历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
高中竞赛必备资料
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
一、选择题
1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）
（A ）B = 0时，倾斜角是
2
π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )
（B ）A = 0时，倾斜角是2
π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B
A )
（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –
A B
) 2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）
（A ）P ? Q （B ）P = Q （C ）P ? Q （D ）以上都不对
4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）
（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个
5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1? P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 ? P （B ）0 ? P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 ? P ，2 ? P 二、填空题
6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是 。
7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
8、椭圆的两个焦点是F 1 ( 3 , – 6 )，F 2 ( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y ，这个椭圆的离心率是 。
9、设[ x ]表示不超过x 的最大整数，则… ] +
[ … + [ ]的值是 。
答案：一、 A 、B 、A 、B 、A ；二、6、1；7、[ –
；8
9、– 1989 2。 简解：5、若x ，y ∈P ，则x + y ∈P ? 若x + y ? P ，则x ? P 或y ? P 。显然1 ? P ，若2 ∈P ，则4，6，8，…，2 n ∈P ，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1 ? P ，则存在– 2 n ∈P ，且2 m + 1 ∈P ，则– 2 ∈P ，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P ，…，1 ∈P ，矛盾，故2 ? P 。
7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x 2
< t 2
+ 14，即x 2
<2144t +，又x 2
≥ 9，只需2144
t +≤ 9，t 2 ≤ 22即
可；若– 3 < x ≤ – 2或2 ≤ x < 3，则2 x 2 < t 2 – 4，即x 2 <242t -，又4 ≤ x 2
< 9，只需242
t -≤ 4，
t 2 ≤ 12即可；若– 2 < x ≤ – 1或1 ≤ x < 2，则t 2 > 12，只需t 2 ≤ 12即可；若– 1 < x < 1，则2 x 2 >
14 – t 2
，即x 2
> 7 –22t ，又x 2
< 1，只需7 –22
t ≥ 1，t 2 ≤ 12即可；∴ –
t ≤
8、进行坐标变换： 4.51.5x m y n =+??
=-?，cos sin sin cos m p q n p q θθθθ=+??=-?
，tan θ = 3，则F 1 ( 3 , – 6 ) →(
，
0 )，F 2 ( 6 , 3 ) →
，0 )，4 x = 3 y →p – 3 q
= 0，c =12| F 1 F 2
，a
三、解答题
10、数列{ arccot 2 n 2 }的前n 项的和为S n ，证明，对一切n ∈N ，都有S n <4
π
。 解：∵ arccot 2 n 2 = arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 )
∴ S n = arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n 2 = ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) +
… + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) < arccot 1 =
4
π。 11、用4块腰长为a ，上、下底边长是a ，2 a 的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围成一个六面体，求六面体的体积。
解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S 1 =
a 2
，S 2 = 4 a 2
，高EF
，体积V =13h ( S 1 + S 2
) =13
× ( a 2 + 4 a 2 + 2 a 2
a 3
。
12、正方形PQRS 的顶点Q ，R ，S 分别在边长为2的正△ABC 的边AB ，BC ，CA 上滑动，求P 点的轨迹方程。
第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1991年4月14日 上午8：30—10：30
B 1
D 1
C 1
A 1第11题图
A
B
C D
E
F
G
一、选择题
1、映射f ：（a ，b ，c ，d ）→（1，2，3），如果10 < f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) < 20，这样的映射共有（ ）
（A ）23个 （B ）24个 （C ）25个 （D ）26个
2、曲线216x k -–2y k
= 1与曲线9 x 2 + 25 y 2 = 225的焦距相等的充要条件是（ ）
（A ）k < 16且k ≠ 0 （B ）k > 0且k ≠ 16 （C ）0 < k < 16 （D ）k < 0或k > 16 3、定义在全体实数上的函数f ( x )，满足：（1）f ( x 3 ) = f 3 ( x )；（2）对任意x 1 ≠ x 2，都有f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 )。则f ( – 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 )的值是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）– 1 （D ）不能确定
4、正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是（ ）
（A ）1 （B ） （C ）1或 （D ）5、M = { ( x ，y ) | x 3 + 8 y 3 + 6 x y ≥ 1，x ，y ∈R }，P = { ( x ，y ) | x 2 + y 2 ≤ t 2，t ∈R ，t ≠ 0 }，若P ∩M =?，则有（ ）
（A ）– 1 < t < 1 （B ）t （C ）t （D ）–12< t <12
6、函数f ( x ) = arcsin ( cos x ) + arccos ( sin x )的值域是（ ） （A ）[ –
2π，32π] （B ）[ 0，32π] （C ）[ –2
π
，π ] （D ）[ 0，π ]
7、把函数y = f – 1 ( x )的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90?，得到（ ） （A ）y = – f ( x ) （B ）y = f ( – x ) （C ）y = – f – 1 ( x ) （D ）y = – f ( – x ) 8、过A ( p ，0 )作抛物线y 2 + p 2 = 2 p x ( p > 0 )的与对称轴垂直的弦P 1P 2，O 为原点，则∠P 1OP 2是（ ）
（A ）直角 （B ）钝角 （C ）锐角 （D ）不确定 9、设f ( x ) = arccos x + 2 arcsin x ，则f – 1 ( x )是（ ） （A ）sin x ，x ∈[ –
2π，2π] （B ）– sin x ，x ∈[ –2π，2
π
] （C ）cos x ，x ∈[ 0，π ] （D ）– cos x ，x ∈[ 0，π ]
10、设x ，y ∈R ，| x | < 1，| y | < 1，x y ≠ 0，记[ x ]表示不超过实数x 的最大整数， 则不等式[ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ]的解集区域图是（ ）
（D ）
（C ）（B ）（A ）
二、填空题
11
、集合M = { ( x ，y ) | | x – 6 | + | y + 12 | = | x – 12 | + 2 | y + 3 | = 15，x ，y ∈R }中的元素的个数是 。
12、已知台体上、下底的面积分别为S 1，S 2，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为
。 13、方程x 3 –
3
2
2 +
3 = 0的全部负根之和是 。
14、以实数x ，y 为自变量的函数u ( x ，y ) = x 2 +
281x – 2 x y +18x
的最小值是 。
15、过圆x 2 + y 2 + 2 x – 6 y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 – 6 x – 6 y + 17 = 0的交点的直线方程可表示为 。
16、{ x }表示不小于实数x 的最小整数，则{ log 2 1 } + { log 2 2 }+ … + { log 2 1991 } = 。 17、函数y =
arcsin arccos x
x
的值域是 。
18、f ( x )对任意x 1，x 2∈R 都有f ( x 1 – x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 )，则它的奇偶性是 。 19、定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数f ( n )，对任意m ，n ∈N*，当m ，n 的最大公约数是1时，f ( m n ) = f ( m ) × f ( n )。若f ( 180 ) = 180，则f ( 1991 ) = 。 20、正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这
3个顶点与前一个顶点是相邻的。在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平均值。设M ，m 分别是这20个实数中最大的和最小的，则M – m 的取值范围是
。 答案：一、C 、A 、A 、C 、 、D 、B 、A 、D 、C ；
二、11、4；1213、–
2
14、6；15、a ( x – 2 ) + b ( y – 3 ) = 0，（a ，b ∈R ）；16、9954；17、[ –
1
2
，+ ∞ )；18、偶；19、1991；20、 。 简解：1、（2，2，2，2）1个，（1，2，2，3）12个，（1，2，3，3）12个；6、f ( x ) =
222022x x x π
πππ
+???
????
-?
?
?
??
??-?，[,]2
[,0]
2[0,]2[,]2
3[,]
2x x x x x ππππππππ∈--∈-∈∈∈； 7、y = f – 1 ( x )y x
????→= y = f ( x ) y ????→轴
y = f ( – x )；
9、arccos x + arcsin x =
2
π
，f ( x ) = π – arccos x ，x = – cos y ； 10、x + y < – 1，1010x y -<
-<
01x y <
；
11、（– 1，– 4），（3，0），（7，2），（17，– 8）；
12、V 台体 =1
3
h
1 )，
12h h
，
14、u ( x ，y ) + 2 = ( x – y ) 2 + (
9
x
2，可以看作是平面上点A( x ，9
x )、B( y
间距离
的平方，即如图两曲线y =9
x
、x 2 + y 2 = 2间的最短
距离，易知当x = 3，y = 1时，AB 最短，故u ( x ，y ) ≥ 8 – 2 = 6；
16、0 + 1 + 2 × 2 + 3 × 2 2 + 4 × 2 3 +… + 10 × 2 9 + 11 × 67； 17、x ∈[ – 1，1 )，arcsin x 单调递增，arccos x 单调递减； 三、解答题：
21、直角△ABC 中AB = AC 。用C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且椭圆过A ，B 点。求这个椭圆的离心率。
第4
题图
第21题图
解：设AC = x ，则2 a = AD + AC = BD + BC = 1
+
2x ，AD
=2
x ，2 c = CD
=2，e
=
c a
22、已知正四面体ABCD ，考察下列集合。X ：与四面体四个顶点的距离都相等的平面；Y ：X 中任意两平面的交线；Z ：Y 中任意两直线的交点；求：Z 中包含的元素数目，并指出Z 中各元素在空间的位置（也可画出Z 中各元素的空间位置并加以说明）。
解：X ：图中四个三角形所在的四个平面；
Y ：A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1C 1，B 1D 1；Z 中含有四个元素：A 1、B 1、C 1、D 1。
第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1992年4月12日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、从动点P ( x ，3 ) 向圆 ( x + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1引切线，则切线长度的最小值是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）
（D ）6
2、当x ∈R 时，函数y = x 6
– x 3
2
+
1
2
的值是（ ） （A ）正实数 （B ）负实数 （C ）正实数或零 （D ）任意实数 3、已知n ∈N ，有以下四个式子：6 n + 3 n ；n 3 + ( n + 1 ) 3 + ( n + 2 ) 3；11 n – 2 n ；2 4 n + 2 +5 2 n + 1其中能被9整除的式子有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4、设集合A = { x
|
x – 1 }，B = { x | arcsin 2x + 2 arccos 2
x
< π }，那么（ ）
（A ）A = B （B ）A ? B （C ）B ? A （D ）A ∩B =Φ
5、等比数列{ a n }的首项a 1 = log a x ，公比q = arctan 15+ arctan 2
3，那么这个数列是（ ）
（A ）递增数列 （B ）递减数列 （C ）递增数列或者递减数列 （D ）以上都不对 6、A = { x | x =
21n +22n +23n + (22)
n
，n ∈N }，B = { x | 4 x 2 – 24 x + 35 < 0 }，则A ∩B 是（ ） （A ）( 2，3 ] （B ）{ 2，3 } （C ）{ 3 } （D ）空集
第22题图
A B
B 11
7、方程2 cos 3
x
= 10 x + 10 – x + 1的实根的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
8、椭圆曲线上两个点的连接线段称为椭圆的弦，经过椭圆29x +24y = 1内的点A 0）有
k 条长度成等差数列的弦，公差d ∈[1
2
，1 ]，则k 值的集合是（ ）
（A ）{ 3，4，5，6，7 } （B ）{ 3，4，5，6 } （C ）{ 4，5，6，7 } （D ）{ 5，6，7 } 9、若x ∈R ，则数列{ cos [ x +
2
7
( n – 1 ) π ] }的前7项和（ ） （A ）比1大 （B ）比1小 （C ）等于1 （D ）是零 10、动圆M 过定点A 且和定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）圆或椭圆 （C ）圆或椭圆或双曲线 （D ）圆或椭圆或双曲线或直线 二、填空题
11、长方体的棱长的和是l ，则该长方体的体积的最大值是 。
12、椭圆2x m +22y = 1和26
x +2
3y = 1有相同的离心率，则m 的值是 。
13、若a
(23) log a | x – 1 | <9
4的解是 。
14、从点A ( – 1，1
2)向圆4 x 2 + 4 y 2 – 8 x + 4 y – 11 = 0作切线，则过切点的弦的方程是 。
15、方程3 x + 4 x + 5 x = 6 x 的解是 。 16、数列{
1
(1)(2)
n n n ++}的前n 项的和是 。
17、函数y = cos x + sin x cos x 的值域是 。
18、m 是任意实数，θ是给定的实数，由关于x 和y 的方程组22
3(1)cos 1(12)sin x m y m θθ
?=++?
?=+-??确定的动点
( x ，y )在平面直角坐标系内对应的图形是 。
19、[ x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[ 3 x – 45
6
] – 2 x – 1 = 0的解是 。
20、平面上有A ，B 两个定点，在平面上随意放置k 个点C i （i = 1，2，…，k ），能从中找到两个点C k ，C p ，使不等式| sin ∠AC k B – sin ∠AC p B | ≤1
1991
成立，那么k 的最小值是 。 答案：一、C 、A 、D 、B 、C 、C 、A 、C 、D 、D ；
二、11、3216
l ；12、4或1；13、– 1 < x < 3；14、4 x – 2 y + 3 = 0；15、x = 3；16、14–1
2(1)(2)n n ++；
17、[
；18、直线；19、x = 6或x =132；20、 。
简解：2、通过求导，当x
y 取最小值1
2– 3 × 4 –4
3> 0；
4、A = { x | 1 ≤ x ≤ 2 }，B = { x | 0 < x ≤ 2 }；7、3 cos 3x
≤ 3，10 x + 10 – x + 1 ≥ 3；8、3 ≤ L ≤ 6；
9、S 7 = cos x + cos ( x +27π) + cos ( x +127π) + cos ( x +47π) + cos ( x +107π) + cos ( x +67
π) + cos ( x +
87π) = cos x + 2 cos ( x + π ) cos 57π+ 2 cos ( x + π ) cos 37π+ 2 cos ( x + π ) cos 7
π
= cos x [ 1 – 2 ( cos
7π+ cos 37π+ cos 57π) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4 cos 7
πcos 27πcos 47π+ 1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4
8sin
72sin
7
π
π
+
1 ) ] = cos x [ 1 –
2 ×12] = 0；13、(23) log a | x – 1 | <9
4? log a | x – 1 | > – 2 ? | x – 1 | < 2；
17、设t = sin x ，则y 2 = ( 1 – t 2 ) ( 1 + t ) 2 =13( 3 – 3 t ) ( 1 + t ) 3 ≤13[333(1)4t t -++] 4 =27
16；
18、2 tan θ x + y – 6 tan θ – 3 cos θ – 1 = 0或x = 3；
19、2 x + 1 ≤ 3 x – 456< 2 x + 2 ?353≤ 2 x (∈ Z ) <41
3
，2 x = 12或2 x = 13；
三、解答题
21、已知k ∈R ，关于x ，y 的方程y 4 + 4 y 3 + ( 2 x + 2 k x – k x 2 ) y 2 + 8 x y + ( 4 k x 2 – 2 k x 3 ) = 0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系。
解：原方程可化为( y 2 + 2 x ) ( – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y ) = 0，则固定抛物线为y 2 = – 2 x ， 由 – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y = 0，得 – k ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 – k ，
当k > 4时，方程可化为2(1)4k x k --–2
(2)4
y k +-= 1，为焦点在x 轴上的双曲线；
当k = 4时，方程可化为4 x – y – 6 = 0或4 x + y – 2 = 0，为两条相交直线；
当0 < k < 4时，方程可化为2(2)4y k
+-–2
(1)4k x k --= 1，为焦点在y 轴上的双曲线；
当k = 0时，方程可化为y = 0或y = – 4，为两条平行于y 轴的直线；
当 – 1 < k < 0时，方程可化为2(1)4k x k --+2
(2)4y k
+-= 1，为焦点在x 轴上的椭圆；
当k = – 1时，方程可化为 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5，为两条相交直线；
当k < – 1时，方程可化为2(1)4k x k --+2
(2)4y k +-= 1，为焦点在y 轴上的椭圆。
22、设0 < x <2π
，求证：（1）sin x > x –3
4x ；（2）sin x ≥ x –3
6
x 。
解：
第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1993年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、已知正方体、等边圆柱、球的表面积都是S ，体积依次是V 1，V 2，V 3，则（ ） （A ）V 1 < V 2 < V 3 （B ）V 3 < V 2 < V 1 （C ）V 3 < V 1 < V 2 （D ）V 2 < V 1 < V 3
2、设命题甲：“a 1 + a 2 + … + a n > A ”，命题乙：“a 1，a 2，…，a n 中至少有一个大于A n
”，则命题甲是命题乙的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3、函数y = 2
2|1|1||
x x -+的图象大致是（ ）
（A ）（B ）（C ）（D ）
4、函数y = A sin ( ω x + φ ) ( A > 0，ω > 0，x ∈R )为偶函数的充要条件是（ ） （A ）φ = 2 k π （B ）φ = k π （C ）φ =2k π （D ）φ = k π +2
π
（k ∈Z ） 5、设 a = tan ( arccot
910)，b = arcsin 35+ arcsin 45，c = arccos ( – cos 275
π
)，则（ ） （A ）a < b < c （B ）b < a < c （C ）a < c < b （D ）c < b < a
6、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有（ ） （A ）50种 （B ）100种 （C ）1275种 （D ）2500种
7、过抛物线y 2 = x 的焦点F 的直线l 的倾斜角θ ≥4
π
，l 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则 | FA | 的取值范围是（ ）
（A ）(14， （B ）(14，1 ] （C ）[14，+ ∞ ) （D ）[1
2，+ ∞ )
8、已知△ABC 中，ABC 是（ ）
（A ）直角不等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰不等边三角形 （D ）等边三角形 9、函数y = cos x – cos 3 x 的最大值是（ ）
（A （B ）2 （C （D 10、和
… ）
（A ）1997 （B ）1998 （C ）1999 （D ）2000 二、填空题
11、已知α，β都是锐角，tan
2αβ-= –13，cos α – cos βsin α – sin β = 。
12、已知三棱锥P – ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，又知六条棱长的和为定值l ，则此三棱锥的体积的最大值是 。
13、已知方程sin 4 x + cos 4 x – sin 2 x + k = 0有解，则k 的取值范围是 。 14、在数集序列{ 1 }，{ 2，3 }，{ 4，5，6 }，{ 7，8，9，10 }，… 中第100个数集内所有数的和等于 。
15、F 1，F 2是双曲线x 2 – 3 y 2 = 3的左、右焦点，A ，B 两点在右支上，且与F 2在同一直线上，则| F 1A | + | F 1B |的最小值是 。
16、在平面直角坐标系内，从点P ( 5，2 )发出的光线射向x 轴，经x 轴反射后射到直线y = x 上，被反射后恰好经过点Q ( 10，9 )，光线由P 到Q 走过的路程的长等于 。
17、已知A ( 4，0 )，B ( 2，2 )是椭圆225x +2
9
y = 1内的点，M 是椭圆上的动点，则| MA | + | MB |
的最小值是 ，最大值是 。
18、M = { ( x ，y ) | x = sin θ – cos θ，y = sin θ cos θ，θ∈R }，N = { ( x ，y ) | x + y = 0，x ，y ∈R }，则M ∩N = 。
19、F 1 ( – 1，1 )，F 2 ( – 1，– 3 )是椭圆的两个焦点，直线x + y = 1与椭圆有且仅有一个交点，则椭圆的中心到准线的距离是 。
20、已知x ≥ 1，y ≥ 1，且log 2
a x + log 2
a y = log a ( a x 2 ) + log a ( a y 2 )（其中a > 0，a ≠ 1）， 则log a ( x y )的取值范围是 。
答案：一、A、B、C、D、C、C、A、D、D、B；
二、11、
12
3；13、–3
2
≤k ≤1
2
；14、500050；15
；16、
17、
10 –
18、{ ( 1
1 ) }；19、
4
13
；20、[ 2 –
。
第15题图
简解：1、V 1
V 2
V 3
6、S = 1 + 2 + …+ 50 = 1275；8
、
1
tan A
+
1
tan B
+
1
tan C
9、y = cos x– cos 3 x = 4 cos x ( 1 – cos 2x )，
y2 = 16 cos 2 x ( 1 – cos 2x ) 2 = 8 [ 2 cos 2 x ( 1 – cos 2x ) ( 1 – cos 2x ) ]
≤ 8 (
222
2cos(1cos)(1cos)
3
x x x
+
-+-
) 3 =
64
27
，y
≤
8
9
10、
) <
n
k=
，
取n = 1000000，m = 1，得 1 ) < S，取n = 1000000，m = 2，得S < 1 + 2 ( 100 – 1 ) < 1999；
11、tan ( α–β ) = –3
4
，cos ( α–β ) =
4
5
，x = cos α– cos β > 0，α < β，y = sin α– sin β < 0，
x 2 + y 2 = 2 – 2 cos ( α – β ) =25，y 2 =15，y =
12、x + y + z
l ，V =1
3
x y z ；14、( 4951 ~ 5050 )；
15、| F 1A | = 2 a + | F 2A |，| F 1B | = 2 a + | F 2B |，| F 1A | + | F 1B | = 4 a + | AB |；
17、10 – | BF | = 10 – ( | M 1F | – | M 1B | ) ≤ | MA | + | MB | ≤ 10 + ( | M 2B | – | M 2F | ) = 10 + | BF |； 20、( log a x – 1 ) 2 + ( log a y – 1 ) 2 = 4，log a x = 2 cos θ + 1，log a y = 2 sin θ + 1； 三、解答题
21、设f ( x ) = a sin x + b cos x + c 的图像经过点A ( 0，5 )，B (2π，5 )，当0 ≤ x ≤2
π
时，| f ( x ) | ≤ 10，求c 的取值范围。 解：由f ( 0 ) = f (2
π
) = 5，得a = b = 5 – c ，因而f ( x ) = a ( sin x + cos x ) + c ， 又0 ≤ x ≤
2
π
，∴ 1 ≤ sin x + cos x
a > 0时，5 ≤ f ( x )
+ c ； 当a = 0时，f ( x ) = c = 5；当a < 0
+ c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10， ∴
+ c | ≤ 10，∴ – 10 ≤
1 ) c ≤ 10，∴ –
c ≤
。
22、用数学归纳法证明：对任意的n ∈N ，n ≥ 2，都存在n 个互不相等的自然数组成的集合M ，使得对任意的a ∈M 和b ∈M ，| a – b | 都可以整除a + b 。
第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1994年4月20日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、一个直角三角形的三条边的长度都是整数，且组成一个等差数列，则其中的一条边的长度可能是（ ）
（A ）13 （B ）41 （C ）81 （D ）91
2、如图1，以正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的四个顶点A ，B 1，C ，D 1为顶点构成四面体，此四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
（A
（B
（C
（D
3、半球形的碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30?，则碗内溢出的水的体积是碗的容积的（ ）
（A ）38 （B ）1112 （C ）516 （D ）11
16
4、方程2 sin
x = cos x 在[ 0，2 π ]上的根的个数是（ ）
（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0
D 1
C 1
A 1D
C B
A
B 1
图1
5、动点P 到
的距离等于到l ：x + y
P 的轨迹是（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线的一支 （C ）等轴双曲线 （D ）实虚轴不等的双曲线 6、在f 1 ( x ) = log 2
x ) + log
f 2 ( x ) = sec 2 x + csc 2 x ，f 3 ( x ) = 2 tan
x 中，
奇函数的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
7、设a ，b ，c 依次是方程log 12
x + 2 = x ，log 2 ( x
2 x + x – 2 = 0的根，则a ，b ，c
的大小关系是（ ）
（A ）b < c < a （B ）a < c < b （C ）b < a < c （D ）c < b < a 8、函数f 1 ( x ) = | sin
2x | | cos 2x |，f 2 ( x ) = sin 23x + cos 23
x
，f 3 ( x ) = arcos ( sin x )的最小正周期分别是T 1，T 2，T 3，则（ ）
（A ）T 1 < T 2 < T 3 （B ）T 3 < T 2 < T 1 （C ）T 1 < T 3 < T 2 （D ）T 3 < T 1 < T 2 9、在不等边三角形ABC 中，sin A : sin B : sin C = x : y : z ， 则( x – y ) cot
C 2+ ( y – z ) cot A 2+ ( z – x ) cot B
2
=（ ）
（A ）1 （B ）0 （C ）– 1 （D ）– 3
10、如图2，圆台的上底半径为5 cm ，下底半径为10 cm ，母线AB 长20 cm （其中B 点在下底圆周上），从母线AB 的中点M 拉一条绳子，围绕圆台的侧面转到B 点，当所用最短的时候，绳子上的点和圆台的上底圆周上的点之间的最短距离是（ ）
（A ）6 cm （B ）5 cm （C ）4 cm （D ）3 cm 二、填空题
11、自点M ( 3，2 ) 引圆x 2 + y 2 = 3的两条切线，切点分别为A 与B ，则以A 、B 为端点的劣弧的长度等于 。
12、方程sin ( π cos x ) = cos ( π sin x )的解集是 。
13、已知a > b > c > 1，且a ，b ，c 依次成等比数列，则x = log a b ，y = log b c ，z = log c a 这三个数的大小关系（用小于号连接）是 。 14、函数f ( x ) = 9 sin x + 16 csc x 在区间( 0，
2
π
]上的最小值是 。 15、前n 个正整数中，所有不连续的相异两数之积的和是 。
16、设a ，c 是正数常数，对于每个实数t ，P ( x t ，y t ) 是抛物线y = a x 2 + t x + c 的顶点坐标，则动点P 的轨迹方程是 。
M 图2
B A
17、在三棱锥S – ABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，SA = SB = 4，SC = 6，在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球，则此球的半径为 。
18、数列{ a n }中，a 1 = a ( 0 < a < 1 )，a n + 1
（n ∈N*），则{ a n }的一个通项公式
是a n = 。
19、设地球半径为R ，A 和B 两个城市都位于北纬30°，且分别位于东经120°与西经120°，则沿北纬30°线从A 到B 的最短距离减去沿地球表面从A 到B 的最短距离的差等于 。 20、已知无盖的圆柱形桶的容积是V ，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格比为3 : 2，则当圆桶造价最低时，桶底半径R = 。 答案：一、C 、B 、C 、B 、C 、A 、A 、C 、B 、C ；
二、11、( π – arccos
713) R ；12、{ x | x = 2 k π ±
arccos 4±4
π，k ∈Z }；13、z < y < x ；14、25；15、1
8
( n – 2 ) ( n – 1 ) n ( n + 1 )；16、y = – a
x 2 + c ；17
18、sin 1
arcsin 2n a -；19
23) π R
；20。 简解：10、将圆台沿AB 展开，如图所示建立直角坐标系，所求问题转化为求圆弧AC 上的点到直线MD 的最短距离，设P （20 cos θ，20 sin θ），直线MD 方程为4 x + 3 y – 120 = 0，则
d – 20 sin ( θ + φ ) ≥ 4；
14、f ( x ) = 9 sin x + 9 csc x + 7 csc x ≥ 2 · 9 + 7 · 1 = 25；
15、任意相异两数积的和：S 1 =12[ (1n i i =∑) 2 –21n i i =∑]，连续两数积的和：S 2 =12
1n i i -=∑+11
n i i -=∑；
三、解答题 21、已知函数y =
3sin cos 1sin 2cos a x x x x ++++的值域是( – ∞，– 1 ]∪[3
2
，+ ∞ )，试求实数a 的值。
解：y =3sin cos 1sin 2cos a x x x x
++++=
22222222
sin cos 6sin cos cos sin 222222sin cos 2sin cos 2cos 2sin 222222
x x x x x x a a x x x x x x +++-+++- =
2
222(1)cos 6cos sin (1)sin 22223cos 2cos sin sin 2222x x x x a a x x x x +++-+-=22(1)cot 6cot (1)223cot 2cot 1
22
x x
a a x x +++-+-，
令t = cot 2x ，则y =22
(1)t 6t (1)3t 2t 1
a a +++-+-，整理得( 3 y – a – 1 ) t 2
+ 2 ( y – 3 ) t – ( y + a – 1 ) = 0，从而，△= 4 ( y – 3 ) 2 + 4 ( 3 y – a – 1 ) ( y + a – 1 ) ≥ 0，即4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) ≥ 0，
由题设可知– 1和3
2
是方程4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) = 0的两根，所以
– 1 +
32= –2104
a -，所以a = 4。 22、（1）如图3，平面α ⊥圆柱M 1M 2的轴l ，与侧面的交线是圆T 1；平面β与α相交成锐角γ，（0 < γ <
2
π
）交线为AB ；β与圆柱的侧面的交线是椭圆T 2；以圆柱的过B 的一条母线l '为y 轴，以α内过B 的圆T 1的切线为x 轴建立直角坐标系x – B – y ；将圆柱的侧面沿l '切开，展开到平面x – B – y 内。证明：在平面x – B – y 内，椭圆T 2的展开图形是正弦曲线。
（2）将图4中的平面x – O – y 卷成圆筒，使y 轴成为它的一条母线且点O 与点P 两点重合，在圆筒的侧面上，正弦曲线y
x ( 0 ≤ x ≤ π )变为椭圆，求此椭圆的离心率。
第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1995年4月24日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、将棱长为a 的正四面体和棱长为a 的正八面体的一个面重合，得到的新多面体的面数是（ ） （A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
2、设常数a ≥ 0，则“| x | + | y | ≥ a ”是“x 2 + y 2 ≥ a 2”的（ ）
（A ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （B ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、方程3 ( sec 2 x + cot 2 x ) = 13在区间 ( – π，π ) 上的解的个数是（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 4、若点P( x ，y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y ，则点P 组成的图形是（ ） （A ）一个圆 （B ）四分之三个圆 （C ）半个圆 （D ）四分之一个圆 5、等差数列{ a n }的前n 项的和记为S n ，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，则当S n 的值最大时，n =（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11
6、设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b ，log b a ，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ ） （A ）2，log b a （B ）2，log a b a 2 （C ）log a b ，log b a （D ）log a b ，log a b a 2
7、适合方程arctan x + arccot y = π的点P ( x，y )的集合是某二次曲线C的一部分，则C的焦点坐标是（）
（A）( 2，2 ) 和( – 2，– 2 ) （B）( 2，– 2 ) 和( – 2，2 )
（C）和( （D）和(
8、如果关于x的方程x a有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是（）
（A）[1
4
，+ ∞ ) （B）[
1
2
，+ ∞ ) （C）[ 1，+ ∞ ) （D）[ 2，+ ∞ )
9> 1 – log 2x的解是（）
（A）x≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
10、与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（）
（A）2078 （B）2295 （C）2708 （D）3338
二、填空题
11、设曲线x2 + y2 + 2 x– 2 y = 0和x y + 2 = 0相交于A、B两点，则弦AB的中垂线的方程是。
12、如果正六棱锥侧面的顶角等于侧棱和锥底平面所成的角，那么这个角的值等于。
13、△AOB的顶点O在坐标原点，A，B两点在抛物线y2 = 8 x上，且△AOB的垂心恰与抛物线焦点重合，则△AOB的外接圆的方程是。
14、△ABC的三边之长a，b，c满足等式
2
c
a b
+
+
2
a
b c
+
= b，则长为b的边所对应的角B的大小
是。
15、由抛物线x2 = 2 y，x轴和直线x = 21所围成的平面区域（边界除外）中，横、纵坐标都是整数的点的个数是。
16、周长为10的直角三角形的面积的最大值是。
17、实数x，y满足x2– 3 x y + y2 = 2，则x2 + y2的值域是。
18、当函数y = 2 ( 2 – sin x cos 2 x ) +1
2
( cos 4 x– cos 2 x )的值最小时，x的值是。
19、位于北纬60°、东经17°的海面上A处的船要驶向位于同纬度、东经137°的B岛，设地球半径为R，则该船航行的最短距离是。
20、已知A，B是平面上的两个定点，以A为圆心，定长l为半径作圆，M是该圆上的一个动点，线段MB的中垂线m交MA（或它的延长线）于P点，那么P点的集合构成的图形是。
答案：一、A 、A 、C 、D 、C 、A 、B 、A 、B 、C ；
二、11、x + y = 0；12、
1 )；13、( x – 9 )
2 + y 2 = 81；14、60°；15、1420；
16、75 –
17、[45，+ ∞ )；18、2 k π –2π
（k ∈Z ）；19、R arccos 58；
20、当AB > l 时，以A 、B 为焦点，a =2l
的双曲线；当AB = l 时，A 点；
当AB < l 时，以A 、B 为焦点，a =2
l
的椭圆。
简解：3、tan x = ±
3
3或tan x
x = –65π，–32π，–3π，–6π，6π，3π，32π，65π；
5、a 10 + a 11 = 0，a 10 > 0；
6、log b a < log a b a 2 < 1 < log a b < 2；
7、x y = – 1，x > 0；
8、(41+
x +12
) 2
= a ；9、[ 2，+ ∞ ) ∪( 1，8 ) = ( 1，+ ∞)； 10、S = ( 12 + … + 99 ) + ( 10 + … 95 ) + ( 14 + … + 98 ) – ( 15 + … + 90 ) – ( 21 + … + 84 ) – ( 35 – 70 ) = 1665 + 945 + 728 – 630 = 2708； 12、b 2 = 2 a 2 – 2 a 2 cos θ，b
θcos 1-，cos θ =a
b
，cos θ
θcos 1-，cos 2 θ + 2 cos θ – 2 = 0，cos θ
1或
1（舍去）；
第4题图
a
b a
b
第12题图
17、令x =
22( a + b )，y =2
2( a – b )，则5 b 2 – a 2 = 4，x 2 + y 2 = a 2 + b 2 ≥ b 2 ≥45；
三、解答题
21、设点F 1是椭圆23
x +2
2y = 1的左焦点，弦AB 过该椭圆的右焦点F 2，试求△F 1AB 的面积的
最大值。
解：设AB ：x = k y + 1，则有( 2 k 2
+ 3 ) y 2
+ 4 k y – 4 = 0，
)
第21题图
S =
12
× 2 c × ( h 1 + h 2 ) = | y 1 – y 2 |， S 2 = ( y 1 – y 2 ) 2 = ( y 1 + y 2 ) 2 – 4 y 1 y 2
= ( –3242+k k ) 2
– 4 × ( –3242+k ) =9
1244848242+++k k k ，
则4 S 2 k 4 + ( 12 S 2 – 48 ) k 2 + ( 9 S 2 – 48 ) = 0，
k 2
=2
2
2S
2S 24144)12S 3(-±--，只需2S 24144-– ( 3 S 2 – 12 ) ≥ 0即可， 即9 S 4 – 48 S 2 ≤ 0，∴ 0 ≤ S 2 ≤
316，∴ S ≤3
34。
解法二：a F 1AB 的周长= ( | AF 1 | + | AF 2 | ) + ( | BF 1 | + | BF 2 | ) = 2 a + 2 a = 4 a 设三边分别为a 1，b 1，c 1，则由海伦公式得：
334。 当p – a 1 = p – b 1 = p – c 1即a 1 = b 1 = c 1=
334时，S 最大为3
3
4。 22、设P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 ) + μ ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )。已知当a = b = c > 0或a = b > 0，c = 0时，都有P ≥ 0。证明：当a ，b ，c 是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。 证明：∵ 当a = b = c > 0时，P = 3 a 4 ( λ + μ ) ≥ 0，∴ λ + μ ≥ 0， ∵ 当a = b > 0，c = 0时，P = a 4 ( 2 λ + μ ) ≥ 0，∴ 2 λ + μ ≥ 0，
若λ ≥ 0，则P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 – a 2 b 2 – b 2 c 2 – c 2 a 2 ) + ( λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
=
1
2
λ [ ( a 2 – b 2 ) 2 + ( b 2 – c 2 ) 2 + ( c 2 – a 2 ) 2 ] + ( λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 0， 若λ < 0，则P = λ ( a 4 + b 4 + c 4 – 2 a 2 b 2 – 2 b 2 c 2 – 2 c 2 a 2 ) + ( 2 λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )
= λ ( a + b + c ) ( a + b – c ) ( a – b + c ) ( a – b – c ) + ( 2 λ + μ ) ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 0， ∴ 当a ，b ，c 是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1996年4月21日 上午 8：30—10：30
一、选择题（每小题6分，共60分） 1、若函数y = | sin ( ω x +3π) – 1 |的最小正周期是2
π
，那么正数ω的值是（ ） （A ）8 （B ）4
（C ）2
（D ）1
2x – 1的解是（ ）
（A ）x > 2 （B ）x ≤ （C ）x > 2或x ≤ （D ）x > 1或x ≤ 3、如果sin α + cos α > tan α + cot α，那么角α的终边所在的象限是（ ） （A ）一或二 （B ）二或三 （C ）二或四 （D ）一或四
4、如果直线y = k x – 1和椭圆24
x +2
y a = 1仅有一个交点，则k 和a 的取值范围分别是（ ）
（A ）( –12，12) 和 ( 0，1 ] （B ）(–12，1
2) 和 ( 0，1 )
（C ）[–12，12] 和 [ 0，1 ] （D ）[ –12，1
2
] 和 ( 0，1 )
5、已知θ是第三象限的角，并且sin 4 θ – cos 4 θ =5
9，那么sin 2 θ的值是（ ）
（A ）
29
（B ）–
29 （C ）23 （D ）–2
3
6、直线l 过点( 0，2 )且与双曲线x 2 – y 2 = 6的右支有两个不同的交点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）
（A ）( 0，∪( π –π ) （B ）( 0，
（C ）( π –π ) （D ）( π –34π )
7、当a ，b < 0时，函数y =()()
x
x a x b --在区间 ( 0 , + ∞)上的最大值是（ ）
（A ）–2 （B ） 2 （C ）
（D 8、由平面M 外一点向M 引出的两条射线所夹的角是α ( 0 < α < π )，两条射线在M 内的射影所夹的角是β ( 0 < β < π )，那么α与β之间的大小关系是（ ）
（A ）α < β （B ）α = β （C ）α > β （D ）不能确定的 9、若
lg 2lg()
ax
a x +< 1的解为 ( 1，2 ]，则a 的取值范围是（ ）
（A ）( –
23，23) （B ）( 0，23) （C ）( 0，1
3
) （D ）( – 1，1 ) 10、给出下列四个不等式：①当x ∈R 时，sin x + cos x > –3
2
；
②对于正实数x ，y 及任意实数α，有x sin 2 α · y cos 2
α < x + y ；
③x 是非0实数，则| x +
1x
| ≥ 2；④当α，β∈( 0，2π
) 时，| sin α – sin β | ≤ | α – β |。
在以上不等式中不成立的有（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
二、填空题（每小题6分，共60分）
11、等比数列{ a n }的公比为q ，前n 项和S n = A ，则前3 n 项的和S 3 n = 。 12、适合等式arccos
1213– arccos ( –12
13
) = arcsin x 的x 的值是 。 13、已知不等式(12
) x 2
– a > 4 – x 的解集是( – 2，4 )，那么实数a 的值是 。
14、已知i 2 = – 1，在集合{ s | s = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i n ，n ∈ N }中包含的元素是 。 15、已知tan θ∈( 1，3 )，且tan ( π cot θ ) = cot ( π tan θ )，则sin 2 θ的值等于 。 16、不等式
21log (1)x -
的解是 。
17、函数y = arccos ( x – x 2 ) 的值域是 。
18、已知函数y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R ，则m 的取值范围是 。 19、在三棱锥P – ABC 中，∠APC =∠CPB =∠BPA =
2
π
，并且PA = PB = 3，PC = 4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 。 20、非负实数x ，y 满足x + 2 y ≤ 6，x 2 – 6 x + 5 ≤ y ，则f ( x ，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y 的最大值是 ，最小值是 。
答案：一、B 、C 、C 、A 、A 、D 、D 、D 、B 、A ；
二、11、( 1 + q n + q 2 n ) A ；12、不存在；13、8；14、0，1，1 + i ，i ；15、无解；16、( 1，2 )
∪( 3，+ ∞ )；17、[ arccos 14，π ]；18、( 0，4 ]；19、144
41
；20、– 5，– 20。
简解：20、( x ，y ) 满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图1中的阴影部分，又设f ( x ，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y = m ，即( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = m + 25此方程表示以点M( 3，4 )
为圆心，以M ，所以当m + 25最大（或最小）时，f ( x ，y )也同时达到最大（或最小），由图2可以看出，当圆M 与直线x + 2 y = 6相切时，m + 25最小为
2 = 5，m 最
小为– 20；当圆M 过点( 1，0 )，( 5，0 )时，m + 25
，m 最大为– 5。
2019-2020年二年级数学竞赛试卷
2019-2020年二年级数学竞赛试卷 1． 计算： ⑴5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=（ ） ⑵27+28+29+30+31+32+33=（ ）×7 2． 找规律： 11、13、17、23、31、（ ） 20、10、17、8、14、6、（ ）、（ ） 3．在□里填上符合条件的最大的数 55÷ 33 - 24 +36＜82 – 17 4．数一数下图中有（ ）个三角形、有（ ）个长方形。 5．把3、6、9、12、15、18、 21 、 24、27填在合适的方格里使每横行、竖 行、斜行的三个数相加的和都得45。 6．小林家养一些鸡，黄鸡比白鸡少16只，白鸡是黄鸡的3倍， 小林家一共养（ ）只鸡。 7．妈妈今年是38岁，女儿是20岁，当母女俩年龄之和是50岁时，是（ ） 年前的事。 8．小强买5支铅笔，小林买了9支铅笔，小林比小强多用了3角2分钱，一支铅笔（ ）钱，小林花了（ ）钱。 9．36加上4，减去8，再加上4，再减去8……这样连续地做下去，做（ ）次计算结果得0。 10．如果小明给小红一本书，那么两人的书一样多，如果小红给小明 一本书，那么小明的书就是小红的3倍。小明有（ ）本书、小红有（ ）。 11．今年是星期二，再过38天后是星期（ ）。 12．已知： □+□+○+○=18 □+□+○=15 □=（ ） ○=（ ） 13．一⑴班同学排队做操，第行人数同样多，小红的位置从左数是第5个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第2个，一⑴班一共有（ ）人。 14．二⑴班有学生40人，期中考试语文得100分的有28人，数学得100分的有32人，语文、数学都得100分的有（ ）人。 15．做一道减法题时，小明把减数的个位上的7看作9，十位上的5看作3，结果差是26，正确的答案应是（ ）。 16．一个笼子里装有鸡和兔子共10只，一共有34条腿，鸡有（ ）只，兔子有（ ）只。 17．一只蜗牛掉进一口9米深的井里，它每天白天爬上3米，夜里又滑下1米，这样要（ ）天，才爬出井口。 18．小丁有两个书架，第一个书架比第二个书架少30本书，如果把第一个书架拿走5本书，放到第二个书架，那么第一个书架现在比第二书架少（ ）本书。 19．1只小狗的重量是2只小兔的重量，1只小兔又是3只鸡的重量，1只狗6千克。1只鸡重（ ）千克。 20．把三根同样长的钢筋焊成长10米的钢筋，中间焊接处的重叠部分长都是1米，这三根钢筋各长（ ）米。 10米
2012希望杯试题及答案
希望杯第二十三届(2012年)全国数学邀请赛初一第1试 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．计算：4 )1(4)2(12 2 -?---+=（ ） (A)一2 (B)-1 (C)6 (D)4 2．北京景山公园中的景山的相对高度(即从北京的地平面到山顶的垂直距离)是45.7米，海拔高度是94.2米．而北京香山公园中的香炉峰(俗称“鬼见愁”)的海拔高度是557米．则香炉峰的相对高度是( )米． (A)508.5 (B)511.3 (C)462.8 (D)605.5 3．If rational numbers a ，b ，and c satisfy a ＜b ＜c ，then |a —b|+|b —c|+|c —a|=( ) (A)0 (B)2c 一2a (C)2c 一2b (D)2b 一2a 4．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是( ) (A)第一次向左拐40°，第二次向右拐40° (B)第一次向右拐50°，第二次向左拐130° (C)第一次向右拐70°，第二次向左拐110° (D)第一班向左拐70°，第二次向左拐1lO ° 5．某单位3月上旬中的1日至6日每天用水量的变化情况如图1所示．那么这6天的平均用水量是( )吨． (A)33 (B)32.5 (C)32 (D)31 6．若两位数ab 是质数，交换数字后得到的两位数ba 也是质数，则称ab 为 绝对质数．在大于11的两位数中绝对质数有( )个． (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 7．已知有理数x 满足方程 201211 20121=-- x x ，则49 200994+-x x =( ) (A)一41 (B)一49 (C)41 (D)49 8．某研究所全体员工的月平均工资为5500元，男员工月平均工资为6500元，女员工月平均工资为5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( ) (A)2：3 (B)3：2 (C)1：2 (D)2：l 9．如图2，△ABC 的面积是60，AD ：DC=1：3，BE ：ED=4：l ，EF ：FC=4：5．则△BEF 的面积是( ) (A)15 (B)16 (C)20 (D)36 10．从3枚面值3元的硬币和5枚面值5元的硬币中任意取出1枚或多于1枚，可以得到n 种不同的面值和，则n 的值是( ) (A)8． (B)15． (C)23． (D)26． 二、A 组填空题（每小题4分，共40分） 11．若x=0.23是方程12.05 1 =+ mx 的解，则m=__________． 12．如图3，梯形ABCD 中．∠DAB=∠CDA=90°，AB=5，CD=2，AD=4． 以梯形各边为边分别向梯形外作四个正方形．记梯形ABCD 的面积为S 1，
小六希望杯赛数学试题教材
考点分析：应用题 在”新希望杯”的六年级试题中以分数、百分数应用题为主。 六年级新希望杯试题的应用题模块的命题有如下特点： 1、考查频率较高：对三、四年级的基本应用题作专门的考查较少，但是会糅合到某些综合大题中，对于六年级的分数应用常做考查，是小升初和杯赛中的常考题型； 2、题型难度不大：主要是画图的数形结合分析法和方程法的应用； 3、题型与题量较稳定：六年级基本以填空题的形式出现 2 道左右。 1、参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男女生人数之比是3：4，那么第一轮比赛的学生共多少人？ 2. 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 3、服装厂出售6000件男女服装，男式皮衣件数占男衣的12.5%，女式皮衣的件数占女衣的25%，男女皮衣件数之和占这批服装件数的1/5.男式皮衣有多少件？女式皮衣有多少件？ 4、某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？
5、甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？ 考点分析：图形问题 对于新希望杯的图形模块的命题有如下特点： 1、六年级图形相对较难。 2、比较倾向于三视图求表面积或者求物体个数和格点面积计算。（注：第九届六年级新希望杯决赛选择第5题出现三视图，但是一个计数问题） 3、新希望杯考试范围中提到课本，五年级上册课本观察物体，五年级上册三角形面积计算会出现一些同底等高或等底等高的三角形，六年级上册课本中的圆，所以备考时可以向 这几个知识点倾斜。 1、将一个正三角形的三条边分别 2、 3、4等分，获得一些相同的小正三角形，如图1所示．如 果将正三角形的三条边都10等分，那么．得到的相同的小正三角形有个． 图1 2、如图2，已知BD＝2CD，CE＝3AE则四边形CDFE的面积与△ABF的面积比是. B A 图2 图3 图4 图5 3、如图3，CA垂直于AB，CA=AB＝2cm，分别以AB，AC的中点为圆心作半圆，形成图
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
题 号 一 二 三 合 计 （11） （12） （13） （14） （15） 得 分 ~ | 评卷员 @ A ． B ． C ． D ． 2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有2种填法,而整体填法 共有种填法，所以符合题意的概率为： . 3．定义两种运算：，，则函数为（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 ~（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数 3．A ．22 2222 2222()([2,2])(2)2 x x x f x x x ---===-∈---. 4．圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳 到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上． 5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z= . ~ 5.2-2i.由题意知b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得： 即z=2-2i. 6．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 . 6．(0,5).方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2可以变形为m =,即得, ∴5 | 32|)1(52 2+-++=y x y x m 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线x -2y +3=0之比为常数e =, 又由e >1,可得0 2003年3月30日上午8：30至10：00 一、填空题 1．计算＝_______ 。 2．将1、2、3、4、5、6分别填在图中的每个方格内，使折叠成的正方体中对面数字的和相等。 3．在纸上画5条直线，最多可有_______ 个交点。 4．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表： 其中，温差最小的景区是______ ，温差最大的景区是______ 。 5．,各表示一个两位数，若＋＝139，则＝_______ 。 6．三位数和它的反序数的差被99除，商等于_______ 与_______ 的差。 7．右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图2中，正方形有_______ 个，三角形有_______ 个。 8．一次智力测验，主持人亮出四块三角形的牌子： 9．正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。 10．六位自然数1082□□能被12整除，末两位数有种情况。 11．右边的除法算式中，商数是。 12．比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个：。 13．A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场），比赛进行了一段时间后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，这时，E赛了场。 14．观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推知9*5的值是。 15．警察查找一辆肇事汽车的车牌号（四位数），一位目击者对数字很敏感，他提供情况说：“第一位数字最小，最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2”。警察由此判断该车牌号可能是。 16．一个小方木块的六个面上分别写有数字2，3，5，6，7，9。小光，小亮二人随意往桌上扔放这个木块。规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分。当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分。每人扔100次，得分高的可能性最大。 17．从1，2，3，4，5，6，7，8，9。中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，所有分数中，最大的是，循环小数有个。 18．如图所示的四边形的面积等于。 19．一艘轮船往返于A、B码头之间，它在静水中航速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所用时间比河水流速增加前所用时间（填“多”或“少”）。 20．新来的教学楼管理员拿15把不同的钥匙去开15个教室的门，但是不知哪一把钥匙开哪一个门，他最多试开次，就可将钥匙与教室门锁配对。 21．一个分数，分子加分母等于168；分子，分母都减去6，分数变成，原来的分数是。 22．一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线，竖线爬行到B点，图（1）中的路线对应下面的算式 高二文科数学竞赛试题2008.12.12 一、选择题（50分） 1、不等式 1 1112-≥-x x 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1()1,0[+∞ D ．),1(]0,1(+∞- 2、当x ＞1时，不等式a x x ≥-+ 1 1 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2] B ．[2，+∞﹞ C ．[3，+∞﹞ D ．(－∞，3] 3、若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于（ ） A ．4 B ．4或1- C ．35 D ．32 - 4、下列命题在空间中正确的个数是（ ） ○ 1三点确定一个平面； ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ○ 3两组对边相等的四边形是平行四边形； ○4有三个直角的四边形是矩形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5、曲线42 2 =+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ ∈? ??+=+-=参数y x 关于直线l 对称， 则直线l 的方程为（ ） A ．02=+-y x B ．0=-y x C ．02=-+y x D ．2-=x y 6、椭圆19 2522 =+y x 上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．2 3 7、若双曲线192 2=-m y x 的渐近线l 方程为x y 3 5±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 （ ） A ．2 B ．14 C ．5 D ．25 8、已知A (1,0)-、B (1,0)，以AB 为一腰作使∠DAB= 90直角梯形ABCD ，且3A D B C =，CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为（ ） A ．22132x y += B ．22134x y += C ．22143x y += D ．22 154 x y += 9、设圆222 (3)(5)x y r +++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ） A ．615r << B ．4 5 r > C ．4655r << D ．1r > 10、设双曲线的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，若12PF F ?的顶点P 在双曲线上，则12PF F ?的内切圆在边F 1F 2上的切点是（ ） 小学二年级奥林匹克数学竞赛试卷 班级：_____________姓名：__________________得分：_____________ 一、填空题（共60分） 1、按规律填数。9% （1）1、3、5、7、9、（）。 （2）130、125、120、115、（）、105、（）。 （3）1、2、3、5、8、13、（）。 （4）75、3、74、3、73、3、（）、（）。 （5）1、4、9、16、（）、36。 （6）10、1、8、2、6、4、4、7、（）、（）。 2、给下面的算式加上括号，使算式成立。16% （1） 56 - 15 - 5 =46 （5） 3 + 5 × 6 =48 （2） 24 ÷ 3 × 2 =4 （6） 32 + 16 ÷ 8 =6 （3） 76 - 43 - 30 =63 （7） 85 – 25 + 16 =44 （4） 36 – 16 ÷ 4 =5 （8） 48 ÷ 6 + 2 =6 3、在下面每一行的数字间填上适当的运算符号或小括号，使等式成立。16% （1） 3 3 3 3 3=0 （5） 9 9 9 9 9=10 （2） 3 3 3 3 3=5 （6） 4 4 4 4 4=16 （3） 3 3 3 3 3=8 （7） 5 5 5 5 5 5=20 （4） 3 3 3 3 3=9 （8） 8 8 8 8 8 8 8 =100 4、把1、2、3、4、5、6、7、8、9填在（）里，（每个括号里只能填一个数字，每个数字只能填一次），使三个等式都成立。（6%） （）+（）=（） （）-（）=（） （）÷（）=（） 5、一根彩带长10米，每次剪1米，（）次剪完。（2%） 6、一根木料锯成功3段要6分钟，如果每次锯的时间相同，（）分钟可以锯成8段。（1%） 7、一列数字按“385161713851617138516171……”这样的规律排列，第20个数字是（），第50个数字是（）。（2%） 8、在34、2、19、6、20、3中选出三个数组成等式，使它们的得数分别等于25和37，如果需要也可以添上小括号。（4%） （1）__________________= 25 （2）__________________= 37 9、想一想，下面算式中的图形代表的数字是几？（4%） （1）▲ 1 ▲=（）（2）● 5 ●=（） - 5 ★★=（） + 4 ＆＆=（） 9 7 3 希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200 第十三届小学六年级“希望杯”全国数学邀请赛第2试试题 （满分：120分，时间：90分钟） 一、填空题（每小题5分，共60分.） 1.计算： 1 1+2+ 1 1+2+3+ 1 1+2+3+4+……+ 1 1+2+3+……+10，得__________。 2.某商品单价先上调后，再下降20%才能降回原价.该商品单价上调了__________%。 3.请你想好一个数，将它加5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想 好的那个数，最后的计算结果是__________。 4.八进制数12345654321转化为十进数是N，那么在十进制中，N÷7与N÷9的余数的和为 __________。 5.小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本 书中缺了一张（连续两个页码）.那么，这本书原来有__________页。 6.2015在N进制下是AABB形式的四位数，这里A，B是N进制下的不同数码，则N的值 是__________。 7.方程[x]{x}+x=2{x}+10的所有解的和是__________（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x} 表示x的小数部分）。 8.如图1，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别 为9，15和12，则第4个角上的小长方形的面积等于__________。 9.一个魔法钟，一圈有12个大格，每个大格有3个小格，时针每 魔法时走一个大格，分针每魔法分走1个小格，每魔法时走两圈. 那么，从时针与分针成90o角开始到时针和分针第一次重合，经 过了__________魔法分。 10.将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，这个多 位数除以9，余数是__________。 11.如图2，向装有1 3水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球， 此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的2 5处，则圆柱形容器最 多可以装水__________立方分米.（π取3.14） 图2 高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53< 二年级下册数学思维竞赛试卷 （时间：60分钟） 1、找规律填数。 2、在1、2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10中选出9个数填在（）里组成三道 算式，每个数只能用1次。 （）+（）＝（） （）+（）＝（） （）+（）＝（） 3、把5、6、7、8、9这5个数填入“□”，使横行、竖行、斜行上三个数的和 都得15。 4、在下面等式的左边填上适当的运算符号或括号，使等式成立。 5、下面竖式中的图形分别是多少。 6、下面的硬纸片没虚线折起来，就可以做成一个正方体盒子，那么A面所对的那个面是（）。 7、白兔、灰兔跑得一样快，它们同时出发，（）兔最先吃到萝卜。 8、下图中，能一笔画成，请用箭头画出走向。 9、将8个小立方块组成如下图所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后把小方块分，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有（）个。 （2）4面被涂成红色的小立方块有（）个。 10、一根带子，先对折，再对折，从中间剪上一刀，分成（）段。 11、用0、1、3、5能组成几个不同的三位数。请你在下面写出来。 12、从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？请你把每种拿法写在下面。 13、从76里面连续减8，减了（）次还剩4。 14、一根细绳对折两次后，长9米，这根细绳原来长（）米。 15、笼子里有3只公鸡，5只白兔，笼子里共有（）个头，（）只脚。 16、课间10分钟里，A、B、C、D、E这5个小朋友并排坐在一起做游戏，D的两边是B和C，B在A和D之间，E只有一侧有人，且与D只隔一人，则E的旁边是（）。 17、两个书架上共80本书，从第一个书架拿8本书放入第二个书架，两个书架的本数相等，原来第一个书架有（）本书。 18、1只小狗的重量等于2只小兔的重量，4只小猫的重量等于2只小兔的重量，1只小狗重4千克，1只小猫重（）千克。 19、一杯牛奶，小梅先喝了半杯，往杯里加满冷开水，再喝半杯，又加满冷开水，最后小梅将它全部喝完，问她一共喝了（）杯牛奶。 20、在一次数学考试中规定：做对一道题得5分，做错一道题扣3分.小伟做了10道题共得了34分，请问他做对了（）道题。 第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级 第1试试题 2016年3月20日 上午8：30至10：00 以下每题6分，共120分。 1、计算： 2521122513121?+? 2、2016个2017连乘的积与2017个2016连乘的积相加的和的个位数字是____________。 3、观察下面一列数的规律，这列数从左往右第100个数是_________。 21， 53， 85， 117， 149，…… 4、已知a 是1到9中的一个数，若循环小数 a a 11.0. =，则a =___________。 5、若四位数ABC 2能被13整除，则A+B+C 的最大值是_________。 6、食堂买来一批大米，第一吃了全部的 103，第二天吃了剩下的 52，这里还剩下210千克。这批大米一共有________千克。 7、定义：a*b=2×｛ 2a ｝+3×｛ 6 b a +｝，其中符号｛x ｝表示x 的小数部分，如：｛2.016｝=0.016，那么1.4*3.2=_________。（结果用小数表示） 8、如图1，圆柱体与圆锥体的高的比是4：3，底面周长的比为3：5。已知 竞赛竞赛结束竞赛结束时 竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印、销售及传播此试卷。 圆锥体的体积是250立方厘米，圆柱体的体积是___________立方厘米。 9、一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图2所示，这堆正方体货箱共有__________个。 10、如图3，时钟显示的时间是9：15，此时分针与时针的夹角是_________度。 11、如图4，三张卡的正面各写有一个数，它们的反面分别写有质数m ，n ，p 。若三张卡片正反两面的两个数的和都相等，则m + n + p 的最小值是___________。 12、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积增加56平方厘米。原来这个长方体的体积是__________立方厘米。 13、一个分数，若分母减1，化简后得 31；若分子加4，化简后得 2 1。这个分数是____________。 14、甲、乙两车同时从A 、B 两地相向而行，它们相遇时距A 、B 两地中点8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，则A 、B 两地相距____________千米。 15、在图5所示的10×12的网格图中，猴子KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是4，图中阴影部分的面积是___________。（圆周率 取3） 题51 Let point M move along the ellipse 18 92 2=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标) （第十四届高二第二试第18题） 译文：点M 是椭圆18 92 2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 . 解 在椭圆18 92 2=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ， 所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率3 1==a c e ， 右准线9:2 ==c a x l ，显然点P （6，2）在椭圆18 92 2=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有18 4920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（2 23±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF |-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程. 拓展 将此题引伸拓广，可得 定理 M 是椭圆E ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点. 1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m c a -2；当F 是左焦 点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m c a +2. -3 O 1 3 6 9 x M M Q D y P G l F 2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷 考生注意事项： 1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟. 2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答 案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ） （A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数 2．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）9 3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如 果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ） （A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y | 2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表 的曲线是 ( ) （A ）三角形 （B ）正方形 （C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形 6．已知x ，y 满足?????y －2≤0， x ＋3≥0，x －y －1≤0， 则46 --+x y x 的取值范围是 ( ) （A ）??????720,2 （B ）??????713,1 （C ）??????73,0 （D ）?? ????76,0 7．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234 = S S S S S λ+++， 则λ一定满足( ) （A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ <5.5 第4题 2011年第九届初赛 1.计算：1.25×31.3×24= 。 2.把0.123,0.1·23·,0.12·3·,0.123·按照从小到大的顺序排列：< < < 3.先将从1开始的自然数排成一列：123456789101112131415......然后按一定的规律分组：1,23,456,7891,01112,131415，......在分组后的数中，有一个十位数,这个十 位数是。 4.如图1,从A到B,有条不同的路线。（不能重复经过同一个点） 5.数数，图2中有个正方形。 6.—个除法算式中.被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相 等若被除数是47.则除数是,余数是。 7.如果六位数2011□□能被90整除.那么它的最后两位数是。 8.如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”。 那么，1000以内最大的“希望数”是。 9.将等边三角形纸片按图3所示步骤折叠3次（图3中的虚线是三边的中点的连线然后沿过两边的中点的直线减去一角（如图4）将剩下的纸片展开，平铺.得到的图形是。 10.如图5,甲、乙两人按箭头方向从A点问时出发，沿着正方形ABCD的边行走，正方形ABCD的边长是100米，甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人在E点第一次相遇，则三角形ADE的面积比EBC三角形的面积大平方米。 11.星期天早晨，哥哥和弟弟去练习跑步。哥哥每分钟跑110米，弟弟每分钟跑80米。弟弟比哥哥多跑了半小时,结果比哥哥多跑了900米。那么，哥哥跑了米。 12.小明带了30元钱去买文具，买了3个笔记本和5支笔,剩余的钱，如果再买2支笔还差0.4元，如果再买2个笔记本则还差2元。那么，笔记本每个元，笔每支元。 13.数学家维纳是控制论的创始人。在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄。维纳的问答很有趣，他说：“我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把0?9这10个数字全都用上了，不重也不漏。”那么.维纳这一年岁。（注：数a的立方等于a×a×a,数a的四次方等于a×a×a×a) 14.鸡与兔共100只，鸡的脚比兔的脚多26只。那么，鸡有只。 高二数学试题 一,选择题(每题5分) 1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 2.若(1-2x )9 展开式的第3项为288，则∞→n lim (n x x x 1112?++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合0 第十二届小学希望杯全国数学邀请赛 五年级第1试试题解答 题目1-数论A ÷，余数是1。 201403165 题目2-数论B 用1、5、7组成各位数字不同的三位数，其中最小的质数是157。 题目3-应用题A 10个2014相乘，积的末位数是6。 题目4-计数B 有一列数：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、……，每个数n都写了n次。当写到20的时候，数字“1”出现了157次。 题目5-数字谜A 一个小数，若去掉小数点，则得到的整数与原小数的和是201.3，那么这个小数是18.3。 题目6-组合A 已知三位数abc与cba的差198 abc cba -=，则abc最大是 997 。 题目7-计数C 若将20表示成若干个互不相同的奇数的和，那么，不同的表示方法有7种。（加数相同，相加的次序不同，算作同一种表示方法。如119 +算作同一种 +与191 表示方法。） 题目8-应用题B A、B两家面包店售同样的面包，售价相同，某天A面包店的面包售价打八折，A 面包店这天的营业额是B面包店营业额的1.2倍，则A面包店售出的面包数量是B面包店的1.5倍。 题目9-方程A 如图，甲桶内有水4升，乙桶内有水13升，向两个桶内加入同样多的水后，乙桶内的水是甲桶内的水的3倍（水不溢出）。那么，向每个桶内加入的水是0.5升。 题目10-行程A 如图，一只蚂蚁从墙根竖直向上爬到墙头用了4分钟，从墙头沿原路返回到出发点用了3分钟。若蚂蚁第二分钟比第一分钟多爬1分米，第三分钟比第二分钟多爬1分米，……，整个过程中，每分钟爬过的路程都比前一分钟多爬1分米，则墙高4.2米。 墙头 题目11-几何B 如图，五边形ABCDE内有一点O，O点到五条边的垂线段的长都是4厘米。若五边形的周长是30厘米，则五边形ABCDE的面积是60平方厘米。 D B 题目12-应用题A 一天，小华去一栋居民楼做社会调查。这栋楼有15层，每层有35个窗户，每两户人家有5个窗户。若每户人家需要一份调查表，则小华至少要带调查表210份。希望杯第1-10届五年级数学试题及答案(WORD版)
高二文科数学竞赛试题及答案
小学二年级奥林匹克数学竞赛试卷
历届(第1-21届)希望杯数学竞赛初一试题及答案(最新整理)
2015年六年级希望杯决赛试题(附带答案)
高二数学竞赛试题及答案
二年级下册数学竞赛试卷含答案
2016年希望杯六年级第一试试题及答案
【2014】希望杯竞赛数学试题详解(51-60题)
2017年高二上学期数学竞赛试卷 Word版含答案
希望杯五年级历届试题与答案
高二数学竞赛试题Word版
2014年五年级希望杯试题及答案word版
- 2018年「希望杯」小学四年级试题
- 【2014】希望杯竞赛数学试题详解(51-60题)
- 2015希望杯六年级一试试题及详解
- 第26届希望杯初一第2试试题(word高清版)
- 希望杯初一数学试题
- 2020最新“希望杯”全国数学邀请赛试题
- 第23届高二数学“希望杯”试题及答案
- 历届希望杯数学竞赛五年级试题及答案
- 2018年17届希望杯初一第1试试题及参考答案
- 第十四届小学四年级希望杯全国数学邀请赛 第二试试题
- 小升初经典希望杯数学模拟试卷8套及答案
- 2015年六年级希望杯决赛试题(附带答案)
- 2020年希望杯复赛六年级试题+答案
- 希望杯六年级决赛真题集锦
- 历年希望杯初一竞赛试题精选及答案
- 最新“希望杯”全国数学邀请赛真题
- 希望杯七年级数学试题及答案
- 2017年第十五届小学四年级“希望杯”全国数学邀请赛试题及答案
- 最新2019年六年级希望杯试题及答案word版
- 2017年六年级希望杯试题及答案word版