y1) +(z-z1) =又、、不共面,则x-x1=0,y-y1=0,z-z1=0,所以x,y,z是唯一的实数。这样,就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
老师介绍相关概念:其中{、、}叫做空间向量的一个基底,、、都叫做基向量。
师:对于空间向量的基底{、、}的理解,要明确:
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底,基底不唯一;
②三个向量不共面,隐含它们都是非零向量;
③基底是一个集合,一个向量组,一个向量不能构成基底,基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底,则由这三个基向量还能生成其它的基底吗?引导学生举例说明,结果不唯一,通过思考培养学生的发散思维。
如: +、+、+;2+3、4、等构成向量的基底。
能否由原来的基向量生成新的基底,取决于生成的新向量是否共面,即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示,请同学随便说一组向量,大家判断这组向量能否构成向量的基底。
通过老师的引导,不仅让学生理解空间向量的基本定理,还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来,用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论,空间向量比平面向量发展了什么,保留了什么,渗透辨证法的思想。特别地,当x=0,则与、共面;若y=0,则与、共面;若z=0,则与a、b共面。当x=0, y=0时,与c共线;当x=0, z=0时,与b共线;当\y=0, z=0时,与a共线.
说明每一次维数增加了,高维数的定理不但发展了低维数的定理,并包含了低维数的结论,使得原来的定理仍适用,这种发展是继承的发展,是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移,也体现在数学中其它知识的迁移(如数系的发展)。
(三)、类比:对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论:
B
1
(四)、例题:例1、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB = a ,AD =b ,1AA =c ,P 是CA 1的中点,M 是CD 1的中点,N 是C 1D 1的中点,点Q 在CA 1上,且CQ :QA 1=4:1, 用基底{a 、b 、c }表示以下向量:(1)AP ,(2)AN ,(3)AQ 分析:所求的向量与基底都共点,符合平行四边形法 则的特征,尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。 解:(1)由P 是CA 1的中点,
得=21(1AA +)=21(++)=2
1
(++)
(2)=+=+211CC =21(+)++21=++2
1
法2:=1AA +A 1=1AA +11D A +D 1=++2
1
(3)=AC +=AC +541CA =AC +54(1AA +CA )=51AC +5
4
1AA
A
B
C
D
O
=
51(b +a )+5
4c 例2、在例1中,设O 是AC 的中点,判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系。 解:由例1得:AQ =
51(+)+54,1OC =+1CC =21+1AA =2
1
(+)+ 则和1OC 与(b +a )和c 共面,又≠λ1OC ,则AQ 和OC 1所在直线不能平行,只能相交。 追问:要使AQ 和OC 1所在直线平行,则O 应在AC 的什么位置? 分析:要使AQ 和OC 1所在直线平行,则1OC =λ=λ[51(+)+5
4
] 又1OC =+1CC ,设=μ=μ(+) 则λ[
51(b +a )+54
c ]=μ(b +a )+c ,即 51λb +51λa +5
4
λc =μb +μa +c ,由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知:41,4515
45
1=μ=λ???????
?=λλ=μ,所以,OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做,而是用平面几何的方法,根据平行线分线段成比例定理,也应加以肯定,让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同,更深地了解向量几何侧重定量研究,即将空间任一向量放在空间坐标系中,用向量的基底表示,再进行运算,思路简捷,不需要很强的演绎推理。
请学生板演平面几何证法:
易证△AA 1Q ≌△CC 1R ,则CR=A 1Q=41CQ ,又CQ CR AC OC =,所以AC OC =4
1
(五)、练习:已知向量a =1e -22e +33e ,b =21e +2e ,c =61e -22e +63e , 判断a +b 与c 能否共面或共线?c -3b 与b -2a 能否共面或共线?
+=31e -2e +33e ,=2(+),则+与共线即平行
-3=61e -22e +63e -61e -32e =63e -52e
-2=21e +2e -21e +42e -63e =-63e +52e
-3与-2共线但反向。
思维发散训练:已知甲烷(CH 4)的分子结构:中心为碳原子,外围有四个氢原子,四个氢原子构成正四面
A 1
A
Q
C
C
C 1
O
R
体的顶点,确定了四个氢原子的位置,能找到碳原子的位置吗?能求出两个碳氢键之间的键角吗? (六)、反思小结:
?
?????
?
???
??
?????
?
??????????
????定量研究异面直线
线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线)向量平行(直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点)公理(2
如何对向量进行定量研究,对比平面向量的研究方法,预习下节内容。 (七)、课后作业:课本习题2-3 A 组中8 B 组中3 五、教后反思:
第七课时 空间向量的坐标表示
一、教学目标:1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算;2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
二、教学重点:空间向量的坐标运算 教学难点:空间向量的坐标运算 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景 1、平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底a
,由平面向量基本定理
知,有且只有一对实数x 、y ,使得j y i x a
+=
把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a
在y 轴上的
坐标, 特别地,)0,1(=i
,)1,0(=j ,0,0(0=
(二)、探析新课 1、空间直角坐标系:
(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1, 这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;
(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,
y
k i A(x,y,z)
O j
x
z
以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条 数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量
,,i j k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标
平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面。
(3)作空间直角坐标系O xyz -时,一般使135xOy ∠=(或45),90yOz ∠=;
(4)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2、空间直角坐标系中的坐标:
如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使
123a a i a j a k =++,有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作123(,,)a a a a =.
在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯 一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组
(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记
作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标.
3、空间向量的直角坐标运算律
(1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,
则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,
112233(,,)a b a b a b a b -=---,
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈,
(2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---.
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)、平行:若a ≠0时,向量a b //相当于a b λ=,即},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=
y
k i
B(b1,b2,b3)
A(a1,a2,a3)O j
x
z
也相当于向量的对应坐标成比例即z
z
y y x x a b a b a b =
= (三)、知识运用
1、例1 已知)4,10,3(),8,3,1(-=-=b a ,求a b a b a 3,,-+
解:)4,7,4(=+b a )12,13,2(--=-b a
)24,9,3(3-=a
2、已知空间四点)10,0,10(),3,5,2(),1,3,2(C B A --和)9,4,8(D ,求证:四边形ABCD 是矩形 解:)2,8,4(-=-=,)1,4,2(-= 2= 所以DC AB //,DC AB ≠, 所以四边形ABCD 是矩形。
3、课本P38练习题1、2、3
(三)、回顾总结:空间向量的坐标表示及其运算 (四)、布置作业:课本习题2-3 A 组中4、5、6、7 五、教学反思:
第八课时 空间向量的数量积
一、教学目标:1.掌握空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律,了解空间向量数量积的几何意义;
2.掌握空间向量数量积的坐标形式,会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。 二、教学重点:空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律
教学难点:用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、创设情景
1、空间直角坐标系中的坐标;
2、空间向量的直角坐标运算律;
3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。 (二)、探析新课 1、夹角
定义:,是空间两个非零向量,过空间任意一点O ,作==,,则AOB ∠叫做向量与向量
的夹角,记作><,
规定:π>≤≤<,0
特别地,如果0,>=<,那么与同向;如果π>=<,,那么与反向;如果090,>=<,那么a 与b 垂直,记作b a ⊥。 2、数量积
(1)设,是空间两个非零向量,我们把数量><,cos ||||叫作向量,的数量积,记作?,即
b a ?=>
(2)夹角:21cos ||||a b
a b a b a ??==?+.
(3)运算律
a b b a ?=?;)()(?=?λλ;?+?=+?)(
(4)模长公式:若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,
则21||a a a a =
?=+21||b b b b =?=+
(5)两点间的距离公式:若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,
则2
||(AB AB ==,或,A B d = (6)00212121=++?=??⊥z z y y x x (7)、与非零向量a 同方向的单位向量为:
}cos ,cos ,{cos },,{1γβα==
=
z y x a a a a
a
a a
(三)、知识运用
1、例1已知)3,1,3(A ,(1,0,5)B ,求: (1)线段AB 的中点坐标和长度;
(2)到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件
解:(1)设M 是线段AB 的中点,则)2
3
,3,2()(21=+=
. ∴AB 的中点坐标是)2
3
,3,2(, )3,4,2(-=
29)3(4)2(||222=-++-=AB .
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平 行直线;当我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等
(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 B {|x x x ∈A A = ?=? B A ? A B B ? B {|x x x ∈A A = A ?= B A ?
B B ? ⑷ ⑼ 集合的运算律: 交换律: 结合律: 分配律: 0-1律: 等幂律: 求补律:A ∩ A ∪ =U 反演律: (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的 元 素,在集合B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的 叫做象, 叫做原象。二、函数1.定义:设A 、B 是 ,f :A →B 是从A 到B 的一个映射,则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ,记作 .2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同 .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ ===.,A A A A A A ==