利用几何知识求函数最值

分类号密级

U D C 编号

本科毕业论文(设计)

题目利用几何知识求函数的最值_

所 在 院 系数学与统计学院

专 业 名 称 数学与应用数学

年 级 10级

学 生 姓 名 梁宏亮

学 号 1050410021

指 导 教 师 王莹

二零一四年 三月

学位论文原创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在王莹老师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：

日期：

文献综述

一、概述

函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从而选取最简单、有效的方法求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。

本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。

最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。

二、主题

1 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状

1.1 选题依据

一方面，函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，但同时，它又是函数学习的一个难点。函数最值的求解伴随着着整个函数的学习且方法又多种多样，理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。

另一方面，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。

通过对用几何知识求函数最值的研究，熟练的掌握相关的知识，对所学的知识进行运用。对所学的几种几何知识求最值的方法进行归纳总结和对比，方便以后的学习

使用。

1.2 用几何知识求函数最值的研究现状

最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一

类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用

几何知识求解往往能化难为易。

查阅资料发现，目前用几何知识求函数最值主要有以下两种：数形结合和向量法。

需要注意的是数形结合又可以分为：（1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数

最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。除这几种方法外，面

对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量法求解函数的最值

时，我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。

2 用数形结合求解函数最值

2.1 转化为截距求函数最值

在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构造出

一个函数然后经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，从而对数学

问题构成求解。

在中学数学中最常用到的便是一次函数b kx y +=的截距。一次函数构造简单，而且便于计算。只需要构造好函数后令0=y 或0=x 即可简便求出最值。

2.2 转化为两点间的距离

距离公式：若A ()b a ,、B ()d c ,，则AB 间的距离为()()22d b c a d -+-=。一些特定的函数可以转化为形如()()2222d c x b a x y +-++-=的类型。这样

就能用两点间的距离和位置关系迅速解题。

2.3 构造法

构造法是数学研究和学习中常常会用到的方法，那么在用几何知识求函数最值时

是时时会用到的。而构造我们熟悉的平面图形和立体图形求解又是最常用的方法。

3 用向量法求函数最值

向量是中学数学中的一个重要模块，它能把许多代数式转化为直观的图形，便于

理解。在利用向量解决函数最值时，我们好用到向量的两个主要特征：

向量三角不等式：b a +≥b a + 向量数量积的性质：b a b a ≤?

在用向量法求解时要注意两点：一方面对向量的构造一定要合理恰当。观察函数

的形式，选择最为方便的向量构造，往往是否用向量法快速求出函数最值的关键。另

一方面，运用向量法时，我们更多的会用到不等式的知识，而在运用不等式时，一定

要注意等号成立的条件。

4 数形结合与向量法的优劣比较

数形结合和向量法在解决这类题目时各有千秋，在解决一道题时如何选择方法就

变得尤为重要。通过对一道题的分析找出优缺点。

三、结论

对于函数的最值问题，能否用几何知识求解的前提是该函数或者其变形是否具有

一定的几何意义。因此，寻找几何意义是能否用几何知识解题的关键。通过挖掘问题

的几何意义构造相应的几何模型，将函数最值问题转化为几何问题，找出简单解法。

对于比较简单的函数最值问题，通过直接转化，就能得到几何意义，这就要求我

们善于观察和熟练掌握几何知识，从而能快速分析函数几何意义。相对的，对于比较

复杂的函数，要有创新精神，通过大胆的构造，把函数潜在的几何意义完全的发掘出

来，从而解题，同时要培养联想和想象的能力。

虽然能用几何知识求解函数最值只是函数最值求法中极少的一类。但郑重方法的

使用，能够简洁方便的解决问题，同时又能培养几何直观能力，增加思维的能动性和

灵活性，对提高解题能力好处多多。

参考文献

[1]温镇辉. 谈“数形结合法”的运用. 中学数学研究,2003( 3): 31- 32

[2] 马富强. 巧用几何直观解题. 中学生数学, 2002(12)：14

[3]王一平.的

()

()d

x

cf

b

x

af

y

+

+

=几何意义及其应用.中学数学，1996(1):47-49

[4]王敬庚.解析几何方法漫谈[M].郑州：河南科学技术出版社.1998：173—176

[5]吕林根，许子道.解析几何[M].第四版.北京：高等教育出版社.2006：8—39

[6]陈挺进.一类函数最值的几何求法.安庆师范学院学报.1997年第2期3卷

[7]赵世梅.用几何知识求解函数最值.县嘎吉中学.615203

[8]罗琦.向量在代数解题中的应用[J].桂林师范高等专科学校学报.2008 22

[9]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001:31-33

[10]李雷.新课程背景下《几何画板》在初中探究性教学中的研究[D]，东北师范大学，2008:12-15

[10]徐稼红。计算机辅助函数图像教学的新途径[J].数学教育学报，2004，13(3):82-84

摘要:函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。

本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。

最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。

关键词: 函数最值几何知识数形结合向量法

Abstract:Function is an important part of mathematics throughout many aspects of mathematics learning。The most important form of value as a function is particularly important, in reality, many of the social problems can be solved by the most value problem, so it is often a difficult mathematical problem-solving functions。In order to understand the meaning of most value to select the most simple and effective to solve the most valued functions become key points。In addition, the geometry is the focus of high school mathematics learning。But it is also an important tool to study the function of nature, it can function boring character into an intuitive graphical, simple easy to study。Many functions can be transformed into the most value problems "shape" problem solving, and more easy to understand。How to connect the number and shape perfectly, so that it becomes easy to understand there was important。

This paper has learned the value of seeking the best way to start a function, for example through the analysis and discussion of, and with the knowledge of geometry are two ways to find the best value function: the connection of number and shape, and vector method summarized and classified。

Finally, an overview of the problem in solving some basic examples should be and how to choose between the two methods were compared the pros and cons。

Key words: The value function Knowledge of geometry

The connection of number and shape Vector method

目录

1 绪论 (1)

1.1 函数最值在现实生活中的意义 (1)

1.2 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状 (2)

1.2.1 选题依据 (2)

1.2.2 用几何知识求函数最值的研究现状 (2)

1.3 本文主要研究的内容 (3)

2 用数形结合求解函数最值 (3)

2.1 最值转化为截距求函数最值 (3)

2.3 用构造法求函数最值 (7)

2.3.1 构造矩形求函数最值 (7)

2.3.2 构造立体图形求解函数最值 (9)

3 用向量法求函数最值 (10)

3.1 利用向量的三角不等式求解最值 (10)

3.2 利用向量数量积的性质求函数最值 (11)

4 数形结合与向量法的优劣比较 (12)

4.1 数形结合与向量法求函数最值的优劣比较概述 (12)

4.2 解题时两种方法的选取 (13)

4.3 利用工具求函数的最值求解简介和总结 (15)

5 总结 (15)

参考文献 (16)

致谢 (17)

1 绪论

1.1 函数最值在现实生活中的意义 例1：某工厂为生产某种儿童玩具，并且每件玩具的成本价为30元，每件玩具

的加工费为t 元（其中t 为常数，且52≤≤t

），设每件玩具的出场价为x 元（4135≤≤x ），根据市场调查，日销售量与x e (其中e 为自然对数底数)成反比

例，当每件玩具出厂价为40元时，日销售量为10件。

（1）求该工厂的日利润y （元）与每件玩具的出场价x 元的函数关系式：

（2）当每件玩具的日销售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大

值？

解：（1）y =x e e 40

10（t x --30） ()4135≤≤x

（2）由（1）得'y =x e -4010（t x +-31）

令'y =0，得t x +=31

当42≤≤t 时，()5max 510e t y -=元

当54≤t 时，t e y -=9max 10元

工厂生产玩具，这是现实生活中时时存在的，可见函数在工厂或者公司在定

价方面有着重要的作用；而在上述问题的第二问中，要使日利润最大我们就要用

到求函数最值的方法求解，可见函数的最值和现实生活中的实际问题息息相关。由于课程改革后，教育更多的联系到实际，所以在中、高考中常常出现的实际问题都需要用函数或者说函数最值求解，这也就造就了函数在数学学习中的特殊地位。而作为函数的一个重要性质，最值的求解又显得极为重要。

1.2 用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状

1.2.1 选题依据

一方面，函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，但同时，它又是函数学习的一个难点。函数最值的求解伴随着整个函数的学习且方法又多种多样，理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。

另一方面，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。

通过对用几何知识求函数最值的研究，熟练的掌握相关的知识，对所学的知识进行运用。对所学的几种几何知识求最值的方法进行归纳总结和对比，方便以后的学习使用。

1.2.2 用几何知识求函数最值的研究现状

最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用几何知识求解往往能化难为易。

查阅资料发现，目前用几何知识求函数最值主要有以下两种：数形结合和向量法。需要注意的是数形结合又可以分为：（1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。当然除这几种方法外，面对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量

法求解函数的最值时，我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。

1.3 本文主要研究的内容

本文重在研究用几何知识求函数最值的方法，通过对中学几何研究、初高中

数学的学习过程中积累的用几何知识求函数最值作一些归纳和总结以及做一些相

关的细化和补充，使它们能够更好的被理解，进而更好的运用于现在和将来的学

习和生活中。本文主要讨论的问题有：（1）对常见用几何知识求函数求函数最值

的方法的归纳和总结，细化和补充，并举出具体例题加以说明；（2）探讨用向量

法求函数最值的的方法及相关例题举例；（3）比较数形结合与向量法的优缺点，

并举例说明。另外，一些函数的最值求解并不能用常规方式去求解，它们有特殊

的解法，本文在文章最后，会对常见的一些特殊函数的最值问题进行总结和归纳。

2 用数形结合求解函数最值

2.1 最值转化为截距求函数最值

在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构

造出一个函数然后路经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，

从而对数学问题构成求解。

例2：数x 、y 满足03422=+-+x y x ，求y x +2的最值。

分析：题目简洁至极，并未有过多的修饰，而所求是一个二元一次多项式，

不是我们本文多次提到的函数，怎么办？可想而知，首先便是构造我们熟悉的函

数y x b +=2，

变形的b x y +-=2 ，这样原问题转化为求函数 b x y +-=2在y 轴上的截距问题。

解：设 y x b +=2，变形得b x y +-=2

又 数x 、y 满足03422=+-+x y x

∴数x 、y 在()1222=+-y x 的圆上，其中圆心为（2，0）

函数b x y +-=2与

()1222=+-y x 大致函数图像如下：

图 1

由上图可知，当函数b x y +-=2与圆相切时，函数在y 轴上的截 距分别取

得最大值与最小值，故取圆心到直线距离为1。

∴1212222=+-?b

解得54±=b

由图像观察得54max

+=b ，54min -=b 答：y x +2的最大值为54+，最小值为54-

这只是中学数学中极为简单的一个数学题，但却包含了用函数截距求函数最

值的核心。每当我们遇到类似题目时，我们要弄清题目已知条件下构造一些简单

的一次函数，并把要求的转化为函数截距求解，还可画图分析，让思路更清楚。

2.2 函数最值与两点距离转换的求值

在用几何知识求函数最值时，

把函数最值转化为两点间的距离也是我们常常会

用到的方法。但要注意的时，在用此类方法求解函数最值时，我们对构造的两点

一定要谨慎选取。

例3：R x ∈，x 为何值时842222+-++-=x x x x y

有最小值？并

求出最小值。

分析：把函数变形为对称的形式：()()()()2222202101-+-+-+-=x x y 由两点之间的距离公式可知，y

表示x 轴上的点()0,x p 到两定点()1,1A 和()2,2B 的距离之和。

求y 的最小值转化为在x 轴上找一点()0,x p 使得PB PA +的值最小。如图所示：

图 2

解：把函数转化为 ()()()()2222202101-+-+-+-=

x x y ， 它表示x 轴上的点()0,x p 到两顶点()1,1A 和()2,2B 的距离之和，由 对称性可知，这个最小距离就是()1,1A 关于x 轴的对称点()1,1'

-A 到()2,2B 的距离，直线B A '与 x 轴的交点即为所求的()0,x p 。

直线B A '的方程为1

21221++=--y x 化简得：043=--y

x ,令0=y 带

入直线B A '，有3

4=x ∴当3

4=x 时，y 有最小值 ∴()()22min

1212++-=y =10 答:当34=x ，函数最小值为10。 从上述例题的分析和解题过程，我们不难发现，形如

()()2222d c x b a x y +-++-=的函数最值问题，都可以用类似的几何知

识进行求解。在解决这一类问题时，关键的一点在于把问题转化为在已知的直线

上找一点p ，使它到已知两定点的距离之和最小或之差最大的问题。运用两点间

的距离求解函数最值，进一步说明了用几何知识求函数最值的直观性，而且用更

加的方便于学生的理解。

例4：R x ∈，当x 为何值时，5213422+--+-=x x x x y

有最大值？并求出来。

解：把函数改写成对称形式。即：

()()()()2222201302-+---+-=x x y 选取 ()2,1A ,()3,2B 、

()0,x p ，则函数转化成()0,x p 到两定点()3,2B 、()2,1A

的距离差最大，即

PA PB -的值最大。如图：

图 3

直线AB 的方程可以快速求出得：01=+-y x ，令y =0，得1-=x

即直线AB 与x 轴交与点()0,1-，即

()0,x p 的坐标为()0,1-。此时y 有最大值 ()()22max

2312-+-=y =2 即当1-=x

时，y 有最大值，为2。

2.3 用构造法求函数最值

在研究数学的过程中，有多种多样的数学方法，在众多的研究方法中，构造

法是一类最为常见的一种，在求函数最值方面也不可或缺。

2.3.1 构造矩形求函数最值 在解决一些函数问题时，我们发现有22y x

+类似的式子出现，而这总是会让我们联想到勾股定理()222c b a =+。而矩形往往是能用此定理的“常出现地”，

所以再解决有多个形如22y x +式子出现时，应首先考虑下构造矩形。

例5：已知R z y x ∈,,，1=++

z y x ，求222222z x z y y x +++++的最小值。

分析：题中所给的只有未知的三个字母z y x ,,，并未给取值范围，但出现了

1=++z y x 这个特殊量，我们会联想到均值不等式，但直接运用无法求解。但

构造一个正方形，就能完没的把题中所给的已知量运用起来。

解： R z y x ∈,,且 1=++z y x

∴构造一个正方形，使其一对邻边的一条长度分别为z y x ,,，另一条为

x z y ,,（为做题方便建立直角坐标系）其大致图像如下：

图 4

由上图可知22y x OA +=，22z y AB +=

22z x BC +=，21122=+=OC ；由图上观察和两点之间直线最

短可知：OC BC AB OA ≥++（长度）

即222222z y z x y x +++++≥2

当且仅当3

1===z y x 时取等，最小值为2。 求函数最值除开构造平面图形外，同样可以在三围空间中构造立体图形求解。

2.3.2 构造立体图形求解函数最值 例6：已知γβα,,均为锐角且2cos cos cos 222=++γβα，求

γβαcos cos cos ??的最小值。

分析：角的三角函数运算往往显得很复杂，在这时我们把复杂的三角函数转

化成长度计算显得更为方便，而联系两者的便是构造立体图形。

解：构造一个长方体，设它的长、宽、高分别为c b a ,,，如

图：

图 5

由图易知b c a 22cos +=α，a

c b 2

2cos +=β，c

b a 2

2cos +=γ ；∴γβαcos cos cos ??=

c b a a c b b c a 22222

2+?+?+c

ab a ac b ac 222??≥=22（当且仅当c b a ==时取等）即

γβαcos cos cos ??的最小值为22。

上面介绍了，现阶段在中学数学中最为常见的两种构造法，通过两道例题，

我们不难发现：用构造法求解函数最值，最重要的便是构造。即分析题中所给的信息，合理分析，构造出即满足题目条件又方便求解的图形，只要构造出了图形，

解题就显得手到擒来。这也就从另一方面要求我们，在平常的学习中，要注意积累，多观察平面图形和立体图形，这样在做用构造图形解决最值问题时就事半功

倍。

当然构造法，不仅仅是构造图形，还可以构造成斜率，通过观察函数的斜率

变化和变量之间的关系，根据所画的函数图像，迅速得出所需的求解，同样需要

注意的是要构造适当。由于构造斜率与线性规划的题目类似，在后文中还会提到，

这里不多做累述。

3 用向量法求函数最值

利用几何知识求函数最值中，还有一类方法，那就是构造向量，简称向量法。

利用向量的一些不等式和性质求解函数最值。 3.1 利用向量的三角不等式求解最值

例9：求函数y=34641622+-++x x x 的最小值。

解析：原函数化为y=()2222534+-++x x 设a =}{4,x ，=

b }{5,3x -则 y=b a +≥b a +=2293+=103

当且仅当a 与b 同向时，即

543=-x x ，34=x 时，

y 有最小值，最小值为103。

这是一个典型的用向量的三角不等式求函数最值的一个实例，通过对上题的

分析，我们不难做事这样的总结：

对于形如()()2222d b x c a x y

+++++=的函数最值问题，我们可以设}{c a x a ,+=，()}{d b x b ,+-=，则由三角不等式得：

()()2222d b x c a x y +++++==b a +≥b a +=}{d c b a +-,=()()22d c b a ++-

当且仅当()d

c b x a x =+-+，即x =

d c bc ad -+时，函数有最小值， =min y ()()22d c b a ++-；

有了上述的总结，我们以后遇到形如()()2

222d b x c a x y +++++=的函数求解最值时，就会事半功倍。当然，除函数可以化为两向量外，很多复杂

的函数还可以化为三个向量求解，按照类比法也能快速求解。 3.2 利用向量数量积的性质求函数最值

除开利用三角不等式求解函数最值外，利用向量的一些基本性质也能虽函数

最值进行求解。例如运用向量的内积性质b a b a ≤

?（a 与b 同向时，等号成立），对函数构造适当的向量，使复杂问题简单化。

例10：设实数x ，y 满足62322≤+y x

，求z =y x +2的最大值。 解析：设{}

y x a 2,3=，??????=21,32b 则

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

九上二次函数的实际应用(最值问题)

第4课时 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动． （1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -= x x 3442 +-=

二次函数中几何的最值问题

二次函数中几何的最值问题 一、解答题 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。 （1）求直线AC的解析式； （2）求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．

5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标； （3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标； （4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。

绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|

【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0

几何最值与函数最值

几何最值与函数最值 “最值”问题大都归于两类：几何最值与函数最值 Ⅰ、归于几何“最值”，这类又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。 求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一类型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边” 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一类型。 Ⅱ、归于函数类型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值一、求两线段和的最小值问题(运用三角形两边之和小于第三边) 基本图形解析： 1．在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧： m B m m A B m 二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m 同侧： B

（1）解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： m A m A B' P P' （2）解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 1.（贵港）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ． 2.如图，正方形的边长为8，M在DC上，DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值=_______ 3.（贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C， 过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的

解析几何中用几何意义解题的几种常用模式

解析几何中用几何意义解题的几种常用模式 解析几何的实质是用代数的方法研究几何对象，数形结合是解析几何最重要的思想方法，因此，如何赋予某些代数量以几何意义，从而通过它们的几何意义解题是解析几何的重要课题。下面介绍截距、斜率、距离等几种解析几何中常用的解题模式。 一、截距模式 把所求的目标量转化为截距，并借助截距的几何意义解题称为截距模式。 例1． 已知342+-≥x x y ，7≤+y x ，求y x -2之最值。 分析：本题为已知区域的双参数问题，直线求解显然是较困难的，考虑变量代换，令t y x =-2，则t -即为直线02=--t y x 在y 轴上的截距b 。 解：由条件，342+-≥x x y 及7≤+y x 表示的区域为图一的阴影部分， 由???=+-+-=0 2342b y x x x y 消去y 后令0=?的直线与抛物线相切时 的2L 的位置时b b -=2，此时b y x b t =-=-=max )2(， 又由? ??=++-=7342y x x x y ?)8,1(-A ，)3,4(B . 不难知直线经过)8,1(-A 时（即1L ）截距最大，从而 10)2(min -=-=-=y x b t ， ∴6max =t ，10min -=t . 例2． 求函数t t t f ---=42)(之最值. 解：令x t =-4，y t =，则)0,0(422≥≥=+y x y x ，且 y x t f --=2)(， ∴y x t f b +=-=2)(，即为直线b x y +-=2的截距，不难求得 52)(max -=t f . 点评：运用直线在y 轴的截距解决所求问题，非常直观、简洁。解此类问题往往通过平移来实现，同时还须注意目标量与截距是否同号。 二、斜率模式 用直线的斜率的几何意义解题的模式叫斜率模式。

(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案).doc

二次函数应用题 1、某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台． （ 1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间 的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰（ 2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈 利箱应降价多少元？ （ 3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 2. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ，1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ， C 两点（点 B 在点C的左侧）. 已知 A 点坐标为（0 ， 3）. （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作线段AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点 C 为圆心的圆与直线BD 相 切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （ 3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C两点之间，问：当点P 运动到 什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC 的最大面积. y D A x O B C ( 第 13 题 )

3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙 另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所 示的矩形ABCD ．设 AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为 S 平方米． （ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （ 2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数 y ax 2 bx c（a 0 ），当x b 4a c b2 时， y最大(小)值) 2a 4a 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x 之间满足函数关系y 50x 2600 ，去年的月销售量p（万台）与月份x 之间成一次函数关系，其 中两个月的销售情况如下表： 月份 1 月 5 月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了m% ，且每月的销售量都比去年12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受 此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936 万元，求m的值（保留一位小数）． （参考数据：34 ≈ 5.831 ，35 ≈5.916 ，37 ≈ 6.083 ，38 ≈ 6.164 ）

高中数学 圆中巧用几何意义求最值

圆中巧用几何意义求最值 在圆中，有几种利用几何意义求最值的类型，没有这种意识，将无从下手，并且这类题目充分体现了数形结合的思想，容易考到，因此值得我们归纳总结一下。 一、利用直线的斜率 例1.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求y x 的最大值。 分析：y x 可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，即求斜率的最大值。 解：y x 可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，由图可知，当相切时斜率最大或最小。设切线的方程为y kx =，即0kx y -=，()2223x y -+=表示圆心为()2,0，半径为3的圆。220 31k k -∴=+，解得3k =±。故 y x 的最大值为3。 变式：已知实数y x ,满足122=+y x ，求 12++x y 的取值范围 解：令(2),(1) y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率，而相切时的斜率为 34，2314 y x +∴≥+ 二、利用两点间的距离公式 例2.如果实数x 、y 满足等式()2 223x y -+=，求22x y +的最大值。 分析：22 x y +表示圆上的点(),x y 与原点间距离的平方，圆心和原点所确定直线与圆的两交点到原点的距离 分别为距离的最小值和最大值。 解：22x y +表示点(),x y 与原点间距离的平方。因为圆心到原点的距离为2，故圆上的点到原点的距离的最大值为23+，22x y +的最大值为(22373=+ 变式：已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________． 解析：答案为 2 2 （x ＋2）2＋（y ＋3）2 表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即 d ＝|－2－3＋1|2 ＝2 2. 三、利用直线在y 轴上的截距 例3.如果实数x 、y 满足等式()2 223x y -+=，求y x -的最大值。

初中数学专题04几何最值存在性问题(解析版)

专题四几何最值的存在性问题 【考题研究】 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 【解题攻略】 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题． 【解题类型及其思路】 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。 【典例指引】 类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】

二次函数最值及应用

第17讲、二次函数最值及应用(B) 姓名________ 一、知识梳理： 知识点一：二次函数的最值： 知识点二：利用二次函数研究“最大利润”： 利用二次函数解决实际问题中的最值问题（如最大利润）的步骤为： （1）分析题意，设出自变量x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式； （2）利用公式法或者配方法求出其最大（小）值； （3）结合相关问题写出结果。 二、精典题型例析： 考点一、求二次函数的最值 例1．求二次函数223y x x =-+的最值。（用两种方法） 考点二、区间最值 例2．分别在下列范围内求函数223y x x =-+的最小值和最大值。 （1）20≤≤x （2）23x ≤≤ （3）30x -≤≤ 2 A ． ﹣10.5 B ． 2 C ． ﹣2.5 D ． ﹣6

考点三、面积最值问题 例3、（2012·张家界）.如图，抛物线 233 5 2++ -=x x y 与x 轴交于 C 、A 两点，与y 轴交于点B ，OB =2点O 关于直线AB 的对称点为D . （1） 分别求出点A 、点B 的坐标 （2） 求直线AB 的解析式, （3） 若反比例函数x k y = 的图像过点D ，求k 值. （4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB 、AO 方向向B 、O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动 2 1 个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t ,问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由. 考点四、应用题中的最值问题 例4、（2014.成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边），设AB=x 米。 （1）若花园的面积为192平方米，求x 的值； （2）若在P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值。 y x B D P A Q O C 2

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？ 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】

2二次函数线段最值——利用几何模型求线段和差最值

二次函数线段最值（二） 课前小测 如图,抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD 与y 轴交于点E. (1)求直线AD 的解析式; (2)如图1,直线AD 上方的抛物线上有一点F,过点F 作FG ⊥AD 于点G,作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H,求△FGH 周长的最大值; (3)点M 是抛物线的顶点,点P 是y 轴上一点,点Q 是坐标平面内一点,以A,M,P,Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形.若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称,求点T 的坐标.

利用几何模型求线段和差最值 例1如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点. （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

例2、已知抛物线322--=x x y 与x 轴交A 、C 两点，与y 轴交于B 点，点P 、Q 为抛物线对称轴上的动点。 （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当|CP-BP|取得最大值时，求此时点P 的坐标及最大值； （3）若PQ=1,当CP+PQ+QB 取得最小值时，求此时点P 、Q 的坐标及最小值。

巩固练习 1、如图,一元二次方程的0322=-+x x 二根） （，2121x x x x <,是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B 、 C 的横坐标,且此抛物线过点A （3，6）. （1）求此二次函数的解析式; （2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标; （3）在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求点M 的坐标.

(文章)应用二次函数求实际问题的最值

应用二次函数求实际问题的最值 运用二次函数解决实际问题中的最大（小）值问题是近几年来各地中考命题的一个热点，解决这类问题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型，然后再应用二次函数的有关性质去寻找实际问题的最佳答案，请看几个典型的例子． 例1. 张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，2 44ac b y a -=最大(小)值) 分析：（1）由矩形的面积公式建立函数关系式；（2）利用二次函数的顶点坐标公式求解. 解：（1）由题意得(322)S AB BC x x ==- ，2232S x x ∴=-+； （2）20a =-< ，S ∴有最大值．32822(2)b x a ∴=-=-=?-． 2243212844(2) ac b S a --===?-最大值，8x ∴=时，S 有最大值是128． 说明：解决几何类问题时，图形的有关公式是寻找解题思路的有效途径. 例2．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

初中数学二次函数的最值问题专题复习

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．

高二数学-导数的定义_几何意义_运算_单调性与极最值问题_(一) 2

高二数学-导数的定义，几何意义，运算，单调性与极最值问题 （一） 导数的定义：①)(x f 在0x 处的导数（或变化率）记作0 00000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?'' ===??. ②)(x f 在),(b a 的导函数记作()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 1-1.在曲线y =x 2 +1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则x y ??为（ ），_____)1('=f A.21+?+ ?x x B.21 -?-?x x C.2+?x D.x x ?- ?+12 1-2.若,2)(0='x f 则()k x f k x f k 2)(lim 000 --→等于( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 1 1-3.①若2 3)(x x f =,则_____)('=x f ②若f(x)=x 2 ,则_____)('=x f 2.导数运算的八个基本求导公式①(C)′=________;②)(n x ′=______;③______)'(sin =x ④______)'(cos =x ⑤ ______)'(=x a ⑥______)'(=x e ⑦______)'(log =x a ⑧_____)'(ln =x 2-1．求下列函数的导函数：①62 24)(2 3 -+ -=x x x x f ,则___________)('=x f ②4cos 4sin 2)(++=x x x f ,则___________)('=x f ③x x e x f x x ln 5log 432)(2++-=，______)('=x f 2-2复合函数求导_________)]}'([{=x g f ④)4 2sin(π+=x y ，______)('=x f ⑤x e y 42-= ______)('=x f ⑥y= )12ln(+x ，______)('=x f 3四个求导法则(m,n 为常数)① [mf(x)±ng(x)] ′= ________ ② [f(x)·g(x)]′=_________③]) () ([x g x f ′= __________ 3-1① y =x x sin _______',=y ②x x y x -+=)12ln(3_______',=y ③_____',tan ==y x y ④f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '=__________ ⑤f x x x f ()'()=+2 21，则f '()1等于（ ）A. 0B -2C -4D. 2 4. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义与物理意义：①曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f ' 相应地，切线方程是__________________________________②瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===?? ③瞬时加速度：00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??，4-1一物体2 1t t s +-=，其中s 米，t 是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 4-2曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线方程为__________； 4-3求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程，并求切点坐标。

几何图形中的最值问题

几何图形中的最值问题 引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题： 1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5. 3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段 最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 B镇 * A镇 ? ' -------------------------- '燃气管 例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。 解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM ?/ CD=BC=8,DM=2, /? MC=6, 在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10， ??? DN+MN勺最小值是10。 例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B 是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。 连OB oA, ???/ AMN=30B是弧AN的中点, ???/ BOA=30°,根据对称性可知 :丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, D D M B N A M O A

在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1, ??? A B =、2 即 PA+PB= 2 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P , 连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do 由轴对称的性质和三角形三边关系知 例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到D E 两点的距离之和最小，并求出最小值。 解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ??? E(-1,-4), ? M(-4,-1), 过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1), 在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, ? MD= 5? 2 = .. 29。 ???最小值是.29 。 练习 1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 底面周长为18cm,在杯内离 杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm I I \ 41 订一干 4 / > is 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点 A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,

二次函数求最值方法总结

二次函数求最值方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

XX 教育辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 二次函数求最大值和最小值 教学目标 利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值 教学重点 与难点 含有参数的二次函数最值求解。 课堂引入： 1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题 方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。 2) 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． （引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫） 二次函数求最值方法总结： 一、设)0(2≠++=a c bx ax y ，当n x m ≤≤时，求y 的最大值与最小值。 1、当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1) 当n a b m ≤-≤2时，a b x 2-=时，y 取最小值：a b a c y 442min -=；y 的最大值在m x =或n x =处取到。 2) 若m a b <-2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递增的，则m x =时，y 取最小值；则n x =时，y 取最大值。 若n a b >- 2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递减的，则n x =时，y 取最小值；则m x =时，y 取最大值。

【变式训练】 变式1、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，1max -=y ，当2x =时，5min -=y ． 【例题解析】 例2、当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +

二次函数的实际应用(利润最值问题)

第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题 知识要点： 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0

二次函数如何求几何图形面积的最值解读

§2.4二次函数的应用(1——面积最大问题(学案 一、知识回顾 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0的图象、顶点坐标、对称轴和最值。 2.(1二次函数y= 2x2+2x-3的最值是。 (2二次函数y=x2+2x-3(0≤x ≤3的最值是。 3. 抛物线在什么位置取最值? 二、新知探究 1、动手实践 请你画一个周长为40厘米的矩形,算算它的面积是多少?再和同学比比,发现了什么?谁的面积最大? 2、解决问题 某工厂为了存放材料,需要围一个周长40米的矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米,才能使存放场地的面积最大? 3、应用提高 例1.小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示,花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

D C A B 三、分层评价 A组:(你能行!1.指出下列函数的最大或最小值 (1y= -3(x-12+5 (2 B组:(你肯定行!2.有一块三角形场地如图所示,∠A=90°,AB=30m,AC=40m,要在这块场地内围出一个矩形ADEF,设DE=xm,矩形的面积ym2 ,问矩形的边长分别是多少时,矩形的面积最大? A D F E

3 m 40m C B C 组(你一定是最棒的! 3.已知:如图△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,CB=4cm ,两个动点P 、Q 分别从 A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动,当点Q 运动到点A 时,P 、Q 两点运动即停止.点P 、Q 的运动速度分别为1cm/s 、2cm/s ,设点P 的运动时间为t(s. (1当点Q 在CB 上运动,时间t 为何值时,图中的阴影部分面积等于2cm2; (2当点P 、Q 运动时,阴影部分的的形状随之变化,设阴影部分面积为S(cm2,求出S 与时间t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围; (3当P 、Q 在运动的过程中,阴影部分的面积S 有最大值吗?若有,请求出最大值,若没有,请说明理由. 四、课后作业: 1.假设篱笆(虚线的长度为15米,两面靠墙围成一个矩形,要求面积最大,如何围才能使矩形的面积最大? 2.如图,用一段长20m 铝合金型材制作一个矩形窗框, 窗框的宽和高各为多少时,该窗的透光面积最大(精确到0.1m ,且不计铝合金型材的宽度?