量子力学讲义第五章

第五章 中心力场

§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质

一、角动量守恒与径向方程

设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：

2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22

()2V r μ

=-∇+ ，

与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即

ˆ0l t

∂=∂

ˆˆ[,]0l H = 2

22221ˆ()22l H r V r r r r r

μμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； (

)

2ˆ,,z H l l

构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：2

22

22

1()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦

上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。

取ψ为 ()

2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm

r R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()

2

,z l l

共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222

2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫

++-= ⎪⎝⎭

径向方程可写为：()()2222

2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤

++-=⎢⎥⎣⎦

，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()

()l l r R r r

χ=

；

径向方程简化为：()()2

222

2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣

⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。

在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

二、 径向波函数在r →0邻域的渐近行为：

()()2

222222()120l l l r E V r l l dR d R R dr r dr r r μ⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦

假定V (r )满足：2

lim ()0r r V r →=

薛定谔方程在0r →邻域表示为：

()222120l l l l l dR d R R dr r dr r

++-=； (3) 在正则奇点r =0邻域，设()s l R r r ∝，代入(3)式，得：

222(1)2(1)0s s s s s r sr l l r ----+-+=；

⇒(1)(1)s s l l +=+

解出：1s l =，或2(1)s l =-+， 即当r →0时,1l R r ∝或(1)2l R r -+∝

根据波函数平方可积条件，因此要求：r →0时，l l R r ∝的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解()()l r rR r χ=满足 0

lim ()0l r r χ→=

三、两体问题化为单体问题

两个质量分别为m 1和m 2的粒子，相互作用12()V r r -

只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：

22221212121212

[()](,)(,)22T V r r r r E r r m m -∇-∇+-ψ=ψ (5) E T 为体系的总能量。引入质心坐标R 和相对坐标r

1122

12

m r m r R m m +=+

12r r r =-

可以证明

2222

12121111R m m M μ

∇+∇=∇+∇ 其中12M m m =+——体系的总质量，12

12

m m m m μ=

+——约化质量或折合质量

22222

22R

X Y Z ∂∂∂∇=++∂∂∂，2222

222x y z

∂∂∂∇=++∂∂∂（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）

二粒子体系的能量本征方程(5)化为：

2222[()]22R T V r E M μ

-∇-∇+ψ=ψ (6) 此方程可分离变量，令

()()R r φψψ=

代入(6)式，得

22()()2R C R E R M

φφ-∇=

(7) 22[()]()()2V r r E r ψψμ

-∇+= T C E E E =- (8) 式(7)描述质心运动，是能量为E C 的自由粒子的能量本征方程，E C 是质心运动能量。即质心按能量为E C 的自由粒子的方式运动，),,(Z Y X φ就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 式(8)描述相对运动，E 是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m 理解为约化质量，E 理解为相对运动能量。

§5.4 氢原子

氢原子的原子核是一个质子，带电+e ，在它的周围有一个电子绕着它运动)10~(8cm r -。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）

2

()e V r r

=-

这是一个两体问题。

按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数()()l l r rR r χ=满足下列方程：

()22222120l l l l d e E dr r r μχχ⎡⎤+⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦

(1) 及边条件 (0)0l χ= 式中μ为电子的约化质量，e p e p

m m m m μ=

+，m e 和m p 分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在

计算过程中令1e μ=== ，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。

()22222

120l l l l d e E dr r r μχχ⎡⎤

+⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦

(1) r =0,∞是微分方程的两个奇点。

r →0时，()2

22

10l l l l d dr r

χχ+-=；1()l l r r χ+∝，或()l l r r χ-∝ 只有()()l r rR r χ=→0是满足要求的，所以r →0，1()l l r r χ+∝

r →∞时，22220l l d E

dr μχχ+=

，考虑束缚态，E <0

()r l r e βχ±∝，β=

，考虑到平方可积性，()r l r e βχ-∝；

试探解为：1()()l r l l r r e u r βχ+-=，代入径向薛定谔方程，并化简：

()()22()212()21()0l l l me ru r l r u r l u r ββ⎡⎤'''++--+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦

变量变换：2r ξβ=，

得到：[]222

22(1)10d u du me l l u d d ξξξξβ⎡⎤

++--+-=⎢⎥⎣⎦

（合流超几何方程） 即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：

()220d u du

u d d ξγξαξξ

+--=， 参数：2(1)2l γ=+≥，2

2

1me l αβ=+- ；

解的一般形式：(),,u F αγξ=()()211...12!ααα

ξξγγγ+=++++b ννν

ξ=∑，

()()()()()()1111121!

b ναααανγγγγνν++⋅⋅⋅+-=

++⋅⋅⋅+-， ν→∞时，11b b ννν+→，无穷级数解：(),,F e ξ

αγξ→发散

（2r ξβ=可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，

0,1,2,...α=--即可满足中断条件； 即：2

2

1me l αβ=+-

r n =-，0,1,2,...r n = 2

2

1r me l n β=++

n =， 0,1,2,...l =，0,1,2,...r n =，1,2,...n = 即：2

222me n β⎛⎫= ⎪⎝⎭

，2

2

2n m E β= 2424m e n = ； 一、氢原子的能级

氢原子的能量本征值：4221

2n e E n μ=- 22

12e a n

=-， (2) 玻尔半径：2

2

a e

μ= 0.53o

A =，主量子数：n ， 二、氢原子的波函数

与E n 相应的径向波函数()

()l l r R r r

χ=

可表示为

/2(,22,)l nl r R e F n l ξξξ-∝-+ 归一化的径向波函数为

()/2()1,22,2l nl nl R r N e F n l l ξξξ-=-+++，2r na

ξ=

)3/2

3/202l nl n N a β+=

[]

2

20()1nl R r r dr ∞

=⎰

氢原子的束缚态能量本征函数为

),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =

,3,2,1=n ；1,,2,1,0-=n l ；l m ±±±=,,2,1,0 。

定态波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =是氢原子体系H ˆ、2ˆ

l 和ˆz

l 的共同本征函数。 22ˆˆ(,,)(1)(,,)ˆn nlm nlm z H E l r l l r m l ψθϕψθϕ⎫⎫⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭

能级简并度

电子的能级n E 只与主量子数n 有关，而波函数nlm ψ却与三个量子数n ，l ，m 有关，因此能级n E 是简并的（1=n 除外）。给定n ，l 可能1,,2,1,0-n 共n 个；给定l ，m 可取l ±±±,,2,1,0 共

)12(+l 个。因此，对应于第n 个能级n E 的波函数就有

21

2

]

1)1(2[1)12(n n n l n l =+-+=

+∑-=

个，也就是说，电子的第n 个能级是2

n 度简并的。 例1、设氢原子处于状态 1232112100101322111006

12

13

16

12

13

1),,(--+

+

=

+

+

=

Y R Y R Y R r ψψψϕθψ

求氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值及其几率，并求其平均值。 三、氢原子核外电子的几率分布

当氢原子处于ψnlm 态时，在),,(ϕθr 点周围的体积元ϕθθτd drd r d sin 2

=内发现电子的几率为

2

*

(,,)(,,)nlm nlm nlm nlm dW r d r d d ρθϕτψθϕτψψτ===

人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云” 1、在(r , r +d r )球壳中找到电子的几率——径向分布

22

20

()()sin nl dW r r dr r drd d ππ

ρψθθϕ==

⎰⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

==π

π

π

π

ϕθθϕθθ0

20

2

22

20

22

sin sin d d Y dr r R d drd r Y R lm nl lm nl

dr r r R nl 22)(=2()nl r dr χ=

即，2

2()()nl nl r R r r ρ=称为径向几率密度或径向分布函数。

使()nl r ρ取最大值的半径称为最可几半径。

例子： 氢原子处于基态0010100Y R =ψ，求最可几半径。 解： 0222

2

1010

30

4r

a r R r e a ρ-==

令

10

0d dr

ρ= 000222210333

00000

8248(1)0r

r

r

a a a d r r r r

e e e dr a a a a a ρ---=-=-= ⇒∞=,,00a r

经检验0a r =时)(r nl ω为最大值 所以0a r =是最可几半径 讨论：

<1>、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）

不同之处：电子在核外作轨道运动 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子 核外电子是以几率 分布的形式出现。

联系之处：当氢原子处于1s ,2p ,3d ,⋯ 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为,4,9a a a ，而量子力学计算的结果表明，当r 分别为a , 4a , 9a 时找到电子的几率最大。对于l ≠n -1态很难找到相似之处。

<2>、氢原子的第一玻尔轨道半径2

2

a e

μ= ，从量子力学几率分布的观点解释a 的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较：

当氢原子处于1s 态时，在r =a 处找到电子的几率最大，在r a 的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s 态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a 。显然这两种图象是截然不同的。

2、在(,)θϕ方向的立体角ϕθθd d d sin =Ω中找到电子的几率——角向分布 2

20

(,)()(,)lm nl lm r dW d R r Y r drd ρθϕθϕ∞

==Ω=

Ω⎰

Ω=d Y lm 2

),(ϕθ

Ω=d P N m

l

lm 2

2

)(cos θ

2

()(,)lm lm Y ρθθϕ= ——角向几率分布 ϕθϕθim m

l lm lm e P N Y )(cos ),(=

2

2

)(cos θm

l lm

P N

=

可见，角分布与ϕ无关，即几率分布对z 轴是旋转对称的。 四、类氢离子

以上结果对于类氢离子（He +，Li ++，Be +++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e 换为+Ze （Z 是核所带正电荷数），而μ换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为

42

2

2

2n e Z E n

μ=- ，1,2,3,n =

量子力学黄皮书讲解

量子力学黄皮书讲解 量子力学黄皮书是指《The Principles of Quantum Mechanics》一书，该书是由物理学家保罗·迈尔斯于1930年代撰写的，被誉为量子力学的经典教材之一。本文将从黄皮书的结构、内容和意义三个方面来讲解量子力学黄皮书。 黄皮书的结构非常清晰，分为10章，涵盖了量子力学的基本原理以及一些应用领域。第一章介绍了量子力学的历史背景和基本概念，包括波粒二象性、不确定性原理等。第二章讨论了量子力学的数学基础，包括波函数、算符和态矢量等。第三章介绍了量子力学的测量理论，包括测量算符和测量结果的统计性质。第四章研究了定态问题，即粒子在势场中的行为。第五章讨论了矩阵力学，即量子力学的一个重要形式。第六章介绍了自旋和角动量的量子力学描述。第七章研究了量子力学的微扰理论，用于处理近似求解。第八章讨论了量子力学的路径积分方法，是一种替代的求解方法。第九章介绍了量子力学的相互作用理论，用于描述多粒子系统。最后一章探讨了量子力学的统计性质，包括玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计。黄皮书的内容丰富而详细，对量子力学的各个方面都进行了深入的研究。书中引入了大量的数学工具，如线性代数、微积分等，以便读者更好地理解和应用量子力学的原理。此外，黄皮书还介绍了一些经典的实验，如双缝实验、斯特恩-盖拉赫实验等，用于验证量子力学的预言。在应用方面，黄皮书讨论了一些重要的问题，如氢原

子的能级结构、振动子和旋转子的量子力学描述等。此外，黄皮书还介绍了一些重要的定理和方法，如哈密顿-雅可比方程、量子力学的微扰理论和路径积分方法等。 黄皮书对于量子力学的发展和意义具有重要的影响。该书系统地阐述了量子力学的基本原理和数学形式，为后来的研究和应用奠定了基础。许多物理学家和科学家都通过阅读黄皮书来学习量子力学，并将其中的理论和方法应用于自己的研究中。此外，黄皮书对于量子力学的哲学和观念也进行了一些讨论，如波粒二象性的解释、测量问题的解释等，对于理解量子力学的本质和哲学意义有一定的帮助。 量子力学黄皮书是一本经典的量子力学教材，其结构清晰、内容丰富、意义重大。通过阅读黄皮书，读者可以全面了解量子力学的基本原理和数学形式，掌握量子力学的基本概念和方法，为深入研究和应用量子力学打下坚实的基础。无论是对于物理学学习者还是科学研究者来说，量子力学黄皮书都是一本不可或缺的经典之作。

北京科音量子化学讲义

北京科音量子化学讲义北京科音量子化学讲义 第一章：量子力学基础 1.1 量子力学的起源 1.2 玻尔模型和德布罗意假设 1.3 波粒二象性和不确定性原理 1.4 量子力学的数学基础 第二章：量子力学中的算符和态 2.1 算符的定义和性质 2.2 波函数和态的表示 2.3 算符与态之间的关系 2.4 平均值和本征值问题 2.5 统计解释和概率解释 第三章：量子力学中的动力学 3.1 态的时间演化 3.2 薛定谔方程和定态解 3.3 态的展开和系数的确定 3.4 经典极限和量子涨落 3.5 量子力学中的测量 第四章：量子力学中的算符 4.1 动量、位置和能量算符 4.2 旋转和自旋算符 4.3 角动量算符的代数和本征值 4.4 合成系统和复合态 4.5 纠缠态和量子纠缠 第五章：量子力学的应用 5.1 原子结构和分子光谱 5.2 量子力学中的化学键

5.3 量子力学中的振动和转动 5.4 量子力学中的电子结构 5.5 量子力学在材料科学中的应用 第六章：粒子统计和量子力学中的统计力学 6.1 玻尔兹曼统计和费米-狄拉克统计 6.2 玻色-爱因斯坦统计和玻色凝聚 6.3 统计力学和量子力学的统一 6.4 量子力学中的热力学性质 6.5 量子力学和统计力学在凝聚态物理中的应用 第七章：量子力学中的路径积分 7.1 路径积分的概念和基本原理 7.2 路径积分与薛定谔方程的等价性 7.3 路径积分的应用和近似方法 7.4 衍射和干涉中的路径积分 7.5 量子力学中的黑洞和宇宙学问题 第八章：开放量子系统和量子计算 8.1 开放量子系统的描述 8.2 量子耗散和退相干 8.3 量子计算的基本原理 8.4 量子算法和量子并行性 8.5 量子信息和量子通信的应用 结语：量子力学的未来发展和挑战 这份讲义主要涵盖了量子力学的基础概念、数学工具、算符和态 的性质、动力学和测量、应用领域、统计力学和统计力学、路径积分、开放量子系统和量子计算等内容。通过学习这些内容，读者可以全面 了解量子力学的基本原理和应用，为在量子化学领域进行研究打下坚 实的基础。此外，讲义还探讨了量子力学的未来发展趋势和面临的挑战，给读者提供了一些思考和展望。

量子力学黄皮书讲解

量子力学黄皮书讲解 量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。黄皮书是指《黄皮书系列：量子力学基础》，是一本经典的量子力学教材。本文将以量子力学黄皮书为参考，讲解量子力学的基本概念和原理。 第一章：量子力学的起源和基本假设 量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时科学家们发现经典物理学无法解释一些实验现象，如黑体辐射和光电效应。为了解释这些现象，人们提出了量子理论的基本假设： 1. 粒子的能量是离散的，而不是连续的。这意味着粒子的能量只能取特定的值，称为能级。 2. 粒子的位置和动量不能同时确定，存在不确定性原理。这意味着我们无法同时准确测量粒子的位置和动量。 第二章：波粒二象性 量子力学中的粒子既表现出粒子性，又表现出波动性。这一概念被称为波粒二象性。实验观察表明，电子、光子等微观粒子既可以像粒子一样进行定位和计数，又可以像波一样进行干涉和衍射。这种波粒二象性在量子力学中得到了充分的解释。 第三章：量子力学的数学框架 量子力学使用数学工具来描述微观粒子的行为。其中最基本的数学

工具是波函数。波函数是一个复数函数，用于描述粒子的位置和状态。根据波函数的演化方程，我们可以预测粒子在不同时间和空间的行为。 第四章：量子力学的测量和观测 在量子力学中，测量是一个重要的概念。测量不仅仅是获取粒子的位置和动量，还涉及到对粒子的其他性质的测量，如自旋和能量。根据波函数坍缩的原理，测量会导致粒子状态的崩溃，从而确定粒子的性质。 第五章：量子力学的运动方程 量子力学中的运动方程是薛定谔方程，用于描述波函数随时间的演化。薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数和能级。 第六章：量子力学的基本原理和实验验证 量子力学的基本原理包括量子叠加原理、量子纠缠原理和量子隧道效应等。这些原理是量子力学理论的基石，通过实验验证，证明了量子力学的正确性和可靠性。 第七章：量子力学的应用 量子力学不仅仅是一门理论学科，还有广泛的应用。量子力学在原子物理、凝聚态物理、粒子物理和量子信息等领域都有重要的应用。例如，量子计算、量子通信和量子加密等技术都是基于量子力学原

第五章量子力学的表象与表示§51幺正变换和反幺正变换

第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ϕ、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψϕψϕ*⎰= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ϕ的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2) 而且有逆算符1ˆ-U 存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。” 任一算符A ˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ˆ有另一个等价的定义： “算符U ˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说 1ˆˆ-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U 成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U +== 由于ϕ、ψ任意，所以 I U U =+ˆˆ 又因为U ˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆU U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。

量子力学第五章微扰理论

量子力学第五章微扰理论 微扰理论 在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。 由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。 §5. 1 非简并定态微扰理论 近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程： Hψ=Eψ (5.1.1) 满足下述条件:

(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0) H=H(0) + H' (5.1.2) H'H(0) (5.1.3) （5.1.3）式表示，H与H(0)的差别很小，H'可视为加于H(0)上的微扰。（5.1.3）式的严格意义将在后面再详细说明。由于H 不显含t，因此，无论H(0)或是H'均不显含t。 (2) H(0) 的本征值和本征函数已经求出，即H(0)的本征方程 (0)(0)(0) H(0)ψn=Enψn (5.1.4) 中，能级En及波函数ψn都是已知的。微扰论的任务就是从H(0)的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。 (3) H(0)的能级无简并。严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并，例如，要通过微扰论计算H'对H(0)的第n个能级En的修正，就要求En不简并，它相应的波函数 (0) ψn只有一个。其他能级既可以是简并的，也可以是不简并的。 (0) (0) (0)(0) (4) H(0)的能级组成分立谱。或者严格点说，至少必须要求通

量子力学讲义第五章

第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22 ()2V r μ =-∇+ ， 与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即 ˆ0l t ∂=∂ ˆˆ[,]0l H = 2 22221ˆ()22l H r V r r r r r μμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ( ) 2ˆ,,z H l l 构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：2 22 22 1()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。 取ψ为 () 2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm r R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是() 2 ,z l l 共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222 2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫ ++-= ⎪⎝⎭ 径向方程可写为：()()2222 2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤ ++-=⎢⎥⎣⎦ ，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：() ()l l r R r r χ= ； 径向方程简化为：()()2 222 2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣ ⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。 在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

第五章 原子结构

第五章原子结构与元素周期律（计划学时数：6） [教学目的]1．了解原子核外电子运动的波粒二象性、波函数、概率密度等概念； 2．理解四个量子数的取值、含义和核外电子运动状态的关系； 3．熟练掌握电子排布遵循的三个原理，能写出一些常见元素的电子排布； 4．了解原子结构与元素周期系的关系； 5．熟悉元素周期表的分区、重要元素的位置。 [教学重点] 1．四个量子数； 2．电子排布的三个原理； 3．常见元素核外电子排布式。 [教学难点]波函数、原子轨道、概率密度等概念。 [每节时分配]第一节原子核外电子的运动状态2节时第二节原子中电子的排布1节时 第三节原子核外电子排布与元素周期律2节时 第四节元素性质的周期性1节时[教学方法]讲授、启发、练习 [使用教具]挂图、多媒体

第一节原子核外电子的运动状态 （本节内容较抽象，最好采用多媒体教学方法，将抽象的概念用可视图形表示，增进学生理解。） [说明]复习原子的构成及各组成间的数量关系。 而化学反应只对核外电子产生影响，所以是我们讨论的重点。 上述结构称为“卢瑟福的有核原子模型”，它是在自1881年发现电子（汤姆逊）、1900发现质子（卢瑟福、斯塔克）、1932年发现中子（查德威克）的基础上，由卢瑟福提出的，此模型的建立，正确回答了原子的组成问题，近几十年来，随着现代科学技术的发展，又在原子核内先后发现了三百多种基本粒子。实验结果已初步证明，质子和中子是各由三个称为夸克的粒子所组成的，并发现夸克可以带有非整数的单位电荷。这些事实说明原子的组成和结构是十分复杂的和物质是无限可分的。但与化学关系更密切的是核外电子的运动和分布。 原子核外电子的分布规律和运动状态等问题的解决，以及近代原子结构理论的确立是从氢原子光谱实验开始的。 1．原子光谱：任何一种元素的气态原子在高温 火焰、电火花的作用下均能发光，经三棱镜分光后可 以得到一种由一系列线条构成的特征的线性光谱，不 同种类的原子所发射的光谱不同，同种类原子发射的 光谱相同。 2．氢原子光谱：氢原子光谱是最简单的原 子光谱，将氢气在高压下激发，氢原子在电场 的激发下发光，光线经狭缝，再通过棱镜可得 氢原子光谱。谱线是不连续的。 3．玻尔理论：经典电磁学理论无法解释氢 原子光谱的不连续性，1900年，普朗克首先提 出了著名的、当时被誉为物理学上一次革命的量 子化理论。普朗克认为能量象物质微粒一样是不 连续的，它具有微小的、分立的能量单位——量子。物质吸收或发射的能量总是量子能量的整倍数。能量以光的形式传播时，其最小单位又称光量子，也叫光子。1913年玻尔在普朗克量子论、爱因斯坦(Etmteln)光子学说和卢瑟福有核原子模型的基础上，提出了

量子力学讲义 温伯格

量子力学讲义 引言 量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。 1. 量子力学的基本原理 量子力学的基本原理可以归结为以下几点： 1.1 波粒二象性 量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。 1.2 玻尔原子模型 玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。 1.3 不确定性原理 海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。 2. 量子力学的数学描述 量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。 2.1 波函数 波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。

量子力学导论第5章答案

量子力学导论第5章答案 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明 证.若力学量不显含，则有,令 则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。 在束缚定态，有。 其复共轭为。 5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为 证：,证毕。 5.4）设表示的本征态（本征值为），证明 是角动量沿空间方向的分量的本征态。 证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参钱..《剖析》.P327） 5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。 是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。 证： （） 又。 不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。 5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1） 证：式（1）左端 （2）

计算中用到了公式。 由于是厄米算符，有下列算符关系： （3） 式（2）取共轭，得到 （4） 结合式（2）和（4），得 证毕。 5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：。 （1） 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2） 证明schrödinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6） 从（1）式有 （6’） 由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7） 由（1）式，，（3）式变为： （8）

量子力学讲义 温伯格

量子力学讲义温伯格 摘要： 一、引言 1.量子力学的起源与发展 2.温伯格与量子力学的关系 二、量子力学的基本原理 1.波函数 2.薛定谔方程 3.测量与不确定性原理 三、量子力学的重要应用 1.量子计算 2.量子通信 3.量子隐形传态 四、温伯格对量子力学的贡献 1.提出温伯格矩阵元 2.温伯格-萨拉姆模型 3.电弱统一理论 五、量子力学的发展趋势与挑战 1.量子计算的优越性 2.量子通信的实用化 3.量子力学的解释与应用

六、结论 1.量子力学的现状与未来 2.对温伯格及其贡献的总结 正文： 一、引言 量子力学是现代物理学的基石之一，温伯格（Steven Weinberg）是20世纪最具影响力的物理学家之一。他的研究与贡献对量子力学领域产生了深远的影响。本文将从量子力学的起源、基本原理、重要应用、温伯格的贡献以及发展趋势等方面进行阐述。 二、量子力学的基本原理 1.波函数：量子力学中的波函数是描述粒子状态的数学表达式，它体现了粒子在某一时刻的空间分布和运动状态。波函数通过薛定谔方程演化，从而描述了粒子在时间上的演变。 2.薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了粒子波函数的演化过程。它是哈密顿算符本征值问题的求解，为量子力学提供了数学基础。 3.测量与不确定性原理：量子力学中的测量原理是基于波函数的坍缩，即测量一个粒子的状态后，其波函数将坍缩到一个特定的本征态。海森堡不确定性原理则表明，在测量过程中，粒子的位置和动量之间存在一定的不确定性。 三、量子力学的重要应用 1.量子计算：量子计算利用量子比特进行信息处理，具有指数级的计算速度优势。量子计算在密码学、优化问题等领域具有广泛的应用前景。 2.量子通信：量子通信是利用量子态进行信息传输的技术。量子密钥分发

第19讲5含时微扰概率幅方程

第19讲第五章 微扰理论 §5.6 含时微扰理论—含时微扰的概率幅方程 ()()t H H t H '+=ˆˆˆ0 (0 ˆH 与t 无关) （34-1） ()Ψt H t Ψˆi =∂∂ （34-2） n n n ΦεΦH =0ˆ （34-3） ∑∑-==ψn t εn n n n n n e φt a Φt a i )()( （34-4） ()()()∑=n n n ,t r Φt a ,t r Ψ 中并非任意)(t a n 都可以，它必须 使Ψ满足薛定鄂方程（34-2）式；代入得： ()()()()∑∑∑∑'+=∂∂+n n n n n 0n n n n n n n ΦH t a ΦH t a t Φt a t t a Φˆˆi d d i （34-5） 利用n n ΦH t Φi 0ˆ=∂∂ 得 ()()∑∑'=n n n n n n ΦH t a t t a Φˆd d i ()()∑⎰∑⎰'=n n *m n n n n *m d τΦH Φt a dt t da d τΦΦˆi 考虑到⎰=m n n *m ΦΦδτd 并记跃迁矩阵元： ⎰'='τd ˆn *m m n ΦH ΦH （34-7） 可得： ()()∑'=n t i ωm n n m m n e H t a dt t da i （34-6） 式中 ()n m m n εε-= 1ω (5.6-8) 是体系从能级n ε跃迁到能级m ε的玻尔频率（即发射或吸收光子的频率）。

Φ态的几率为： 得t时刻粒子处于m ()2t =（34-9） W a m m 因此（34-6）式为含时微扰的概率幅方程。

苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.19-5.21#13(延边大学)三年级

5.19 一维运动的体系，定义从m 态跃迁到n 态相应的振子强度为2 2nm nm m f n x m ω=，m 为粒子质量，求证: 1f nm n =∑ 解： 用海森伯图象（表象）：这种情形下我们将算符看作时间的函数而将本征函数看作与时间无关，根据第五章的原理，任何算符ˆ A 的海氏表象都满足方程式： ˆ1ˆˆ[,]dA A H dt i = ， 将A x '=， 22^()2V x H x μ=-+∂∂代入得： ˆˆ2dx P dt mi m x ∂''==∂ （4） 为了求得题给的和数，首先假设本征矢,m n 是薛氏表象，即 //,iE t iE t m n m m e n n e --''== （5） ,m n ''是海氏表象本征矢，都与时间无关。现在求偶极矩阵元m x m 的时间导数： )/(''|| ()||()||i t E d i E m n n x m E E n x m e n m dt i E E n x m n m --<>=-<>=-<> （6） 代入题给的求和式： 22()n n m S m x n n m x f E E n m nm n m d m d m x n n m x m x n n m x i dt i dt ==-∑=-∑∑ （7） 按海氏表象定义 d n x m n x m dt '''= m n d m x m x dt '''= 式中，文字加撇的都代表海氏表象，无撇的代表薛氏表象，代入（7）式 { }n m m S m x n n x m m x n n x m i i ''''''=-∑

又根据（4）： 11()1S m x p p x m f nm i i i n ''''''==-=-=∑ 原证得证 最后一式利用了： [,]P x i ''= 5.20 一个处在第一激发态（2p ）的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁的概率相等？ 解：自发辐射和受激辐射之比为()1w mk mk kT mk mk A e B I w =-，氢原子在2 p 态向1s 态之间 自发辐射和受激跃迁。当它们的概率相等时，有()11,w mk mk kT mk mk A e B I w =-=有 2110.2kT w ev =≈，于是51.76*10T K =。此即自发辐射和受激辐射概率相等时，空腔的温度。 5.21 一个粒子在吸引势()2 3 2g V r r =-中运动，试用氢原子的波函数作为尝试波函数，求基 态能量。 解： 取试探波函数（已归一化）为为变分参数。则有 ()13 22,,0,8r r e λλψλλλπ- ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ 222233222222283422d T d m dr m g V g r dr ψλτπψλ-+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-Γ ⎪⎝⎭⎰⎰ 322 223822g H T V m λλ⎛⎫=+=-Γ ⎪⎝⎭ 由变分原理知：222424339024H m m g g δπλδλ⎛⎫⎛⎫=⇒=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭，代入到H 中有 283 627128g m H π=-

量子力学习题解答-第5章

第五章 全同粒子 本章主要内容概要 1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。 如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为 12121212() ()()()()()(,,...,,...,)()()() i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ= 交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。 对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P q q q q C P q q q αφφφΦ=∑ 其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P ∑表示对所有可能排列求和，由于波色 子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1 ，全不相等时为1/ 2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为 121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=± 这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。 3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2 2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当

苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.10-5.12#5(延边大学)三年级

5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,(,) x y a V x y <⎧=⎨ ∞⎩（0<） （其他） 中运动，现加上微扰 ,H (0,)xy x y a λ=≤≤，求基态能量和第一激发态的能量修正值。 解：粒子的哈密顿量是 ,0H H H =+ 2 22 022,()(,) 2 (0,) H V x y m x y H xy x y a λ∂∂=-++∂∂=≤≤ 0H 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是： 12122 2022(,) 12122 120(,) () 22 sin()sin() ,0 n n n n E n n n n ma n n x y x y a a a a πππψ= +⎧<⎪⎨⎪⎩（） （） （,=1,2,3） （0<）＝（其他） 对于基态，即2 2 0012(1,1) (1,1) 22,sin()sin()n n E x y ma a a a πππψ= （） （） =1,=1,＝， 记2 2 00000 (1,1) 0(1,1) 22,sin()sin()E E x y ma a a a πππψψ== =（） （）（）（） ＝此时，非简并。 故： (1),(0),(0) 0000020 2 ||2[sin()sin()]4 a a E H H xy x y dxdy a a a a ψψππ λλ==<> == ⎰⎰ 即基态能量的一级修正为2 4 a λ。 对于第一激发态，即 220012(1,2) (1,2) 222 0012(2,1)(2,1)2 522sin()sin()2522sin()sin()2n n E x y ma a a a n n E x y ma a a a πππψπππψ==（） （） （）（） =1,=2，，＝或=2,=1，，＝， 此时二重简并。

量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为 00 ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即 2004ze U r r πε=-（） 在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为 ˆˆ()H T U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区 域， 2 00()()4Ze U r U r r πε=-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞ -=r Edr e r U )( ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ⎰⎰∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ⎰⎰ ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82203 020022 203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆH H H '=+

得 ⎪⎩ ⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以 认为(0)ˆˆH H '<<，视为一种微扰。 对于基态r a Z e a Z 02/1303) 0(1)(-=πψ，2422(0)12 22e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞ '=τψψd H E )0(1 * )0(1)1(1ˆ ⎰ -+--=0 00 2 2022203 023 3 4]4)3(8[r r a Z dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故10 2≈-r a Z e 。 ∴ ⎰ ⎰ +--=0 3 02 40 4 2 20 3 3002 4)1(1 )3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε 20 30024505 030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2 3002410r a e Z πε= 2 03 2452r a e Z s = 422222(1)(0)201 1 032 000 22//1525s s Z e Z e Z r E E r a a a == # 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε 中，如果电场较 小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取ε 的方向为Z 轴建立坐标系，则转子的能量包括转动动能和电偶极矩在电场中的势能，哈密顿算符为 θεεcos ˆ212ˆˆ22D L I D I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H -='=，则 H H H '+=ˆˆˆ)0(

周世勋量子力学教案5

§5.1 非简并定态微扰理论 如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的影响逐级考虑进去。 代入方程 同次幂相等 （ （1） (2) (3) ①求能量的一级修正 (2)式左乘并对整个空间积分 能量的一级修正等于在态中的平均值。 ②求对波函数一级修正 将 仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含 将上时代入式 (2) 以左乘上式，对整个空间积分 令

上式化简为： ③求能量二级修正 把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分 左边为零 讨论：（1）微扰论成立的条件： (a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求 (b) <<1 （2）可以证明 例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。【解】 是的偶函数 利用递推公式 波函数的一级修正 利用能级移动可以直接准确求出 令： §5.2 简并情况下的微扰理论 假设是简并的

k 度简并已正交归一化 代入上式 以左乘上式两边，对整个空间积分 左边 右边 不全为零解的条件是 由久期方程可得到能量一级修正的k个根 由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。 要确定，需求出，将代入上式，可求出。 §5.3 氢原子的一级斯塔克效应 斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。 ( 是均匀的，沿z轴) 下面研究n=2时的能级分裂现象： n=2,有4个简并度

求 只有两个态角量子数差, 时, 矩阵元才不为零 和不为零 为实的厄密算符 带入久期方程 没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除 ①当时 ②当时 ③当时，和为不同时为零的常数。 §5.4 变分法 应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。 对任意一个归一波函数 能量平均值 即 用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于。

量子力学第五章 对称性及守恒定律

第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[2 2 2 H H A A dt d -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ˆ 不显含t ，有 ]ˆ ,ˆ[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]ˆ ,ˆ[1H A i 的平均值，则有： ]ˆ ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[12 22H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导 数的平均值等于零。 （证明）设A ˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有： ⎰⎰⎰=τ τψψd A A ˆ* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） （１） 今ψ代表H ˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =ˆ （E 为本征值） （２） 又因为H ˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~ (ˆ* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i d H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= τψψτψψd A i E d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ∀⋅-=⋅ μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅ ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p r dt d ⋅=⋅ )],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=⋅μ )],,()ˆˆˆ(21 ,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],ˆˆˆˆˆˆ[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ∂∂ = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μ μ ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p x z y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[212 22V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３）

第五章 态和力学量表象

115 第五章 态与力学量表象 引言：在前述各章节的讨论中，描述微观粒子运动状态的波函数，一般取坐标r 的函数(,)t ψr ，而力学量则以作用于r 为变量的波函数(,)t ψr 上的算符来表示，这给出了波函数和力学量的一种具体表示形式，在量子力学中这种表述态和力学量的方式并非唯一。实事上，波函数可以选用其它力学量作为变量的函数，力学量相应地表示为作用于该波函数的算符形式，从而构成波函数及力学量的不同表述形式。每一种具体表述形式称为态与力学量的一个表象。 §5.1、态的表象 5.1.1 态的动量表象（即以动量为变量表示波函数） 表象的定义：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 以前采用的是坐标表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数(,)t ψr 描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量算符ˆP 本征函数： /3/2 1 ()(2) i e ψπ∙=p r p r 按叠加原理，有 3(,)(,)()t c t d ψψ=⎰p r p r p /33/21 (,)(2) i c t e d π∙= ⎰p r p p （1） 而 /3 3/21(,)(,)(2) i c t t e d ψπ-∙= ⎰p r p r r （2） (,)t ψr 与(,)c t p 互为付里叶变换。 从数学上看：知道其中之一必可求出另一个，即两者在数学上是等价的。 设(,)t ψr 已归一化，因

116 33333333331(,)*(,)[(,)()]*[(,)()](,)*(,)()*()(,)*(,)()(,)*(,)t t d c t d c t d d c t c t d d d c t c t d d c t c t d ψψψψδ''=ψψ''=''='''=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰p p p p r r r p r p p r p r p p p p r r r p p p p p p p p p 所以2 3(,)1c t d =⎰p p 也是归一化的 从物理意义上看：两者的绝对值平方均表示概率，即： 2 (,) t ψr 表示粒子处于r 处的概率密度 2 (,) c t p 表示粒子动量为p 的概率密度 所以，两者从不同的侧面给出了粒子的信息（不同力学量r 和p 的信息），因此(,)t ψr 和(,)c t p 描述同一状态，前者称当坐标表象中的波函数，后为动量表象中的波函数。 若(,)t ψr 描写的态是具有确定动量'p 的自由粒子态，即： '2 /'''(,)(),2iE t t e E ψμ-ψ== p p p p r r 则相应动量表象中的波函数： 3/3/3 /(,)()*(,)()*()()*()() iE t iE t iE t c t t d e d e d e ψψψψψψδ'''-'-'-==='=-⎰⎰⎰p p p p p p p p p r r r r r r r r r p p 所以，在动量表象中，具有确定动量'p 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ- 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。同样坐标本征函数在自身表象中也是一个δ函数。即