平行四边形判定()

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD. 解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB. 因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE， 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形 . 图1 图2 A B C D E F 图3

平行四边形的判定典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE 相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢可以看到 ，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

平行四边形的判定(1)

平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； 3、在探究过程中，培养学生的动手实践水平、转化水平、反思水平、 归纳水平，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 教学重点：1、平行四边形的三种判别条件； 2、平行四边形的判别条件的初步应用。 教学难点：平行四边形的判别条件的初步应用 教学过程： 新课讲解： 一、动手操作 小明的爸爸在制作平行四边形框架时采用了下面两种方法 （1）他把两根木条AC、BD的中点O重叠并固定后得到了 理由：∵AO＝CO,BO＝DO,∠AOB＝∠COD ∴⊿AOB≌⊿COD ∴∠ABO＝∠CDO ∴AB∥CD 同理可得BC∥AD ∴四边形ABCD是平行四边形 判别方法一：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）他把两根等长的木条AB、C D平行摆放并固定后得到了四边 形ABCD，它是平行四边形，请你说明理由。

理由：连接AC ∵AB ∥CD ∴∠BAC ＝∠ACD 又∵AB ＝CD,AC ＝CA ∴⊿ABCC ≌⊿CDA ∴∠ACB ＝∠CAD ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 判别方法二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、应用 例1、 如图，AC ∥ED,点B 在AC 上且AB ＝ED ＝BC ，找出图中的平行四边形 解：四边形ABDE 、BCDE 都是平行四边形 理由：∵AB ＝DE, AB ∥ED ∴ 四边形ABDE 是平行四边形 ∵BC ＝DE, BC ∥ED ∴ 四边形BCDE 是平行四边形 三、随堂练习： 书上 104页，第1题 四、小结：本节课主要学习了什么内容？你有何收获？ 五、作业：书上 104页，习题4.3，知识技能1，2，数学理解3 平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情 推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； C B D C

初二数学平行四边形压轴：几何证明题

1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B

平行四边形证明练习题汇编

平行四边形证明练习题 一．解答题 1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF． 2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF． 4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF． 5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．

7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF． 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？ 9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF． 10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形． 12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC； （2）△DEC是等边三角形． 13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；

平行四边形的判定

[文件] sxc2jja0010.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行四边形/判定 [标题] 平行四边形的判定 [内容] 教学目标 1．掌握平行四边形的判定定理及应用． 2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题． 3．会根据条件来画出平行四边形． 4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 教学重点和难点 重点是平行四边形的判定定理及应用； 难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程设计 一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法 1．复习平行四边形的主要性质， 角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补） 对角线：（d）对角线互相平分．（性质4） 2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？ （1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征： ①由两个独立条件和一个结论组成； ②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c）对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）； ③逆命题正确． （3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想2）； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想3）． （4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1，2，3． 教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证明． 注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法． 3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意图和处理方法详见设计说明部分） （1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a），

18.1.2平行四边形的判定教案

18.1.2 平行四边形的判定 肇庆第一中学授课教师：彭洁锋 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册 一、教学目标： （1）经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路。 （2）掌握平行四边形的四个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进地推理论证。 二、教学重点：平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 教学难点：对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 三、教学方法与手段 1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的三个判定方法。 2、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力和推理能力。 3、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。 4、部分平行四边形的问题可转化为三角形的问题，渗透化归思想。 四、教学过程 活动一：情境引入

在实验室有一块平行四边形的玻璃被打破了一角，如何画出原来平行四边 形的大小？你们有什么方法。 活动二：课前导入 1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2．平行四边形还有哪些性质？ 3．上一章，我们学过逆命题，原命题正确，逆命题一定正确吗？ 4．在以前的学习经历中，我们学过勾股定理和它的逆定理，还有什么内容是跟互逆命题有关的？ 5．下列四边形中你如何判断它是否平行四边形？ 活动三：经验类比，提出猜想 用多媒体软件《几何画板》展示平行四边形的一些性质。 1.大家观察平行四边形的对角的数据变化，有什么样的猜想？ 2.大家观察平行四边形的对边的数据变化，有什么样的猜想？ 3.大家观察平行四边形的对角线的数据变化，有什么样的猜想？ （上述猜想过程要通过量度学案上这三个四边形，证实猜想的可能性）4.指出三个逆命题的几何语言。 活动四：理性思考，证明定理 1.你们能够证明上述猜想吗？

平行四边形分类证明

四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形 性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形： 判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形 性质：四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形： 判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形 性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形： 判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形 性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状 2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。求证：四边形ABCD是平行四边形 3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）求证：△ABE≌△CDF （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。求证：EF=AD

判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的五种方法 平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行 如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF (1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。 解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60° ∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120° 又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形 理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF ∵四边形ABDF 是平行四边形。 点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。 二、 一组对边平行且相等 例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE 于F (1)求证：△BCG≌△DCE； A F B D C E 图1

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理 由。 分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。 解：（1）∵ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE （2）∵△DCE绕D顺时针 旋转90°得到△DAE′， ∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′， ∵四边形ABCD是正方形 ∴BE′∥DG，AB=CD ∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG ∴四边形DE′BG是平行四边形 点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形 三、两组对边分别相等 例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。 求证：四边形DAEF是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形 ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60° ∴∠DBF=∠ABC 又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF ∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC ∴AB=EF=AD ∴四边形ADFE是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行

初二数学平行四边形压轴几何证明题

初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、 GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与 D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE ?DG ； ⑵若∠B ?60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的 结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长 AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交 于点F. （1）求证：△ABE ≌△DFE （2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由. 8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ． （1）求证：AE ＝DF ； （2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明． 10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC. A B E F G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D C A D E F C B A B C D E F E A F C D B A C E F

平行四边形证明典型题

平行四边形证明题 1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ， DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60?，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。 _B _ C _ A _ B _ A _ B _ E

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E ，若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与 边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 _ A _ B _B _ C _B _ F _ B _ C _ F

《平行四边形的判定》典型例题知识讲解

《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

平行四边形的判定(一)

教学设计 《18.1.2 平行四边形的判定（一）》教学设计 【教材】选自人教版第十八章第一节，【课时安排】本小节安排2课时，课本第45-47页内容。本节课为第1课时。 【教学对象】乳源中学八年级（9）班【授课教师】阮艺 【教材分析】 本节课的主要内容是探究平行四边形的三种判定方法。是在学生掌握了平行线与全等三角形知识，具备了一定的分析推理能力，学习了平行四边形的定义和性质定理的基础上进行学习的。四边形是日常生活与生产实践中应用广泛的图形，而平行四边形是四边形的重要研对象，因此本节是平行线与全等三角形知识的应用与延伸；是平行四边形的定义和性质定理的逆用；也为后继学习其他特殊四边形（矩形、菱形、正方形、梯形等）的判定学习奠定基础；同时对于加强学生逻辑推理能力和思维的严密性有积极的意义。 【学情分析】 八年级下学期，学生已经学习了初中阶段包括全等三角形的性质判定在内的绝大多数几何概念及定理。抽象思维能力、逻辑推理能力已经逐步形成，学生对新的知识也充满了好奇心和强烈的求知欲望，而平行四边形的判定条件中，又有许多有思考价值的问题。因此由教师在启发引导的基础上要多关注课堂的变化，鼓励学生积极自主探索平行四边行的判定方法，让学生的综合能力得到一次检验和再提升。 【教学目标】 ?知识与技能掌握平行四边形判定方法，并会运用判定方法解决相关问题。 ?过程与方法探索三种组成平行四边形的方法，由此发现平行四边形的判定，体验教 学活动充满着探索性和挑战性。 ?情感态度价值观经过自主探究与合作交流，敢于发表自己的观点，有团结协作和 合作意识。 【教学重点】平行四边形的判定方法的探究及应用。

【教学难点、关键】难点是平行四边形的判定方法与性质定理的灵活应用。 为了更好的突出重点，突破难点，关键在于通过复习引入的设计，课堂实验研讨，引导学生发现、分析并解决问题。 【教学方法】 1、复习引入教学法——复习以前所学的数学知识，并在此基础上提出问题。既可以使学生巩固所学的知识，又可升华所学的知识，还能调动学生进一步学习的积极性、主动性。 2、探究教学法——在学习判定方法时，在教师的指导下，以学生为主体，让学生自己通过画图、猜想、验证、思考、讨论、证明等途径去独立探究，自行发现并掌握判定方法，增强自主能力。 3、讨论教学法——在教师的精心准备和指导下，以为掌握三种判定方法为目标，通过预先的设计与组织，启发学员就特定问题发表自己的见解，以培养学员的独立思考能力和创新精神。 4、多媒体辅助教学法——以图文并茂、声像俱佳、动静皆宜的表现形式将数学课堂引入了新的境界；利用多媒体教学可以拓展教学活动空间，丰富教学方式；充分地加强学生的感性认识，帮助学生更好地理解和掌握知识。 【教学手段】提问设疑讲解交流多媒体展示 【教学过程设计】 一、教学流程设计

平行四边形的证明题

平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．

8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分．

平行四边形的性质及判定(提升版)

第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3

平行四边形的判定定理(1)

18.2 平行四边形的判定（1） 教学目的 1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形； 2．理解并掌握二组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3．能运这三种方法来证明一个四边形是平行四边形。 教学重点和难点 重点：平行四边形的判定定理。 难点：平行四边形的判定定理的应用。 教学过程 （一）复习提问： 1. 什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书） 2. 将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来。（如果……那么……） 根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？ （二）新课 一．平行四边形的判定： 方法一（定义法）几何语言表达定义法： ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 则可判定这个四边形是一个平行四边形。 活动：用做好的纸条拼成一个四边形，什么结论？ 设问：这个命题的前提和结论是什么？ 已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC 求证：四边ABCD 是平行四边形。 分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，

行，当然是借助第三条直线证明角等。连结BD 。易证三角形全等。（见上图） 板书证明过程。 小结： 平行四边形的方法为： ∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 设问：若一个四边形有一组对边平行且相等， 四边形呢？ 方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 设问：若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？ 活动：课本探究内容，并用事准备好的纸条（纸条的长度相等），先将纸条放置不平行位置，让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四边形是不是平行四边形？若将纸条摆放为平行的位置，则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形？ 设问：我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？（让学生找出题设、结论，然后写出已知、求证及证明过程。） 小结：平行四边形判定方法二： 前提：若一个四边形有一组对边平行且相等。结论：这个四边形是一个平行四边形。 如图用几何语言表达为： ∵AB=CD 且AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形 平行且相等可用符号“//”，读作“平行且相等”。 ∵AB //CD ∴四边形ABCD 是平行四边形 （三）例题讲解： 例1 已知：平行四边形ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，DA 上，且AF=CE 。 求证：四边形AECF 是平行四边形

中考考试重点关于平行四边形的证明题

1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE. (1)求证：△BOE≌△DOF ； (2)若OD= 2 1AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形请证明你的结论. 2、已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE=DF ，连接CE ，AF.求证：AF=CE. 3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠C=60°，M 、N 分别 是AD 、BC 的中点，BC=2CD. (1)求证：四边形MNCD 是平行四边形； (2)求证：BD=3MN.

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. (1)求∠APB的度数；5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高. (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)求证：∠DHF=∠DEF.

6、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形. 7、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE ⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF.

8、如图3-34所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH 是平行四边形．9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形． 10、如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D 延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC. ⑴求证：△BAD≌△AEC；

平行四边形的判定(二)

19.1.2 平行四边形的判定（二） 一、 教学目标： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合使用平行四边形的五种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提升分析问题的水平． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用。 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 复习： 1． 平行四边形的性质； 2． 平行四边形的判定方法； 命题1：（课本87p 练习2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 已知：如图, D B C A ∠=∠∠=∠, 求证：四边形ABCD 为平行四边形。 命题2 命题2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD ，AD//BC 且AD=BC 求证：四边形ABCD 是平行四边形。 证明： 于是，我们又得到平行四边形的两个判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 所以，平行四边形共有五个判定定理。 从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． A B C D A B C D

例1 ：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，求证：BE=DF． 练习1：如图, A 、B、E在一直线上，AB=CD , CBE C∠ = ∠，试证明AD//BC。 例2： 练习2： C D A B E

平行四边形的判定1

19.1.2平行四边形的判定（一） 时间：2012年4月27日地点：周闸初中 班级：八（1）班执教：束祖法 教学目标： 知识与技能 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 过程与方法：经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力。 情感态度与价值观：培养学生合情推理能力及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵。 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教具准备：多媒体、自制教具、硬纸板、三角板 一、创设情境，引入新课 1．欣赏图片，提出问题，在刚才演示的图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2、我们已经学习了什么是平行四边形，大家是不是很想知道如何画平行四边形，以及在生活中如何制作平行四边形呢？ 二、教学活动

【探究1】：如图，将两长两短的四根硬纸条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的纸条成为对边，转 动这个四边形，使它的形状改变，在图形的变 化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、 验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： （1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？ （4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？ （5）你还能找出其他方法吗？ 从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 试一试 1．已知四边形ABCD 的四条边长，AB=5，BC=7，CD=5，DA=7，该四边形是平行四边形吗？ 2． 如图,AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF,图中有哪些互相平行的线段? 【探究2】 E F C D A B A B C O

特殊平行四边形证明(简单)

平行四边形及特殊平行四边形证明 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF是平行四边形． 2．已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．

5．如图，已知在△ADE中，∠ADE=90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC=AB，连结BD、CE．（1）求证：四边形BDCE是菱形； （2）若AD=8，BD=6，求菱形BDCE的面积． 6．如图所示，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，（1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 7．已知：如图，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 8．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．