初三物理竞赛试卷--含答案
初三物理竞赛训练试卷 1.一辆汽车重1.0×104 N ,现要测量车的重心位置,让车的前轮压在水平地秤(一种弹簧 秤)上,测得压力为6×103 N ,汽车前后轮中心的距离是2 m .则汽车重心的位置到前轮中心的水平距离为 [ ] A .2 m B .1.8 m C .1.2 m D .0.8 m 2.如图所示是电路的某一部分,R 1=R 2>R 3,○ A 为理想电流表.若电流只从A 点流入此电路,且流过R 1的电流为0.2A ,则以下说法正确的是[ ] A .电流不可能从C 点流出,只能从 B 点流出. B .流过○ A 的电流为零. C .流过R 2的电流一定大于0.4A . D .R 2两端的电压不一定比R 3两端的电压大. 3. 如图所示A 灯与B 灯电阻相同当变阻器滑动片向下滑动时,对两灯明暗程度的变化判断正确的是 [ ] ( (A)A 、B 灯都变亮; (B)A 、B 灯都变暗; (C)A 灯变亮,B 灯变暗 (D)A 灯变暗,B 灯变亮。 4. 在盛沙的漏斗下边放一木板,让漏斗摆动起来,同时其中细沙匀速流出,经历一段时间后,观察木板上沙子的堆积情况,则沙堆的剖面应是下图中的[ ] 5如图所示,木块m 放在木板AB 上,在木板的A 端用一个竖直 向上的力F 使木板绕B 端逆时针缓慢转动(B 端不滑动)。在此 过程中,m 与AB 保持相对静止,则[ ] A .木块m 对木板AB 的压力增大 B .木块m 受到的静摩擦力逐渐减小 C .竖直向上的拉力F 逐渐减小 D .拉力F 的力矩逐渐减小 6 在如图所示电路中,闭合电键S ,当滑动变阻器的滑动触头P 向下滑动时,四个理想电表的示数都发生变化,电表的示数分别用I 、U 1、U 2和U 3表示,电表示数变化量的大小分别用ΔI 、ΔU 1、ΔU 2和ΔU 3表示.下列比值正确的个数是[ ] ①U 1/I 不变,ΔU 1/ΔI 不变. ②U 2/I 变大,ΔU 2/ΔI 变大. ③U 2/I 变大,ΔU 2/ΔI 不变. ④U 3/I 变大,ΔU 3/ΔI 不变. A.一个 B.二个 C.三个 D.四个 2R 3R B ? ? ?A 1R A C A B C D B A F θ m
高中数学竞赛_数列【讲义】
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n ,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…,a n 或a 1, a 2, a 3,…,a n …。其中a 1叫做数列的首项,a n 是关于n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和,则S 1=a 1, 当n >1时,a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n ,都有a n +1-a n =d (常数),则{a n }称为等差数列,d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列,即2b =a +c ,则称b 为a 和c 的等差中项,若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n =a 1+(n -1)d ;2)前n 项和公式: S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+;3)a n -a m =(n -m)d ,其中n , m 为正整数;4)若n +m=p +q ,则a n +a m =a p +a q ;5)对任意正整数p , q ,恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1);6)若A ,B 至少有一个不为零,则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列,若对任意的正整数n ,都有 q a a n n =+1,则{a n }称为等比数列,q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质:1)a n =a 1q n -1 ;2)前n 项和S n ,当q ≠1时,S n =q q a n --1)1(1;当q =1时,S n =na 1;3)如果a , b , c 成等比数列,即b 2=ac (b ≠0),则b 叫做a , c 的等比中项;4)若m+n =p +q ,则a m a n =a p a q 。 定义4 极限,给定数列{a n }和实数A ,若对任意的ε>0,存在M ,对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε,则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限,记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为q a -11(由极限的定义可得)。 定理3 第一数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时(k ≥n 0)可推出p (k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2,设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β,则x n =c 1a n -1+c 2βn -1,其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定;(2)若α=β,则x n =(c 1n +c 2) αn -1,其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)a n =n 2-1;2)a n =3n -2n ;3)a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1,求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义(五) ──数列 一、基础知识 定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式 a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式: S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m 为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B 至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.
定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有 ,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。 定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n 项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。 定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作 定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。 定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则x n=c1a n-1+c2βn-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若α=β,则x n=(c1n+c2) αn-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是 人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。
初中物理竞赛-力学综合训练试题(2)
(密度、压强、浮力)补充训练(2) 一、选择题: 1.如图所示,同种材料制成的两个正方体金属块A 、B 叠放在水平地面上, 在A 的上表面施加竖直向下、大小为F 的压力.金属块A 对B 的压强为p 1, 金属块B 对地面的压强为p 2.已知:金属块A 、B 的边长之比L 1∶L 2=1∶2,F ∶G A = 3∶5,则p 1∶p 2 为( ) A .2∶3 B .6∶5 C .3∶2 D .4∶3 2.把木块放在水中时,露出部分为木块体积的1/2;将物体A 放在木块上,木块露出水面的体积为木块体积的1/3;拿掉物体A ,将物体B 放在木块上,木块露出水面的体积为木块体积的1/4.若物体A 体积是物体B 体积的2倍,则物体A 、B 的密度之比是( ) A. 2∶3 B. 3∶2 C.1∶3 D. 3∶1 3. 如图所示,向两个质量可以忽略不计且完全相同的塑料瓶中装入密度为ρA 和ρB 的液体后密闭,把它分别放在盛有密度为ρ甲、ρ乙两种液体的容器中,所受浮力分别为F 甲、F 乙,二者露出液面的高度相等,下列判断正确的是( ) A .由图可知:ρA >ρ甲>ρ乙 B .若ρA = ρB ,则ρ甲>ρ乙 C .若ρ甲=ρ乙,则ρA >ρB D .若F 甲=F 乙,则ρ甲>ρ乙 4. 用不同种材料制成的甲、乙两个实心正方体,2ρρ=乙甲,把它们分 别放在水平桌面上,甲乙对桌面的压强分别为1ρ、2ρ,如图2所示,若 把甲放在乙上面,则乙对桌面的压强是( ) A 3312214P P P + B 33122244P P P + C 22121 4P P P + D 22124P P + 5. 甲溢水杯盛满密度为ρ1的液体,乙溢水杯盛满密度为ρ2的液体。将密度为ρ的小球A 轻轻放入甲溢水杯,小球A 浸没在液体中,甲溢水杯溢出液体的质量是32g 。将小球B 轻轻放入乙溢水杯,小球B 漂浮,有6 1体积露出液面,乙溢水杯溢出液体的质量是40g 。已知小球A 与小球B 完全相同,ρ大于ρ1。则下列选项中正确的是( ) A .小球A 的质量为32g B .小球B 的质量为8g C .ρ1与ρ2之比为2:3 D .ρ1与ρ2之比为24:25 A B
数列与极限.doc
高中学生学科素质训练 高三数学同步测试(2)—《数列与极限》 一、选择题(本题每小题5分,共60分) 1.在等比数列}{n a 中,a 1+a 2=2,a 3+a 4=50,则公比q 的值为 ( ) A .25 B .5 C .-5 D .±5 2.已知等差数列{a n }中,a 6=a 3+a 8=5,则a 9的值是 ( ) A .5 B . 15 C .20 D .25 3.给定正数p,q,a,b,c ,其中p ≠q ,若p,a,q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方 程bx 2-2ax+c=0 ( ) A .无实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个同号的相异的实数根 D .有两个异号的相异的实数根 4.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ,若1062a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( ) A .6S B .11S C .12S D .13S 5.设数列{}n a 为等差数列,且6586742 4,20042a a a a a a a 则=++等于 ( ) A .501 B .±501 C .2004 D .±2004 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若m>1,且38,0122 11==-+-+-m m m m S a a a ,则m 等于 ( )
7.设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若2:1:36=S S ,则=39:S S ( ) A .1:2 B .2:3 C .3:4 D .1:3 8.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄, 若年利率为p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 ( ) A .7 )1(p a + B .8 )1(p a + C . )]1()1[(7p p p a +-+ D . ()()[] p p p a +-+118 9.已知()1+=bx x f 为x 的一次函数,b 为不等于1的常量,且()=n g ?? ?≥-=) 1()],1([) 0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1,则数列{}n a 为 ( ) A .等差数列 B .等比数列 C .递增数列 D .递减数列 10.已知02log 2log >>a b ,则n n n n n b a b a ++∞→lim 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .不存在 11.北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出 租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据1.14=1.46 1.15=1.61) ( ) A .10% B .16.4% C .16.8% D .20% 12.已知3 ) (32lim ,2)3(,2)3(3---='=→x x f x f f x 则的值为 ( ) A .-4 B .8 C .0 D .不存在 二、填空题(本题每小题4分,共16分) 13.已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ,其中01=b ,公差d ≠0.将这两个数列的对应项相 加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项之和为_________________. 14.设数列{a n }满足a 1=6,a 2=4,a 3=3,且数列{a n+1-a n }(n ∈N *)是等差数列,求数列{a n } 的通项公式__________________.
高中数学竞赛讲义_数列
数列 一、基础知识 定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n ,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…,a n 或a 1, a 2, a 3,…,a n …。其中a 1叫做数列的首项,a n 是关于n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和,则S 1=a 1, 当n >1时,a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列,如果对任意的正整数n ,都有a n +1-a n =d (常数),则{a n }称为等差数列,d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列,即2b =a +c ,则称b 为a 和c 的等差中项,若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n =a 1+(n -1)d ;2)前n 项和公式: S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+;3)a n -a m =(n -m)d ,其中n , m 为正整数;4)若n +m=p +q ,则a n +a m =a p +a q ;5)对任意正整数p , q ,恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1);6)若A ,B 至少有一个不为零,则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列,若对任意的正整数n ,都有 q a a n n =+1,则{a n }称为等比数列,q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质:1)a n =a 1q n -1 ;2)前n 项和S n ,当q ≠1时,S n =q q a n --1)1(1;当q =1时,S n =na 1;3)如果a , b , c 成等比数列,即b 2=ac (b ≠0),则b 叫做a , c 的等比中项;4)若m+n =p +q ,则a m a n =a p a q 。 定义4 极限,给定数列{a n }和实数A ,若对任意的ε>0,存在M ,对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε,则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限,记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为q a -11(由极限的定义可得)。 定理3 第一数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p (n ),若:(1)p (n 0)成立;(2)当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时(k ≥n 0)可推出p (k +1)成立,则由(1),(2)可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2,设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β,则x n =c 1a n -1+c 2βn -1,其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定;(2)若α=β,则x n =(c 1n +c 2) αn -1,其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)a n =n 2-1;2)a n =3n -2n ;3)a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1,求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
物理竞赛专题训练(功和能)
功和功率练习题 1.把30kg的木箱沿着高O.5m、长2m的光滑斜面由底部慢慢推到顶端,在这个过程中此人对木箱所做的功为J,斜面对木箱的支持力做的功为J。 2.一台拖拉机的输出功率是40kW,其速度值是10m/s,则牵引力的值为N。在10s 内它所做的功为J。 3.一个小球A从距地面1.2米高度下落,假设它与地面无损失碰撞一次后反弹的的高度是原来的四分之一。小球从开始下落到停止运动所经历的总路程是________m。 4.质量为4 ×103kg的汽车在平直公路上以12m/s速度匀速行驶,汽车所受空气和路面对它的 阻力是车重的O.1倍,此时汽车发动机的输出功率是__________W。如保持发动机输出功率不变,阻力大小不变,汽车在每行驶100m升高2m的斜坡上匀速行驶的速度是__________m/ s。 5.用铁锤把小铁钉钉敲入木板。假设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比。已知第一 次将铁钉敲入木板1cm,如果铁锤第二次敲铁钉的速度变化与第一次完全相同,则第二次铁钉进入木板的深度是__________cm。 6.质量为1Og的子弹以400m/s的速度水平射入树干中,射入深度为1Ocm,树干对子弹的平均 阻力为____ N。若同样质量的子弹,以200m/s的速度水平射入同一树干,则射入的深度为___________cm。(设平均阻力恒定) 7. 人体心脏的功能是为人体血液循环提供能量。正常人在静息状态下,心脏搏动一次,能以1.6 ×105Pa的平均压强将70ml的血液压出心脏,送往人体各部位。若每分钟人体血液循环量约为6000ml,则此时,心脏的平均功率为____________W。当人运动时,心脏的平均功率比静息状态增加20%,若此时心脏每博输出的血量变为80ml,而输出压强维持不变,则心脏每分钟搏动次数为____________。 8. 我国已兴建了一座抽水蓄能水电站,它可调剂电力供应.深 夜时,用过剩的电能通过水泵把下蓄水池的水抽到高处的上蓄水 池内;白天则通过闸门放水发电,以补充电能不足,如图8—23 所示.若上蓄水池长为150 m,宽为30 m,从深液11时至清晨4 时抽水,使上蓄水池水面增高20 m,而抽水过程中上升的高度 始终保持为400 m.不计抽水过程中其他能量损失,则抽水机的 功率是____________W。g=10 N/kg) 9. 一溜溜球,轮半径为R,轴半径为r,线为细线,小灵玩溜溜球时,如图所示,使球在水平桌面 上滚动,用拉力F使球匀速滚动的距离s,则(甲)(乙)两种不同方式各做功分别是_____________J和__________________J
05.2017年上海高三数学二模分类汇编:数列与极限
1(2017普陀二模). 计算:3 1lim(1)n n →∞ += 3(2017虹口二模). 已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则 2()lim n n n a S →∞= 3(2017奉贤二模). 已知{}n a 为等差数列,若16a =,350a a +=,则数列{}n a 的通项公式为 4(2017嘉定二模). 11 23lim 23n n n n n ++→∞+=+ 4(2017徐汇二模). 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若213 n n S a =-* ()n N ∈,则lim n n S →∞= 6(2017嘉定二模). 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 3535=a a ,则=3 5S S 7(2017静安二模). 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意*n N ∈, 11(,2)n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量,若lim n n S →∞ 存在,则实数k 的取值范围是 8(2017崇明二模). {}n a 是等比数列,前n 项和为n S ,若122a a +=,251a a +=-,则 lim n n S →∞ = 9(2017浦东二模). 已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,则1 lim n n n n S a a →∞+= 10(2017奉贤二模). 已知数列{}n a 是无穷等比数列,它的前n 项的和为n S ,该数列的首项是二项式7 1 ()x x +展开式中的x 的系数,公比是复数z =的模(i 是虚数单位), 则lim n n S →∞ = 11(2017浦东二模). 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0 n n n n a a a a ++--=*()n N ∈,且110a a =,则首项1a 所有可能取值中最大值为 11(2017嘉定二模). 设等差数列{}n a 的各项都是正数,前n 项和为n S ,公差为d ,若数 列也是公差为d 的等差数列,则{}n a 的通项公式为=n a 11(2017静安二模). 已知1()1x f x x -= +,数列{}n a 满足11 2 a =,对于任意*n N ∈都满足2 ()n n a f a +=,且0n a >,若2018a a =,则20162017a a += 12(2017虹口二模). 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对任意的正整数n 都有 {}12310,,,,n S k k k k ∈,则10a 的可能取值最多有 个 12(2017闵行/松江二模). 已知递增数列{}n a 共有2017项,且各项均不为零,20171a =,
《高中数学竞赛》数列
竞赛辅导 数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n}的第n项a n与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题,首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的(同构)关系。 一、等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。等差数列{a n}的通项公式为: 前n项和公式为: 从(1)式可以看出,是的一次数函()或常数函数(),()排在一条直线上,由(2)式知,是的二次函数()或一次函数(),且常数项为0。在等差数列{ }中,等差中项:且任意两项的关系为: 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式,前项和公式还可推出: 若 二、等比数列 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{a n}的通项公式是: 前项和公式是:
在等比数列中,等比中项: 且任意两项的关系为 如果等比数列的公比满足0<<1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为: 从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出: 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂,则{}是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式;而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如“倒排相加”(等差数列),“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前n项和。 三、范例 例1.设a p,a q,a m,a n是等比数列{a n}中的第p、q、m、n项,若p+q=m+n, 求证: 证明:设等比数列{}的首项为,公比为q,则 说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积, 即:a1+k·a n-k=a1·a n 对于等差数列,同样有:在等差数列{ }中,距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即:a1+k+a n-k=a1+a n 例2.在等差数列{}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解:由a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120,a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
全国高中物理竞赛训练题及答案
1、有一无限大的导体网络,它是由大小相同的正六边形网眼组成,如图(1.1),所有六边形每边的电阻都为R ,求结点a 、b 之间的电阻。 解析:像这类求导体网络的等效电阻的题目,我们不可能由电阻的串并联关系求出等效电阻,只能用电流的分步法,在ab 间引入一个电压ab U ,在网络中形成总电流I ,再找出ac I ,ab I 与I 的关系,最后由R U I =确定ab R 。 由网络的对称性可知,假设有电流I 从a 点流入网络,必有 1 3I 电流由a 流向c ,在c 点又分为两支路电流,则cb 的电流为1 6 I 。 另一方面,假设有I 电流有b 点流出网络,必有13I 电流由c 流向b ,a 和d 分别有1 6I 流向c 。 将两种情况叠加,则有I 电流由a 流入,从b 流出,按电流的分步法,必有 362ac I I I I = += 方向经导线ac 由a 流向c 362 ab I I I I = += 方向经导线cb 由c 流向b 所以a 、b 两点间的等效电阻为 a b a c c b ab U I R I R R R I I +=== 2、证明图(2.1)中的Y 形电阻网络与图(2.2)中的?形电阻网络的等效变化关系为: 图(1.1) a b c d 2 3 1 2 I 3 I 12 R 31 R 23 R 1 I 图(2.2) 1 I 1 R 2 R 3R 3 I 3 2I 2 1 图(2.1)
12233112 3 12233123 1 12233131 2R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?++=???++=???++=?? 和 3112 1 122331 12232 122331 23313 122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?=?++??=?++??=?++? 解析:所谓等效变换,就是指这两种网络联接方式之间,仍保持电路中其余各部分的电流和电压不变,即Y 形网络中三个端点的点位1U ,2U ,3U 及流过的电流1I 、2I 、3I 和?形网络中的三个端相同,见图(2.1)和图(2.2). 如图(2.3),设流经电阻12R 、23R 、31R 的电流分别是12I 、23I 、31I ,对图(2.1)所示的Y 形网络有 112212 331131123 0I R I R U I R I R U I I I -=?? -=??++=? 由此可得 3 2 11231 1223 31 12 23 31 R R I U U R R R R R R R R R R R R = - ++++ 对图(2.2)所示的网络有 121212 313131 11231U I R U I R I I I ?=?? ? =?? ?=-?? 解得 31 1211231 U U I R R =- 所以有 33121212311223311223311231 R U R U U U R R R R R R R R R R R R R R -=-++++ 式中各对应项的系数相等 122331 123 R R R R R R R R ++= 图(2.3) 3I 1I 2I 12 R 31R 23R 12I 23I 31I
数列求和及极限
数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法:(1)公式法;(2)通项转移法;(3)倒序相加法; (4)裂项相消法;(5)错项消法;(6)猜想、证明(数学归纳法)。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式,如:+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列,可通 过对数列通项结构特点的分析研究,将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差;3、将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易求和,这样的数列常用倒序相加,如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、利用裂项变换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列,其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法,通过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对、、…进行归纳,分析,寻求规律,猜想出,然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和:+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和,对通项公式展开可得:=1442++n n , 所以对原数列求和分解为3个新数列求和,可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =(114142+?-?)+(124242+?-?)+…+(1442+-n n )=4(+++… +)–4·(1+2+3+…+n )+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和:12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积,可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ,则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--,所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ) –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-,所以=151********-?+-n n 。
高中数学竞赛数论
高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数,把全体整数按对模m 的余数分成m 类,相应m 个集合记为:K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ,则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类,从每个K r 里任取一个a r ,得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组,叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1,则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!