数学模型考试试卷
1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是
k k
k k d s s )1(1-+=+。(允许决策模型) 1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是
)1(2+=
i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为
=)(T C 221rT
c T c +
，当=
T r
c c 21
2时，
)(T C 最小。
4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。
5、一阶自治微分方程
()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当
f
K <
g
K 时，平衡点
0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个
钩子的概率为
(1)k k n k
n C p p -
- 。
9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程
rt
e x t x 0)(= 建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是
根据微分方程
)1(m
x x rx dt dx -= 建立的。
10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t
+=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。
12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能 97 % 。
13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS 模型.
14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是 吸收链存在唯一极限状态概率。
15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。 16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数
=)(t x 2/m x 时，人口增长率最大；当人口数=)(t x m x 时，人口增长率为0。
17、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是n v rk
n v
wk t ππ222
+
=
。“录像机计数器的用途”模型中，计数
器的读数 的增长速度越来越慢 。
18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是
=
Q d
T
k
∆。
19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。 “经济增长模型”中，要保持总产值
)(t Q 增长，即要求。
0>dt dQ
20、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 21. 存贮模型的优化目标是 平均每天费用最小。
22.“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值)(t z 增长，即要求 劳动力的增长率小于初始投资增长率。
23.“层次分析模型”中成比对矩阵)
(ij a A =如果满足如下
ik
jk ij a a a =⋅式，则称为一致阵。
二：概念题
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 三：问答题
1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)
答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。 （2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；
非预制性；条理性；技艺性；局限性；
2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油
漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)
解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量
x2=生产椅子的数量
（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2
（3）确定约束条件：
4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）
（4）建立的数学模型为：
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >0
3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，
才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）
解：令
0,1,ij i j x i ⎧=⎨
⎩指派第人完成第项工作
不指折派第项工作
目标函数：
111231421222431323334414244
min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++
+++++
约束条件：
1121314112223242132333431424344411..11
x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩
4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ； （2）能力：想象力、洞察力 … 。
5、试用简练的语言全面的描述“商人怎样安全过河”该类问题。(10’)
答：求决策
)
,,2,1(n k D d k =∈，使状态
S
s k ∈按照转移律
k k
k k d s s )1(1-+=+，则初始状态)3,3(1=s 经有限步n 到达状态
)
0,0(1=+n s 。
6、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。(10’) 答：（1）当右轮盘转到第i 圈时其半径为wi r +，周长为
)(2wi r +π，m 圈的总长度恰等于录像带转过的长度，
即：
vt
wi r m
i =+∑=1
)(2π；
（2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：
wvt r wkn r =-+])[(22π；
（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt 内录像带转过的长度为速度v 乘以dt ，它等于右轮盘绕上的录像带
长度（由于kn m =
），即：
kdn knw r vdt )(2+=π；
以上三种方法都可得到：
n v rk n v
wk t ππ222
+
=
。
7、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。
答：（1）差分方程的平衡点*x 若满足：当∞→k
时，*x x k →，则称平衡点*x 是稳定的。
（2）若三阶线性常系数差分方程
b
x a x a x k k k =++++2112的特征方程
b a a =++212
λλ的根
)
3,2,1(=i i λ均有
1
（3）非线性差分方程)
(1k k x f x =+的平衡点*x 若满足
1*)(' 1*)('>x f ， 则平衡点*x 是不稳定的。 8：某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。 解：20个席位：（1）、38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000465 =⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=5421921Q 2398.05，= ⨯=763162 2Q 2377.52 = ⨯=1094652 3Q 2402.5，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。 21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765 .9211000465 =⨯因此比例加惯例分配结果为4、7、 10个。（2）三方先分得4、6、10个， = ⨯='11104652 3Q 195.68，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结 果是同时符合准则1和准则2.。 9：大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方 面，有三个就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵 ⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531 A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/1641 3B 。 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 解：用“和法”近似计算得： 矩阵A 对应的权向量为： T )12.0,23.0,65.0(，最大特征根为3.003697，0018.0=CI ，0031.0=CR 矩阵1B 对应的权向量为：T )60.0,32.0,08.0(，最大特征根为3.001982，001.0=CI ，0017.0=CR 选择发展就业 收入 发展 声誉 岗位1 岗位2 岗位3 矩阵2B 对应的权向量为：T )09.0,24.0,67.0(，最大特征根为3.00703，0035.0=CI ，006.0=CR 矩阵 3 B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为3.00922，0046.0=CI ，008.0=CR 组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0( 因此最佳的岗位为岗位3。 10：某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？ 解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001 ，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。 1 17.06.01.03.0)(--⎥ ⎦⎤ ⎢⎣⎡--=-=Q I M = ⎥⎥ ⎦⎤ ⎢⎢⎣ ⎡2432324Me y ==T )6,3 15(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要 经过 31 5 或6年投保人就会出现退保或死亡的情况。 MR F ==⎥ ⎦⎤⎢⎣ ⎡34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。 1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下 午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成: 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为 k y ，k=1，2,........， k x ， k y =0，1，2，3。将二维向量 k s = 0.6 （k x ， k y ）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 S= ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二 维向量 k d =（ k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知D= (){2,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } 状态 k s 随k d 的变化规律是： 1 +k s = k s + ()k k d *-1 模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下： 五：计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分） 1、⎪⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411311 A 试用和法求出A 的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）。 答：⎪⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411311A 中各列归一化 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛8/19/17/18/49/47/38/39/47/3,各行求和 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛569.0373.1248.1= w 而 ⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=328.1897.4328.4Aw ， 所以最大特征根为 123 .3)569 .0328 .1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==∑=i i i w Aw λ 其一致性指标为：CI= 061.023123.31 33 =-= --λ,CR=1.0106.058.0061.0>==RI CI , 所以A 不通过一致性检验。 2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收 300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley 值方法分配各人的所得。(9分) 答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略) 3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设:1.产品每天需求量为常数r 2.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 3.生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当t=T 1时产品已用完 4.生产周期为T ，产量为Q 模型建立:一周期总费用如下: 2)(2213121T T r C Q T C C C -+ +=一周期平均费用为 rT Q rT C rT Q C T C Q T f 2)(2),(2 3221-+ +=模型求解: 用微分法解得周期 3 2321) (2C rC C C C T += (1分)产量 ) (23223 1C C C C rC Q += 4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。 设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率 为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。 解：状态()()() 死亡患病健康32,1===，i i i ,依歇易得转移概率阵为 ⎝ ⎛=065 .08 .0P 25 .018.0 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ 11.002.0 2分记 ()()() )(),(,321n a n a n a n =α， 则 ()P n n ⋅=+)(1αα ) ,2,1(⋯⋯=n （1分）易是： ()。 ，i 马氏链是吸收链是吸收状态死亡∴=3 ⎝ ⎛=O Q P ⎪⎪⎭ ⎫ I R ⎝ ⎛=65 .08 .0Q ⎪⎪⎭⎫ 25.018.0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1.002.0R ,() ⎝⎛-=-=-65.02.01 Q I M ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫--65.075.0043.0125.018.01 ⎪⎪⎭⎫2.018.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==85.093.0043.01Me y ∴ 由健 康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为 4385043930和 。 5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）h N x rx t x --=))(1()(2 (1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况 (2)如何获得最大持续产量 解:令 h N x rx x F --=))( 1()(2 ， ) 31()(22 N x r x F -='h N x rx x f --=))( 1()(2 的最大值点为 ) 32,3( rN N 当3/2rN h >时,无平衡点当3/2rN h <时,有两个平衡点)3/(1N x <和)3/(2N x >,经过判断 x 1 不稳定,x 2稳定 当3/2rN h =时,平衡点3/0N x =,由0)(0='x F 不能判断它稳定性 (2)为了获得最大持续产量,应使3/N x >且尽量3/N x =接近,但操作困难 1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型 即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。（不必求解） 解：假设 )(t c i 、 ) (t x i 和 i V 分别表示第i 室 )2.1(=i 的血药浓度，药量和容积，2112k k 和是两室之间药物转移速率系数， 13k 是从中心室（第1室）向体外排除的速率系数则⎩⎨ ⎧⋅-=+⋅+⋅--=221112************)()()(x k x k t x t f x k x k x k t x （1）（其中) (0t f 是给 药速率）及) 2()()( t c V t x i i i ⋅=于是：⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨ ⎧ -⋅=+⋅+⋅+-=2 211122121022112113121 )()3()()()(c k c k v v t c v t f c k v v c k k t c 2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A 产品2公斤，A 产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B 产品3公斤，B 产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C 产品4公斤，C 产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A 产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型 答：设每天安排x 1桶原料生产A 产品，x 2桶原料生产B 产品，x 3桶原料生产C 产品，则有： ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎨⎧≥≤≤++≤++++=0,,582460681060432..485460max 3211321 3213 21x x x x x x x x x x t s x x x z 1、在录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别； 1、 答：由（1）得vt m m mr =++2) 1(22πωπ，将kn m =代入得)2(22ωππω++=r v kn n v k t ， 因为ω >>r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。 2、试说明在不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它； 2、答：假设每件产品的生产费用为 3 c ，则平均每天的生产费用为 r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31 211112 )(++= ，下面求1T 使)(11T C 最小，发现 dT T dC dT T dC ) ()(111= ，所以 r c c T T 2112==，与 生产费用无关，所以不考虑。 1、对于传染病的SIR 模型，叙述当 σ 1 0> s 时 )(t i 的变化情况并加以证明。 1、答：由（14） ),1(-=s i dt di σμ若 σ10> s ，当0 1 s s <<σ 时，)(,0t i dt di >增加; 当 σ1= s 时，)(,0t i dt di =达到最大值m i ;当 σ1 (,0t i dt di <减少且由1.知0=∞ i 2、在捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即 )0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？ 2、 答： E bE a S )(-=，则 E bE a pEx S T R )(--=-=,将 )1(0r E N x - =代入，得 2 )()()(E r pN b E a pN E R -+-=，令0='R 得 pN rb pN a r E R --⋅=2。 1、在 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程) ()(0S I c x I +=的最小正根。 1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。从而)(u J 是下凸的。 而由 )(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值 )(S I 。 记 )}()({0S I c x I x A +≤=， )} ()({0S I c x I x B +>=则集合 A 与 B 的分界点即为订货点s ，此即方程 ) ()(0S I c x I +=的最小正根 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。 1、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策（ d ）。 A.称之为状态 B.记为s k =(x k , y k ) C.是集合S 中的元素 D.都是集合D 中的元素 2、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程（ c ）建立的。 A. k k r x x ) 1(0+= B.rx dt dx = C. rt e x t x 0)(= D. rt e x t x -=0)( 3、“人口阻滞增长”模型的计算结果表明了（ d ）。 A.人口增长率为常数 B.人口增长率逐步变大 C.人口将按指数规律无限增长 D.人口将达到最大容量 4、“人口阻滞增长”模型表明人口增长率的规律是（ b ）。 A.人口增长率逐步变大 B.人口增长率先变大后变小 C.人口增长率先变小后变大 D.人口增长率逐步变小 5、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t +=2中的参数a 和b 可用（c ）方法求得。 A.最小二乘估计 B.插值 C.数值积分 D.统计推断 6、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的（ b ）。 A. 2倍 B. 1/2 C. 3倍 D. 4倍 7、“奶制品的生产与销售”模型中，以下说话错误的是（ b ）。 A 、资源剩余为零的约束为紧约束 B 、资源的单位增量引起的效益增量称为“影子价格” C 、影子价格大于零的资源一定是紧约束 D 、影子价格小于零的资源一定是松约束 8、“传染病模型”中所未涉及的模型是（ b ）。 A 、SI 模型 B 、SIS 模型 C 、SI D 模型 D 、SIR 模型 9、“经济增长模型”中以下说法正确的是（ c ）。 A 、 )(t K 表示劳动力； B 、 β表示劳动力在产值中所占的份额； C 、 L Q 表示资金创造的产值； D 、α表示资金创造的产值； 10、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是（ d ） A 、正则链有任意状态都能达到； B 、吸收链可以包含多个吸收状态； C 、正则链存在唯一的极限状态概率； D 、吸收链的存在唯一极限状态概率。 2、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。 3、“人口阻滞增长”模型中，当人口数 =)(t x 2/m x 时，人口增长率最大；当人口数=)(t x m x 时，人口增长率为0。 5、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是 n v rk n v wk t ππ222 + = 。 6、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是 = Q d T k ∆。 7、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 8、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。 1、试用简练的语言全面的描述“商人怎样安全过河”该类问题。(10’) 答：求决策 ) ,,2,1(n k D d k =∈，使状态 S s k ∈按照转移律k k k k d s s )1(1 -+=+，则初始状态)3,3(1=s 经有限步n 到达状态 ) 0,0(1=+n s 。 3、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。(10’) 答：（1）当右轮盘转到第i 圈时其半径为wi r +，周长为 )(2wi r +π，m 圈的总长度恰等于录像带转过的长度， 即： vt wi r m i =+∑=1 )(2π； （2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即： wvt r wkn r =-+])[(2 2π； （3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt 内录像带转过的长度为速度v 乘以dt ，它等于右轮盘绕上的录像带 长度（由于kn m = ），即： kdn knw r vdt )(2+=π； 以上三种方法都可得到： n v rk n v wk t ππ222 + = 。 4、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。(10’) 答：（1）差分方程的平衡点*x 若满足：当∞→k 时，*x x k →，则称平衡点*x 是稳定的。 （2）若三阶线性常系数差分方程 b x a x a x k k k =++++2112的特征方程 b a a =++212 λλ的根 ) 3,2,1(=i i λ均有 1 （3）非线性差分方程 ) ( 1k k x f x= +的平衡点* x若满足1 *) ('< x f ，则平衡点 * x是稳定的；否则若1 *) ('> x f ， 则平衡点 * x是不稳定的 1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（a ）。 A.允许决策模型 B.状态转移模型 C.马氏链模型 D.多步决策模型 2、“人口指数增长”模型的计算结果表明了（c ）。 A.人口增长率为常数 B.人口增长率逐步变大 C.人口将按指数规律无限增长 D.人口将达到最大容量 3、我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程（d ）建立的。 A. rt e x t x )(= B. rx dt dx = C. ) 1( ) ( m x x r x r- = D. ) 1( m x x rx dt dx - = 4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（d）。 A.参照惯例的席位分配结果是较合理的 B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果 C. 席位分配一类问题的Q值法是较公平的 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 5、“录像机计数器的用途”模型中，计数器的读数（c ）。 A.是均匀增长的 B.与录像带的线速度 v成正比 C.的增长速度越来越慢 D.与经过的时间成正比 6、“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能（b ）。 A. 3 % B. 97 % C. 93 % D. 7 % 7、存贮模型的优化目标是（d ）。 A、库存量最小 B、库存量最大 C、一周期的费用最小 D、平均每天费用最小 8、“经济增长模型”中，要保持总产值 )(t Q 增长，即要求（ c ）。 A、 < dt dQ B、 = dt dQ C、 > dt dQ D、 > L Q 9、“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值)(t z 增长，即要求（a ）。 A、劳动力的增长率小于初始投资增长率 B、劳动力的增长率等于初始投资增长率 C、劳动力的增长率大于初始投资增长率 D、劳动力的增长率不等于初始投资增长率 10、“层次分析模型”中成比对矩阵 ) ( ij a A= 如果满足如下（ d ）式，则称为一致阵。 A、 > ij a B、ji ij a a 1 = C、 1 1 = ∑ = n i ij a D、ik jk ij a a a= ⋅ 1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s)1 ( 1 - + = +。 2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是 )1 ( 2 + = i i i i n n p Q 。 3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为 =)(T C 221rT c T c + ，当= T r c c 21 2时， )(T C 最小。 4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。 5、一阶自治微分方程 ()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。 6、市场经济中的蛛网模型中，只有当 f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。 7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个 钩子的概率为 (1)k k n k n C p p - - 。 1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’) 答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。 （2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性； 2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油 漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算） 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2 （3）确定约束条件： 4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制） （4）建立的数学模型为： max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >0 3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作， 才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) 解：令0,1,ij i j x i ⎧=⎨ ⎩指派第人完成第项工作 不指折派第项工作 目标函数： 111231421222431323334414244 min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++ +++++ 约束条件： 1121314112223242132333431424344411..11 x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧ ⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ； （2）能力：想象力、洞察力 … 。 数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是 一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1 《数学建模》试卷 第 1 页 共 4 页 《数学建模》试题 一、填空题（每题5分，满分20分）： 1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 . 2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 4. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ， 其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 二、分析判断题（每题10分，满分20分）： 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。 2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前 提下获利最多？ 表1 单位：元/件 上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。 三、计算题（每题20分，满分40分）： 1. 有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站 .,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的 运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从 密 线 封 层次 报读学校 专业 姓名 317 数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f 8 第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。 第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++= 第1页，共2页 陕西理工学院成教学生考试试卷 姓名： 专业年级： 科目： 数学模型与实验 学历层次： 学习形式： 一、选择题（4分/题×10题=40分） 1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ ）。 A.允许决策模型 B.状态转移模型 C.马氏链模型 D.多步决策模型 2、“人口指数增长”模型的计算结果表明了（ ）。 A.人口增长率为常数 B.人口增长率逐步变大 C.人口将按指数规律无限增长 D.人口将达到最大容量 3、我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程（ ）建立的。 A.rt e x t x 0)(= B. rx dt dx = C.)1()(m x x r x r - = D. )1(m x x rx dt dx -= 4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ ）。 A.参照惯例的席位分配结果是较合理的 B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果 C. 席位分配一类问题的Q 值法是较公平的 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 5、“录像机计数器的用途”模型中，计数器的读数（ ）。 A.是均匀增长的 B.与录像带的线速度v 成正比 C.的增长速度越来越慢 D.与经过的时间成正比 6、“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能（ ）。 A. 3 % B. 97 % C. 93 % D. 7 % 7、存贮模型的优化目标是（ ）。 A 、库存量最小 B 、库存量最大 C 、一周期的费用最小 D 、平均每天费用最小 8、“经济增长模型”中，要保持总产值)(t Q 增长，即要求（ ）。 A 、 0数学建模试卷及参考答案
《数学建模》考试试卷与参考答案
数学建模试题(带答案)
《数学模型》考试试卷
数学建模期末考核题目
数学建模期末考核题 考题一 1、在一段时间内,某中商品(de)价格x元和需求量Y件之间(de)一组数据为： 求出Y对X(de)回归直线方程,并说明拟合效果(de)好坏. （请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 2据观察,个子高(de)人一般腿都长,今从16名成年女子测得数据如下表,希望从中得到身高x与腿长y之间(de)回归关系.（请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 身高x与腿长y观测数据 3、某人每天由饮食获取10467焦热量,其中5038焦用于新陈代谢,此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存(de)热量利用率为100%,每公斤脂肪含热量41868焦,问此人(de)体重如何随时间而变化 4、在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征(de)人骨碎片,
科学家们把它们带到实验室,作碳14年代测定.分析表明C14与C12(de)比例仅仅是活组织内(de)％,此人生活在多少年前 （宇宙射线在大气中能够产生放射性碳—14,并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入.只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳—14,在机体内保持一定(de)水平,这意味着在活体中,C14(de)数量与稳定(de)C12(de)数量成定比.生物体死亡后,交换过程就停止了,放射性碳便以每年八千分之一(de)速度减少.并逐渐消失.对于任何含碳物质,只要测定剩下(de)放射性碳—14(de)含量,就可推断其年代. ） 5、 你已经去过几家主要(de)摩托车商店,基本确定将从三种车型中选购一种.你选择(de)标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况.经反复思考比较,构造了它们之间(de)成对比较矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1315181315171551318731A 三种车型（记为a ,b ,c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度(de)成对比较矩阵为 （价格） （耗油量） c b a c b a c b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121312121321 c b a ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡17127152111
数学建模期末试卷
数学建模期末试卷 第一部分：理论知识运用（800字） 在数学建模中，理论知识是基础和核心。本部分试题旨在考察你对 数学建模相关理论的理解和应用能力。 问题一：线性回归模型 给定一组数据集，其中包含自变量x和因变量y的取值。请用线性 回归模型拟合数据，得到最优拟合直线，并解释拟合效果和参数含义。 解答一：线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间关系的 数学模型。它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二 乘法求解出最优拟合直线。最优拟合直线可以通过参数方程y = β0 + β1x表示，其中β0表示截距，β1表示斜率。通过最优拟合直线，我们 可以预测因变量y的值，并评估拟合效果。 问题二：时间序列模型 某公司过去5年的销售额数据如下：2015年：1000万元，2016年：1200万元，2017年：1300万元，2018年：1500万元，2019年：1700 万元。请根据给定数据，建立时间序列模型，并预测2020年的销售额。 解答二：时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的数学 模型。通过观察历史数据的变化趋势和周期性，我们可以建立合适的 时间序列模型。对于给定数据，我们可以使用移动平均法或指数平滑 法进行预测。根据过去5年的销售额数据，可以看出销售额呈上升趋
势，因此我们可以使用指数平滑法进行预测。根据指数平滑法的公式，我们可以得到2020年的销售额预测值。 问题三：优化模型 某工厂生产两种产品A、B，产品A每件利润为10元，产品B每 件利润为20元。工厂的生产能力有限，每天生产产品A最多100件， 产品B最多80件。产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。请问工厂每天应该生产多少件产品A和产品B，以使总利润最大化？ 解答三：该问题可以建立一个线性规划模型来求解。设产品A的生 产量为x，产品B的生产量为y。由于生产能力有限，我们可以得到以 下约束条件：x≤100，y≤80。另外，由于产品A和产品B的生产时间 分别为2小时和3小时，所以我们还有时间的约束条件：2x+3y≤24。 总利润可以表示为10x+20y，因此我们的目标是求解该线性规划模型的最优解。 第二部分：实际问题建模（800字） 在数学建模中，实际问题建模是能力的体现。本部分试题旨在考察 你能否将实际问题转化为数学模型，并进行求解和分析。 问题四：旅行商问题 某旅行商需要依次拜访A、B、C、D四个城市，已知每两个城市之间的距离，如下表所示。请问旅行商应该选择哪条路径，使得总路程 最短？
(完整版)数学建模试卷(附答案)
2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ϕ 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模 参考答案 2．约40．1876 3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法： 机理分析法，统计分析法，系统分析法 2、优化模型的一般形式 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ， 在约束条件 下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数 为可行域 三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 531+- =- . ,...,,,)(m i h i 210==x ) (x f u =. ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x ) (x f Ω ∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or . ,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x . ,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x
数学建模考试试题及答案
数学建模及应用试题汇总 1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器， 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山 崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 2. 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 3. 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为 T1， 另一端温 度恒为 T2， (T1、T2 为常数， T1> T2)。金属杆横截面积为 A ，截面的边界长度为 B ，它 完全暴露在空气中，空气温度为 T3， (T3< ， T3 为常数)， 导热系数为α，试求金属杆 上的温度分布 T(x)， (设金属杆的导热 2为λ) 4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记 2 分，抢答题开始后，如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分，反之则乙加 1 分甲减 1 分,(每题必需决出胜负 )。规 则还规定，当其中一方的得分达 到 4 分时，竞赛结束。现希望知道： (1)甲队获胜的概率有多大？ (2)竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？ (3)甲获得 1 、2、3 分的平均次数是多少？ 5. 由于指派问题的特殊性， 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算 法。当系数矩阵为下式，求解指派问题。 「16 15 19 22] C = L17 19 22 16 」 6. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。假定三个女儿为 A 、B 、C ， 三位求 婚者为 X 、Y 、Z 。每位求婚者对 A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定： A B C x 「 3 5 26] 问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼(从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。 7. 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工。但根据天气预 报， 15 天后天气肯定变坏。 有 40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期， 在 50%的可能 会遇到小风暴而使工期推迟 15 天， 另有 10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟 20 天。 对于可能出现的情况，考虑两种方案： 提前紧急加班，在 15 天内完成工程，实施此方案需增加开支 18000 元。 先按正常速度施工， 15 天后根据实际出现的天气状况再作决策。 如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。 如遇到小风暴，有两个备选方案： (i)维持正常速度施工，支付工程延期损失费 20000 元。 (ii) 采取应急措施。 实施此应急措施有三种可能结果： 有 50%可能减少误工期 1 天 ， 支付应急费用和延期损失费共 24000 元； 有 30%可能减少误工期 2 天，支付应急费用和 延期损失费共 18000 元； 有 20%可能减少误工期 3 天，支付应急费用和延期损失费共 12000 元。 如遇大风暴， 也有两个方案可供选择： (i)维持正常速度施工， 支付工程延期损失费 50000 y |27 10 28 | z |L 1 4 7 」|
数学模型测试题
数学模型测试题 数学模型，作为数学的一个重要分支，是一种将现实问题量化、抽 象化，通过数学方法进行建模、求解的过程。它以数学的语言和工具，模拟现实问题的内部关系和外部特征，为问题的分析和决策提供支持。下面，我们将给出一些数学模型测试题，来检验你对数学模型的理解 和应用能力。 一、最优化模型 1. 一家汽车制造厂生产两种型号的汽车，型号A每辆售价10万美元，型号B每辆售价15万美元。生产一辆A型车需要花费5个机器人 工作3天，生产一辆B型车需要花费3个机器人工作4天。每天，该 厂最多可使用12个机器人。如果厂商希望最大限度地获得利润，请问 应该生产多少辆A型车和多少辆B型车？ 2. 一个农场有100亩土地，要种植玉米和小麦两种农作物。种植玉 米每亩可获得5000元收益，种植小麦每亩可获得3000元收益。玉米 每亩需用水200立方米，小麦每亩需用水150立方米。农场每天用水 量不得超过18000立方米。为了最大化收益，请问应该种植多少亩玉 米和多少亩小麦？ 二、概率模型 1. 有一个有着均值为μ、标准差为σ的正态分布随机变量X。现在 需要进行一次抽样，抽样样本量为n。请问，如何确定抽样样本量n， 使得抽样均值的置信度为1-α？
2. 一批商品进货数量为N，每个商品有M个瑕疵品。现在要从中随机抽取n个商品，考察其中瑕疵品的数量。请问，如何计算瑕疵品数 量的期望值和方差？ 三、排队论模型 1. 一家银行有两个窗口，每个窗口的服务时间服从均值为μ、标准 差为σ的正态分布。顾客以平均λ的速率到达。请问，计算顾客等待 时间的期望值和方差。 2. 有一个队伍，长度为n。已知每个人到达队尾的时间间隔服从均 值为μ、方差为σ的指数分布。请问，计算最后一个人离开队伍的时间的期望值和方差。 四、回归模型 1. 有一组数据包括自变量x和因变量y，想要利用线性回归模型建 立它们之间的关系。请问，如何求解该回归模型的回归系数和预测模 型的误差？ 2. 一份市场调查数据显示，销售额（y）与广告投入（x）之间存在 一定的线性关系。现在希望通过多项式回归模型来拟合这种关系，求 解回归方程的最佳拟合曲线。 以上是一些数学模型测试题，涉及最优化模型、概率模型、排队论 模型和回归模型等。通过解答这些问题，你可以检验自己对数学模型 的理解和应用能力。希望这些测试题能够对你的学习和应用有所帮助！
数学建模期末考试题
数学建模期末考试题 一、问题描述 在一个小镇的公园里，有一座长方形的人工湖。公园管理部门决定 在湖中放养一些鱼类，以增添公园的景色。为了控制鱼类数量，他们 规定每年只能往湖中放入固定数量的鱼。经过多年观察，他们发现湖 中鱼的数量会受到湖水面积、水质状况、放养数量等多个因素的影响。为了合理控制鱼的数量，公园管理部门希望建立一个数学模型，以预 测鱼类的增长情况。 二、模型建立 为了建立数学模型，我们首先需要确定鱼类的增长规律。经过调查 研究，我们了解到鱼类的繁殖主要受到以下因素的影响： 1. 湖水面积：湖水面积越大，提供的生存空间越多，鱼类的数量也 会相应增加。 2. 水质状况：水质好的湖泊中容易提供充足的食物供应，鱼类的繁 殖能力较强，数量相对较多。 3. 放养数量：每年放养的鱼类数量对于鱼类的繁殖能力和数量也有 一定影响。 基于以上因素，我们可以建立如下的数学模型： 设湖中鱼的数量为 N，湖水面积为 A，水质状况为 W，放养数量为F。
经过分析，我们可以得到以下数学关系式： 1. N = k1 * A * W * F 其中 k1 为系数，表示湖水面积、水质状况和放养数量对鱼类数量 的综合影响。 2. N' = k2 * N 其中N' 表示鱼类数量的变化率，k2 为系数，表示鱼类繁殖的能力。 三、模型求解 为了求解模型，我们需要确定 k1 和 k2 的数值，并进行模型的仿真 计算。 1. 确定 k1 和 k2 的数值 为了确定 k1 和 k2 的数值，我们需要收集公园中多个湖泊鱼类数量 的数据，并进行统计分析。通过分析数据，在与放养数量、湖水面积 和水质状况相关的变化范围内，确定 k1 和 k2 的合理取值。同时，也 需要注意数据的实际情况和合理性，避免出现过拟合或欠拟合的情况。 2. 进行模型的仿真计算 在确定了 k1 和 k2 的数值之后，我们可以进行模型的仿真计算，预 测未来鱼类的数量变化情况。首先，我们需要确定初始条件，包括湖 水面积、水质状况和放养数量等。然后，根据数学模型中的关系式， 利用数值计算方法，逐步模拟计算鱼类数量的变化情况。 四、模型评估与优化
东南大学数模考试试题
东南大学数模考试试题 东南大学数模考试试题 近年来，数学建模竞赛在大学生中越来越受欢迎。作为一项综合能力的考察，数学建模考试不仅考验学生的数学水平，还需要他们具备良好的问题分析和解决能力。作为中国顶尖的高校之一，东南大学的数模考试一直备受瞩目。下面我们来看一下东南大学数模考试的一道试题。 题目：某城市的交通拥堵问题 某城市的交通拥堵问题一直困扰着城市管理者和市民。为了解决这一问题，市政府决定对城市的交通网络进行优化。为了更好地规划交通路线，你需要分析该城市的交通状况，并提出相应的建议。 首先，你需要收集该城市各个交通节点之间的距离数据。通过对城市交通网络的分析，你需要确定哪些节点之间的距离较远，哪些节点之间的距离较近。这样可以帮助你确定哪些路段容易拥堵，从而对交通路线进行优化。 其次，你需要收集该城市各个交通节点的流量数据。通过对城市交通网络的流量分析，你可以了解到哪些节点的交通流量较大，哪些节点的交通流量较小。这样可以帮助你确定哪些路段容易拥堵，从而对交通路线进行优化。 在分析完交通节点之间的距离和交通流量后，你需要利用数学模型对交通网络进行建模。可以采用图论的方法，将交通节点看作图的节点，将交通路线看作图的边。通过建立合适的数学模型，你可以计算出最短路径、最小生成树等信息，从而帮助你对交通路线进行优化。 除了数学模型，你还可以考虑其他的优化方法。例如，可以使用智能交通系统来监控交通流量，并根据实时数据调整交通信号灯的时间。这样可以有效地减
少交通拥堵，提高交通效率。 在提出建议时，你还需要考虑到城市的发展规划和人口分布等因素。例如，如果某个区域是城市的发展重点，那么在规划交通路线时，应该优先考虑该区域的交通需求。另外，如果某个区域的人口密度较大，那么在规划交通路线时，应该考虑到该区域的交通流量较大。 综上所述，通过对某城市的交通拥堵问题进行分析和建模，可以帮助城市管理者更好地规划交通路线，提高交通效率。数学建模考试不仅考察了学生的数学水平，还考察了他们的问题分析和解决能力。通过参与数学建模竞赛，学生们可以提高自己的综合能力，为未来的工作和学习打下坚实的基础。
数学建模试卷及答案
《数学模型》试卷 一、基本问题。（本大题共2小题，每小题20分，共40分） 1．在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出： c b m a P )(-= 其中m c b a ,348.1,0.75,84523.1===是跳的高度（按cm 计）。求跳的高度为183cm 的记分点，并确定积分1000点需要跳的高度。 2．铁匠用直条铁做蹄铁，把直条铁弯成通常铁蹄的形状。为求得铁条需要的长度，要测量蹄的宽度（W 英寸），并用下列形式的公式： b aW L += 求得需要的条长度（L 英寸）。试用下列数据求的a 和b 的估计值。并得出该公式的估计式。 宽W （英寸） 长L （英寸） 6.50 12.00 5.75 13.50 二、渔场捕捞问题。（本大题共3小问，每小问20分。满分共60分。） 三、在渔场中捕鱼，从长远利益而言，通常希望既使渔场中鱼量保持不变，又能达到最大的捕获量。假设： （1）在无捕捞的情况下，鱼量的变化符合Logistic 模型： )1(N x rx dt dx -=，其中：r 为固有增长率，N 是渔场资源条件下最大鱼量； （2）在捕捞的情况下，设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比。 1．建立在有捕捞的情况下，渔场的产量模型； 2．研究该模型鱼量的稳定性； 3．找出该模型下适合的捕捞量。 《数学建模》考试卷（答案） 一、1．解：把183,348.1,0.75,84523.1====m c b a 代入记分公式，得 348.1) 0.75183(84523.1)(-⨯=-=c b m a P =348.1108 84523.1⨯ （=1016.5）
由公式c b m a P )(-=，有c b m a P )(-=，解得公式：b a P m c +=1 )( 把1000,348.1,0.75,84523.1====P c b a 代入上式，得 b a P m c +=1)( 0.7594.5410.75)84523 .11000(74184.0348.11+=+= （=106.7+75.0=181.7） 2．解：把两组数据00.12,50.6==L W 和50.13,75.5==L W 分别代入公式 b aW L +=得方程组： ⎩⎨⎧+=+=b a b a 75.55.135.60.12 解得：⎩⎨⎧=-=25 2b a 所以b a ,的估计值为：25,2^ ^=-=b a 。 从而得回归方程为：252+-=W L 二、解：1．记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，渔场资源条件所限制的最大量N ，鱼的固有增 长率为r ，单位时间的捕捞量为kx y =，其中k 为捕捞率（表示单位时间内的捕捞量与渔场中鱼总量之比）可以人为控制。 于是，在有捕捞的情况下，)(t x 满足产量模型为： kx N x rx x F dt dx --==)1()( （1） 2．在渔场中的鱼量保持稳定性，是我们关心的问题。由常微分方程稳定性判断的知识，不需具体求解方程（1），只需讨论由方程（1）所确定的平衡点的稳定性即可。为此： 令：0)1()(=-- =kx N x rx x F ，可解得方程的两个平衡点为： N r k r x -=0 （2） 01=x 由x N r k r kx N x rx x F 2)(]')1([)('--=-- = （3） 把N r k r x -=0和01=x 分别代入（3）式，得：
安徽工业大学数学模型1考试试卷
安徽工业大学数学模型1考试试卷 1、3．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的（）[单选题] * A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB(正确答案) C．∠AOB＝2∠BOC D． 2、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] * A、-3 B、-4 C、5 D、3(正确答案) 3、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] * A．-10℃(正确答案) B．-13℃ C．+10℃ D．+13℃
4、4.已知两圆的半径分别为3㎝和4㎝，两个圆的圆心距为10㎝,则两圆的位置关系是（）[单选题] * Ａ.内切 Ｂ.相交 Ｃ.外切 Ｄ.外离(正确答案) 5、12．已知点P(m，n)，且mn＞0，m+n＜0，则点P在() [单选题] * A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限(正确答案) D．第四象限 6、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] * A．（﹣）和﹣（﹣） B．﹣5和(正确答案) C．π和﹣14 D．+20和﹣（﹣20） 7、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *
A．8或﹣8(正确答案) B．4或﹣4 C．8 D．﹣4 8、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] * A．0 B．2 C．﹣3(正确答案) D．1 9、下列是具有相反意义的量是（）[单选题] * A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°(正确答案) C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书 10、34、根据下列已知条件, 能画出唯一的△ABC的是（) [单选题] * A、∠C=90°，AB＝８，BC＝１0 B、AB＝４，BC＝３，∠A＝３０°
石家庄铁道大学数学建模期末考试卷
石家庄铁道大学数学建模期末考试卷1、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] * A．明天气温为30℃ B．学校新调进一位女教师 C．大伟身长丈八(正确答案) D．打开电视机，就看到广告 2、14．数﹣在数轴上的位置可以是（）[单选题] * A．点A与点B之间(正确答案) B．点B与点O之间 C．点O与点D之间 D．点D与点E之间 3、4．﹣3的相反数是（）[单选题] * A. B C -3 D 3(正确答案)
4、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题] A. 48 B. 60(正确答案) C. 48或60 D. 36 5、20．水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天上升3cm，今天的水位为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（）[单选题] * A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2）(正确答案) C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2） 6、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] * A．ab＝c B．a+b＝c(正确答案) C．a：b：c＝1：2：10 D．a2b2＝c2 7、函数式?的化简结果是（）[单选题] *
A.sinα-cosα B.±（sinα-cosα）(正确答案) C.sinα·cosα D.cosα-sinα 8、如果四条不共点的直线两两相交，那么这四条直线（）[单选题] * A、必定在同一平面内 B、必定在同一平面内 C可能在同一平面内，也可能不在同一平面内(正确答案) D、无法判断 9、点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，8），则它们的中点坐标是（D）[单选题] * A、（3，4） B、（3，5） C、（8，12） D、（4，6）(正确答案) 10、14.不等式｜3-x｜＜2 的解集为（）[单选题] * A. x＞5或x＜1 B.1＜x＜5(正确答案)
数学模型试卷
数学模型试卷 1.在Mathematica 软件中，正弦函数的正确表达法为（ ） A.sinx B.sin(x) C.SIN(X) D.Sin[x] 2.在Mathematica 软件中，已知点(),P x y 的坐标，求x 轴的由方向向量i 到向量 O P 的夹角为（ ） A.arctan(y/x) B.Arctan[y,x] C. ArcTan[y/x] D. ArcTan[x,y] 3.在Mathematica 软件中，对数函数10 lo g y x =的正确表达法为（ ） A.lgx B.Log[10,x] C.log(10;x) D.Log[10;x] 4.在Mathematica 软件中，用于函数()sin ,,y x x ππ=∈-作图的命令为（ ） A. plot[sinx,{-pi,pi}] B. Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}] C. Plot(Sin[x];{x,-Pi,Pi}) D. PLOT[Sin(x);{x,-Pi,Pi}] 5.在Mathematica 软件中，将公式 212 1 x x - --变形为 ()() 21x x x --的命令为（ ） A.together B.Together C.Simplify D.FullSimplify 6.在Mathematica 软件中，将公式 212 1 x x - --变形为2 32 x x x -+的命令为（ ） A.together B.Together C.Simplify D.AllSimplify 7. 在Mathematica 软件中，将公式 2 32 x x x -+变形为 212 1 x x - --的命令为（ ） A.Apart B.Together C.Simplify D.AllSimplify 8. 在Mathematica 软件中，将公式 2 2 932 x x x --+变形为 ()() ()() 3321x x x x -+--的命令为（ ） A.Apart B.Factor C.Simplify D.AllSimplify 9. 在Mathematica 软件中，利用软件包Algebra`Horner`的Horner 命令，可以将 一、 单项选择题（每小题1分，共20分） 在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答 案，并将其字母标号填入题干的括号内。
数学模型期末考试试题及答案
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷 （本试卷共4页） 说明：本次考试为 开卷考试，参加考试的同学可以携带 任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。 一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别； 2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它； 二、简答题（本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ 1 > s 时)(t i 的变化情况 并加以证明。 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？ 三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 四、（本题满分20分） 某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结 果。 五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531 A ，方案层对 准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/1641 3B 。 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 六、（本题满分16分） 某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。?保险公司需要对投保人的 选择就业岗位 收入 发展 声誉 岗位1 岗位2 岗位3
《数学模型》考试试卷
一：填空题 1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是s k1 s k ( 1)k d k。(允许决策模型) 2 1、2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是Q i ___________ p __ 。 口(n 1) 3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为C(T) c1 92支，当T 约时，C(T)最小。 T 2 1；02 r 4、LINGO中，表示决策变量x是0-1变量的语句是@gin(x) 。 5、一阶自治微分方程史f (x)的平衡点是指满足_ f (x) 0—的点，若_f'(x) 0—成立，则其平衡点是稳定的。 6、市场经济中的蛛网模型中，只有当K f二_ K g时，平衡点F0才是稳定的。 7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ,则共有n个钩子的系统中，一周期内被触到k个 钩子的概率为_C：p k(1 p)n k_o 9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程x(t) x0e rt建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微 dx 一x 分方程dx rx(1 —)_建立的。 dt x m 10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D中的元素。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型t an2 bn中的参数a和b可用数值积分方法求得。 12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的豆。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能97 % 。 13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS模型. 14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是吸收链存在唯一极限状态概率。 15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下，假设人口增长率是人口数量的减函数。 16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数x(t) x m/2时，人口增长率最大；当人口数x(t) x m时，人口增长率为0。 .2 wk 2 2 rk 一, ,,, 17、“录像带计数器的读数”多种万法建立的模型都是t ----------- n ----------- n。“录像机计数器的用途”模型中，计数器的 v v 读数的增长速度越来越慢。 18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是Q k - O d 19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有总产值的增长、单位劳动力产值的增长。“经济增长模型”中，要保持总^产值Q(t) 增长，即要求。 20、“传染病模型”中SIR模型是指被传染者康复以后具有免疫性，不再感染该传染病。 21.存贮模型的优化目标是平均每天费用最小。
数学模型考试试卷
1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是 k k k k d s s )1(1-+=+。(允许决策模型) 1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是 )1(2+= i i i i n n p Q 。 3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为 =)(T C 221rT c T c + ，当= T r c c 21 2时， )(T C 最小。 4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。 5、一阶自治微分方程 ()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。 6、市场经济中的蛛网模型中，只有当 f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。 7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个 钩子的概率为 (1)k k n k n C p p - - 。 9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程 rt e x t x 0)(= 建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是 根据微分方程 )1(m x x rx dt dx -= 建立的。 10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t +=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。 12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能 97 % 。 13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS 模型. 14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是 吸收链存在唯一极限状态概率。 15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。 16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数 =)(t x 2/m x 时，人口增长率最大；当人口数=)(t x m x 时，人口增长率为0。 17、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是n v rk n v wk t ππ222 + = 。“录像机计数器的用途”模型中，计数 器的读数 的增长速度越来越慢 。 18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是 = Q d T k ∆。 19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。 “经济增长模型”中，要保持总产值 )(t Q 增长，即要求。 0>dt dQ 20、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 21. 存贮模型的优化目标是 平均每天费用最小。