圆的参数方程习题
圆的参数方程习题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么
[ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P在圆M上，又在直线l上
D．点P既不在圆M上，又不在直线l上
2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是
[ ] A．内切B．外切C．相交D．内含
3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程
迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．
8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程．
9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数)
(1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆．
(2)求圆心的轨迹方程．
10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．
圆的参数方程习题答案
1．C
2．A
8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1
O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1
设P点为(x0，y0)
9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0
即(x－acosθ)2＋(y－asinθ)2=a2．
∴不论Q是何值，方程总表示圆心在(acosθ，asinθ)半径为a的圆．
∴圆心的轨迹方程为x2＋y2=a2
的交点为A，B，A、B对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方
参数方程直线、圆专题练习
参数方程直线、圆专题练习... 评卷人得分 一．选择题（共9小题） 1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（） A．0 B．C．D．2 2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D． 3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（） A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线 5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支 6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3） 7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（）A．αB．α﹣C．α+D．α+
8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（） A．B．﹣C．2 D．﹣2 评卷人得分 二．填空题（共16小题） 10．参数方程（α为参数）化成普通方程为． 11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为 13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是． 14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为． 15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是． 16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．
选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
参数方程典型例题分析
参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，）
（2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
参数方程直线、圆专题练习
参数方程直线、圆专题练习... 一．选择题（共9小题） 1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（） A．0 B．C．D．2 2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D． 3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（） A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线 5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（） A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支 6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（） A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3） 7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（） A．αB．α﹣C．α+ D．α+ 8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（） A．B．﹣C．2 D．﹣2 二．填空题（共16小题）
10．参数方程（α为参数）化成普通方程为． 11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是． 12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为 13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是． 14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为．15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是．16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为． 17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是． 18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已 知曲线C 1：（θ为参数），曲线C 2 ：ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t 的取值围是． 19．直线（t为参数）对应的普通方程是． 20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为． 21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是． 22．直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为．23．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是． 24．已知直线C 1：（t为参数），C 2 ：（θ为参数），当α=时，则C 1 与C 2 的交点坐 标为． 25．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是． 三．解答题（共5小题） 26．在直角坐标系xOy中，曲线C 1 ：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 ：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2 的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名 称；
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略 【考纲要求】 （1）坐标系 ①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 ③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 ④了解参数方程，了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。 （2）参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。 【热门考点】 高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。 【常见题型】
圆的参数方程习题
圆的参数方程习题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆的参数方程习题 1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么 [ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线l上 C．点P在圆M上，又在直线l上 D．点P既不在圆M上，又不在直线l上 2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是 [ ] A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程
迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．
8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程． 9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数) (1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆． (2)求圆心的轨迹方程． 10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．
圆的参数方程习题答案 1．C 2．A 8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1 O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1 设P点为(x 0，y ) 9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0
即(x －acosθ)2＋(y －asinθ)2=a 2 ． ∴不论Q 是何值，方程总表示圆心在(acos θ，asin θ)半径为a 的圆． ∴圆心的轨迹方程为x 2＋y 2=a 2 的交点为A ，B ，A 、B 对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方
2参数方程知识讲解及典型例题
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg
圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)
圆锥曲线的参数方程练习题 1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4. 故选C. 2、参数方程sin cos , {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( ) A.圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 答案：B 解析：参数方程sin cos , {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤, 表示抛物线的一部分. 3、椭圆5cos ,{3sin x y ?? == (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)± 答案：B 解析：椭圆5cos ,{3sin x y ?? == (?为参数)的普通方程为22 1259x y +=,故4c =. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.
4、已知过曲线3cos ,{ 4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4 π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55??- ??? C.? D.1212,55?? ??? 答案：D 解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{ 4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4 π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125 x y ==. 5、已知O 为原点,P 为椭圆4cos ,{ x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3 π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3 C.( D.( ,55 答案：D 解析：椭圆4cos , {x y αα== (α为参数)化为普通方程,得22 11612x y +=.由题意可得直线OP 的方程为y = (0x >). 由22(0), {11612y x x y =>+= 解得x y ==∴点P 的坐标为()55 .故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=??=? (θ为参数)化为普通方程为( ) A.22 14y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2 212x y +=
参数方程题型大全
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
(完整版)圆的参数方程练习题有答案
圆的参数方程 1.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)， B ? ???－3，3 2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入?????x ＝2cos θy ＝3sin θ，得?????cos θ＝1，sin θ＝0. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0. 将点B ????－3，32的坐标代入? ????x ＝2cos θy ＝3sin θ， 得???? ?－3＝2cos θ， 32＝3sin θ， 即???cos θ＝－32， sin θ＝1 2. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π 6 ， 所以点B ????－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π 6 . 2.已知曲线C 的参数方程是? ????x ＝2t y ＝3t 2－1，(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值． [思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组． [解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????0＝2t －1＝3t 2－1，∴t ＝ 0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上． 把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????4＝2t 10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上， ∴? ??? ?2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2. 3.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝t 2＋1 y ＝2t ，(t 为参数)． ①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上． 把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到???? ?3＝t 2＋1，2＝2t ，即???t ＝±2，t ＝1. 故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6. 4.(1)曲线C ：? ????x ＝t y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________． 解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)
(完整版)参数方程高考真题专题训练
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
4用椭圆和圆的参数方程解题
用椭圆和圆的参数方程解题 题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在 动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值. 解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限. 图1 由点A 在椭圆C 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为 1sin cos =+y b x a α α ① 由点B 在动圆T 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为 r y x =+ββsin cos ② 因为①②表示同一条直线，所以 r b a 1 sin sin cos cos ==βαβα αβαβsin sin ,cos cos b r a r == 222221 sin cos r b a =+αα ) ()(cos 2222222 b a r b r a --=α 所以 22222222222 22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα
2 2222222 2 )(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤???? ? ?+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -. 题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离 心率为 2 3 ，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程； (2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标. 解法1 (1)(过程略)14 22 =+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为 2sin 2cos =+ααy x ③ 图2 还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为 7cos 3sin cos +=+βββy x ④ 由③④表示同一条直线，可得 7 cos 32 sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以 7 cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+= ββ αββα
选修4-4圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化练习
2. 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 预习梳理 1?圆的参数方程. 点P 的横坐标X 、纵坐标y 都是t 的函数: 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为 r 的圆的参数方程. 圆的圆心为 O i （a , b ）,半径为r 的圆的参数方程为： x = a + rcos t , （t 为参数）. y = b + rsin t 预习思考 1.圆x 2+ y 2 = 16的参数方程为： _________________ . 2 .圆（x - 6）2 + y 2 = 4的参数方程为： ______________ ., 圆的参数方程与普通方程互化 圆的参数方程应用 一层练旦 1. 圆(x -1)2+ y 2 = 4上的点可以表示为( ) A . (— 1 + cos 0 , sin B ) B. (1 + sin 0 , cos 0 ) C . (— 1 + 2cos 0 , 2sin 0 ) D . (1 + 2cos 0 , 2sin 0 ) x = — 2 + cos 0 , y 2. P(x , y)是曲线 (O W 0 Vn, 0是参数)上的动点，贝U ：的取值范围是( ) y = sin 0 x x = cos 0 , 3 .曲线C: （ 0为参数）的普通方程为 ______ .如果曲线C 与直线x + y + a = 0有公 y =— 1 + sin 0 共点，那么a 的取值范围是 __________ x = tcos 0 , x = 4 + 2cos a , 4.直线 (t 为参数，0V 0 Vn )与圆 (a 为参数)相切，则0 = __________ y = tsin 0 y = 2sin a 5.指出下列参数方程表示什么曲线: x = 3cos 0 , n x = 2cos t , x = rcos t , （t 为参数）.
最新极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为122x t y ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π ，圆C 的极坐标方程 为)4 π ρθ= -. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴 重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+??=-+? （α为参数）， 点Q 的极坐标为7 )4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
圆的参数方程教案 人教课标版(优秀教案)
《圆的参数方程》教案 单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴 邮编： 一．教学内容分析 教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。 本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。 本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可
以直接用普通方程来解决. 二．教学目标 （一）知识技能目标 .理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心 原点,半径为r的圆的参数方程. .明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程. .能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题. （二）过程方法目标 .引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤. .通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维. ．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观 .通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣. 三．教学重点难点 重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.