均值不等式的待定系数法.doc

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇

在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！

引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 u

xy yz

的最大值。

x 2

y 22

z

解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：

xy yz

y

x y 1 [ 2 x 2

y 2

2

y 2

z 2

]

1

2 x 2

1

2

) y 2

2

x 2

y 2

x

2

( )

( ) [

( 2

2

]

2

令

2

1

2

1

，解得：

4 2 ，

1 ，于是

2

2

4 2

2

2 ( x 2

xy yz

2 ( x 2 y 2 z 2 )

y 2 z 2 )

2

xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2

所以 u

2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成

x

2

y

2

z

2

x 2 y 2 z 2 2

立。

推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则

axy byz 的最大值

x 2

y 2

2

z

为 a 2 b 2 ，最小值为

a 2

b 2 。 2 2

简析：即证 2 x

ay

2 z

by b 2 x 2

a 2 y 2

z 2

b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。

a 2

b 2

a 2

a 2

b 2

a 2

b 2

1. 设

是不全为零的实数，求 的最大值

分析：显然只需考虑 的情形

直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数

满足

故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。

消去我们得到一个方程

此方程的最大根为我们所求的最大值

解之得

我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了

2.设是不全为零的正实数，求的最大值

是的同我们依然可以引进参数使其满足

依据取等条件我们有

消去参数我们得到一个方程

这个方程的最大根为我们所求的目标。

解之得

呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。

当且仅当取等。

好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们

开始来处理下面的几个问题吧！

3. 设是正实数，求的最小值。

解：我考引参数使其足：

依据取等条件我有：

故的最小 4

4.是正数且足，求的最小

解：察目的构考到地位的平等性，引参数

由取等条件我有：

解之得

所以

当然了个目明可以拉格朗日数乘法来解决，也从另外一个角度启示我某些条件极是可以用待定系数均来解决的???.

5．正数，且，求的最小

分析：个玩不等式的会方和秒！今天我从待定系数均的角度也

来玩一玩。考和定，我了使用均，可以引参数因此+ =

由取等条件：

所以

6. 若对任意恒成立，求的最小值。

解：对任意恒成立

所以对任意恒成立

下面我们依然可以待定均值

由取等条件：

消去我们得到：方程的最大根及为我们所求

解之得

因此的最小值为

读到这里也许有读者会说：你每次解那个比例式方程为什么说那个比值就是我们要求的目标呢？这个问题我想不用我解释吧，这太显然了！是不是？为了加深对这个方法的认识和应用，我们来看一个大家都很熟悉的问题：

7. 若且，求证：

好吧！你也许会说哥用柯西一行就秒了。是的，今天在这里我用待定系数来处理一下这个问题。考虑这样引进参数

考虑取等条件：

所以

8. 有一边长为和的长方体纸板，在四个角各裁去一个大小相同的正方

形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使纸盒的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？

分析：这是一个很 old 的问题了，大多可以建立函数模型用导数解决之。今天我们换个角度用均值，对还是用均值来 kill it ！

解：设裁去正方形的边长为则做成的无盖长方体容积为

同样引入参数

考虑取等情况：

当时，右边为常数

故当二者同时成立时函数有最大值。

消去参数得到：

解之得：

故

9. 求函数的最小值。

分析：这个单变量的函数，话说单变量都可以导数的嘛，你明白的在这里我还是想说均值可以 kill it

解：考虑引进参数

由取等条件：消去参数得：

即

解得

此时，

10. 问取什么值时，取最大值。

解：考虑引进参数

考虑取等条件：

在本篇即将结束之际，我想说的是限于水平如有不当请高手予以指点，在此表示感谢。题目是死的，人是活的，我们不能只拘泥于此。只要有所思考，就会有所悟，从而能够站在更高的观点上看问题。如果这能帮助到一些朋友的话，本人考虑继续发讲座系列。 V6于 2011-11-25 书

均值不等式的待定系数法

不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇 撰写人：张平 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 1. 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求2222 2xy yz zw x y z w +++++的最大值 分析：显然只需考虑0,0,0,0x y z w ≥≥≥≥的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数,αβ满足 2222222222 ()(1)(1)x y z w x y y z z w ααββ+++=++-++-+≥++ t == 显然参数t 就是我们要求的最大值。 消去,αβ我们得到一个方程 24410t t --= 此方程的最大根为我们所求的最大值 解之得12 t = 我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了 2. 设,,x y z 是的同我们依然可以引进参数,,αβγ使其满足 2(1)(2)(1)x y z x x y x y z x αβαγβγαβ++=--++++-+≥--+ 依据取等条件我们有161t αβ===-- 消去参数,,αβγ我们得到一个方程

5432 (18)(16224584144013771458)0 t t t t t t ----+-= 这个方程的最大根为我们所求的目标。 解之得18 t= 呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。 16 2 2 3(18)1836 16 2218 2 x x y z x y x y z x x y z + = ++ +++ ++ ≤= ++ 当且仅当::1:18:36 x y z=取等。 好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我 们开始来处理下面的几个问题吧！ 3.设,, x y z是正实数，求 222 1010 x y z xy yz zx ++ ++ 的最小值。 解：我们考虑引进参数k使其满足： 22 2222222 1010(10)(10)2) 22 z z x y z kx ky k x k y kxy xz yz ++=++-++-+≥+ 依据取等条件我们有：24 k t t =?= 故 222 1010 x y z xy yz zx ++ ++ 的最小值为4 4.设,, x y z是正实数且满足3 x y z ++=，求223 x y z ++的最小值 解：观察题目的结构考虑到,x y地位的平等性，引进参数,k l 22 22223232 3332 2 22()2()3 3 x k xk y k yk x y z k l k x y l z z l l zl ?+≥ ? +≥?++++≥++ ? ?++≥ ? 由取等条件我们有：2 23,,, k l x k y k z l ====?23 k l+= 解之得k l ==

均值不等式的待定系数法

均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子: 已知,,x y z R + ∈，求函数 2 22 xy yz u x y z +=++的最大值。 解析：取待定正数α，β，有基本不等式得： 2222222222222 22111[()()][()] 22y y y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ +=?+?≤+++≤++++令22 2211αβαβ=+= ，解得：α= β=，于是 2222222 ()) 22 xy yz x y z x y z α+≤++=++ 所以222222222() 22 x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++ y ==时，等号成立。 推广：设,a b 为给定实数，,,x y z 为任意不全为0的实数，则222 axy byz x y z +++的最大值 ，最小值为。 简析：即证2222 22222 222222a y b y x z x z x y z a b a b ?+?≤+++=++++。 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足

故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大 值。 消去我们得到一个方程 此方程的最大根为我们所求的最大值 解之得 我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了 2. 设是不全为零的正实数，求的最大值 是的同我们依然可以引进参数使其满足 依据取等条件我们有 消去参数我们得到一个方程 这个方程的最大根为我们所求的目标。 解之得 呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。 你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。 当且仅当取等。 好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！ 3.设是正实数，求的最小值。 解：我们考虑引进参数使其满足：

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不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 u xy yz 的最大值。 x 2 y 22 z 解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得： xy yz y x y 1 [ 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 ] 1 2 x 2 1 2 ) y 2 2 x 2 y 2 x 2 ( ) ( ) [ ( 2 2 ] 2 令 2 1 2 1 ，解得： 4 2 ， 1 ，于是 2 2 4 2 2 2 ( x 2 xy yz 2 ( x 2 y 2 z 2 ) y 2 z 2 ) 2 xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2 所以 u 2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 2 立。 推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则 axy byz 的最大值 x 2 y 2 2 z 为 a 2 b 2 ，最小值为 a 2 b 2 。 2 2 简析：即证 2 x ay 2 z by b 2 x 2 a 2 y 2 z 2 b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。 a 2 b 2 a 2 a 2 b 2 a 2 b 2 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑 的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足

含参数的不等式的解法

初高中数学衔接知识选讲 含参数的不等式的解法 一、复习引入： 1．函数、方程、不等式的关系 2．一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项 二、讲解新课： 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题. 小结：讨论?，即讨论方程根的情况 例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0. 小结：讨论方程根之间的大小情况 若不等式13 642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3

小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分 例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围. 说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？） 练习：已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 三、布置作业 1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥ 21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2 α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围

用待定系数法求an

用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项 例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。 解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1 令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13 ∴an－13 =－2（an－1－13 ） 故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列 ∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3 评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有 （A－1）x=B知x=BA－1 ，从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ），于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA －1 、公比为A的等比数列，故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1，从而 an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。 推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。 例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。 解：令an＋x?13n=2（an＋x?13n-1）则an=2an－1+ 2x?13n-1－x?13n=53 x?13n-1=5x?13n 而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。故an＋15 ?13n＝2（an－1＋15 ?13n-1） 从而{an＋15 ?13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 ?13=1615 的等比数列。 于是an＋15 ?13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 ?13n=115 （2n+3－13n－1） 评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n －1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B 为常数）时，就是前面叙述的例8型。 这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？ 我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到 an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题： 数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ，求其通项公式。 在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k （n）来。 通过Sn求an 例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。 解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=34 。由于an =5Sn－3………① 则an-1 =5 Sn-1－3………② ①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1）∴an－an－1 =5an 故an=－14 an-1，则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列，则an=34 （－14 ）n-1 评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n 项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式

因式分解培优(待定系数十字相乘法)

教师寄语：学好数学：先知其然，然后知其所以然。 1 易优数学川北个性化教育体验中心 笛卡尔： 数学是知识的工具，亦是其他知识工具的泉源，所有研究顺序 和度量的科学均和数学有关。 八年级数学：因式分解培优专题 在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的 一次项系数b ，即1221ac ac b +=， 那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++. 【例1】、将下列各式分解因式： （1） ； （2）21016x x -+； （3）2310x x -- 【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。

教师寄语：学好数学：先知其然，然后知其所以然。 2 例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足 x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。 待定系数法分解因式： 【例1】因式分解 3x 2+5xy-2y 2+x+9y-4

教师寄语：学好数学：先知其然，然后知其所以然。 3 例2 因式分解 x 2+xy-6y 2+x+13y-6 【练1】 先因式分解在求值 1、2226100m m n n ++-+= 2、2214202 x y xy y ++--= 巩固练习： 二.填空题 . 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ . . 因式分解22a b ac bc -++___________． ．因式分解：4a 2+4a ﹣15= ． . 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________； . 因式分解()2064x x -+＝ . .分解因式：321a a a +--＝________.

待定系数法在基本不等式中的应用

待定系数法在基本不等式中的应用 邬坚耀 （宁波市北仑中学，浙江 315800） 请先看一个例子： 例1 有一块长为2米宽为1米的矩形铁皮，现要在四角各截去一个同样大小的正方形，然后做成无盖盒子，问该如何截法方能使其容积最大？ 解：设截去的正方形边长为x ，则所做成的盒子的容积为 )21)(22(x x x V --=. 此时)21)(22(44x x x V --=可以看成三个因式的乘积， 而这三个因式的和为定值.然而由于方程4x=2-2x=1-2x 无解， 因此这时我们不能直接应用基本不等式 + ∈++≤ R x x x x x x x x x 3213 213 321,,,3 来求解. 为了能用基本不等式求解，我们引入参数)2 10,2 10(,< << >∴∈x x x π . 引入大于零的常数k ，函数x x y cos 2sin 3 6+ = 可变形为

待定系数法在不等式中的应用

待定系数法在不等式中的应用 在解(证)不等式问题时，最常用的解题技巧是调整系数、拆项、补项。但调整系数、拆项、补项时，既要考虑不等式的结构，又要符合相关要求，这些就需要待定系数法兼顾几方面的要求。下面举例说明。 例1 已知函数y =1 3422+++x n x mx 的最大值为7，最小值为－1，求此函数的表达式． 分析：求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值． 解：将函数式变形为：(y －m)x 2－43x ＋(y －n)=0， ∵x ∈R ，∴△=(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0， 即y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0． ① 要使函数有最大值7，最小值－1，亦就是－1≤y ≤7，显然(y ＋1)(y －7)≤0． 就是y 2－6y －7≤0． ② 比较①、②系数得方程组： ???-=-=+.712,6mn n m ????==.1,5n m 或???==. 5,1n m 故所求函数表达式为：y =113422+++x x x 或y =1 53422+++x x x ． 例2 已知二次函数f (x) = ax 2+ bx ，且满足1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值围． 分析：如果试图把a 、b 从两个约束不等式中解脱出来，然后求f (－2)的围，这是一种扩大解集的方法．若用f (－1)、f (1) 表示f (－2)，用待定系数法求此三者的关系，就不会出错．

正确解法：令f (－2) = m f (－1) + n f (1)，即 4a －2b = m(a －b) + n(a + b) = (m + n)a + (n －m)b ．比较两边的系数，得 ???-=-=+.2,4m n n m ? ? ??==.1,3n m 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴f (－2) = 3f (－1) +f (1)∈[5，10]． 评注：从上述两例可以看出，待定系数法可以整体使用已知条件，简化运算过程，避免错解． 例3 已知－1≤2x ＋y －z ≤8，2≤x －y ＋z ≤9，－3≤x ＋2y －z ≤7，求证：－6≤7x ＋5y －2z ≤47。 解：令A(2x ＋y －z)＋B(x －y ＋z)＋C(x ＋2y －z) =7x ＋5y －2z ，比较两边系数，得： ?????=+-=+-=++25272C B A C B A C B A ? ?? ???===321C B A 由于－1≤2x ＋y －z ≤8，4≤2(x －y ＋z)≤18，－9≤3(x ＋2y －z)≤21， 所以有－6≤7x ＋5y －2z ≤47。 例4 引入待定正参数t ， ∵t 13+a =)13(2+a t ≤ 21(t 2+ 3a + 1) ①，同理t 13+b ≤21(t 2+ 3b + 1) ②，t 13+c ≤2 1(t 2+ 3c + 1) ③， ① + ② + ③得：t(13+a +13+b +13+c )≤ 21(3t 2+ 3a + 3b + 3c + 3)

待定系数法求参数

待定系数法求参数 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2 ，最小值为－ 1 2 ，则y＝－4asin3bx的最小 正周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x2－y2 4 ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是 ____________。 7.已知函数y＝mx x n x 2 2 43 1 ++ + 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

不等式(组)中待定字母的取值范围

?x + 2y = 1 - m ② 满足 x + y < 0 ，则（ ?1 - x ??2(x - 3) ≤ x - 8 例 4. （东莞市）若不等式组 ? 的解集为 x > 2 ，则 m 的取值范围是（ ） x > m + 1 例 5. （威海市）若不等式组 ? 无解，则 a 的取值范围是（ ） x + 1 > 0 例 6. （威海市）若不等式组 ? 无解，则 a 的取值范围是（ ） x + 1 > 0 例 7. 不等式组 ? 的解集中每一 x 值均不在 3 ≤ x ≤ 7 范围内，求 a 的取值范围。 x - a < 2 例 8. （山东省）已知关于 x 的不等式组 ? 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围 3 - 2x > -1 不等式（组）中待定字母的取值范围 不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。这类试题技巧性强， 灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常思维的进行，为了更加快捷、准确地解答这 类试题，特编此练习。 一. 把握整体，轻松求解 ?2x + y = 1 + 3m ① 例 1. （孝感市）已知方程 ? ） A. m > -1 二. 利用已知，直接求解 B. m > 1 C. m < -1 D. m < 1 例 2. （成都市）如果关于 x 的方程1 + 的一个解，求 m 的取值范围。 2 - x x 2 - 4 例 3. 已知关于 x 的不等式 (1 - m)x > 2 的解集是 x < A. m > 0 B. m > 1 C. m < 0 2 1 - m ，则 m 的取值范围是（ ） D. m < 1 三. 对照解集，比较求解 ?x + 9 < 5x + 1 ? A. m ≤ 2 B. m ≥ 2 C. m ≤ 1 D. m > 1 ?a - x > 0 ? A. a ≤ -1 C. a < -1 B. a ≥ -1 D. a > -1 四. 灵活转化，逆向求解 ?a - x > 0 ? A. a ≤ -1 C. a < -1 B. a ≥ -1 D. a > -1 ?x - a > -1 ? 五. 巧借数轴，分析求解 ?x - a ≥ 0 ? 是_____________。