经济数学基础 微积分 第二章习题解答重点

23.证明方程x3 3x 1在(1,2内至少有一实根证明：设f ( x x3 3x 1

根零定，据值理在 3 (1,2

显然它在1,2]上连续 [ f (1 3 0, f (2 1 0

中，方 x 3x 1至有实。程少一根

第二章微积分0

> 第二章微积分运算 微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是Maple最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple都可以毫不费力的将它计算出来. > > 随着作为数学符号计算平台的Maple的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也 在不断地出现。 函数的极限和连续 1.1 函数和表达式的极限 在Maple中, 利用函数limit计算函数和表达式的极限. 如果要仅仅聋子耳朵,仅仅写出数学表达式, 则用惰性函数Limit. 若a可为任意实数或无穷大时, 求极限命令格式为: limit(f,x=a); 求时的命令格式为limit(f, x=a, right); 求时的命令格式为limit(f, x=a, left); 请看下述例子： > Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity); >

> > > > >

对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如: > limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1}); > > restart: > plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2*(1+x)-y^2*(1-y)/(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1); >

高等数学第二章练习及答案

第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

数学建模-微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用

Maple的常用内部数学函数要点

吉林大学公共数学实验中心数学实验 >> 首页> 微积分> 实验2 Maple简介 一、Maple操作界面介绍 1、编辑功能: 编辑功能中查找模块,可以帮助查找你所需要的关键字节.具体操作如图所示: 按上述操作完成后,出现下图所示的对话框: 在文本框中输入你要查找的字符或者符号,可以通过findprevious上下翻看,也可以通过replacewith 操作替代你所查找的字符或者符号.cancle表示取消操作. 其他编辑操作包括分割或连接(splitorjoin)分为一个执行过程（快截键为f3、f4）和选定块(shift+f3、

shift+f4)过程四个操作块 运行操作(Execute)：运行选定或者当前的maple中的语句; 删除运行结果操作（Removeoutput）：将选定或者当前的maple中运行结果从工作爷中删除或者不显示; 2、示图操作（VIEW） 文档在屏幕上的显示模式称为“示图”，maple示图菜单主要设置工作爷文档的一些视图属性，所包括菜单如上图所示。 工具条(toolbar)的功能和其他系统一样，主要包括打开文件、创建新文档、存盘、打印当前页面、复制、剪切、粘贴、撤消操作等。 内容工具条： “枫叶”表示设置工作页和标准公式和maple语言之间的转换 “X”表示设置工作页和标准公式在活动和非活动方式之间的转换 “（对号）”表示标准公式有效时自动检查输入表达式的正确性 “！”表示运行当前表达式 3、插入操作（INSERT）

插入操作比较简单这里就不做详细介绍,主要功能分为: 文本插入(textinput); 标准maple数学表达式插入; 运行单元executegroup插入其中包括在光标前插入和光标后插入 图形插入plot,其中包括两维和三维图象的插入 电子表格插入spreadsheet 段落插入parigraph,其中包括光标前插入和光标后插入 数学输入对象(image)插入 插入超级连接hyperlink 4、其他操作窗口的功能和其他软件基本相同，这里就不做详细介绍了。 二、基本语法规则 MaPle的科学计算功能主要是以命令输入的方式来实现的。Map1e 的命令有自己的使用规则和语法。在使用Maple进行科学计算之前，首先要了解Map1ev命令使用的基本规则。下面给出了利用Maple进行科学计算时的—些基本语法规则 ·MapleV的命令在提示符“>”的右边键入，每行命令要以分号“；”结尾。 ·命令输入结束按回车键,maple就立即执行该命令 ·如果命令以分号结尾，Maple将在下一行给出相应的输出结果，并把光标移到下—个程序段的

微积分习题解答(第二章)

微积分习题解答（第二章） 1写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。 ()()11120, ,0, ,0, ,2 4 6 1 112n n u n ??= +-?? 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 () () 1111 3,,,,261220 11n u n n = + 解：一般项 该数列收敛，其极限为零。 ()2 510172642, ,,,,2345 1n n u n += 解：一般项 该数列发散。 3.利用定义证明下列极限；

()n n n n n -11lim 0 60-110661 ln ln 6 1ln 1,ln 6-106-1lim 0 6n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ ?? = ? ?? >???? -=< ? ? ???? > ? ???=+>?? ???? ??-< ?????∴= ??? 证明：对于任给，要使 只要 取正整数当时 总有不等式 成立 ( )2 23lim 010111,0lim n n n N n N εε ε εε→∞ →∞ =>-= <> ?? = +>???? -<∴=证明：对于任给，要使 只要 取正整数 当时 总有不等式 成立 4.试判断下列论点断是否正确。

()() ()1, ,lim 1111 1lim 01 n n n n n u A u A n n n n →∞ →∞ -=?--= +=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如 随着越大，而越加接近零，但 ()() {}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u A u u u A ε εεε→∞ →∞ >-=∠>-=<∴=如果对于任给，在数列中除有限项外，都满足不等式<， 则有 正确 设N 为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给，只要取正整数+1，当时， 总有不等式 满足 ()() {}5s in s in n n n u n u n u ?==≤有界数列必定收敛 错误 例如 显然1，但发散 6．利用定义证明下列极限： ()() ()()()()1 1 1lim 312 0312311,3 312lim 312 x x x x x x x x εε ε δδε →→-=>-- =-<= <-<-- <-=证明：对于任意给定的，要使 只需取，则当0时总有 成立，于是，由极限定义可知

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

Maple中微积分与极限的命令介绍

Maple中微积分与极限的命令介绍 在使用Maple进行计算时，对于函数的计算是涉及很多的，但是在计算函数的过程中，有很多需要用到高等数学中的微积分与极限。而这些计算的命令构成了复杂函数的命令。下面就对Maple微积分和命令和极限的命令做一些基本介绍。 一、极限 Limit（f（x），极限点，选项），Limit为极限号（可用value看值）。 选项有：左left、右right，省略则为普通极限。 注：不能对过程函数直接计算。 1.x=a点极限，limit（f（x），x=a）。 2.x趋向无穷极限，limit(f(x),x=infinity)。 3.x趋向正负无穷大极限，在infinity前直接加+、-号即可。 注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求极限函数要用f（x）形式。 二、导数。 1.diff(f,x1,x2,…) x1,x2,…为各次求混合导数的自变量。 diff(f,x$m,y$n) m，n 分别为对自变量x、y 求导阶数。 Diff 为求导符号,可用value 显示值。 注：不能对过程函数直接使用。

注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求导函数要用f（x）形式。 2.隐函数导数：diff（方程，自变量及阶数）； （1）将方程中函数变量全部写成自变量函数形式(如y(x))，再求导。 （2）用别名命令alias将函数变量先定义为自变量的函数，如alias（y=y（x））再对方程求导。 3.导数算子：D(函数)，D[i$m,j$n,…](函数) i,j 整数表示,对第i、第j 个变量求导。 注：只有箭头算子、过程、转换法定义函数，才能使用求导算子。 三、积分 1.一元积分 int（f，x）不定积分，int（f，x=a..b）定积分，int为积分符号，用value 显示值。 注：不能对过程函数使用。 注：箭头算子、过程、转换法定义函数要用int(f(x)，x)。 2.二重积分，int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b) 以上内容向大家介绍了Maple微积分和极限的一般使用命令，命令格式相对来说比较简单，只需要进行相应的变量输入就可以了，Maple函数包的数量很多，功能非常齐全。

第二章数学模型与定解问题

第二章数学模型与定解问题 2.1典型方程 三类基本的二阶偏微分方程是: (1)波动方程 0)(2 =++-zz yy xx tt u u u a u (2)热传导方程 0)(=++-zz yy xx t u u u k u (3)拉普拉斯方程 0=++zz yy xx u u u 许多数学物理问题都可归结为解偏微分方程的问题,特别是可归结为解上面所列举的三个偏微分方程的问题.我们将开始研究这些方程,首先仔细考察表示这些物理问题的数学模型. 2.2弦的振动 在数学物理中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题.由于它较简单, 且经常出现在许多数学物理的分支中,所以在偏微分方程理论中把它作为一个典型的例子. 让我们考察一长为 l 的两端固定的拉紧的弦.我们的问题是要确定弦的运动方程,用它来描述在给定初始扰动后任一时刻t 的弦的位移u(x,t). 为了能.得出一个较简单的方程,我们作下面的一些假设: (1)弦是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向; (2)弦的每一段都不伸长,因此根据胡克(Hooke)定律,张力是常数; (3)弦的重量与其张力相比很小; (4)弦的偏移与其长度相比很小; (5)位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小; (6)弦只有横振动. 我们考察弦上一微小元素.设T 是如图2.1所示的两端点上的张力.作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力是: αβsin sin T T - 图（Figure ）2.1

根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此 tt su T T ?=-ραβsin sin (2.2.1) 其中ρ是弦的密度,s ?是这一小段位移后的弦的弧长.因为位移后的弦的斜率很小,所以有 x s ?≈? 因为角α和β都很小,所以 ααtan sin ≈, ββtan sin ≈ 于是等式(2.2.1)变成 tt u T x ?=-ραβtan tan (2.2.2) 但是,由微积分学我们知道,在时刻t 有 x x u )(tan ≈α 及 x x x u ?+≈)(tan β 于是等式(2.2.2)可以写成 tt x x x x x u t u u x ρ =-??+])()([1 令x ?趋于零取极限,得 xx tt u a u 2 = (2.2.3) 其中ρ T a = 2 。方程(2.2.3)称为一维波动方程. 如果在弦的每单位长度上有外力F 作用着,方程(2.2.3)具有下列形式: f u a u xx tt +=2 (2.2.4) Where ρ F f = ,而外力可以是压力、重力、阻力以及其他力等 2.3膜的振动 膜振动方程在数学物理的许多问题中出现.在我们导出膜振动方程前,像在弦振动的情形中一样,我们作下列一些简化的假设: （1） 膜是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻它的张力 总是在膜的切平面内; (2) 膜的每一块元素都没有伸张变形, 因此根据胡克定律, 张力是常数;

微积分模型

第一篇 微积分模型 在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。 函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。 数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。与极限和连续等内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。 导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。 微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。与积分和微元分析内容相关的应用实例有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。 离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论 等。 如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。 变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。 1

第二章测验题(微积分)

上海第二工业大学 2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、填空题（每题3分，共30分） 1．设421()tan f x x =,则()__________f x '=； 2 ．设y = ，则________________x dy =； 3．若2,0()2,0 x ae x f x bx x ?<=?-≥?,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==； 4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x '''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000 ()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则 ______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ?=-时，相应的函数增量y ?的线性 主部为0.1，则(1)_____________f '=； 9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3 __________m ； 10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。 二、选择题（每题3分，共21分） 1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n →∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-； 2．下列结论不正确的是（ ） （A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；

Maple微分方程的求解

题目：微分方程的求解 ——基于Maple工具 姓名: 学号: 专业: 学科: 老师:

目录 一、简介 (3) 概况： (3) Maple 主要技术特征： (3) 1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 (3) 2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 (4) 3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 (4) 4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 (4) 二、Maple在微分方程中的应用 (5) 1、常用函数 (5) 1)求解常微分方程的命令dsolve. (5) 2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. (5) 3)偏微分方程求解命令pdsolve. (6) 2、方法 (6) 1)一阶常微分方程的解法 (6) 2)二阶线性常微分方程的解法 (7) 3、作图 (8) 1)常微分方程数值解作图命令odeplot (8) 2)偏微分方程作图命令PDEplot (8) 三、各种方程的求解 (8) 第一部分:一阶常微分方程 (8) 1、可分离变量方程 (8) 2、齐次方程 (9) 3、线性方程 (10) 4、Bernoulli方程 (10) 第二部分:二阶线性常微分方程 (11) 1、二阶常系数线性齐次方程 (11) 2、二阶常系数线性非齐次方程 (12) 3、Euler方程(变系数) (12) 第三部分:偏微分方程 (13) 1、波动方程 (13) 2、热传导方程 (14) 3、作图 (14) 四、总结 (15)

一、简介 概况： Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高中学生到高级研究人员。 Maple 主要技术特征： 1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 ★内置超过5000个符号和数值计算命令，覆盖几乎所有的数学领域，如微积分，线性代数，方程求解，积分和离散变换，概率论和数理统计，物理，图论，张量分析，微分和解析几何，金融数学，矩阵计算，线性规划，组合数学，矢量分析，抽象代数，泛函分析，数论，复分析和实分析，抽象代数，级数和积分变换，特殊函数，编码和密码理论，优化等。 ★各种工程计算：优化，统计过程控制，灵敏度分析，动力系统设计，小波分析，信号处理，控制器设计，集总参数分析和建模，各种工程图形等。 ★提供世界上最强大的符号计算和高性能数值计算引擎，包括世界上最强大的微分方程求解器（ODEs，PDEs，高指数DAEs）。 ★智能自动算法选择。 ★强大、灵活、容易使用的编程语言，让您能够开发更复杂的模型或算法。

微积分曹定华修订版课后题答案 习题详解

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第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有 lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2221 11(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112 (1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+

数学建模微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用 2 )(21rT c T c T c += (4.2) 模型求解 求T ，使)(T c 取最小值。 由 0=dT dc ，得 2 12 1 2,2c r c Q rc c T = = (4.3)

maple 求高等数学问题

用Maple求函数极限 1. 自变量趋于有限值的极限 解输入： f:=x->sin(x)/x; Limit(f(x),x=0); 输出： 或 f:=x->sin(x)/x; limit(f(x),x=0); 或 f:=x->sin(x)/x: Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0); f:=x->(1+x^2/2-sqrt(1+x^2))/((cos(x)-exp(x^2))*sin(x^2)): Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

2. 自变量趋于无穷大的极限 f:=x->(1+a/x)^x; Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); f:=x->x*sin(a/x); Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); 用Maple求单侧极限

解输入： f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); 输出： f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); f:=x->exp(1/x); Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

f:=x->arctan(1/x); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); 用Maple求分段函数的极限 2011-07-29 10:30:50| 分类：Maple应用| 标签：|举报|字号大中小订阅 用微信“扫一扫” 将文章分享到朋友圈。 用易信“扫一扫” 将文章分享到朋友圈。 下载LOFTER客户端 g:=x->piecewise(x<3,x^2-6,3<=x,2*x-1); Limit(g(x), x=3,right)=limit(g(x), x=3,right); Limit(g(x), x=3,left)=limit(g(x), x=3,left); Limit(g(x), x=3)=limit(g(x), x=3);

微积分定积分练习题有答案

1利用定积分的几何意义计算 1－x 2 d x . 2.计算定积分??1 2(x ＋1)d x . 3.定积分??a b f (x )d x 的大小 ( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 4．在求由x ＝a ，x ＝b (a

微积分曹定华课后题答案第二章习题详解

第二章 习题2-1 1、 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞ x n +k =a 、 证:由lim n n x a →∞ =,知0ε?>,1N ?,当1n N >时,有 n x a ε-< 取1N N k =-,有0ε?>,N ?,设n N >时(此时1n k N +>)有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =、 2、 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|、考察数列 x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、 证: lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-,,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞ =, 所以前面所证结论反之不成立。 3、 利用夹逼定理证明: (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、 证:(1)因为 222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++≤≤=+L 而且 21lim 0n n →∞=, 2lim 0n n →∞=, 所以由夹逼定理,得