平面向量专题复习
一.向量有关概念:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如:
2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r
共线的单位向量是||
AB AB ±u u u r u u u r );
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规
定零向量和任何向量平行。 提醒:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有0r
);
④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r
、
共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。如 例1:(1)若a b =r r
,则a b =r r 。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若
AB DC =u u u r u u u r ,则ABCD 是平行四边形。(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r
。(5)若,a b b c ==r r r r ,则
a c =r r 。(6)若//,//a
b b
c r r r r ,则//a c r r
。其中正确的是_______
二、向量的表示
1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a ,b ,c 等;
3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,为基底,
则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r
,称(),x y 为向量a 的坐标,a =(),x y 叫做向量a 的
坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三.平面向量的基本定理:如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,
有且只有一对实数1λ、2λ,使a =1λe 1+2λe 2。如
例2(1)若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ,则c =r
______
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r
B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r
C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r
D. 1213(2,3),(,)24
e e =-=-u r u u r
(3)已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r
可用向量,a b r r 表示为_____
(4)已知ABC ?中,点D 在BC 边上,且?→
??→
?=DB CD 2,?→
??→
??→
?+=AC s AB r CD ,则s r +的值是___
四.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度和方向规定如下:
()()1,2a a λλ=r r
当λ>0时,λ的方向与的方向相同,当λ<0时,λ的方向与的方向相反,
当λ=0时,0a λ=r r
,注意:λ≠0。
五.平面向量的数量积:
1.两个向量的夹角:对于非零向量,,作
,OA a OB b ==u u u r r u u u r r
,AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量,的夹角,当θ=0时,,同向,当θ=π时,,反向,当θ=
2
π
时,,垂直。
2.平面向量的数量积:如果两个非零向量,,它们的夹角为θ,我们把数量||||cos a b θr r
叫做与b 的数量积(或内积或点积),记作:a ?b ,即a ?b =cos a b θr r
。规定:零向量与任一向量的数量
积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
3.在上的投影为||cos b θr
,它是一个实数,但不一定大于0。
4.?的几何意义:数量积?等于的模||a r
与在上的投影的积。
5.向量数量积的性质:设两个非零向量,,其夹角为θ,则:
①0a b a b ⊥??=r r r r
;
②当a ,b 同向时,a ?b =a b r r ,特别地,22,a a a a a =?==r r r r r ;当a 与b 反向时,a ?b =
-a b r r
;当θ为锐角时,a ?b >0,且 a b r r 、
不同向,0a b ?>r r 是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时,a ?b <0,且 a b r r 、
不反向,0a b ? 是θ为钝角的必要非充分条件; ③非零向量,夹角θ的计算公式:cos a b a b θ?=r r r r ;④||||||a b a b ?≤r r r r 。 例3如(1)△ABC 中,3||=?→ ?AB ,4||=?→ ?AC ,5||=?→ ?BC ,则=?BC AB _________ (2)已知11(1,),(0,),,22 a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ,c r 与d u r 的夹角为4π ,则k 等于____ (3)已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ,则a b +r r 等于____ (4)已知,a b r r 是两个非零向量,且a b a b ==-r r r r ,则与a a b +r r r 的夹角为____ 例4已知3||=→ a ,5||=→ b ,且12=?→→b a ,则向量→a 在向量→ b 上的投影为______ 例5(1)已知)2,(λλ=→a ,)2,3(λ=→b ,如果→a 与→ b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是______ (2)已知OFQ ?的面积为S ,且1=??→ ??→?FQ OF ,若2 3 21< ??→?FQ OF ,夹角θ的取值范围是 。 六.向量的运算: 1.几何运算: ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之 外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ,那么向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和,即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ; ②向量的减法:用“三角形法则”:设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r 那么,由减向量的终 点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 2.坐标运算:设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ,则: ①向量的加减法运算:12(a b x x ±=±r r ,12)y y ±。 ②实数与向量的积:()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。 ③若1122(,),(,)A x y B x y ,则()2121,AB x x y y =--u u u r ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 ④平面向量数量积:1212a b x x y y ?=+r r 。如 已知向量=(sinx ,cosx ), =(sinx ,sinx ), =(-1,0)。(1)若x = 3 π ,求向量、的夹角;(2)若x ∈]4 ,83[ππ- ,函数x f ?=λ)(的最大值为21 ,求λ的值 ⑤向量的模:2 222||||a a a x y ===+r r r 。 ⑥两点间的距离:若()()1122,,,A x y B x y ,则||AB =。 例6:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____;③()()AB CD AC BD ---=_____ 例7(1)已知点(2,3),(5,4)A B ,(7,10)C ,若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r ,则当λ=____时,点P 在第一、三象限的角平分线上 (2)已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =u u u r 且,,(,)22 x y ππ ∈- ,则x y += 例8设(2,3),(1,5)A B -,且13AC AB =u u u r u u u r ,3AD AB =u u u r u u u r ,则C 、D 的坐标分别是__________ 例9已知,a b r r 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么|3|a b +u u r r =_____ 七.向量的运算律: 1.交换律:a b b a +=+r r r r ,()()a a λμλμ=r r ,a b b a ?=?r r r r ; 2.结合律:( ) ( ),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ,()()() a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ; 3.分配律:()() ,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ,() a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r 。 例10下列命题中:① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(;② →→→→→→??=??c b a c b a )()(;③ 2 ()a b →→-2 ||a → = 22||||||a b b →→→-?+;④ 若0=?→→b a ,则0=→a 或0=→b ;⑤若,a b c b ?=?r r r r 则a c =r r ;⑥22a a =r r ;⑦2a b b a a ?=r r r r r ; ⑧222()a b a b ?=?r r r r ;⑨22 2()2a b a a b b -=-?+r r r r r r 。其中正确的是______ 提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即c b a c b a )()(?≠?,为什么? 八.向量平行(共线)的充要条件://a b a b λ?=r r r r 22()(||||)a b a b ??=r r r r 1212x y y x ?-=0。 例11(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ,当x =_____时a r 与b r 共线且方向相同 (2)已知(1,1),(4,)a b x ==r r ,2u a b =+r r r ,2v a b =+r r r ,且//u v r r ,则x =______ (3)设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r ,则k =_____时,A,B,C 共线 九.向量垂直的充要条件:0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r 12120x x y y ?+=.特别地 ()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。 例11(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ,若OA OB ⊥u u u r u u u r ,则m = (2)以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,90B ∠=?,则点B 的坐标是________ (3)已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ,且n m =r u r ,则m u r 的坐标是________ 十.向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2)||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ,特别地,当 a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+r r r r ≥||||||||a b a b -=-r r r r ;当 a b r r 、 反向或有0r ?||||||a b a b -=+r r r r ≥||||||||a b a b -=+r r r r ;当 a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似). (3)在ABC ?中,①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,则其重心的坐标为 123123,33x x x y y y G ++++?? ??? 。 ②1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心,特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r 为ABC ?的重心; ③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的垂心; ④向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线); (4)向量 PA PB PC u u u r u u u r u u u r 、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r 且1αβ+=. 例12若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则⊿ABC 的重心的坐标为_______ 例13平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→ ?OC ?→ ??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______ A D B P 高考真题选讲 一、选择题 1 .设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ,则||a b +=r r ( ) A .5 B .10 C .25 D .10 3 .在ABC ?中,90A ∠=?,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈uuu r uuu r uuu r uuu r . 若2BQ CP ?=-u u u r u u u r ,则λ= ( ) A . 13 B . 23 C . 43 D .2 4 .设a r 、b r 都是非零向量,下列四个条件中,使|||| a b a b =r r r r 成立的充分条件是 ( ) A .||||a b =r r 且//a b r r B .a b =-r r C .//a b r r D .2a b =r r 5 .已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x = ( ) A .—1 B .— 12 C . 12 D .1 6 .对任意两个非零的平面向量α和β,定义??=?αβ αβββ ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹 角0,4πθ?? ∈ ???,且o a b 和o b a 都在集合2n n Z ??∈???? 中,则=o a b ( ) A . 12 B .1 C . 32 D .5 2 7 .若向量()1,2AB =u u u r ,()3,4BC =u u u r ,则AC =u u u r ( ) A .()4,6 B .() 4,6-- C .()2,2-- D .()2,2 9 . ABC ?中,AB 边的高为CD ,若CB a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,0a b ?=r r ,||1a =r ,||2b =r ,则AD =u u u r ( ) A .1133 a b -r r B .2233a b -r r C .3355a b -r r D .4455 a b -r r 二、填空题 10.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ?u u u r u u u r =________. 12.已知向量a ,b 夹角为0 45,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 14.如图,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且AP AC u u u v u u u v g = . 15.已知向量(1,0),(1,1)a b ==r r ,则 (Ⅰ)与2a b +r r 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -r r 与向量a r 夹角的余弦值为____________. 16.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?u u u r u u u r 的值为________. 17.设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=r r r ,若()a c +r r ⊥b r ,则a =r _____. 巩固练习 例1 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简: ①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ,②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r 例2设非零向量a r 、b r 不共线,c r =k a r +b r ,d r =a r +k b r (k ∈R),若c r ∥d r ,试求k 例3 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+r r r r r ,2v a b =-r r r ,且//u v r r ,求实数x 的值 例4已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB (O 为坐标原点)交点P 的坐标 例5已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0 120,若2,3c a b d b a =-=-r r r r r r ,试求c r 与d r 的夹角 例6 已知()4,3a =r ,()1,2b =-r , ,m a b λ=-r r r 2n a b =+r r r ,按下列条件求实数λ的值 (1)m n ⊥r r ;(2)//m n r r ;(3)m n =r r 例7已知4||=,2||=,且a 与b 夹角为120°求 ⑴)()2(b a b a +?-; ⑵|2|b a -; ⑶与+的夹角。 例8已知向量=)2,1(,=)2,3(- 。 ⑴求||+与||-;⑵ 当k 为何值时,向量b a k +与b a 3+垂直? ⑶ 当k 为何值时,向量k +与3+平行?并确定此时它们是同向还是反向? 例9已知=)1,2(,=)7,1( ,=)1,5(,设M 是直线OP 上一点,O 是坐标原点 ⑴求使MB MA ?取最小值时的OM ; ⑵对(1)中的点M ,求AMB ∠的余弦值。 例10在ABC ?中,O 为中线AM 上的一个动点,若2=AM 求:)(OC OB OA +?的最小值。 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法2021年高中数学-平面向量专题
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