数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式：

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数 课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2，周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。 教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换 主要教学方法：课堂讲授与课外习题。 第零章预备知识（4学时） 复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。 第一章典型方程和定解条件的推导（４学时） 在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。 第一节基本方程的建立 通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。 第二节初始条件与边界条件 方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。 第三节定解问题的提法 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 本章习题：3-5题 第二章分离变量法（8学时） 本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><

其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月 一、填空题（20分） 1、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆，x=0端固定，x=l端自由，则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程，在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________，=____________。 二、证明题（10分） 三、建立数学物理方程（10分） 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆，一端保持零度，另一端有恒定的热量q流入，初始温度为试建立热传导方程，写出定界条件（要有必要的步骤）。四、写出下列定解问题的解（35分） 1、

2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数（25分） 1、设是的正零点，试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题（20分） 11、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆，x=0端温度为零，x=l端有恒定的热流流出，则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程，在条件下，其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________，=____________。 二、证明题（10分）

数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11 cos , sin (,)(cos ,sin ),cos sin ; sin cos . sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r u θθθθθθ θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+??? =?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos () sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=??????????????? ???????+=+?????????? ? ?????? ?==????????? ?????? ??=???????????? 从而 2222222222222 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin () sin yy u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ?????? ?=+ ?+?????????++???????????==+?????????= 2222 22 2222222 cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθ ????? ???++???????????? ????=?++????????+?+????+=+ 所以 1 0. u +=

数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011

XXXXX 大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2011年 12 月 28 日 成绩 1．化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分) 2. 把定解问题：(10分) 212(0)(0,)(),(,)() (,0)(),(,0)(),(0) tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ?ψ?=<

3．有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ，其余边界上的温度保持零度，并且当y →+∞时，温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离 变量法求解).(20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 090,(,0) 0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>??? ==??. 第2页

5．求()2 1,1 (),()0,1 x x F f x f x x ?-≤?=?>??，其中()F ?表示Fourior 变换.（10分） 6．求()2(),()sin(),03 L f t f t t t π =-≥，其中()L ?为Laplace 变换.（10分） 第3页 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

研究生数理方程与特殊函数考题2014

科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2014年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．化简方程22222 (,)(,)(,) 1280u x y u x y u x y x x y y ???++=????并求其通解. (10分) 2. 设有一长度为L 的均匀细棒，其侧面和两端均绝热，初始温度分布为已知。(1)求以后时刻的温度分布；(2)证明：当初始温度分布为常数时，以后时刻的温度分布也必为常数. (20分) 第 1页 3．求解定解问题：(15分) 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

200000 (0,0),t xx x x l t u a u x l t q u u u k u u ===?=<<>? ? ==?? ?=?,00,,,a u k q 均为常数. 4．求函数()() 2 1 ()13f s s s =+- 的Laplace 逆变换.（10分） 第2页 5．求下面的定解问题：（15分） 号 效……………………

2 00,(,0) ,sin tt xx t t t u a u x at x R t u x u x ==?-=+∈>?? ==??. 6．求3()J x dx ? .（10分） 第3页 7．写出平面第一象限的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.（10分）

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

数学物理方法第一章作业答案

第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 0 x 2 2 + +( y y 2 + ? 1 1) 2 > 所以 ，即x <0,x2 +y2 ?1+2x >0 x 0

z -1 ≤（7）1, z +1

2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1

A-2005级-数理方程与特殊函数B卷

课程编号： 北京理工大学2006-2007学年第二学期 2005级数学物理方程期末试题（B 卷） 班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________ 一、填空（请写在答题纸上，每题5分，共计40分） 1. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的 边界条件为：________________________________。 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为__________________ 。 3. 三维泊松方程是______________________________。 4. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 5. 定解问题2 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞ ???==??， ，的解__________________________。 6. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则2 2()d x J kx dx ????=__________________。 8. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>? ==≥??=≤≤? ， ，， ，，， ， ，0，

数理方程与特殊函数(A)参考答案

10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案 一．填空题 1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-； 6，412 2 ≤+