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浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程教案含解析

浙江专用高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节

圆的方程教案含解析

第三节圆的方程

1．圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r 一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

(D2＋E2－4F＞0)

圆心：

－

，－

，

半径：

D2＋E2－4F

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

[小题体验]

1．(2019·金华五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by ＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )

A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2

C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16

解析：选B 法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0

的距离d＝

|1＋b|

1＋b2

＝

1＋b2

＝1＋

1＋b2

≤1＋

2|b|

1＋b2

≤2，

当且仅当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝2，此时圆的

标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.

法二：易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，当圆M与直线x－by＋2b ＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.

2．(2018·浙江五校联考)若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(0,1)

C.?

????－1，15 D.? ??

??－15，1

解析：选A 因为点在圆内，所以(2a )2

＋(a ＋1－1)2

＜5，解得－1＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－1,1)．

3．(2018·湖州调研)若圆C 与圆x 2

＋y 2

＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________．

解析：已知圆x 2

＋y 2

＋2x ＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，

则有?????

b a ＋1＝1，a －12＋b

2－1＝0，

由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1,2)，因此圆C

的方程是(x －1)2

＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2

－2x －4y ＋4＝0.

答案：(1,2) x 2

＋y 2

－2x －4y ＋4＝0

对于方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2

＋E 2

－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]

(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2

＋(a ＋2)y 2

＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2

＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得? ????x ＋122＋(y ＋1)2

＝－54＜0，

不表示圆；

当a ＝－1时，方程为x 2

＋y 2

＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2

＋(y ＋4)2

＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.

答案：(－2，－4) 5

考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2018·西安二模)已知⊙C ：x 2

＋y 2

－4x －6y －3＝0，点M (－2,0)是⊙C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )

A ．x ＋2＝0或7x －24y ＋14＝0

B ．y ＋2＝0或7x ＋24y ＋14＝0

C ．x ＋2＝0或7x ＋24y ＋14＝0

D ．y ＋2＝0或7x －24y ＋14＝0

解析：选C ⊙C ：x 2

＋y 2

－4x －6y －3＝0，即(x －2)2

＋(y －3)2

＝16，故圆心是(2,3)，半径是4，点M (－2,0)是⊙C 外一点，显然直线x ＋2＝0是过点M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P (a ，b )，则直线MP 的斜率是

a ＋2

，直线MP 的方程是bx －(a ＋2)y ＋2b

＝0，故?????

3－b 2－a ·b

a ＋2

＝－1，|2b －3a ＋2＋2b |

b 2

＋a ＋2

＝4，解得?????

a ＝2225，

b ＝－21

25.

故切线方程是7x ＋24y ＋

14＝0，故选C.

2．(2018·永康模拟)设a ∈R ，则“a ＞1”是“方程x 2

＋2ax ＋y 2

＋1＝0的曲线是圆”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 因为方程是圆，所以可转化为(x ＋a )2

＋y 2

＝a 2

－1，即a 2

－1＞0，解得a ＞1或a ＜－1.所以当“a ＞1”时，有a 2

－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a ＞1或a ＜－1，不一定得到a ＞1.所以是充分不必要条件．

3．(2018·大连模拟)已知AB 为圆C ：x 2

＋y 2

－2y ＝0的直径，点P 为直线y ＝x －1上任意一点，则|PA |2

＋|PB |2

的最小值为________．

解析：圆C ：x 2

＋y 2

－2y ＝0，转化为x 2

＋(y －1)2

＝1，则圆心(0,1)到直线y ＝x －1的距离d ＝|－1－1|

2＝2，由于AB 为圆的直径，则点A 到直线的最小距离为2－1，此时点B

到直线的距离为2＋1，|PA |2

＋|PB |2

＝(2－1)2

＋(2＋1)2

＝6，即|PA |2

＋|PB |2

的最小值为6.

答案：6

4．(2018·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C 的标准方程为________．

解析：∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，

设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2

＋(y －b )2

＝r 2

，

依题意，得?

???

12＋－b

＝r 2

，

|b |＝1

2r ，解得???

r 2

＝4

3，b ＝±3

，

∴圆C 的标准方程为x 2

＋? ?

???y ±

332＝43

答案：x 2

＋? ????y ±

332＝43

[谨记通法]

1．求圆的方程的2种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：

①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于

a ，

b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于

D ，

E ，

F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．

2．确定圆心位置的3种方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]

与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；

(3)距离型最值问题．

[题点全练]

角度一：斜率型最值问题

1．已知点(x ，y )在圆(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝1上，求y x

的最大值和最小值．

解：y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x

的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．

设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2

－23

角度二：截距型最值问题

2．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2

＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的在y 轴上的截距， ∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y 轴上的截距．

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即

|2＋－3－t |

＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.

∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 角度三：距离型最值问题

3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝1上，求x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．

解：x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋5＝

x ＋1

＋y －2

，求它的最值可视为求点(x ，y )到

定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.

[通法在握]

与圆有关的最值问题的3种常见转化方法 (1)形如μ＝

y －b

x －a

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x －a )2

＋(y －b )2

形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

[演练冲关]

1．(2018·义乌诊断)圆心在曲线y ＝2

(x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最

小的圆的方程为( )

A ．(x －2)2

＋(y －1)2

＝25 B ．(x －2)2＋(y －1)2

＝5 C ．(x －1)2

＋(y －2)2

＝25

D ．(x －1)2

＋(y －2)2

＝5

解析：选D 设圆心坐标为C ? ????a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2

a ＋15≥

2a ×2a

＋1

＝5，

当且仅当2a ＝2

，即a ＝1时取等号．

所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2

＋(y －2)2

＝5.

2．(2019·镇海中学摸底)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2

＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q|＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q|的最小值是________．

解析：根据题意，设P 的坐标为(m ，n )，圆(x －3)2

＋(y －4)2

＝1的圆心为N ，则N (3,4)．

P Q 为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线，则有|PN |2＝|P Q|2＋|N Q|2

＝|P Q|2

＋1，

又|P Q|＝|PO |，则有|PN |2

＝|PO |2

＋1，即(m －3)2

＋(n －4)2

＝m 2

＋n 2

＋1，

变形可得3m ＋4n ＝12，即P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q|的最小值即为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝|3×0＋4×0－12|32＋4

＝125，即|P Q|的最小值是125. 答案：12

考点三与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知A (2,0)为圆x 2

＋y 2

＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，

由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2

＋y 2＝4上，所以(2x －2)2

＋(2y )2

＝4.

故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2

＋y 2

＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )，在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，

所以|OP |2

＝|ON |2

＋|PN |2

＝|ON |2

＋|BN |2，所以x 2

＋y 2

＋(x －1)2

＋(y －1)2

＝4.

故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2

＋y 2

－x －y －1＝0.

[由题悟法]

与圆有关的轨迹问题的4种求法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

[即时应用]

已知Rt △ABC 中，A (0,0)，B (6,0)，求直角顶点C 的轨迹方程．

解：法一：依题意，顶点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且去掉端点A ，B ，则圆心坐标为(3,0)，半径为3，

故直角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2

＋y 2

＝9(y ≠0)．法二：设顶点C 的坐标为(x ，y )，由于AC ⊥BC ，故k AC ·k BC ＝－1， ∴y x ·

y x －6

＝－1，∴x 2＋y 2

－6x ＝0，

即直角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2

＋y 2

＝9(y ≠0)．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·温州模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，

C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )

A ．x 2

＋(y －3)2

＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2

＝5 C ．(x －3)2

＋y 2

＝5

D ．(x ＋3)2

＋y 2

＝5

解析：选D 由题意知AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0，即－4－2a ＝0，∴a ＝－2.而BC 的中点坐标为(－3,0)，即三角形外接圆圆心为(－3,0)，半径r ＝|BC |2＝1222＋42

＝5，∴△ABC 外

接圆的方程为(x ＋3)2

＋y 2

＝5.

2．(2019·金华九校联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)始终平分圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )

A.? ????－∞，12

B.?

????－∞，12

C.?

????－∞，14 D.?

????－∞，14 解析：选D ∵直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)始终平分圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，即－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a ，∴ab ＝a (1－

a )＝－?

a －122＋14≤14，当且仅当a ＝12

时等号成立，因此ab 的取值范围是?

－∞，14

3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2

＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2

＝4 C ．(x ＋4)2

＋(y －2)2

＝4

D ．(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1

解析：选A 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)， P Q 的中点为M (x ，y )，则?????

x ＝4＋x 0

2，

y ＝－2＋y

，

解得???

x 0＝2x －4，

y 0＝2y ＋2，

因为点Q 在圆x 2

＋y 2

＝4上，

所以x 2

0＋y 2

0＝4，即(2x －4)2

＋(2y ＋2)2

＝4，化简得(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1.

4．(2018·珠海四校4月联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )

A ．(x ＋1)2

＋(y －1)2

＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2

＝2 C ．(x －1)2

＋(y －1)2

＝2

D ．(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝2

解析：选B 设圆C 的方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2，由题意可得?????

|a －b |

＝r ， ①

|a －b －4|

＝r ， ②

a ＋

b ＝0， ③

由①②得a －b －2＝0，④

由③④得???

a ＝1，

b ＝－1，

将a ＝1，b ＝－1代入①得r ＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2

＋(y ＋1)2

＝2.

5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．

解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2

＋12

＝(a －1)2

＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝

2＋1

＋12

＝10.

故圆C 的方程为(x －2)2

＋y 2

＝10.

由题意知(m －2)2

＋(6)2

＜10，解得0＜m ＜4. 答案：(x －2)2

＋y 2＝10 (0,4) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．方程y ＝1－x 2

表示的曲线是( )

A ．上半圆

B ．下半圆

C ．圆

D ．抛物线

解析：选A 由方程可得x 2

＋y 2

＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2

＋y 2

＝1的上半圆． 2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x －1)2

＋(y －2)2

＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )

A ．(x －2)2

＋(y －1)2

＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2

＝1 C ．(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1

D ．(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝1

解析：选A 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2

＋(y －2)2

＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2

＋(y －1)2

＝1.

3．(2018·杭州一模)已知两条直线l 1：x －3y ＋2＝0与l 2：x －3y －6＝0被圆C 截得的线段长均为2，则圆C 的面积为( )

A ．5π

B ．4π

C ．3π

D ．2π

解析：选A ∵直线l 1：x －3y ＋2＝0与l 2：x －3y －6＝0平行，且截圆C 所得的弦长均为2，∴圆心到两直线的距离相等，又知两平行直线间的距离d ＝

|2－－6|12

＋－3

＝4，

即圆心到直线l 1的距离为2，则圆的半径r ＝22

＋12

＝5，∴圆C 的面积S ＝πr 2

＝5π.

4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2

＋y 2

＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )

A ．[2,6]

B ．[4,8]

C ．[2，32]

D ．[22，32]

解析：选A 设圆(x －2)2

＋y 2

＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|

＝22，

可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，

所以△ABP 面积的最大值为1

2|AB |·d max ＝6，

△ABP 面积的最小值为1

2|AB |·d min ＝2.

综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．

5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )

A ．x 2

＋y 2

＋4x ＋3＝0

B ．x 2＋y 2

＋4x ＋3＝0(y ≠0) C ．x 2

＋y 2

－4x ＋3＝0 D ．x 2

＋y 2

－4x ＋3＝0(y ≠0)

解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为

AC ⊥BC ，所以AC ―→·BC ―→

＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，化简得x 2＋y 2

－4x ＋3＝0.因为A ，B ，

C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．

6．已知圆C 1：(x －2)2

＋(y －3)2

＝1，圆C 2：(x －3)2

＋(y －4)2

＝9，M ，N 分别是圆C 1，

C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．

解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝

2－3

＋－3－4

＝5 2.

而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 故|PM |＋|PN |的最小值为52－4. 答案：52－4

7．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2

＋y 2

－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．

解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2

＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－0

2－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.

由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.

答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝0

8．(2018·深圳3月联考)如图，直角三角形ABC 的顶点坐标

A (－2,0)，直角顶点

B (0，－22)，顶点

C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．

(1)求BC 边所在直线的方程；

(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；

(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．解：(1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22

， ∴BC 边所在直线的方程为y ＝2

x －22，即x －2y －4＝0.

(2)在BC 边所在直线方程中，令y ＝0，得C (4,0)， ∴圆心M (1,0)，又∵AM ＝3，

∴圆M 的方程为(x －1)2

＋y 2

＝9. (3)∵M (1,0)，圆N 过点P (－1,0)， ∴PN 是该圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3.

∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2

＝

， ∴所求轨迹方程为x 294＋y 2

＝1.

9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2

＋y 2

－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求

n －3

m ＋2

的最大值和最小值．解：(1)因为x 2

＋y 2

－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将

m ＋2n ＝t 看成直线方程，

因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝

|2＋2×7－t |

12＋2

≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q(－2,3)，因为

n －3

m ＋2

表示直线M Q 的斜率k ，所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线M Q 与圆C 有公共点，得

|2k －7＋2k ＋3|

1＋k

≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以

n －3

m ＋2

的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.

10．(2019·恩施重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴，且y 轴和直线x －3

y ＋2＝0均与圆C 相切．

(1)求圆C 的标准方程；

(2)设点P (0,1)，若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M ，N 两点，且∠MPN 为锐角，求实数m 的取值范围．

解：(1)设圆C ：(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

(r ＞0)，

由题意得?????

a ＞0，

b ＝0，|a |＝r ，

|a －3b ＋2|2＝r ，

解得????

a ＝2，

b ＝0，

r ＝2，

则圆C 的标准方程为(x －2)2

＋y 2

＝4. (2)将y ＝x ＋m 代入圆C 的方程，消去y 并整理得2x 2

＋2(m －2)x ＋m 2

＝0.

令Δ＝4(m －2)2

－8m 2

＞0，得－2－22＜m ＜－2＋22，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－m ，x 1x 2＝m 2

易知PM ＝(x 1，y 1－1)，PN ＝(x 2，y 2－1)，依题意，得PM ·PN ＞0，

即x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＞0?m 2

＋m －1＞0，解得m ＜－1－52或m ＞－1＋5

故实数m 的取值范围是

? ????－2－22，－1－52∪? ????

－1＋52，－2＋22.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2

，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋A Q ―→

＝0，则m 的取值范围为________．

解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋A Q ―→

＝0，

则A 是P Q 的中点，Q 的横坐标x ＝6， ∴m ＝6＋x P

2∈[2,3]．

答案：[2,3]

2．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；

(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值．

解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则

x ＋3

＋y 2

＝2

x －3

＋y 2

，

化简可得(x －5)2

＋y 2

＝16即为所求．

(2)由(1)知曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接C Q ，则|Q M |＝ |C Q|2

－|CM |2

＝|C Q|2

－16，

当C Q ⊥l 1时，|C Q|取最小值，此时|C Q|＝|5＋3|

2＝42，

故|Q M |的最小值为32－16＝4.

第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修

第二章平面解析几何初步章末总结（附解析苏教版必修2）【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范

围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)．又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴为（ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）

2019高考数学真题(理)分类汇编-平面解析几何含答案解析

专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??．在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。直线的参数方程〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题教师版

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题（教师版） 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+???由题意,得 2,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=；当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠= =≤=+-+ 0||y =时，12F PF ∠ 最大，(,,||1Q m m ∴> 2、（2006年）如图，椭圆b y a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e= 2 3。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；

平面解析几何初步(知识点例题)

个性化简案个性化教案（真题演练）

个性化教案

平面解析几何初步知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式【典型例题】例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学同步测试—第二章章节测试本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是（） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为（） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是（） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为（） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是（） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

2019年浙江省数学高考模拟精彩题选解析几何解答题含答案

2016浙江精彩题选——解析几何解答题 1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22 a x ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2 ，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线 l 的对称点，设. （Ⅰ）若l = 3 4 ，求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若D PF 1F 2 为等腰三角形，求l 的值.

2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C： 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 经过点 ,A B分别为椭圆C的左、右顶点，N M,是椭圆C上非顶点的两点，且OMN ?的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A作OM AP//交椭圆C于点P，求证：ON BP//．解：（Ⅰ）由题意得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = = = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 2 6 ( 1 c b a a c e b a ，解得： ?? ? ? ? = = 2 4 2 2 b a 故椭圆C的方程为：1 2 4 2 2 = + y x ……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为 OM y k x =， ON y k x = 联立方程组22 1 42 OM y k x x y = ? ? ? += ?? ，解得M, 同理可得( N,……………………………………7分作' MM x ⊥轴, ' NN x ⊥轴,',' M N是垂足, OMN S ? = '' ''OMM ONN MM N N S S S ?? -- 梯形 1 [()()] 2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1 () 2M N N M x y x y =- 1 2 = =9分已知 OMN S ? 2 =，化简可得 2 - = ON OM k k.……………………………………11分设(,) P P P x y,则22 42 P P x y -=，

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（）Ａ．第三象限Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（）（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；（２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．Ａ．（１）（２）Ｂ．（２）（３）Ｃ．（１）（３）Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解：接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

高一数学高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学高中数学圆的方程专题（四个课时）类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理（含解析）苏教版第八节曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组? ?? ?? F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0 的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点． [小题体验] 1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )， ∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴ x ＋2 2 ＋y 2 ＝2 x －1 2 ＋y 2 ，平方得(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4[(x －1)2 ＋y 2 ]，化简得(x －2)2 ＋y 2 ＝4， ∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝4.

平面解析几何初步

平面几何初步课程要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 考情分析平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理 1 一、直线与方程 1. 直线的倾斜角和斜率：倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度斜率的公式：给定两点 ()()y x p y x P ,,2 2 2 1 1 1 ,，x x 2 1≠，则直线 P P 2 1 的斜率 k = x x y y 2 1 2 1-- 平行与垂直：两条直线l l 2 1, ，他们的斜率分别为 k k 2,1 k k l l 212 1,//=? 1212 1 -=??⊥k k l l 2. 直线的方程点斜式：直线l 过点 ()y x p 0 ,，且斜率为k,那么直线方程为:

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程考点一圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2解得223a -<<. 考点二点与圆的位置关系

1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D