一个角平分线不等式的推广
不等式证明的基本方法
'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到
判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。
基本不等式(很全面)
基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????
排序不等式
三排序不等式 [学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用． [知识链接] 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？ 答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案． 根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元． [预习导引] 1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和． 2．排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=
(均值不等式的推广)
均值不等式的推广: 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n≥n an a a ...21≥n/(1/a1+1/a2+…+1/an) 证明： 1. 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+… +(an)^2)≥(a1+a2+…+an) ^2 /n （如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了） 柯西不等式： (a1^2 + a2^2 +...+an^2)* （b1^2+b2^2+...+bn^2）≥ （a1b1+a2b2+...+anbn ）^2 柯西不等式变式： [a1^2 + a2^+...+an^2] ×n ≥（a1+a2+...+an ）^2
得等号！！！ 2.(a1+a2+…+an)/n≥n an 1 2 a a... 琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...+xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3+...+lgan =lga1*a2*…*an 也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2 a...an)^(1/n)=lg n an 2 1 a... a f(x)在定义域内单调递增，所以 (a1+a2+..an)/n≥n an 1 2 a... a
三个数的均值不等式
平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的
不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1
推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
经典不等式证明的基本方法
不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0
证明不等式的基本方法(20200920095256)
12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ；
均值不等式的待定系数法
均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子: 已知,,x y z R + ∈，求函数 2 22 xy yz u x y z +=++的最大值。 解析：取待定正数α，β，有基本不等式得： 2222222222222 22111[()()][()] 22y y y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ +=?+?≤+++≤++++令22 2211αβαβ=+= ，解得：α= β=，于是 2222222 ()) 22 xy yz x y z x y z α+≤++=++ 所以222222222() 22 x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++ y ==时，等号成立。 推广：设,a b 为给定实数，,,x y z 为任意不全为0的实数，则222 axy byz x y z +++的最大值 ，最小值为。 简析：即证2222 22222 222222a y b y x z x z x y z a b a b ?+?≤+++=++++。 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足
故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大 值。 消去我们得到一个方程 此方程的最大根为我们所求的最大值 解之得 我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了 2. 设是不全为零的正实数，求的最大值 是的同我们依然可以引进参数使其满足 依据取等条件我们有 消去参数我们得到一个方程 这个方程的最大根为我们所求的目标。 解之得 呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。 你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。 当且仅当取等。 好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！ 3.设是正实数，求的最小值。 解：我们考虑引进参数使其满足：
不等式选讲——基本不等式的推广
不等式选讲——基本不等式的推广 学习目标 1．在掌握二维基本不等式的基础上推广到三维基本不等式，并会应用三维基本不等式； 2．了解n 维基本不等式。 学习重点和难点 1．重点：三维基本不等式的理解和应用。 2．难点：三维基本不等式的理解和应用。 学习过程 一．自学、思考、练习 （一）问题导引 1．对于二维基本不等式,0,a b a b >+≥a b =时等号成立，你能把它推广到三维的情景吗？并证明三维基本不等式。 ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 2．写出n 维基本不等式。 ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ (二)知识的应用 例1．设,,a b c 是不全相等的正数，求证： （1）222()()9a b c a b c abc ++++≥； （2）( )()9a b c b c a b c a a b c ++++≥；
第三讲排序不等式
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第六讲不等式的应用、参数取值范围问题 知识、方法、技能 I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ 则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和） 其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项 ),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a 由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和 n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 u xy yz 的最大值。 x 2 y 22 z 解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得： xy yz y x y 1 [ 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 ] 1 2 x 2 1 2 ) y 2 2 x 2 y 2 x 2 ( ) ( ) [ ( 2 2 ] 2 令 2 1 2 1 ，解得： 4 2 ， 1 ，于是 2 2 4 2 2 2 ( x 2 xy yz 2 ( x 2 y 2 z 2 ) y 2 z 2 ) 2 xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2 所以 u 2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 2 立。 推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则 axy byz 的最大值 x 2 y 2 2 z 为 a 2 b 2 ，最小值为 a 2 b 2 。 2 2 简析：即证 2 x ay 2 z by b 2 x 2 a 2 y 2 z 2 b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。 a 2 b 2 a 2 a 2 b 2 a 2 b 2 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑 的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足
证明不等式的基本方法-比较法
第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 均值不等式的证明
均值不等式的证明设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把 对n做反向数学归纳法 首先 归纳n=2^k的情况 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。 这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到 关键是下面的反向数学归纳法 如果n成立对n-1， 你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1) 然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。 所以得证 n=2^k中k是什么范围 k是正整数 第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数 一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。 而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳， 指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。 请赐教! sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 证明： 1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n (1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了： 柯西不等式变式： a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn) 当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立 只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可 (2)柯西不等式 (a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2 [竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例] 2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a 3..an) (1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an 也即lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
不等式的常见证明方法
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++