动态规划详解(C++版)
动态规划
一、背包问题：
01背包问题
题目
有N件物品和一个容积为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
二维方程：f[i,v]:=max(f[i-1,v],f[i-1,v-c[i]]+w[i])
一维方程：f[v]:=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]);
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品放或不放，那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
1．采药(RQNOJ15)；
题目描述：
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式：
输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式：
输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入：
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出：
3
分析：
这是一道典型的0/1背包问题，把采其中一种的时间看做标准模型中的每个物品的体积，把规定的时间看做背包的总容量，这样问题和基本模型就一样了。
参考程序：
#include
using namespace std;
int ti[101],money[101];
int f[1001];
int main()
{
int t,m,i,j;
scanf("%d%d",&t,&m);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d",&ti[i],&money[i]);
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=t;j>=ti[i];j--)
if(f[j] f[j]=f[j-ti[i]]+money[i]; printf("%d",f[t]); return 0; } 2．拔河比赛(RQNOJ72) 题目描述： superwyh的学校要举行拔河比赛，为了在赛前锻炼大家，老师决定把班里所有人分为两组，进行拔河比赛,为了避免其中一方的实力过强老师决定以体重来划分队伍，尽量保持两个队伍的体重差最少，因为老师对结果没兴趣，所以只告诉老师最小的体重差是多少就行了。这个受苦受累的任务就交给superwyh了，因为这两天superwyh的后背间谍sjh闹肚子了，所以只好superwyh亲自去调查每个人的体重，但是仅仅知道体重依然难以确定到底如何分配队伍，请各位oier帮助superwyh出出主意。 输入格式： 第一行为人数(1<=n<=100)，从第二行开始是每个人的体重(0<=m<=100)。 输出格式： 最小体重差。 样例输入： 4 10 23 41 12 样例输出： 4 分析： 实际是个隐藏很深的01背包问题，先把所有人的重量加起来除以二当作背包容积v，把他們的體重同時看成是價值和重量，要使重量差最小也就是在里面选一些人分成两组，使这两组人的重量和最接近v。比如樣例數據，可以求出總重量是86，除以2就是43，再背包一下，求出是41，輸出86-41*2即可 参考程序： #include #include using namespace std; int w[101],f[1001]; int i,j,k,m,n,sum; int main() { scanf("%d",&n); sum=0; for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&w[i]); sum+=w[i]; } for(i=1;i<=n;i++) for(j=sum/2;j>=w[i];j--) if (f[j] printf("%d",sum-f[sum/2]*2); return 0; } 3．开心的金明(RQNOJ2) 题目描述： 金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5 表示，第5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j 件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1...jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]请你帮助金明设计一个满足要求的购物单. 输入格式： 输入的第1 行，为两个正整数，用一个空格隔开： N m （其中N（<30000）表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。） 从第2 行到第m+1 行，第j 行给出了编号为j-1 的物品的基本数据，每行有2 个非负整数 v p （其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5）） 输出格式： 输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的 最大值（<100000000） 样例输入： 1000 5 800 2 400 5 300 5 400 3 200 2 样例输出： 3900 分析： 本题是经典的01背包问题 在这里钱数表示容量，共m个物品，价格可以看做费用，价格*重要度可以看做价值。 这下思路就清楚了。 参考程序： #include const int maxn=30001,maxm=26; int m,n; int v[maxm],p[maxm]; int f[maxn]; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for (int i=1;i<=m;i++) scanf ("%d%d",&v[i],&p[i]); for (int i=1;i<=m;i++) for (int j=n;j>=v[i];j--) if (f[j-v[i]]+v[i]*p[i]>f[j]) f[j]=f[j-v[i]]+v[i]*p[i]; printf("%d",f[n]); return 0; } 4．金明的预算方案(RQNOJ6) 题目描述： 金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子： 主件附件 电脑打印机，扫描仪 书柜图书 书桌台灯，文具 工作椅无 如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。 设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中*为乘号）请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。 输入格式： 输入文件的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开： N m 其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。） 从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数 v p q （其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号） 输出格式： 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值 （<200000）。 样例输入： 1000 5 800 2 0 400 5 1 300 5 1 400 3 0 500 2 0 样例输出： 2200 分析： 这是一道“有依赖的背包问题”。将主、附件压成物品组，然后对新编好的组进行01背包。记住状态有5种：啥都不选、选主件、主件+附件1、主件+附件2、主件+附件1+附件2。 参考程序： #include #include #include using namespace std; int n,m; int w[61][4],v[61][6],num[61]; int f[32001]; int x,y,z; int main() { scanf("%d%d",&n,&m);n/=10; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); if(z==0) { w[i][0]=x/10; v[i][0]=x*y/10; } else { num[z]++; w[z][num[z]]=x/10; v[z][num[z]]=y*x/10; } } for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=n;j>=w[i][0];j--) { if(w[i][0]==0) break; f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]]+v[i][0]);//选主件 if(j-w[i][0]-w[i][1]>=0) f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][1]]+v[i][0]+v[i][1]);//加第一个附件 if(j-w[i][0]-w[i][2]>=0) f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][2]]+v[i][0]+v[i][2]);//加第二个附件 if(j-w[i][0]-w[i][1]-w[i][2]>=0) f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][1]-w[i][2]]+v[i][0]+v[i][1]+v[i][2]);//两个一起加 } printf("%d",f[n]*10); } 5．藐视猪仙（TYVJ1549） 问题描述： 猪仙最恨几何题……于是魂之挽歌给他弄了一堆几何题做…… 猪仙做每道题都需要一定的时间t[i]，如果他开始做某题，那么一定会把它做完，如果猪仙没有做某题的话，魂之挽歌会藐视他，藐视度为x[i]为了更多的藐视猪仙，魂之挽歌不会把所有的时间都让猪仙去做题的，所以每道题魂之挽歌会在a[i]时刻发给猪仙，也就是说a[i]时刻之前猪仙不能做第i道题。猪仙一共有T的时间，他希望总藐视度最小。 输入格式： 第一行两个正整数T，N(T<=10000,N<=100)。 接下来有n行，每行三个数a[i],t[i],x[i] a[i]<=T,t[i]<=T,x[i]<=2000 输出格式： 仅一个正整数，表示最小藐视度。 样例输入： 5 3 1 1 2 1 3 5 4 1 3 样例输出： 分析： 就是简单的01背包,用s记录总的藐视度，f[i]表示i时间内能得到的最高的藐视度，最后用s-f[t]就可以了。但是要注意一点，样例中第一时刻发了第一道题，意思就是第一时刻已经有了这题，而这道题只用一个时间，所以第一时刻就可以做完这题了。 所以样例输出应该是0 参考程序： #include #include #include using namespace std; int n,m; int a[10001],t[10001],x[10001],f[10001]={0},d[10001]; int s,i,j; int main() { s=0; 动态规划基本原理 动态规划基本原理 近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几乎都至少有一道题目 需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经 不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采 取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了 一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供 选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可 以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策 略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果. 让我们先来看下面的例子：如图所示的是一个带权有向的多段图，要求从A到D的最 短 图4-1 带权有向多段图 路径的长度(下面简称最短距离)。 我们可以搜索，枚举图中的每条路径，但当图的规模大起来时，搜索的效率显然不可 能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题：从图中可以看到，A点要到达D点 必然要经过B1和B2中的一个，所以A到D的最短距离必然等于B1到D的最短距离加上5，或是B2到D的最短距离加上2。同样的，B1到D的最短距离必然等于C1到D的最短距离 加上3或是C2到D的最短距离加上2，……。 我们设G[i]为点i到点D的距离，显然G[C1]=4，G[C2]=3，G[C3]=5，根据上面的分析， 有： G[B1]=min{G[C1]+3，G[C2]+2}=5， G[B2]=min{G[C2]+7，G[C3]+4}=9， 再就有G[A]=min{G[B1]+5，G[B2]+2}=10， 动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日 摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数 动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么 解题思路 多代入法 二叉树 度 叶子结点就是没有孩子的结点，其度为0，度为二的结点是指有两个子数的结点。 注意树的度和图的度区别 叶子结点 二叉排序树 完全二叉树 若设二叉树的深度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。 完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树； 最优二叉树（就是哈弗曼树） 平衡二叉树 平衡二叉树，又称AVL树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差之差的绝对值不超过1.。 满二叉树 满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶结点都处在最底层的二叉树,。 除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点（最后一层上的无子结点的结点为叶子结点）。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上. 本题主要考查一些特殊二叉树的性质。 若二叉树中最多只有最下面两层的结点度数可以小于2，并且最下面一层的叶子结点都依次排列在该层最左边的位置上，则这样的二叉树称为完全二叉树，因此在完全二叉树中，任意一个结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。 二叉排序树的递归定义如下：二叉排序树或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： (1)若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值； (2)若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值； (3)左右子树也都是二叉排序树。 在n个结点的二叉树链式存储中存在n+1个空指针，造成了巨大的空间浪费，为了充分利用存储资源，可以将这些空链域存放指向结点在遍历过程中的直接前驱或直接后继的指针，这种空链域就称为线索，含有线索的二叉树就是线索二叉树。 最优二叉树即哈夫曼树。 0/1背包问题动态规划详解及C++代码 1. 问题描述 给定一个载重量为C的背包 有n个物品 其重量为wi 价值为vi 1<=i<=n 要求:把物品装入背包 并使包内物品价值最大2. 问题分析 在0/1背包问题中 物体或者被装入背包 或者不被装入背包 只有两种选择。循环变量i j意义 前i个物品能够装入载重量为j的背包中 数组c意义 c[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值 若w[i]>j 第i个物品不装入背包 否则 若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>c[i-1][j] 则记录当前最大价值 替换为第i个物品装入背包后的价值 其c++代码如下 #include 1、0-1背包 #include } } m[0][c]=m[1][c]; if(c>=w[0]) { if(m[0][c] 动态规划基本原理 近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推和建模上了。 要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果. 让我们先来看下面的例子：如图所示的是一个带权有向的多段图，要求从A到D的最短 图4-1 带权有向多段图 路径的长度(下面简称最短距离)。 我们可以搜索，枚举图中的每条路径，但当图的规模大起来时，搜索的效率显然不可能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题：从图中可以看到，A点要到达D点必然要经过B1和B2中的一个，所以A到D的最短距离必然等于B1到D的最短距离加上5，或是B2到D的最短距离加上2。同样的，B1到D的最短距离必然等于C1到D的最短距离加上3或是C2到D的最短距离加上2，……。 我们设G[i]为点i到点D的距离，显然G[C1]=4，G[C2]=3，G[C3]=5，根据上面的分析， 有： G[B1]=min{G[C1]+3，G[C2]+2}=5， G[B2]=min{G[C2]+7，G[C3]+4}=9， 再就有G[A]=min{G[B1]+5，G[B2]+2}=10， 所以A到D的最短距离是10，最短路径是A→B1→C2→D。 二、动态规划的术语 1．阶段 把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用k 表示。此外，也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。 在前面的例子中，第一个阶段就是点A，而第二个阶段就是点A到点B，第三个阶段是点B到点C，而第四个阶段是点C到点D。 2．状态 状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点。 在前面的例子中，第一个阶段有一个状态即A，而第二个阶段有两个状态B1和B2，第三个阶段是三个状态C1，C2和C3，而第四个阶段又是一个状态D。 过程的状态通常可以用一个或”一组数”来描述，称为状态变量。一般，状态是离散的，但有时为了方便也将状态取成连续的。当然，在现实生活中，由于变量形式的限制，所有的状态都是离散的，但从分析的观点，有时将状态作为连续的处理将会有很大的好处。此外，状态可以有多个分量(多维情形)，因而用向量来代表；而且在每个阶段的状态维数可以不同。 当过程按所有可能不同的方式发展时，过程各段的状态变量将在某一确定的范围内取值。状态变量取值的集合称为状态集合。 3．无后效性 我们要求状态具有下面的性质：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发 动态规划在火力分配中的应用 1.问题描述 设有m个目标，目标价值(重要性和危害性)各不相同，用数值A K( K=1, 2, ..m )表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P= ，其中是常数，取决于导弹的 特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 ( 为非负整数) 3.算法描述 下面通过一个实例说明：设目标数目为4 (m=4),导弹为5 (n=5), 和a K取值情况如下表所示：表1：A k，取值情况 将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为: 可能取值为0，1, 2，3, 4，5,将函数值带人如下表: 表2函数值 k=le ngth(x(1,:)) % x_is nan=~is nan( x); % t_vubm=i nf*on es(size(x)); % 判断决策级数 非空状态矩阵 性能指标中间矩阵 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1 ( 只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案 可取等号) 4. Matlab仿真求解 因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值, fun cti on[ p_opt,fval]=d yn prog(x,DecisFu n,SubObjFu n, Tra nsFu n,ObjFun) % 规划问题最小值函数对应的最优方 求解动态 f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt; % 每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k)); tmp3=length(u);% 决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j)); if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp; d_opt(i,k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end; end; end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii)); tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 % 求出当前状态下所有可能的决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii)); tmp30=length(u) ; for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % tmp50=x(:,ii+1)- tmp40; % 找出下一状态在x tmp60=find(tmp50==0) ; if~isempty(tmp60) if nargin<6 % 矩阵不同需要修改 tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1)); end % 当前状态的性能指标 if tmp00<=t_vubm(i,ii) f_opt(i,ii)=tmp00; d_opt(i,ii)=u(j); t_vubm(i,ii)=tmp00; end; end; end; end; end fval=f_opt(:,1); tmp0 = find(~isnan(fval)); fval=fval(tmp0,1); p_opt=[];tmpx=[];tmpd=[];tmpf=[]; 单步性能指标 下一状态 矩阵的位置 nargin 的值，很重要 0/1背包问题动态规划详解及C代码 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 比如01背包问题。 /*一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品， 它们的重量分别是W1，W2，...,Wn, 它们的价值分别为P1,P2,...,Pn. 若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。 输入格式： M,N W1,P1 W2,P2 ...... 输出格式： X*/ 因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6 c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值. 这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放 4."这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放 4."假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为 4."而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量 5."背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是 4."所以。总的最佳方案是5+4为 9."这样.一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的 6."而是上一排的 9."说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得 9.") 从以上最大价值的构造过程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗? 下面是实际程序（在VC 6."0环境下通过）: #include 动态规划经典案例详解之背包问题 【摘要】本文主要从动态规划经典案例——背包问题的动态规划设计思路出发，结合具体实例，对动态规划在程序设计中的典型应用以及衍生拓展进行详细分析。 【关键字】动态规划信息学奥赛0/1背包问题 动态规划并非一个算法，而是一种解题的思路，其核心思想是通过使用大量的存储空间把中间结果记录下来，大大减少重复计算的时间，从而提高的程序的执行效率，因为信息学奥林匹克复赛题目的解决程序一般是有时间限制的，对于某些用搜索必然耗费大量时间的题目，动态规划几乎是唯一的选择。但是动态规划并没有一个简单的模型可以套用，对于每个不同的题目都有对应的不同规划思路，我们只能通过对一些动态规划经典案例的学习来训练自己的动态规划思维能力，从而以不变应万变，应付各种复杂的程序设计，本文通过对动态规划经典案例之一的背包问题进行详细阐述，旨在让学生了解动态规划和搜索的不同设计思路以及动态规划的优越性。 【原型例题】 从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i的重量为wi，价值为pi。求使物品价值最高的选取方法。 【输入文件】 第一行一个数c，为背包容量。 第二行一个数n，为物品数量 第三行n个数，以空格间隔，为n个物品的重量 第四行n个数，以空格间隔，为n个物品的价值 【输出文件】 能取得的最大价值。 【分析】 初看这类问题，第一个想到的会是贪心，但是贪心法却无法保证一定能得到最优解，看以下实例： 贪心准则1：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2,w=[100,10,10],p=[20,15,15],c=105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。 贪心准则2：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2,w=[10,20], p=[5,100],c=25。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x=[1,0],比最优解[0,1]要差。 动态规划经典教程 引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结： 第一节动态规划基本概念 一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。 他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解： 如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。 下面举个例子： 要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。 一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。 经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。 下面在说说我对动态规划的另外一个理解： 用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。 二，动态规划的适用范围 动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？ 一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件： 最优子结构（最优化原理） 无后效性 最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答； 什么是无后效性呢？ 就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。 而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。 也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。 当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。 三，动态规划解决问题的一般思路。 拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法： 最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。 （2）三要素法 仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同： 先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告） 先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。 先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告） 一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。 （3）寻找规律法： 这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。 （4）边界条件法 找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。 （5）放宽约束和增加约束 这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。 第二节动态规划分类讨论 1、单调递增最长子序列 描述 求一个字符串的最长递增子序列的长度 如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 输入 第一行一个整数0 2、最长公共子序列 描述 如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。 输入 第一行给出一个整数N(0 3、括号匹配 时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB 描述 给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。 如： []是匹配的 ([])[]是匹配的 ((]是不匹配的 ([)]是不匹配的 输入 第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10) 每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符， S的长度不超过100 输出 对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组 测试输出占一行 样例输入 4 [] ([])[] ((] ([)] 样例输出 3 2 第九章规划分析 [本章提要]本章主要通过生产管理和经营决策中的最优配置问题，介绍Excel 2000的规划求解工具的应用。着重说明了规划求解工具的适应范围，求解步骤，结果分析以及限制条件的修改。 在生产管理和经营决策过程中，经常会遇到一些规划问题。例如生产的组织安排，产品的运输调度，作物的合理布局以及原料的恰当搭配等问题，其共同点就是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，得到最佳的经济效果，即达到产量最高、利润最大、成本最小、资源消耗最少等目标。这些问题中通常要涉及到众多的关联因素，复杂的数量关系，只凭经验进行简单估算显然是不行的。而线性规划、非线性规划和动态规划等方法正是研究和求解该类问题的有效数学方法。但是这些方法的求解大多十分繁琐复杂，常令人望而却步。而利用Excel 2000的规划求解工具，可以方便快捷地帮助我们得到各种规划问题的最佳解。 9.1 规划模型 规划问题可以涉及到众多的生产或经营领域的常见问题。例如生产的组织安排问题：如果要生产若干种不同的产品，每种产品需要在不同的设备上加工，每种产品在不同设备上需要加工的时间不同，每种产品所获得的利润也不同。要求在各种设备生产能力的限制下，如何安排生产可获得最大利润。又如运输的调度问题：如果某种产品的产地和销地有若干个，从各产地到各销地的运费不同。要求在满足各销地的需要量的情况下，如何调度可使得运费最小。再如作物的合理布局问题：不同的作物在不同性质的土壤上单位面积的产量是不同的。要求在现有种植面积和完成种植计划的前提下，如何因地制宜使得总产值最高。还有原料的恰当搭配问题：在食品、化工、冶金等企业，经常需要使用多种原料配置包含一定成份的产品，不同原料的价格不同，所含成份也不同。要求在满足产品成份要求的情况下，如何配方可使产品成本最小。 虽然规划问题种类繁多，但是其所要解决的问题可以分成两类：一类是确定了某个任务，研究如何使用最少的人力、物力和财力去完成它；另一类是已经有了一定数量的人力、物力和财力，研究如何使它们获得最大的收益。而从数学角度来看，规划问题都有下述共同特征： 决策变量：每个规划问题都有一组需要求解的未知数（），称作决策变量。这组决策变量的一组确定值就代表一个具体的规划方案。 约束条件：对于规划问题的决策变量通常都有一定的限制条件，称作约束条件。约束条件可以用与决策变量有关的不等式或等式来表示。 目标：每个问题都有一个明确的目标，如利润最大或成本最小。目标通常可用与决策变量有关的函数表示。 如果约束条件和目标函数都是线性函数，则称作线性规划；否则为非线性规划。如果要求决策变量的值为整数，则称为整数规划。规划求解问题的首要问题是将实际问题数学化、模型化。即将实际问题通过一组决策变量、一组用不等式或等式表示的约束条件以及目标函数来表示。这是求解规划问题的关键。然后即可应用Excel 2000的规划求解工具求解。 例如，某企业要指定下一年度的生产计划。按照合同规定，该企业第一季度到第四季度需分别向客户供货80、60、60和90台。该企业的季度最大生产能力为130台，生产费用为 （元），这里的为季度生产的台数。该函数反映出生产规模越大， 动态规划在火力分配中的应用。 1.问题描述 设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A K（K=1，2，..m）表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P K=，其中是常数，取决于导弹的特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 （为非负整数） 3.算法描述 下面通过一个实例说明：设目标数目为4（m=4），导弹为5（n=5），和a K取值情况如下表所示： 表1：A k 取值情况 目标K 1 2 3 4 8 7 6 3 0.2 0.3 0.5 0.9 将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为： 可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表： 表2 函数值 u 0 0 0 0 0 1 1.45 1.81 2.36 1.79 2 2.64 3.16 3.79 2.51 3 3.61 4.15 4.66 2.81 4 4.41 4.89 5.19 2.93 5 5.0 6 5.44 5.51 2.97 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1 （） 只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案 4.Matlab仿真求解 因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值，对应的 最优方案 function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) %求解动态规划问题最小值函数 k=length(x(1,:)) %判断决策级数 x_isnan=~isnan(x); % 非空状态矩阵 t_vubm=inf*ones(size(x)); % 性能指标中间矩阵 f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt; %每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数 for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k)); tmp3=length(u);%决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j)); if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp; d_opt(i,k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end; end; end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii)); tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 %求出当前状态下所有可能的决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii)); tmp30=length(u) ; for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 单步性能指标 tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 下一状态 tmp50=x(:,ii+1)-tmp40; % 找出下一状态在 x 矩阵的位置 tmp60=find(tmp50==0) ; if~isempty(tmp60) if nargin<6 %矩阵不同需要修改nargin的值，很重要 tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1)); end %当前状态的性能指标 if tmp00<=t_vubm(i,ii) f_opt(i,ii)=tmp00; d_opt(i,ii)=u(j); 第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。 背包问题九讲 v1.0 目录 第一讲 01背包问题 第二讲完全背包问题 第三讲多重背包问题 第四讲混合三种背包问题 第五讲二维费用的背包问题 第六讲分组的背包问题 第七讲有依赖的背包问题 第八讲泛化物品 第九讲背包问题问法的变化 附：USACO中的背包问题 前言 本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。 背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。 读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。 你现在看到的是本文的1.0正式版。我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。 目录 第一讲 01背包问题 这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。 第二讲完全背包问题 第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。 第三讲多重背包问题 每种物品有一个固定的次数上限。 第四讲混合三种背包问题 将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。 第五讲二维费用的背包问题 一个简单的常见扩展。 第六讲分组的背包问题 一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。 第七讲有依赖的背包问题 另一种给物品的选取加上限制的方法。 第八讲泛化物品 我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。 第九讲背包问题问法的变化 试图触类旁通、举一反三。 附：USACO中的背包问题 给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。 联系方式 如果有任何意见和建议，特别是文章的错误和不足，或者希望为文章添加新的材料，可以通过https://www.docsj.com/doc/dd17350076.html,/user/tianyi/这个网页联系我。 致谢 感谢以下名单： ?阿坦 ?jason911 ?donglixp动态规划基本原理
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